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浅谈从平面到空间的类比推理


浅 谈 从 平面 到 空 间的 类 比推 理 
广 东广雅 中学   ( 广州, 5 1 0 1 6 0 )   徐 广华 
类比是数学命题推广 的基本方 法之一 , 法国  
数 学家拉 普拉 斯 曾经说 过 : “ 即使 在数 学 里 , 发 现 真  理 的主要 工具 也 是 归 纳 和类 比. ”类 比推 理 就 是 在  两类 不 同事物 之 间进 行对 比 , 找 出若 干 相 同 或相 似 

近几年来 , 在全国各地的模拟试题和高考试题  中, 陆续 出现 了从 平 面 到 空 间 的类 比推 理 题 , 这 些 
题 目立意 新颖 , 内涵 深 刻 , 大 多 以填 空题 的 形 式 出   现, 不需要 严 格 的 证 明 , 只 需 要 猜 想 出 正确 的 结 论  即可 , 旨在 考查 学生 观察 一 分 析 一 比较 一 联想 一  类 比 一 猜 想 的探 索 能 力 和创新 意 识 , 归 纳起 来 , 主  要 有 以下几 种类 型 :  


点之后 , 推测在其他方 面也可以存在相 同或相似之  处 的一种 推理模 式. 从逻辑上说 , 类 比 推 理 就 是 将 
命题 的外 延扩 大.   类 比推理 一般 具有 如下 三个 特点 :   ( 1 )类 比是从 人们 已经 掌 握 了 的事 物 的属性 ,   推测正 在研 究 的事 物 的属 性 , 是 以 旧有 的认 识 为 基  础, 类 比出新 的结果 ;   ( 2 ) 类 比是从 一种 事 物 的特殊 属性 推测 另一 种  事物 的特 殊属性 ;   ( 3 ) 类 比的结果是 猜 测性 的 , 因此 , 类 比推理 得 



平面几何定理类 比到立体几何 定理 
平 面是 空 间 的一 部 分 , 因此 , 平 面 中 的 不少 结 

论 都 可 以类 比拓 展 到空 间 中去. 数 学 家波 利 亚 曾指 

出: “ 类 比是一个伟大的引路人 , 求解立体几何 问题 
往 往 有赖 于平 面几何 中的类 比问题 . ”   类比方法 : “ 直 线 ”类 比为 “ 平 面” , “ 角”类 比为  “ 二面角” , “ 角的两边 ”类 比为“ 二面角 的两个面”等.  

出的结论不一定正确 , 有待证明 , 但它却有探索、 发  现的功能 , 有助于我们揭示 自然界的奥秘.  
类 比推 理 的一般 步骤 是 :  

例1   对于平面几何中的命题 : “ 如果两个角的  两边分别对应垂直 , 那么这两个角相等或互补. ” 在  立体 几 何 中, 类 比 上 述 命 题 ,可 以得 到 命 题 :   ”其 真假 性是  .  
“ 


( 1 ) 找 出两类 对象 之 间可 以确切 表述 的相 似特 
征;  

解析 : 答 案不 唯一 , 可 以是 :  

( 2 )用一 类对 象 的 已知 特征 去推 测另 一类 对象  的特征 , 从 而抽象 、 概 括 出一个 猜想 ;   ( 3 )检 验猜 想.  
- 

① 如果一个角 的两边与一个二面角 的两个面  分别对应垂直 , 那么这个角与二面角 的平面角相等  或互 补. 这个命 题 是真命 题 ;  

《 中学数 学研 究 》编 辑 委 员会 

” + “ + ” + ” + ” + “ + ” + ?  

名誉主编 : 柳柏濂  顾问: ( 以姓 氏笔划 为序 ) 王林全 , 张谋成 , 柳柏濂  社长 : 丁 时进  主编 : 林长好  副主编 : 何小亚 , 吴有 昌  发行主管 : 吴有 昌( 兼)   编委 : ( 以姓 氏笔划 为序 )尤利华 , 邓春源 , 叶远灵 , 刘名生 , 吕伟泉 , 朱全新 ,   孙道椿 , 苏洪雨 , 李健 全 , 吴有 昌 , 吴跃 忠 , 何小 亚 , 陈奇斌 , 陈小 山 ,   林 长好 , 林少杰 , 姚  静 , 袁汉辉 , 耿  堤 , 徐志庭 , 章 绍 辉 

2 0 0 8年 第 l 0期 

中 学数 学研 究 

② 如果 两个 二面 角 的两 个 面 分别 对 应 垂 直 , 那 
命 题.  

的正 确 结 论 是 : “ 设 三 棱 锥 A —B C D 的 三 个 侧 面 
.  

B C 、 A C D、 A D B两 两相 互垂 直 , 则  么这 两个 平面 的二 面角 相 等 或 互 补. 这个 命 题 是 假  A

解析: 推知答案应填: s t 胧 + J s  ∞ + s  加 =  
5  脚 .  

我们所熟悉的从平面几何定理到立体几何定理 
还 有不 少类 比的实例 , 例如 :  
( 1 )平几 : 平行 于 同一直 线 的两直 线平 行 ;  

变式: 在 AA B C中 , A B 上A C, A D上 B C , D为垂 

足, 则A B  =B D? B C ( 射 影定 理 ) . 类似 地 , 三棱锥 


立几 : 平行 于 同一平 面 的两平 面平 行.  
( 2 )平几 : 垂 直于 同一 直线 的两 直线平 行 ;  

B C D中, A D   J _ 平面A B C, A O上平面 B C D, 0为垂  .  

足, 且 0在 AB C D 内, 则S △ 胱, S △ 盯D , 5 △ B c D三 者 之 

立几 : 垂直 于 同一平 面 的两直 线 平行 ; 垂 直 于 同 


间满 足关 系式 
S  B c D .  

直线 的两平 面平行 .   ( 3 )平几 : 如 果 一 条 直 线 垂 直 于 两 平 行 直 线 中 

分析 : 不难 推知答 案应填: s  

=S   删 。  

的一条 直 线 , 那 么 它也 和另一 条直 线垂 直 ;   立几 : 如果 一 条 直 线垂 直 于 两 平 行平 面 中 的 一 
个平 面 , 那 么 它也 和另一 个平 面垂 直 ;  

类 比方 法 2 : “ 直 角 三 角 形 的直 角 边 长 、 斜 边 上  的高”类 比为 “ 直角 三棱锥 的侧 棱 长 、 高” .  
例3 ( 2 0 0 8深圳调 研 理 )   在R t AA BC中 , 两 直 
1   1  
,   C  

如果 一个 平 面 垂 直 于 两 平 行 平 面 中 的 一 个 平  角边分别为 口 、 6 , 设h 为斜边上的高, 则   =专 +   面, 那 么 它也 和另 一个平 面垂 直.  
1  

( 4 )平几 : 如 果 一 个 角 的两 边 与 另 一 个 角 的 两  击, 由此类比: 三棱锥S — A B C 中的三条侧棱S A 、 S B 、  
D 

边分别 平行 , 那 么这 两个 角相 等或互 补 ;  
立几 : 如果一 个 二 面 角 的两 个 面 与另 一 个 二 面 

S C两两垂 直 , 且长 度分 别 为 口 、 b 、 C , 设 棱锥 底 面 A B C   上 的高 为 h , 则 有结 论  .  

角 的两 个 面分别 平 行 , 那 么 这两 个 二 面 角相 等 或互 
补.  

解 析 : 易 知 答 案 应 填 去:   1 +   1 +   1 .  
变式 : R t AA B C的两直角边分别为 0 、 b , 则其 内  

二、 平 面 几 何 图形 类 比 到 空 间 几何 体 
点、 线、 面是构成空间几何体 的基本元素 , 构成 
几何体 离 不开平 面 图形 , 有不 少 几何 体 的底 面 或侧 

切 圆 半 径 r  (   1 +   1 + √   +   1 ) ; 由 此 类 比 :  
解析 : “ 直 角 三 角形 的 内切 圆”类 比为 “ 直 角 三 

面是一 些相 类似 的平 面几 何 图形 , 因此 , 平 面 中某些  三棱 锥 S—A B C中的三 条侧棱 S A 、 S B、 S C两两 垂直 ,   特殊几 何 图形 的性质 也可 以类 比推广 到 相对 应 的 特  且 长 度 分 别 为 a , b 、 c ,则 其 内 切 球 半 径 R :   殊空间几何体中去.  
( 一 )平 面 中的 三角形 类 比到 空 间中的三 棱锥 

三棱锥 也 叫 四面体 , 其 四个 面都 是 三角 形 , 这 意  棱锥 的 内切球 ”, 易知答 案应 填.   味着 三角形 的某 些性 质 可 以类 比推 广 到三棱 锥.  
1 . 直 角三 角形 类 比到直 角三棱 锥 


/ t   1   +   1 + 一 】   — — 广   + √  + - j+ - g J‘  
2 . 正 三角 形类 比到 正 四面体  由于正 四面体 的 四个 面 都 是 正 三 角 形 , 因 而正 

三 个侧 面两 两垂 直 的 三棱 锥 叫 直 角三 棱 锥 , 也  叫直角 四面体. 显 然 直 角 三棱 锥 的三 条 侧 棱 两 两 垂  直, 因此 其 三个侧 面都 是直 角 三角形 , 从 而直 角 三角 

三角形的某些性质可类 比到正四面体.   类比方法 1 : “ 正三角形 的高” 类 比为“ 正四面体  的高” .   例4   平面几何 中, 有结论 : “ 正三角形 内任意 


形的某些性质可类比到直角三棱锥.   类比方法 1 : “ 直角三角形 的直角边长 、 斜边长”  
类 比为 “ 直 角三棱 锥 的侧 面积 、 底 面积 ” .  

例2 ( 2 0 0 3 广东卷)   在平面几何里 , 有勾股定  点到三边的距离之 和为定值 , 且定值等 于该正三  理: “ 设 AA BC的两边 A B、 A C互相 垂直 , 则A B   + A C 。   角形 边长 的  倍” . 类 比这 一结 论 , 将 其 拓展 到 


B C   ” , 拓展到空间, 类比平面几何 的勾股定理 , 研  空 间 , 可得 到结 论 :  

.  

究 三棱 锥 的侧 面积 与 底 面 面积 间 的关 系 , 可 以得 出 

解析 : 连接正三角形 内任意一点与三个顶点 , 可 

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知正 三角 形 的面积 可分 割成 3个 小 三角 形 的面 积 之  和, 由此推 知 : 正 三 角形 内任 意一 点 到三 边 的距 离之 

和为定值 , 且定值等于该正三角形的高 ( 边长的 / 2   倍) ; 同理 , 连接正四面体内任意一点与四个顶点 , 可 

p  

知正四面体 的体积可分割成四个小三棱锥 的体积之 
和, 由此推知: 正 四面体内任意一点到 四个面的距离 
之 和为 定值 , 且 定 值 等 于 该 正 四 面体 的 高 ( 棱 长 的 
/ _ 3倍 ) .   例5 ( 2 0 0 8 韶关 调 研理 )   已知正 三角形 内切 圆 

图 1  

图2  

例 9 若 点 D在 AA B C内 , 则 有结 论 5 △ 。  .   +s   。 .   +5   伽  .   , 把 命题 类 比推广 到空  问 ,若 点 0 在 四 面 体 A B C D 内 ,则 有 结 论 :   解析: 易 知答 案应 填  - B c 。?  


+   一   c D? D 台+  

的半径 是 高 的 1 / 3 , 把 这 个 结 论 推 广 到 空 间 正 四 面  体, 类 似 的结 论 是 
1 / 4 .  

A 肋 ?OC + VoA B c ?OD = 0.  


.  

类 比方法 2: “ 三 角 形 的高 ”类 比 为 “ 三 棱 锥 的  例1 O ( 2 0 0 8汕头 一模 理 )   设 P是 AA B C内一 

解析 : 易推知 : 正 四面体的内切球 的半径是高的   高” .  
类 比方 法 2: “ 正三 角形 的 中心 ” 类 比为 “ 正 四面  点 , AA B C三边上的高分别为 h   , h   , h   , P到三边 的  体 的 中心 ” .   例6   在平面 内, 自一 点 0 至多 能 引 3条 射 线  设 P是 三棱 锥  —B C D 内一 点 , 四顶点 到  O A 、 O B 、 O C , 使它们两两成等角 , 且两两所成 的角为  比到 空 间 ,   , h   , h c , h 。 , P到这 四个 面 的距  1 2 0 。 . 类 比到 空 间 , 自一 点 0至 多 能引  条 射线 ,   对 面 的距 离 分别 为 h

距 离 依 次 为   f b , l c , 则 有 苦 +   t b + 薏   — —; 类  

使它们两两成等角 , 且两两所成的角为 

离依次为 f 。 , l   , l   ,  , 则有  解析 : 注 意 到 AA BC内一 点 P将 其 面积 分 割成  解析 : 显然 , 正三角形A B C 的中心 0与三个顶点  .  

的连 线 O A、 O B、 O C两 两 所 成 的 角 都 为 1 2 0 。 ; 类 似  地, 正 四面体 A BC D的 中心 0与 四个 顶点 的连线 O A、  
O B、 O C 、 O D两 两所 成 的角 都 相 等 ( 可 联 想 甲烷 c  

三 部 分 , 故 岳 +   l b +   c =  
c? h c / 2  
C‘l c / 2   SA 朋c + J s △ 只 4 c+ S△P A 丑  

+   +  
=1 ; 类似地 , 三棱 

S △ A B c  

的分子 结构 ) , 可 知答 案应 填 4 , 7 r—a r c c o s l / 3 .  
3 . 一般 三 角形类 比到一般 三棱 锥  类 比方 法 1 : “ 三角 形 的面积 ”类 比为 “ 三 棱锥 的  体积” .  

锥A O B C D内一点将其体积分割成四部分 , 故  +  

+   三 . 1 d—S A B C D ‘ l a / 3. S A A C D ’ f 6 / 3。   h +   h   S —


。 c’ D  

As 

c D?  A / 3+ ’   S △ A c D ?  口 万 / 3+ ‘  

例7 ( 2 0 0 8 梅 州 一模文 )   已知 △A BC的三边 长  为 a, b , C , 内切 圆半 径为 r ( 用s   表示 AA B C的面 

s  A B D? l o / 3  
SAA B D   hc / 3  


S   c?i d / 3  
S  犍C?hD / 3  


积) , 则S △ A B c=r ( a+b +c ) / 2 ; 类 比这一结论有 : 若 
三棱 锥 A —BC D的 内切 球 半 径 为 R, 则 三 棱 锥 体 积 
加 cD =
— —

B C D + 
— — —



A ∞ + V P — ABD +  
—   — — 一

^ Bc  
 

.  
‘  



.  

本题 也 可 以 采 用 特 殊 法 :考 虑 P 恰 为 等 边 

B C的中心 、 P恰为正四面体 A B C D的中心时, 易   解析 : 由面积 分割类 比到体 积分割 , 答 案应填  AA 得上述答案.   ( 5 △   B c+S A a 肋 +5 △ A c D+S △   ∞) / 3 .   ( 二 )平面 中的 特 殊 四边 形 类 比 到 空 间 中 的 特  例8 ( 2 0 0 4广东卷)   由图 1 有面积关系   殊 四棱柱  ^ )AP AB   四棱柱的各个面都是平面 四边形 , 这意 味着某 
=  

, 贝 J I 由 图 2有 体 积 关 系:  

=  

些特殊 四边形的性质可以类比到四棱柱.  
1 . 平 行 四边形 类 比到平行 六面 体 

解析 : 易知答案应填 

.  

由于平行六面体的六个 面都是平行 四边形 , 因  
此平行 四边形的某些性质可类 比到平行六面体.  

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类 比方 法 : “ 平 行 四边 形 的边 、 对 角线 ”分 别 类 

解析 : 利用“ 直径 所 对 应 的 圆周 角 为 直 角 ” , 可 
知: P A  +PC  =A C  = ( 2 r )  , J P B  +P D 。=B D  =  

比为“ 平行六面体的棱 、 对角线” .  
对 角线 的平 方和 等于 四条边 的平 方 和” . 类 比这 一 结  论, 将其 拓展 到 空问 , 可得 到结 论 :  

2 r )   , , 故答 案应 填 8 r 2 ; 1 6 R   .   例1 1   平面几 何 中 , 有 结论 : “ 平 行 四边 形两 条  (
( 三 )平面 中 的特 殊 平面 图形 类 比到 空 间 中的 

特殊旋 转体 
1 . 圆 类 比到球 

解析 : 易知答案应填“ 平行六面体 四条对角线的 
平 方 和等于 十二 条棱 的平 方和 ” .  
2 . 矩形 类 比到长 方体 

圆是平 面 内 到 定 点 的 距 离 等 于 定 长 的点 的 集  合, 球是 空 间 中到定点 的距 离 等于定 长 的点 的集 合 ;  

截 面都 是 圆 , 这些 都决 定 了  由于长方体的六个 面都是矩形 , 因此矩形 的某  用任 意一个 平 面去截 球 , 圆与球 有很 深厚 的 渊源.   些 性质 可类 比到 长方 体.   类 比方 法 1 : “ 圆的面 积 ”类 比为 “ 球 的体积 ” .   类 比方 法 1 : “ 矩形 的边 、 对 角线 ”类 比为 “ 长方 

体的棱 、 体对角线” .  

例1 5 ( 2 0 0 6湖 北 卷 )   半 径 为 r的 圆 的 面 积 

( r ) =7 r r   , 周长 C ( r )=2 e r r , 若将 r 看作( 0 , +o 。 )   例1 2   若 P是矩 形 A BC D 内任 意一 点 , 则 有结  s 则( 7 r r   )  =2 e r r @, ① 式可以用语言叙述  论  。 + P C  =P B   + P D   成立 , 类 比到空间, 若P是  上的变量 ,

圆的面积函数的导数等于圆的周长 函数. 对于半  长方体 A B C D —A   B   C 。 D  内任意 一点 , 则 有结论  为: 径 为R的球 , 若将R看作( O , +∞) 上的变量 , 请你写  成立.  
— —

解析: 注 意 到 A、 c , B、 D 分 别 是 矩 形 两 对 角 线  点, 答案 应填 :  
: 胎   + PD  .  

出类似于 ① 的式子 :




②, ② 式可 以用语 

  A C , B D的两端点 , 类 比到长方体 4 条对 角线 的两端  言叙述 为 : +P   =P A  +尸 C 2=船  +肋  
解析 :  

.  
=  4   3


故 ② 式 应 填 ( 了 4   7 r R   )   =  

例1 3   矩形 A B C D 的对 角线 A C与 边 A B和 A D   所 成 的角分 别为 , 3, / 则C O S   O t + C O S   =1 , 把 它类 比 

4 7 r R   , 用语言叙述为 : 球 的体积 函数的导数等于球 
的表面 积 函数.  

推广到 长 方 体 中,试 写 出 一 个 相 应 的 真 命 题 :  
解析: 平 面 中线 线 的夹 角 可 类 比为 空 间 中的 线 

类 比方法 2: “ 圆的 内接 矩形 ”类 比为 “ 球 的内接 
长 方体 ” .  

例1 6   通过 圆与 球 的类 比 , 由“ 半 径 为 R 的 圆  的 内接矩 形 中 , 正 方形 的面 积最 大 , 最大值为 2  . ”  

线角、 线面角或面面角 , 因此答案不唯一 , 可以是 : ① 
长 方体 A B C D —A   B   C   D 。的对 角 线 A   C与棱 A 】 4、   A 1 B 1 、 4 1 D1 所 成 的角分别 为 O t  、  , 则 C O S   O t +C O S   卢  

猜想关于球的相应命题为 :  

.  

解析: 正方形的面积类 比为正方体的体积 , 因此  答案应填 : 半径为  的球的内接长方体中, 正方体 的   体积最大, 最大值为 8  
2 . 梯 形 类 比到 圆台 

+C O S   =1 ; ② 长方体 A B C D— A 1 B 1 C 1 D 1 的对角线 
c与平 面 A  、 A 。 C 1 、 A   D所 成 的角 分别 为 O t  、  ,  

/ 9 .  

则C O S   O t +c o s a   +C O S   =2 ; ③ 长方体 A B C D—  
A   B1   C   D  的对 角面 A   A C C 1 与平面 A   A B B   、 A 1 A D D 1   所成 的二 面 角分别 为 O t 、 卢, 则C O S   +C O S   =1 .   类 比方 法 2 : “ 矩 形 的外接 圆 ” 类 比为 “ 长方 体 的  外接 球 ” .  

由于 圆台是 由直角 梯形 绕着 垂直 于底边 的腰 旋 

转一周所得的旋转体 , 其轴截面是梯形 , 因此可把梯 
形 的相关 性 质类 比到 圆 台.  

类比方法 1 : “ 平行于梯形上 、 下底 的线段” 类比  

为“ 平行于圆台上、 下底面 的截面” , “ 梯形的上、 下  例1 4   设矩形 A B C D的外接圆半径为 r , P是矩  底边长” 类 比为“ 圆台的上 、 下底面半径” .   形A B C D的外接 圆上 任意 一点 , 则P A  +P B  + P C  +   例1 7   已知梯 形 A B C D中, A B =a , C D =b ( a  

肋  为定值 

>b ) , E , F是腰 A D、 B C上两点 , 且朋 / /A B/ /C D,   A 】  c   D 1 的外接球 半径为 R , P是长方体 A B C D—   若线 段  F 将 梯 形 的 面 积 二 等 分 ,则  , =   B   C   D i 的外接球上任意一点 , 则  + 船  + P c   √ 厂  ÷  二   _ _   类 比上述结论 , 若 圆台的两底半径为 R,   +P D  + P   +P c   +  D   为定值 


; 类 比到空 间, 设长方体 A B C D—  

4  

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r ( R >r ) , 作平行于底的截面, 若截面将 圆台的侧面  上 的充 要条 件是 D 尸=  
积二等分 , 则截面半径为 
体积 二等 分 , 则截 面半 径为  解析 : 截 面将 圆 台的侧 面积二 等 分 时 , 可得 截 面 
—  

+  D ’  且  +Y: 1 . 类 
.  

; 若截面将圆台的  比到 空 间 , 若点 0在 平 面 A B C外 , 则 点 P在 平面 A B C  
内 的充 要条 件是 
且   +Y+Z: 1 .  

解析 : 推知答 案应 填 : D P=  O A   +Y   p  +  D c  

半径为√ V    —   ; 截面 将圆 台的 体积二等 分时, 可 把  
侧 面积二等分时的平方根 、 平方类 比为体积二 等分 
■■= 『  

例2 1   类 比正确命题“ 若A 、 B 、 c 三点不共线 , D  
— — —

^  



— , — 4

— — —  

是线段 A B的中点 , 则c D =÷ ( C A+C B ) ” , 给出空 
间 中的一 个恰 当正确命 题 :   解析 : C D是 AA B C的 中线 , 三角 形 中线 的交 点 
4   1 — — — 4 . . —   — — —  

时的 立方 根、 立方, 由 此 得截面 半径 为√ V   _ n ÷  二  .  
类 比方法 2: “ 梯 形 的上 、 下底 边 长 ”类 比为 “ 圆 

因此 , 答 案 可 以是 : 若  、 B、 C 、 D 四点 不 共  台 的上 、 下 底 面 面积 的算 术 平 方 根 ”, “ 平 行 于梯 形  是重 心 ,
— — —

上、 下 底 的线段 长 ”类 比为 “ 平 行 于 圆 台上 、 下 底 面  面 , G是 AA B C的重心 , 则DG=- 4 -   - ( D A+D B+D C) .  
J 

的截面面积 的算术平方根 ” .   例1 8   已知 梯形 A B C D中, A B =a , C D =b ( a  

四、 平面解析几何 类比到空间解 析几何 
空间解析几何 是平面解 析几何在 空间的推广 ,  
其 坐标 表 示 由二 维 (  , Y )延 拓 到 三 维 (  , Y ,   ) , 因  此, 两 者 之 问也 必 然 存 在 着 非 同 寻 常 的关 系. 例如 :   平 面解析 几何 中直 线方 程 的一般 式 4  +B y+C =0   与空 间解 析几何 中平 面方程 的一般 式 / 4  +B y+   +  

>b ) , E 、 F是腰 A D 、 B C 上两点 , 且E F∥A B∥ C D,  
且 F到 C D与 A B 的距 离之 比为 m : 凡, 则 可 推算 出  E F=  
m 十 

. 类 比上 述 结论 , 若 圆台 的上 、 下底 面 

积为 s   、 5 : ( S  < S : ) , 一 个 平 行 于底 面 的截 面 到 圆 

是 一脉 相承 的 ; 圆心 为 ( a , 6 ) 、 半 径为 r 的圆 的  台上、 下底 面的距离之 比为 m:  , 若此截面的面积为  D :0 标 准方 程 (   —a )  +( Y—b ) 。= r  与球 心 为 ( a , b ,   S 。 , 则S 。 与S   、 S : 的关 系式 为
一  

c ) 、 半 径 为  的球 的标准 方程 (   一0 )   +( Y一6 )  +   解析 : 推 知答案 应 填  =  
( Z—c )   =R  也 “ 本 是 同根生 ” .  

三、 平 面 向量 类 比 到 空 间 向量 
由于空 间 向量 是 平 面 向量 在 空 间 的推 广 , 空 间 

类 比方 法 : “ 平 面解 析 几 何 中 的 直 线 ”类 比为 
“ 空 间解 析 几何 中 的平 面 ” .  

向量基 本 定理 也是 平 面 向量 基本 定理 的推 广 , 因此 ,  

例2 2   类 比平 面 内一 点 P(  , Y 。 )到直线 A  +  

) , +C =0 ( A  +   ≠0 ) 的距 离公 式 , 猜 想空 间 中一  两者 之 间必然存 在 着广 泛而 深刻 的联 系 , 它 们 在加 、   B (   0 , Y o , Z 0 ) 至 0 平面A  +B y+   +D =0 ( A   +   减、 数乘 、 数量积方面具有相同的运算律 , 而它们 的  点 P 坐标运 算则 非 常相 似.   类 比方法 1 : “ 平 面 向量 的二 维 坐标 运算 ”类 比  为“ 空 间 向量 的三 维 坐标运 算 ” .  


+C  ≠ 0 )的距 离公 式为 d :  

.  

解析 : 类 比 平 面 内点 到 直 线 的 距 离 公 式 d =   易知 答案 应填 

例1 9   设 向量 a= (  , Y   ) , b= (  , Y : ) , 则 由 

√ A‘ + B 

平面向量数量积公式可得 1   0? b   I ≤I   a   l ?   l b   l , 即有  不等式 : ( X 1   2 + Y l Y 2 )  ≤ (   1 + Y 1 )   (   2 + Y 2 ) 2 . 将平  面向量类 比推广到空间向量 , 可 以得到一个类似 的  
不等 式 :   .  

l  A  o+ By o+ C   0+ D  l  
‘ 

、  

以上笔 者从 四大 方面 归纳 总结 了从 平 面 到 空 间 

若干种重要 的类 比推理模型 , 只是就所列举 的例子  解析: 易知答案应填(   1   2 + Y l Y 2 +   1   2 )  ≤ (   1   来研究各种类比的方法 , 难免有片面之嫌 , 仅供大家  参考.  
参考文献 

+Y 1+  1 )  (   2+Y 2+  2 )   .   类 比方 法 2 : “ 共 线 向量 ”类 比为 “ 共 面 向量 ”,   “ 不共 线 向量 ”类 比为 “ 不共 面向量 ” .  

[ 1 ]人 民教育出版社 中学数学组 , 全 日制普通 高级 中学教科书 ( 试验 
修 订 本 )? 数 学, 选修 2 [ M] . 北京 : 人 民 教 育 出 版社 , 2 0 0 3 .  

例2 0 若点 0在直线 A B外 , 则点 P在直线 A B  


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