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第八篇立体几何第1讲空间几何体的结构、三视图和直观图


第1讲
【2013 年高考会这样考】

空间几何体的结构、三视图和直观图

在已知图形中取互相垂直的 x 轴、y 轴,两轴相交于点 O,画直观图时,把它们画成对应 的 x′轴、y′轴,两轴相交于点 O′,且使∠x′O′y′=45° 135° 或 ,已知图形中平行 于 x 轴、y 轴的线段,在直观图中平行于 x′轴、y′轴.已知图形

中平行于 x 轴的线段, 在直观图中长度不变,平行于 y 轴的线段,长度变为原来的一半. (2)画几何体的高 在已知图形中过 O 点作 z 轴垂直于 xOy 平面,在直观图中对应的 z′轴,也垂直于 x′O′y′平面,已知图形中平行于 z 轴的线段,在直观图中仍平行于 z′轴且长度不变.

1.几何体的展开图、几何体的三视图仍是高考的热点. 2.三视图和其他的知识点结合在一起命题是新教材中考查学生三视图及几何量计算的趋 势. 【复习指导】 1.备考中,要重点掌握以三视图为命题背景,研究空间几何体的结构特征的题型. 2.要熟悉一些典型的几何体模型,如三棱柱、长(正)方体、三棱锥等几何体的三视图.

一个规律 三视图的长度特征:“长对正,宽相等,高平齐”,即正视图和侧视图一样高,正视图和 俯视图一样长,侧视图和俯视图一样宽.若相邻两物体的表面相交,表面的交线是它们的 分界线,在三视图中,要注意实、虚线的画法. 两个概念 (1)正棱柱:侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱,底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.反 之,正棱柱的底面是正多边形,侧棱垂直于底面,侧面是矩形. (2)正棱锥:底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱 锥.特别地,各棱均相等的正三棱锥叫正四面体.反过来,正棱锥的底面是正多边形,且 顶点在底面的射影是底面正多边形的中心. 双基自测 1.(人教 A 版教材习题改编)下列说法正确的是( ).

基础梳理 1.多面体的结构特征 (1)棱柱的侧棱都互相平行,上下底面是全等的多边形. (2)棱锥的底面是任意多边形,侧面是有一个公共顶点的三角形. (3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到,其上下底面是相似多边形. 2.旋转体的结构特征 (1)圆柱可以由矩形绕一边所在直线旋转一周得到. (2)圆锥可以由直角三角形绕一条直角边所在直线旋转一周得到. (3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线旋转一周或等腰梯形绕上下底面中心所在直线 旋转半周得到,也可由平行于底面的平面截圆锥得到. (4)球可以由半圆面绕直径旋转一周或圆面绕直径旋转半周得到. 3.空间几何体的三视图 空间几何体的三视图是用平行投影得到, 这种投影下, 与投影面平行的平面图形留下的影 子,与平面图形的形状和大小是全等和相等的,三视图包括正视图、侧视图、俯视图. 4.空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,基本步骤是: (1)画几何体的底面
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A.有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体叫棱锥 D.棱台各侧棱的延长线交于一点 答案 D

2.(2012· 杭州模拟)用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是圆面,则这个几何体一

定是( A.圆柱 C.球体 解析

). B.圆锥 D.圆柱、圆锥、球体的组合体

解析

所给选项中,A、C 选项的正视图、俯视图不符合,D 选项的侧视图不符合,只有

选项 B 符合. 答案 B

当用过高线的平面截圆柱和圆锥时, 截面分别为矩形和三角形, 只有球满足任意截

面都是圆面. 答案 C

5.(2011· 天津)一个几何体的三视图如图所示(单位:m)则该几何体的体积为________m3. 解析 由三视图可知该几何体是组合体,下面是长方体,长、宽、高分别为 3、2、1,上

3.(2011· 陕西)某几何体的三视图如图所示,则它的体积是( 2π A.8- 3 C.8-2π 解析 π B.8-3 2π D. 3

).

1 面是一个圆锥,底面圆半径为 1,高为 3,所以该几何体的体积为 3×2×1+3π×3=6+ π(m3). 答案 6+π

考向一

空间几何体的结构特征

圆锥的底面半径为 1,高为 2,该几何体体积为正方体体积减去圆锥体积,即 V=

【例 1】?(2012· 天津质检)如果四棱锥的四条侧棱都相等,就称它为“等腰四棱锥”,四 条侧棱称为它的腰,以下 4 个命题中,假命题是( A.等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等 B.等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 C.等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 D.等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上 [审题视点] 可借助几何图形进行判断. ).

1 2 22×2-3×π×12×2=8-3π,正确选项为 A. 答案 A

4.(2011· 浙江)若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是 ( ).

解析

如图

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,等腰四棱锥的侧棱均相等,其侧棱在底面的射影也相等,则其腰与底面所成角相等,即 A 正确;底面四边形必有一个外接圆,即 C 正确;在高线上可以找到一个点 O,使得该 点到四棱锥各个顶点的距离相等,这个点即为外接球的球心,即 D 正确;但四棱锥的侧 面与底面所成角不一定相等或互补(若为正四棱锥则成立).故仅命题 B 为假命题.选 B. 答案 B 三棱柱、四棱柱、正方体、长方体、三棱锥、四棱锥是常见的空间几何体,也 是重要的几何模型,有些问题可用上述几何体举特例解决. 【训练 1】 以下命题: ①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥; ②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台; ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆; ④一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台. 其中正确命题的个数为( A.0 解析 B.1 ). C.2 D.3 【训练 2】 (2011· 浙江)若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是 ( ). [审题视点] 由正视图和俯视图想到三棱锥和圆锥. 解析 由几何体的正视图和俯视图可知,该几何体应为一个半圆锥和一个有一侧面(与半

圆锥的轴截面为同一三角形)垂直于底面的三棱锥的组合体,故其侧视图应为 D. 答案 D (1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影,并不是 从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形. (2)在画三视图时,重叠的线只画一条,能看见的轮廓线和棱用实线表示,挡住的线要画 成虚线.

命题①错,因为这条边若是直角三角形的斜边,则得不到圆锥.命题②错,因这条

腰必须是垂直于两底的腰.命题③对.命题④错,必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才 行. 答案 B 考向二 空间几何体的三视图 解析 A 中正视图,俯视图不对,故 A 错.B 中正视图,侧视图不对,故 B 错.C 中侧 视图,俯视图不对,故 C 错,故选 D. 答案 D 考向三
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【例 2】?(2011· 全国新课标)在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如图所示,则相 应的侧视图可以为( ).

空间几何体的直观图

【例 3】?已知正三角形 ABC 的边长为 a,那么△ABC 的平面直观图△A′B′C′的面积 为( 3 A. 4 a2 ). 3 B. 8 a2 6 C. 8 a2 6 D. 16 a2 将直观图还原得?OABC,则 ∵O′D′= 2O′C′=2 2 (cm), OD=2O′D′=4 2 (cm), C′D′=O′C′=2 (cm),∴CD=2 (cm), OC= CD2+OD2= 22+?4 2?2=6 (cm), OA=O′A′=6 (cm)=OC, 1 3 由斜二测画法可知,A′B′=AB=a,O′C′=2OC= 4 a, 在图②中作 C′D′⊥A′B′于 D′, 2 6 则 C′D′= 2 O′C′= 8 a. 1 1 6 6 ∴S△A′B′C′=2A′B′· C′D′=2×a× 8 a= 16 a2. 答案 D 直接根据水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法规则即可得到平面图形的 面积是其直观图面积的 2 2倍,这是一个较常用的重要结论. 【训练 3】 如图, 阅卷报告 9——忽视几何体的放置对三视图的影响致错 【问题诊断】 空间几何体的三视图是该几何体在两两垂直的三个平面上的正投影.同一几 何体摆放的角度不同,其三视图可能不同,有的考生往往忽视这一点. 【防范措施】 应从多角度细心观察. 【示例】?一个几何体的正视图为一个三角形,则这个几何体可能是下列几何体中的 ________(填入所有可能的几何体前的编号). ①三棱锥;②四棱锥;③三棱柱;④四棱柱;⑤圆锥;⑥圆柱. 错因 正解 矩形 O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图,其中 O′A′=6 cm,O′C′ =2 cm,则原图形是( A.正方形 C.菱形 解析
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[审题视点] 画出正三角形△ABC 的平面直观图△A′B′C′,求△A′B′C′的高即可. 解析 如图①②所示的实际图形和直观图.

故原图形为菱形. 答案 C

忽视几何体的不同放置对三视图的影响,漏选③.实录

①②⑤

①三棱锥的正视图是三角形; ②当四棱锥的底面是四边形放置时, 其正视图是三角

形;③把三棱柱某一侧面当作底面放置,其底面正对着我们的视线时,它的正视图是三角 形;④对于四棱柱,不论怎样放置,其正视图都不可能是三角形;

). B.矩形 D.一般的平行四边形

⑤当圆锥的底面水平放置时,其正视图是三角形;⑥圆柱不论怎样放置,其正视图也不可 能是三角形. 答案 ①②③⑤

【试一试】 (2011· 山东)右图是

长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题:①存在三棱柱,其正(主)视图、俯视图 如右图;②存在四棱柱,其正(主)视图、俯视图如右图;③存在圆柱,其正(主)视图,俯 视图如右图.其中真命题的个数是( A. C.1 [尝试解答] ). 3 B.2 D.0 如图①②③的正(主)视图和俯视图都与原题相同,故选 A.

答案

A

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