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高中数学人教B版必修四单元测评 基本初等函数(Ⅱ)(含答案)


单元测评 基本初等函数(Ⅱ)
(时间:90 分钟 满分:120 分) 第Ⅰ卷(选择题,共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,共 50 分. π 1.半径为 π cm,圆心角为3的角所对的弧长是( π A.3 cm 2π C. 3 cm π2 B. 3 cm 2π2 D. 3 cm )

π π2 解析:l=α· r=3×π= 3 (cm)

,故选 B. 答案:B
?π ? 1 2.如果 cos(π+A)=-2,那么 sin?2+A?的值是( ? ?

)

1 A.-2 3 C.- 2

1 B.2 3 D. 2
? ?

?π ? 1 1 解析: 因为 cos(π+A)=-cosA=-2, 所以 cosA=2, 则 sin?2+A?=cosA

1 =2. 答案:B 3π? ? 1 3.已知 α∈?π, 2 ?,tanα=2,则 sinα=(
? ?

)

5 A. 5 5 C.± 5

5 B.- 5 2 5 D.- 5

sinα 1 解析:由题意知 tanα=cosα=2,即 cosα=2sinα,又 sin2α+cos2α=1, 3π? ? 5 所以 5sin2α=1,又 α∈?π, 2 ?,所以 sinα=- 5 . ? ? 答案:B 4.给出下列命题: π? ? 5π ①函数 f(x)=4cos?2x+3?的一条对称轴是直线 x=-12; ②已知函数 f(x)
? ?

=min{sinx,cosx},则 f(x)的值域为?-1,
?

?

2? ?;③若 α,β 均是第一象限的 2?

角,且 α>β,则 sinα>sinβ. 其中真命题的个数为( A.0 C.2
? ? ? ?

) B.1 D.3

? 5π? ? π? 5π 解析:因为 f?-12?=4cos?-2?=0,所以 x=-12不是 f(x)的一条对称

轴,①错误;由 f(x)=min{sinx,cosx}的图像可得 f(x)∈?-1,
?

?

2? ?,②正确; 2?

当 α=390° ,β=60° 时,满足 α>β,但 sinα<sinβ,③错误.故选 B. 答案:B 5.把函数 y=cos2x+1 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵 坐标不变),然后向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到 的图像是( )

A

B

C

D 解析:由题意,y=cos2x+1 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),所得函数解析式为 y=cosx+1,向左平移一个单位为 y=
?π ? cos(x+1)+1,向下平移一个单位为 y=cos(x+1),利用特殊点?2,0?变为 ? ? ?π ? ? -1,0?,知选 A. ?2 ?

答案:A π 6. 将函数 f(x)=sinωx(ω>0)的图像向右平移4个单位长度, 所得图像经
?3π ? 过点? 4 ,0?,则 ω 的最小值是( ? ?

) B.1 D.2

1 A.3 5 C.3

π? π? ? ? π 解析:函数 f(x)向右平移4得到函数 g(x)=f?x-4?=sinω?x-4?,因为此
? ? ? ? ?3π ? 时函数过点? 4 ,0?, ? ? ?3π π? ?3π π? ωπ 所以 sinω? 4 -4?=0,即 ω? 4 -4?= 2 =kπ, ? ? ? ?

所以 ω=2k,k∈Z,所以 ω 的最小值为 2,选 D. 答案:D
[来源:学优]

3 7.在[0,2π]上满足 sinx≥ 2 的 x 的取值范围是( π? ? A.?0,6?
? ? ? ?π 2π? C.?3, 3 ? ? ?π 5π? B.?6, 6 ? ? ? ? ?5π ? D.? 6 ,π? ?

)

?π 2π? 3 π 2π 解析:由图像知在[0,2π]上,若 sinx≥ 2 ,则3≤x≤ 3 ,即 x∈?3, 3 ?. ? ?

故选 C. 答案:C 8.设函数 f(x)=4sin(2x+1)-x,则 f(x)的零点个数是( A.0 C.2 B.1 D.3 )

解析:作出函数 y=4sin(2x+1)与函数 y=x 的图像,如图,观察图像可 知,两个函数有三个交点,故选 D.

答案:D

9.定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数,若 f(x)的最小正 π? ? ?5π? 周期是 π,且当 x∈?0,2?时,f(x)=sinx,则 f? 3 ?的值为(
? ? ? ?

)

1 A.-2 3 C.- 2

3 B. 2 1 D.2

解析:因为 f(x)的最小正周期是 π,且 f(x)是偶 π? ?π? π? ?5π? ? ? ?5π? 函数, 所以 f? 3 ?=f?2π-3?=f?3?.又当 x∈?0,2?时, f(x)=sinx, 所以 f? 3 ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?π? π 3 =f?3?=sin3= 2 .故选 B. ? ?

答案:B π? ? 10.已知函数 f(x)=Atan(ωx+φ)?ω>0,|φ|<2?,y=f(x)的部分图像如
? ? ?π? 图所示,则 f?24?=( ? ?

)

A.2+ 3 3 C. 3

B. 3 D.2- 3
[来源:gkstk.Com]

?3π π? π 解析:由图像可知,此正切函数的周期等于 2×? 8 -8?=2,所以 ω= ? ?

3π ?3π ? ? ? 3π 2.从题图中知,图像过点? 8 ,0?,所以 0=Atan?2× 8 +φ?,即 4 +φ=kπ(k
? ? ? ?

3π π π ∈Z),所以 φ=kπ- 4 (k∈Z),又|φ|<2,所以 φ=4.再由图像过定点(0,1), π? π π? ? ?π? ? π 可得 A=1. 综上可知 f(x)=tan?2x+4?.故有 f?24?=tan?2×24+4?=tan3= 3.
? ? ? ? ? ?

答案:B 第Ⅱ卷(非选择题,共 70 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 1 11.函数 y=2sin2x 的最小正周期 T=__________. 2π 解析:由周期公式得 T= 2 =π. 答案:π

12.已知函数 y=Asin(ωx+φ)+b 的一部分图像如图所示,如果 A>0, π ω>0,|φ|<2,则此函数的解析式为__________. T 5π π π 2π 解析:由图像知,A=2,b=2, 4=12-6=4,由 T= ω 得 ω=2,根 π? ? π π π 据 2×6+φ=2,得 φ=6,所以函数的解析式为 y=2sin?2x+6?+2.
? ?

π? ? 答案:y=2sin?2x+6?+2
? ?

13.函数 y=cos2x+ 3sinx+1(x∈R)的最大值为__________,最小值 为__________. 解析:y=1-sin2x+ 3sinx+1=-?sinx-
? ?

3?2 11 ? + ,所以函数的最大 4 2?

11 值为 4 ,最小值为 1- 3. 11 答案: 4 1- 3 14.化简: 1-2sin10° cos10° =__________. cos10° - 1-cos2170°

1-2sin10° cos10° ?sin10° -cos10° ?2 解析: = =1. cos10° -sin10° cos10° - 1-cos2170° 答案:1 三、解答题:本大题共 4 小题,满分 50 分. π 4 15.(12 分)已知 0<α<2,sinα=5. (1)求 tanα 的值;
?π ? sin?α+π?-2cos?2+α? ? ? (2)求 的值. -sin?-α?+cos?π+α?

[来源:gkstk.Com]

π 4 解:(1)因为 0<α<2,sinα=5, 3 4 所以 cosα=5,故 tanα=3.(6 分)
?π ? sin?α+π?-2cos?2+α? -sinα+2sinα ? ? (2) = -sin?-α?+cos?π+α? sinα-cosα

sinα = sinα-cosα tanα = tanα-1 =4.(12 分) 16.(12 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中 A>0,ω>0,0<φ
?2π ? π <2)的周期为 π,且图像上一个最低点为 M? 3 ,-2?. ? ?

(1)求 f(x)的解析式; π? ? (2)当 x∈?0,12?时,求 f(x)的最值.
? ? ?2π ? 解:(1)由最低点为 M? 3 ,-2?得 A=2. ? ?

2π 2π 由 T=π,得 ω= T = π =2.(2 分)
?2π ? ?4π ? 由点 M? 3 ,-2?在图像上得 2sin? 3 +φ?=-2, ? ? ? ? ?4π ? 即 sin? 3 +φ?=-1. ? ?

4π π 11π ∴ 3 +φ=2kπ-2,即 φ=2kπ- 6 ,k∈Z. π? ? 又 φ∈?0,2?,
? ?

π? ? π ∴φ=6,∴f(x)=2sin?2x+6?.(6 分)
? ?

π? ? (2)∵x∈?0,12?,
? ?

π ? π π? ∴2x+6∈?6,3?.(8 分)
? ?

π π ∴当 2x+6=6,即 x=0 时,f(x)取得最小值 1; π π π 当 2x+6=3,即 x=12时,f(x)取得最大值 3. (12 分) π? ? 17.(13 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)?A>0,ω>0,|φ|<2?在一个周
? ?
[来源:学优 ]

期内的图像如图所示.

(1)求函数的解析式; (2)设 0<x<π,且方程 f(x)=m 有两个不同的实数根,求实数 m 的取值 范围和这两个根的和. 1 解: (1)显然 A=2,又图像过点(0,1),所以 f(0)=1,即 sinφ=2,因为 π π |φ|<2,所以 φ=6;
?11π ? ? ?对应函数 y=sinx 图像上的点(2π, , 0 由图像结合“五点法”可知, 12 ? ?

11π π 0),所以 ω· 12 +6=2π,得 ω=2.(4 分) π? ? 故所求函数的解析式为 f(x)=2sin?2x+6?.
? ?

(6 分) π? ? (2)如图所示, 在同一坐标系中作出 y=2sin?2x+6?(x∈(0, π))和 y=m(m
? ?

∈R)的图像.

(8 分)

由图可知, 当-2<m<1 或 1<m<2 时, 直线 y=m 与曲线有两个不同 的交点,即原方程有两个不同的实数根. 所以 m 的取值范围为-2<m<1 或 1<m<2. (10 分) 4π 当-2<m<1 时,两根的和为 3 ; π 当 1<m<2 时,两根的和为3.(13 分) 18.(13 分)已知函数 f(x)=Asin(3x+φ)(A>0,x∈(-∞,+∞),0<φ π <π)在 x=12时取得最大值 4. (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)的解析式; π ? 12 ?2 (3)若 f?3α+12?= 5 ,求 cos2α.
? ?
[来源:学优 GKSTK]

2π 解:(1)依据周期公式可得周期 T= 3 .(4 分) π ? ? π π (2)由题设可知 A=4 且 sin?3×12+φ?=1,则 φ+4=2+2kπ(k∈Z),得
? ?

π φ=4+2kπ(k∈Z). (8 分) π 因为 0<φ<π,所以 φ=4. π? ? 即 f (x)=4sin?3x+4?.(10 分)
? ?

π? π? ?2 ? 12 3 (3)因为 f?3α+12?=4sin?2α+2?=4cos2α= 5 ,所以 cos2α=5.(13 分)
? ? ? ?


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