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2014年全国高考试卷不等式部分汇编


2014 年全国高考试卷不等式部分汇编
1. (2014 安徽理 5)
? x ? y ? 2 ≤ 0, ? ,则实数 a 的值为 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ≤ 0 若 z ? y ? ax 取得最大值的最优解不唯一 ... ?2 x ? y ? 2 ≥ 0. ?

( A.


1

或 ?1 2

B .2 或

1 2

C.2 或 1

D.2 或 ?1 题
2x y+2=0 A 2 B O 1 C 2 x 2y 2=0 x x+y 2=0

【解析】 D 作出可行域 (如图) , 为 △ ABC 内部 (含边界) . 由

y



z ? ? y 取得最大值的最优解不唯一可知:线 a x
函数对应直线与可行域某一边界重合,由
1 可得 a ? ?1 或 a ? 2 或 2 1 验证: a ? ?1 或 a ? 2 时,成立; a ? 时,不成 2 k AB ? ?1,k AC ? 2,kBC ?
1

性目标

a?

1 , 2

立.故

选 D. 2. (2014 安徽理 21) 设实数 c ? 0 ,整数 p ? 1 , n ∈ N * . ⑴ 证明:当 x ? ?1 且 x ≠ 0 时, (1 ? x) p ? 1 ? px ; ⑵ 数列 ?an ? 满足 a1 ? c p , an ?1 ? 【解析】 ⑴ 证明:用数学归纳法证明:
1

p ?1 c ?p an ? a1 .证明: an ? an ?1 ? c p . n p p

1

①当 p ? 2 时, (1 ? x)2 ? 1 ? 2 x ? x2 ? 1 ? 2 x ,原不等式成立. ②假设 p ? k (k ≥ 2,k ∈ N*) 时,不等式 (1 ? x)k ? 1 ? kx 成立. 当 p ? k ? 1 时,
(1 ? x)k ?1 ? (1 ? x)(1 ? x)k ? (1 ? x)(1 ? kx) ? 1 ? (k ? 1) x ? kx2 ? 1 ? (k ? 1) x

所以 p ? k ? 1 时,原不等式也成立. 综合①②可得,当 x ? ?1,x ≠ 0 ,对一切整数 p ? 1 ,不等式 (1 ? x) p ? 1 ? px 均成立. ⑵ 证法一:先用数学归纳法证明 an ? c p . ①当 n ? 1 时,由题设 a1 ? c p 知 an ? c p 成立. ②假设 n ? k (k ≥1,k ∈ N*) 时,不等式 an ? c p 成立. 由 an ?1 ?
p ?1 c ?p an ? a1 易知 an ? 0,n ∈ N * . n p p
1 1 1 1

当 n ? k ? 1 时,

? ak ?1 p ? 1 c ? p 1? c ? ? ak ? 1 ? ? p ? 1? . ak p p p ? ak ?

当 ak ? c p ? 0 得 ?1 ? ?

1

? 1 1? c ? ? p ? 1? ? 0 . p p ? ak ?
p p

? 1? c ?a ? ?? 由⑴中的结论得 ? k ?1 ? ? ?1 ? ? p ? 1? ? ? 1 ? p . ? ? ak ? ?? ? p ? ak ?
? c 1? c ? p ? 1? ? p . p ? ak ? ak

因此 akp?1 ? c ,即 ak ?1 ? c p . 所以 n ? k ? 1 时,不等式 an ? c r 也成立. 综合①②可得,对一切正整数 n ,不等式 an ? c p 均成立. 再由
? a an ?1 1? c ? 1 ? ? p ? 1? 可得 n ?1 ? 1 ,即 an?1 ? an . an an p ? an ?
1 1

1

1

综上所述, an ? an ?1 ? c p , n ∈ N * .
p ?1 c x ? x1? p,x ≥ c p ,则 x p ≥ c , 证法二:设 f ( x) ? p p
1

并且 f ?( x) ?

p ?1 c p ?1? c ? p ? (1 ? p) x ? p ? ?1 ? p ? ? 0 , x ? c . p p p ? x ?

1

? 1 ? 由此可得, f ( x) 在 ?c p, ? ? ? 上单调递增. ? ? ? ?
1

因而,当 x ? c p 时, f ( x) ? f (c p ) ? c p , ①当 n ? 1 时,由 a1 ? c p ? 0 ,即 a1p ? c 可知
1

1

1

a2 ?

1 1 ? 1? c ?? p ?1 c 1? p a1 ? a1 ? a1 ?1 ? ? p ? 1?? ? a1 ,并且 a2 ? f (a1 ) ? c p ,从而 a1 ? a2 ? c p . p p ? p ? a1 ?? ? ? 1

故当 n ? 1 时,不等式 an ? an ?1 ? c p 成立. ②假设 n ? k (k ≥1,k ∈ N*) 时,不等式 ak ? ak ?1 ? c p 成立, 则当 n ? k ? 1 时, f (ak ) ? f (ak ?1 ) ? f (c p ) ,即有 ak ?1 ? ak ? 2 ? c p .所 以 n ? k ? 1 时,原不等式也成立. 综合①②可得,对一切正整数 n ,不等式 an ? an ?1 ? c p 均成立. 3. (2014 安徽文 13) ?x ? y ? 2 ≥ 0 ? 不等式组 ? x ? 2 y ? 4 ≤ 0 表示的平面区域的面积为________. ?x ? 3y ? 2 ≥ 0 ?
1 1 1 1

【解析】 4 不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分.

y A 4D O 2 B 2 x+y-2=0 x+2y 4=0 C x

?x ? 3y ? 2 ? 0 , ?x ? 8 , 由? 得? ?x ? 2 y ? 4 ? 0 ? y ? ?2.

x+3y-2=0

2

∴ A? 0 , 2? , B?2 , 0? , C ?8 , ? 2? 直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 与 x 轴的交点 D 的坐 标为 ? 4 , 0? .

4.

1 1 因此 S△ ABC ? S△ ABD ? S△BCD ? ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 2 ? 4 . 2 2 (2014 北京理 6) ?x ? y ? 2≥ 0 ? 若 x, y 满足 ?kx ? y ? 2 ≥ 0 ,且 z ? y ? x 的最小值为 ?4 ,则 k 的值为( ?y≥0 ?



A.2

B. ?2

C.

1 2

D. ?

1 2
y 2 kx-y+2=0 x+y-2=0 O 2 2 k x

【解析】 D 若 k ≥ 0 , z ? y ? x 没有最小值,不合题意. 若 k ? 0 ,则不等式组所表示的平面区域如图所示.
? 2 ? 由图可知, z ? y ? x 在点 ? ? ,0 ? 处取最小值. ? k ?

1 ? 2? 故 0 ? ? ? ? ? ?4 ,解得 k ? ? ,即选项 D 正确. 2 ? k?

5.

(2014 北京文 13) y? 1 , ? ? 若x ,y 满足 ? x ? y ? 1? 0 ,则 z ? 3x ? y 的最小值 ? x ? y ? 1… 0, ? ____________.



【解析】 1 6. (2014 大纲理 14 文 15)
?x ? y ≥ 0 , ? 设 x 、 y 满足约束条件 ? x ? 2 y ≤ 3 , 则 x ? x ? 4 y 的最大值为____________. ? x ? 2 y ≤ 1, ?

【解析】 5 7. (2014 大纲文 3) ? ? x ? x ? 2? ? 0 , 不等式组 ? 的解集为( ? ?| x |? 1, A. ?x | ?2 ? x ? ?1? 【解析】 C 8. (2014 福建理 11)

) C. ?x | 0 ? x ? 1? D. ? x | x ? 1?

B. ?x | ?1 ? x ? 0?

? x ? y ? 1≤ 0 ? 若变量 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 8 ≤ 0 ,则 z ? 3x ? y 的最小值为________ ?x ≥ 0 ?

【解析】 1 9. (2014 福建理 13) 要制作一个容器为 4 m 3 ,高为 1m 的无盖长方体容器,已知该容器的底面造价是每平方米 20

元,侧面造价是每平方米 10 元,则该容器的最低总造价是_______(单位:元) 【解析】 160 10. (2014 福建理 21⑶ ) 已知定义在 R 上的函数 f ? x ? ? x ? 1 ? x ? 2 的最小值为 a . ①求 a 的值; ②若 p,, q r 为正实数,且 p ? q ? r ? a ,求证: p2 ? q2 ? r 2 ≥ 3 . 【解析】 ⑴ 因为 x ? 1 ? x ? 2 ≥ ( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 3 , 当且仅当 ?1 ≤ x ≤ 2 时,等号成立. 所以 f ( x) 的最小值等于 3,即 a ? 3 . ⑵ 由⑴知 p ? q ? r ? 3 ,又因为 p,q,r 是正实数, 所以 ( p2 ? q2 ? r 2 )(12 ? 12 ? 12 ) ≥ ( p× 1 ? q× 1 ? r × 1)2 ? ( p ? q ? r )3 ? 9 即 p2 ? q2 ? r 2 ≥ 3 . 11. (2014 福建文 9) 要制作一个容积为 4m3 ,高为 1 m 的无盖长方体容器,已知该溶器的底面造价是每平方米 20 元,侧面造价是每平方米 10 元,则该溶器的最低总造价是( ) A.80 元 B.120 元 C.160 元 D.240 元 【解析】 C 12. (2014 福建文 11) ? x ? y ? 7 ≤ 0, ? 2 2 已知圆 C : ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? 1 ,设平面区域 ? ? ? x ? y ? 3 ≥ 0, ,若圆心 C ? ? ,且圆 C 与 x ?y≥0 ? 轴相切,则 a 2 ? b2 的最大值为( ) A.5 B.29 C.37 D.49 【解析】 C 13. (2014 广东理 3) ? y≤x ? 若变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ≤ 1 ,且 z ? 2 x ? y 的最大值和最小值分别为 m 和 n ,则 ? y ≥ ?1 ?
m ? n ? ()

A.5 B.6 C.7 【解析】 B 14. (2014 广东理 9) 不等式 | x ? 1| ? | x ? 2 |≥ 5 的解集为____________. 【解析】 (?? , ? 3] [2 , ? ?) . 原不等式等价于以下不等式组:
? x ≥1 ??2 ? x ? 1 ? x ≤ ?2 或? 或? ? ?2 x ? 1≥ 5 ?3 ≥ 5 ??2 x ? 1≥ 5

D.8

即 x ≥ 2 或 x ≤ ?3 ,所以原不等式解集为 (?? , ? 3] [2 , ? ?) . 15. (2014 广东文 4)

?x ? 2 y ≤ 8 ? 若变量 x , y 满足约束条件 ?0 ≤ x ≤ 4 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值等于( ?0 ≤ y ≤ 3 ?



A.7 B .8 C.10 D.11 【解析】 C 16. (2014 湖北理 7) ?x ≤ 0 ? x ? y ≤1 ? 由不等式 ? y ≥ 0 确定的平面区域记为 ?1 ,不等式 ? 确定的平面区域记为 ?2 , ? x ? y ≥ ?2 ?y ? x ? 2≤0 ? 在 ?1 中随机取一点,则该点恰好在 ?2 内的概率为( A.
1 8

) D.
7 8
y B 2 C A 2 y x 2=0 2 x+y= 2 D O 1 1 x x+y=1

B.

1 4

C.

3 4

【解析】 D 区 域 ?1 为 直 线 △ A O B及 其 内 部 , 其 面 积
1 S△ AOB ? ? 2 ? 2 ? 2 , 区 域 ? 2 是 直 线 x ? y ? 1 和 2 x ? y ? ?2 夹 成 的 条 形 区 域 . 由 题 意 得 所 求 的 概 率
P? S四边形AODC S△ AOB 1 2? 4 ? 7 .故选 D. ? 2 8

评析 本题考查了可行域和概率的基础知识.正确理 解可行域的概念和掌握概率的求法是求解的关键. 17. (2014 湖北文 4) ? x ? y ≤ 4, ? 若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ≤ 2 , 则 2 x ? y 的最大值是( ? x ≥ 0 ,y ≥ 0 , ?



A.2 B .4 C.7 D.8 【解析】 C 18. (2014 湖北文 16) 某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量 F (单位时间内经过测量点的车辆 数,单位:辆/小时)与车流速度 v (假设车辆以相同速度 v 行驶,单位:米/秒) 、平均车长 l 76000v (单位:米)的值有关,其公式为 F ? 2 . v ? 18v ? 20l ⑴ 如果不限定车型, l ? 6.05 ,则最大车流量为 辆/小时; ⑵ 如果限定车型, l ? 5 , 则最大车流量比⑴ 中的最大车流量增加 辆/小时. 【解析】 ⑴ 1900;⑵ 100 19. (2014 湖南理 13) 5 1? ? 若关于 x 的不等式 | ax ? 2 |? 3 的解集为 ? x | ? ? x ? ? ,则 a =____________. 3 3? ? 【解析】 ?3
? 5 ??3a?2 ?3 ? ? a ? ?3 ,故填 ?3 . 由题可得 ? ?1a?2 ?3 ? ?3 20. (2014 湖南理 14)

?y ≤ x, ? 若变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ≤ 4 ,且 z ? 2 x ? y 的最小值为 ?6 ,则 k ? ____________. ?y≥ k , ?

【解析】 ?2 求出约束条件中三条直线的交点为 ? k, k ?, k? ? 4 ? k,
, 2? , ? 2,

y 4 3 2 1 4 3 2 1 1 2 3 4 1 2 3 4 x

x ? y ≤ 4 的可行域如图, 且 y ≤ x, 所以 k ≤ 2 , 则当
3k ? ?6 ? k ? ?2 , 当 ? 4 ? k, k ? 为最优解时, k? 为 ? k, 最优解时,2 ? 4 ? k ? ? k ? ?6 ? k ? 14 , 因为 k ≤ 2 ,

所以 k ? ?2 ,故填 ?2 . 21. (2014 湖南文 13)
? y≤ x, ? 若变量 x, 满足约束条件 y ? x ? y ≤ 4 ,则 z ? 2 x ? y ? y ≥ 1, ?

的最大值为_________. 【解析】 7 22. (2014 江苏理 21D) 已知 x ? 0 , y ? 0 ,证明: (1 ? x ? y 2 )(1 ? x2 ? y) ? 9 xy .
2 2 3 ? ?1 ? x ? y ≥ 3 1 ? x ? y 【解析】 由均值不等式 ? 2 2 3 ? ?1 ? x ? y ≥ 3 1 ? x ? y 分别当且仅当 x ? y 2 ? 1 , x 2 ? y ? 1 时候等号成立

因此 ?1 ? x ? y 2 ??1 ? x2 ? y ? ≥ 9 3 x3 y 3 ? 9 xy 当且仅当 x ? y ? 1 的时候等号成立 23. (2014 江西理 11⑴ ) 对任意 x,y ? R , | x ? 1| ? | x | ? | y ? 1| ? | y ? 1| 的最小值为() A. 1 B. 2 【解析】 C ∵| x ? 1| ? | x |≥|? x ? 1? ? x |? 1 ,
| y ? 1| ? | y ? 1|≥|? y ? 1? - ? y ? 1?|= 2 ,

C. 3

D. 4

∴| x ? 1| ? | x | ? | y ? 1| ? | y ? 1|≥ 3 . 当且仅当 x ? [0 , 1] , y ?[?1 , 1] 时, | x ? 1| ? | x | ? | y ? 1| ? | y ? 1| 取到最小值 3.故选 C. 24. (2014 江西文 15) x, y ? R ,若 x ? y ? x ? 1 ? y ? 1 ≤ 2 ,则 x ? y 的取值范围为__________. 【解析】 ?0 ,2? 25. (2014 辽宁理 11 文 12) 当 x ? ? ?2 , 1? 时,不等式 ax3 ? x 2 ? 4 x ? 3 ≥ 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是() A. ? ?5 , ? 3? 【解析】 C 26. (2014 辽宁理 16) 对于 c ? 0 ,当非零实数 a , b 满足 4a 2 ? 2ab ? 4b2 ? c ? 0 且使 | 2a ? b | 最大时,
3 4 5 ? ? 的最 a b c

9? ? B. ? ?6 ,? ? 8? ?

C. ? ?6 , ? 2?

D. ? ?4 , ? 3?

小值为____________. 【解析】 ?2 27. (2014 辽宁理 24 文 24) 设函数 f ( x) ? 2 x ? 1 ? x ? 1 . g ( x) ? 16 x2 ? 8x ? 1 .记 f ( x) ≤1 的解集为 M . g ( x) ≤ 4 的解集 为N . ⑴ 求M:
1 2 ⑵ 当 x ∈ M ∩ N 时.证明: x2 f ( x) ? x ? f ( x)? ≤ . 4 ?3x ? 3 , x ? [1, ??) 【解析】 ⑴ f ( x) ? ? ?1 ? x , x ? (?? , 1) 4 4 ,故 1 ≤ x ≤ ; 3 3 当 x ? 1 时,由 f ( x) ? 1 ? x ≤ 1 得 x ≥ 0 ,故 0 ≤ x ? 1 .

当 x ≥ 1 时,由 f ( x) ? 3x ? 3 ≤ 1 得 x ≤

4? ? 所以 f ( x) ≤1 的解集为 M ? ? x | 0 ≤ x ≤ ? 3? ?

1 1 3 ⑵ 由 g ( x) ? 16 x2 ? 8x ? 1 ≤ 4 得 16( x ? )2 ≤ 4 ,解得 ? ≤ x ≤ , 4 4 4 1 3? 3? ? ? 因此 N ? ? x | ? ≤ x ≤ ? ,故 M N ? ? x | 0 ≤ x ≤ ? 4 4 4? ? ? ?

当 x?M
2

N 时, f ( x) ? 1 ? x ,于是
2
2

1 ? 1? 1 x f ( x) ? x ? [ f ( x)] ? xf ( x)[ x ? f ( x)] ? x ? f ( x) ? x(1 ? x) ? ? ? x ? ? ≤ . 4 ? 2? 4

28. (2014 辽宁文 14)
?2 x ? y ? 2 ≥ 0 ? 已知 x , y 满足条件 ? x ? 2 y ? 4 ≥ 0 ,则目标函数 z ? 3x ? 4 y 的最大值为 ? 3x ? y ? 3 ≤ 0 ?



【解析】 18 29. (2014 辽宁文 16) 对于 c ? 0 ,当非零实数 a , b 满足 4a 2 ? 2ab ? 4b2 ? c ? 0 ,且使 | 2a ? b | 最大时, 最小值为 .
1 2 4 ? ? 的 a b c

【解析】 ?1 30. (2014 山东理 5) 已知实数 x, ,则下列关系式恒成立的是( y 满足 a x ? a y ( 0 ? a ? 1 ) A.
1 1 ? x2 ? 1 y 2 ? 1

) D. x3 ? y3

B. ln( x2 ? 1) ? ln( y 2 ? 1)

C. sin x ? sin y

【解析】 D 31. (2014 山东理 9 文 10)

? x ? y ? 1 ≤ 0, y 满足约束条件 ? b ? 0) 在该约束条件下取 已知 x, 当目标函数 z ? ax ? by (a ? 0, ?2 x ? y ? 3 ≥ 0,
到最小值 2 5 时, a 2 ? b2 的最小值为( A.5 B.4 C. 5 ) D.2

【解析】 B ? x ? y ? 1≤ 0 求得交点为 ? 2, 1? ,则 2a ? b ? 2 5 ,即圆心 ? 0, 0 ? 到直线 2a ? b ? 2 5 ? 0 的距 ? ?2 x ? y ? 3 ≥ 0

?2 5? 2 离的平方 ? ,故答案为 B. ? 5 ? ? ?2 ?4 ? ? 32. (2014 山东理 14) b 若 (ax 2 ? )6 的展开式中 x 3 项的系数为 20,则 a 2 ? b2 的最小值为______. x

2

【解析】 2 33. (2014 山东文 5) 已知实数 x , y 满足 a x ? a y (0 ? a ? 1) ,则下列关系式恒成立的是( A. x 3 ? y 3 C. ln( x2 ? 1) ? ln( y 2 ? 1) 【解析】 A 34. (2014 陕西理 15A 文 15A) B. sin x ? sin y D.
1 1 ? 2 x ?1 y ?1
2

)

设 a , b , m , n ? R ,且 a 2 ? b2 ? 5 , ma ? nb ? 5 ,则 m2 ? n2 的最小值为________. 【解析】 5 根据柯西不等式得
m2 ? n2 ? 1 5 ? (m 2 ? n 2 )(a 2 ? b 2 ) ≥ 1 5 ma ? nb ? 5 当 且 仅 当

10 m n 2 时取等号, ? (a ? b2 ? 5,ma ? nb ? 5) ,即 m ? a ? n ? b ? 2 a b

故 m2 ? n2 的最小值为 5 . 35. (2014 陕西理 18) y ) 在 △ ABC 的三边围成 在直角坐标系 xOy 中,已知点 A(1 , 1) , B (2 , 3) , C (3 , 2) ,点 P( x, 的区域(含边界)上. ⑴ 若 PA ? PB ? PC ? 0 ,求 OP ; ⑵ 设 OP ? mAB ? nAC (m , n ? R) ,用 x , y 表示 m ? n ,并求 m ? n 的最大值. uu r uur uuu r 【解析】 ⑴ 解法一:? PA ? PB ? PC ? 0 . uu r uur uuu r 又 PA ? PB ? PC ? (1 ? x, 1 ? y) ? (2 ? x, 3 ? y) ? (3 ? x,2 ? y) ? (6 ? 3x, 6 ? 3 y) .
?6 ? 3x ? 0, ?? 解得 x ? 2,y ? 2 . ?6 ? 3 y ? 0, uuu r uu u r 即 OP ? (2,2) ,故 OP ? 2 2 . uur uu u r uu u r uu u r uuu r uu u r r uu r uur uuu r r 解法二:? PA ? PB ? PC ? 0 ,则 (OA ? OP) ? (OB ? OP) ? (OC ? OP) ? 0 . uuu r uu u r 1 uur uu u r uuu r ?OP ? (OA ? OB ? OC) ? (2,2) .? OP ? 2 2 . 3 uu u r uu u r uuu r y ⑵∵OP ? mAB ? nAC .
B

? x ? n ? 2n, ∴( x,y ) ? (m ? 2n,2m ? n) ,∴? ? y ? 2m ? n,

C A

两式相减得, m ? n ? y ? x . 令 y ? x ? t ,由图知,当直线 y ? x ? t 过点 B (2,3) 时,

y 1 3 2 1 O 1

2

3

x

t 取得最大值 1,
故 m ? n 的最大值为 1.

B C A 1 2 3 x

36. (2014 陕西文 18) , 1),B (2 ,3) ,C (3 ,2) ,点 P ( x,y ) 在 △ ABC 三边围成的区 在直角坐标系 xOy 中,已知点 A(1 uu u r uu u r uuu r 域(含边界)上,且 OP ? mAB ? nAC(m,m∈R) . uuu r 2 ⑴ 若 m ? n ? ,求 OP ; 3 ⑵ 用 x, y 表示 m ? n ,并求 m ? n 的最大值. 【解析】 ⑴∵m ? n ?
2 , AB ? ?1, 2? , AC ? ? 2 , 1? , 3 2 2 ∴OP ? ?1, 2? ? ? 2 , 1? ? ? 2 , 2 ? , 3 3

∴| OP |? 22 ? 22 ? 2 2 . ⑵∵OP ? m ?1, 2? ? n ? 2 , 1? ? ? m ? 2n , 2m ? n ? ,
? x ? m ? 2n, ∴? 两式相减,得 m ? n ? y ? x . ? y ? 2m ? n,

令 y ? x ? t ,由图知,当直线 y ? x ? t 过点 B ? 2 , 3? 时, t 取得最大值 1,故 m ? n 的最大值 为 1. 37. (2014 四川理 4) 若 a ? b ? 0 , c ? d ? 0 ,则一定有( A. 【解析】 D
1 1 a b a b ? ? ? 0 ,又 a ? b ? 0 ,由不等式性质知: ? ? ? ? 0 ,所以 ? d c d c d c 38. (2014 四川理 5 文 6) 执行如图所示的程序框图,如果输入的 x , ) y ? R ,则输出的 S 的最大值为(



a b ? c d

B.

a b ? c d

C.

a b ? d c

D.

a b ? d c

由c?d ?0??

A. 0

B. 1

C. 2
开始

D. 3

输入 x,y



x≥0, y≥0 x+y ≤ 1?



S=2x+y

S=1

输出 S

结束

【解析】 C

?x ≥ 0 ? 当 ?y≥0 时,函数 S ? 2 x ? y 的最大值为 2. ? x ? y ≤1 ? 39. (2014 四川理 14) 设m?R , 过定点 A 的动直线 x ? my ? 0 和过定点 B 的动直线 mx ? y ? m ? 3 ? 0 交于点

P( x , y) ,则 | PA | ? | PB | 的最大值是
【解析】 5 方法 1:



A(0,0) , B(1, 3) ,因为 PA ? PB ,所以 PA ? PB ? AB ? 10 ,

2

2

2

故 PA ? PB ≤ 方法 2:

PA ? PB 2

2

2

? 5 (当且仅当 PA ? PB ? 5 时取“ ? ”)

0),B(1, 3) .设 P( x,y) ,则消去 m 得: x2 ? y 2 ? x ? 3 y ? 0 , 解析:易得 A(0,

所以点 P 在以 AB 为直径的圆上, PA ? PB ,所以 PA ? PB ≤

AB 2

2

?5.

40. (2014 四川文 5) 若 a ? b ? 0 , c ? d ? 0 ,则一定有( ) a b a b A. ? B. ? d c d c a b a b C. ? D. ? c d c d 【解析】 B 41. (2014 四川文 9) 设 m ? R ,过定点 A 的动直线 x ? my ? 0 和过定点 B 的动直线 mx ? y ? m ? 3 ? 0 交于点
P( x,y) ,则 PA ? PB 的取值范围是(

) D. [2 5 , 4 5]

A. [ 5 , 2 5]

B. [ 10 , 2 5]

C. [ 10 , 4 5]

【解析】 B 42. (2014 天津理 2 文 2)
?x ? y ? 2 ≥ 0 , ? 设变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ≤ 0 ,则目标函数 z ? x ? 2 y 的最小值为() ? y ≥1 , ?

A. 2 D.5

B .3

C.4
y x y 2=0 2 1 A O 1 2 1 2 B 3 y=1 x x+y 2=0

【解析】 B 非线性约束条件画出可行域(如图所示) .由
1 1 1 z ? x ? 2 y,得 y ? ? x ? z , z 的几何意义是直 2 2 2
1 1 线 y ? ? x ? z 在 y 轴上的截距,要使 z 最小,需 2 2 1 1 1 使 z 最小,易知当直线 y ? ? x ? z 过点 A (1 , 2 2 2

1)时, z 最小,最小值为 3,故选 B. 43. (2014 天津理 7)

b ? R ,则“ a>b ”是“ a a >b b ”的( 设 a,



A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分又不必要条件 【解析】 C 由 a ? b ,可分三种情况:①a ? b ? 0 ,则 a2 ? a a ? b2 ? b b ②a ? 0 ? b ,则 a a ? 0 ? b b ;③0 ? a ? b ,则 a a ? ?a2 ? ?b2 ? b b , 综上可知, a a ? b b 由 a a ? b b ,亦可分三种情况 ①a a ? b b ? 0 ,由绝对值的非负性知此时 a、b 非负,因此 a 2 ? b 2 ,两边开方得 a ? b ②a a ? 0 ? b b ,此时显然 a ? 0 ? b ③0 ? a a ? b b ,同理可知 a、b 同负,∴?a 2 ? ?b2 , a 2 ? b2 ,即 a ? b ,∴a ? b 综上可知, a ? b 因此 a ? b 是 a a ? b b 的充要条件 44. (2014 新课标 1 理 9) 不等式组 ?

? x ? y ≥1 的解集记为 D .有下面四个命题: x ? 2 y ≤ 4 ?

p1 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ≥ ?2 , p2 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ≥ 2 , p3 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ≤ 3 , p4 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ≤ ?1 .
其中真命题是( A. p2 , p3 ) B. p1 , p2 C. p1 , p4 D. p1 , p3

【解析】 B 45. (2014 新课标 1 理 24 文 24) 若 a ? 0, b ? 0 ,且

1 1 ? ? ab . a b

3 3 ⑴ 求 a ? b 的最小值;

⑵ 是否存在 a, b ,使得 2a ? 3b ? 6 ?并说明理由. 【解析】 ⑴ 由 ab ?
1 1 2 ? ≥ 得 ab ≥ 2 ,当且仅当 a ? b ? 2 时等号成立. a b ab

故 a3 ? b3 ≥ 2 a3b3 ≥ 4 2 ,且当且仅当 a ? b ? 2 时等号成立. 所以 a3 ? b3 的最小值为 4 2 . ⑵ 由⑴ 知, 2a ? 3b ≥ 2 6 ab ≥ 4 3 . 由于 4 3 ? 6 ,从而不存在 a , b 使得 2a ? 3b ? 6 . 46. (2014 新课标 1 文 11)
? x ? y ≥ a, 设 x,y 满足约束条件 ? ,且 z ? x ? ay 的最小值为 7,则 a ? ( ? x ? y ≤ ?1



A. ? 5

B .3

C. ? 5 或 3
y x-y= 1

D.5 或 ?3 【解析】 C 二元一次不等式组表示的平面区域如图所示,其中
a

A

-1

O

a x+y=a

x

? a ?1 a ?1? A? , ?. 2 ? ? 2

1 z 由 z ? x ? ay 得 y ? ? x ? . a a 1 由图可知当 ?1 ≤ ? ≤1 时, z 可取得最小值,此时 a ≥ 1 或 a ≤ ?1 . a 1 z a ?1 a ?1 又直线 y ? ? x ? 过 A 点时, z 取得最小值,因此 ? a? ?7, a a 2 2

化简得 a 2 ? 2a ? 15 ? 0 ,解得 a ? 3 或 a ? ?5 ,均符合题意,故选 C. 47. (2014 新课标 2 理 9) ?x ? y ? 7 ≤ 0 ? 设 x,y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 1 ≤ 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为( ) ?3 x ? y ? 5 ≥ 0 ? A.10 B.8 C.3 【解析】 B 48. (2014 新课标 2 理 24 文 24) 1 设函数 f ? x ? ? x ? ? x ? a (a ? 0) a ⑴ 证明: f ? x ? ≥ 2 ; ⑵ 若 f ? 3? ? 5 ,求 a 的取值范围. 【解析】 ⑴ 由 a ? 0 ,有 f ( x) ? x ? 所以 f ( x) ≥ 2 . ⑵ f (3) ? 3 ?
1 ? 3? a . a
1 1 1 ? x ? a ≥ x ? ? ( x ? a) ? ? a ≥ 2 , a a a

D.2

当 a ? 3 时, f (3) ? a ?

5 ? 21 1 ,由 f (3) ? 5 得 3 ? a ? . 2 a

1? 5 1 ? a≤3 . 当 0 ? a ≤ 3 时, f (3) ? 6 ? a ? .由 f (3) ? 5 得 2 a

? 1 ? 5 5 ? 21 ? 综上, a 的取值范围是 ? . ? 2 , 2 ? ? ? ?

49. (2014 新课标 2 文 9)
? x ? y ? 1≥ 0 ? 设 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ≤ 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最大值为( ?x ? 3y ? 3≥ 0 ?



A. 8 B. 7 C. 2 D. 1 【解析】 B 约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示,
1 z z 1 z 由 z ? x ? 2y , 得 y ? ? x ? , 为直线 y ? ? x ? 在 y 2 2 2 2 2 z 轴上的截距,要使 z 最大,则需 最大,所以当直线 2 1 z y ? ? x ? 经 过 点 B ?3 , 2 ? 时, z 最大,最大值为 2 2
y 3 2 1 -3 -2 -1 O -1 -2 C A 1 2 x B

3 ? 2 ? 2 ? 7 ,故选 B.

50. (2014 浙江理 13)
?x ? 2 y ? 4 ≤ 0 ? 当实数 x , y 满足 ? x ? y ? 1 ≤ 0, 时, 1 ≤ ax ? y ≤ 4 恒成立,则实数 a 的取值范围是____. ?x ≥1 ?
? 3? 【解析】 ?1, ? ? 2?

3? ? 1? 为顶点的三角形区域(包含边界) 不等式组构成以 A ?1,0 ? ,B ?1, ? ,C ? 2 , . 2? ?

又 1 ≤ x ≤ 2 , 所以 1 ≤ ax ? y ≤ 4 转化为 而 k1 ?
k2 ?

y?4 y ?1 恒成立. ≤ ?a ≤ x x

y?4 3 表示可行域内点 P ? x ,y ? 与定点 ? 0 ,4? 连线的斜率,其最大值为 ? .同理, x 2

y ?1 表 示 可 行 域 内 点 P ? x, y? 与 定 点 ? 0 , 1? 连 线 的 斜 率 , 其 最 小 值 为 ?1 , 故 有 x

3 3 ? ≤ ?a ≤ ? 1, 即 1≤ a ≤ . 2 2 51. (2014 浙江理 17) 如图,某人在垂直于水平地面 ABC 的墙面前的点 A 处进行射击训练.已知点 A 到墙面的距离 为 AB , 某目标点 P 沿墙面的射击线 CM 移动, 此人为了准确瞄准目标点 P , 需计算由点 A 观 AC ? 25m, ?BCM ? 30? .则 tan ? 的最大值是 察点 P 的仰角 ? 的大小.若 AB ? 15m, . (仰

角 ? 为直线 AP 与平面 ABC 所成角)
M P B C A

【解析】

5 3 9

过 点 P 作 于 N , 连 结 AN , 则 ?PAN ? ? , 如 图 . 设 PN ? x m , 由 ?BCM ? 30? , 得

CN ? 3x m .在直角 △ ABC 中, AB ? 15m ,AC ? 25m , 则 BC ? 20m ,
故 BN ? 20 ? 3x m . 从而 AN 2 ? 152 故 tan 2 ? ?
3x

?

? ? ? 20 ?

?

2

? 3x 2 ? 40 3x ? 625 ,

PN 2 x2 1 ? ? . AN 2 3x2 ? 40 3 ? 625 625 40 3 ? ?3 x2 x

M P B N θ C

A

1 40 3 4 3 125 3 5 3 25 ? ? 时, tan 2 ? 取最大值 , 即当 x ? 时, tan ? 取值最大值 . x 2 ? 625 125 12 9 27 52. (2014 浙江文 10) 如图,某人在垂直于水平地面 ABC 的墙面前的点 A 处进行射击训练.已知点 A 到墙面的距离 为 AB , 某目标点 P 沿墙面的射击线 CM 移动, 此人为了准确瞄准目标点 P , 需计算由点 A 观



察 点 P 的 仰 角 ? 的 大 小 ( 仰 角 ? 为 直 线 AP 与 平 面 ABC 所 成 角 ). 若 AB ? 15m, AC ? 25m, ?BCM ? 30? .则 tan ? 的最大值是( )
M P B C A

A.

30 5

B.

30 10

(第10题图)

C.

4 3 9

D.

5 3 9

【解析】 D Q x ? m, 如图, 过 P 作 PQ ? BC 于 Q , 则 PQ ? 平面 ABC , 所以 ?PAQ ? ? , 设P 则 CQ ? 3x m ,
BC ? 252 ? 152 ? 20m , BQ ? 20 ? 3x m ,∴

?

?

AQ ? 152 ? 20 ? 3x
tan ? ? x

?

?

2

? 625 ? 40 3 ? 3x2 m ,所以
? 1 625 40 3 ? ?3 x2 x
2

625 ? 40 3x ? 3x



2

? 4 3 ? 27 625 40 3 8 3 25 设 ? 3 ? t2 ? t ?3?? ? t ,则 2 ? ?t ? 5 ? ? ? 25 , x x 5 x ? ?
即 tan ? 取得最大值
25 5 3 ? ,故选 D. 27 9
M B A P Q C

53. (2014 浙江文 12)
? x ? 2 y ? 4 ≤ 0, ? 若实数 x ,y 满足 ? x ? y ? 1 ≤ 0, 则 x ? y 的取值范围是____________. ? x ≥1 , ?

【解析】 ?1 , 3? 画出可行域如图, 可 行 域 为 △ ABC 的 内 部 及 其 边 界 . 设 x ? y ? t , 则 y ? ? x ? t,t 的几何意义为直线 y ? ? x ? t 在 y 轴上的截 距,当直线通过点 A、 B 时, t 取得最小值与最大值,可 求 得 A、 B 两 点 的 坐 标 分 别 为 ?1, 0? 和 ? 2 , 1? , 所 以
1 ≤ t ≤ 3 ,即 x ? y 的取值范围是 ?1 , 3? .
y x=1 2 C B O A -1 x-y-1=0 4 x x+2 y 4=0

54. (2014 浙江文 16) b, c 满足 a ? b ? c ? 0,a 2 ? b2 ? c2 ? 1 ,则 a 已知实数 a , 的最大值是 ____________. 【解析】
6 3

2 2 ∵b2 ? c 2 ≥ 2bc , 即 2 ?b2 ? c ∴b 2 ? c 2 ≥ c ? 2bc ? ?b ? c ? , ? ≥2b ? 2

?b ? c ?
2

2

, 由a ?b?c ? 0 ,

2 2 1 , 得 1 ? a 2 ? b 2? c ≥ 得 b ? c ? ? a , 由 a 2 ? b 2? c ?

?b ? c ?
2

2

?

a2 2 , ∴ a2 ≤ , ∴ 2 3

6 6 6 ≤a≤ ,故 a 的最大值为 . 3 3 3 55. (2014 重庆理 16) 1 若不等式 2 x ? 1 ? x ? 2 ≥ a2 ? a ? 2 对任意实数 x 恒成立, 则实数 a 的取值范围是_________. 2 ?
? 1? 【解析】 ? ?1, ? ? 2? 56. (2014 重庆文 9) 若 log4 ?3a ? 4b? ? log2 ab, 则 a ? b 的最小值是()

A. 6 ? 2 3 【解析】 D

B. 7 ? 2 3

C. 6 ? 4 3

D. 7 ? 4 3


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