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2.2.4


第二章

点、直线、平面之间的位置关系

2.2.4

平面与平面平行的性质

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点、直线、平面之间的位置关系

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学习目标

重点难点 重点:对面面平行性质定理的理解.

难点:空间平行关系的

相互转化.

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点、直线、平面之间的位置关系

新知初探思维启动
平面与平面平行的性质定理 (1)文字语言:如果两个平行平面同时和第三个平面 相交 ,那么它们的交线______ 平行 . ______ ∥ , ∥ . (2)符号语言: α____β α∩γ=a, β∩γ=b?a_____b (3)图形语言:

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点、直线、平面之间的位置关系

想一想两个平面平行,那么,两个平面内的所有直线都

相互平行吗?
提示:不一定.它们可能异面.

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点、直线、平面之间的位置关系

做一做 ( ) ① a ∥ b;

1.若α∥β,a?α,b?β,下列几种说法中正确的是

②a与β内无数条直线平行; ③a与β内的任何一条直线都不垂直; ④a∥β. A.①② B.②④

C.②③

D.①③④

解析:选B.②④正确. 2.若平面γ∩β=a,γ∩α=b(三平面不相交于一条直线),

则a,b的位置关系是________.
答案:平行或相交
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典题例证技法归纳
【题型探究】 题型一
例1

面面平行的性质定理的理解

下列说法不正确的是( ) A.两个平面α∥β,直线a∥α,则a∥β B.两个平面α∥β,则α内任意一条直线都平行于β C.一个三角形有两条边所在直线平行于一个平面,那 么三角形所在平面与这个平面平行 D.分别在两个平行平面内的直线只能是平行或异面

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点、直线、平面之间的位置关系

【解析】

对于A,可能a∥β,或a?β,故A不正确;对

于B,依据面面平行性质可知B是正确的;对于C,由于

三角形的两边所在直线相交,所以据面面平行判定定理
可知是正确的;对于D,由面面平行及直线位置关系定 义可知也是正确的,故选A. 【答案】 A 平行关系的本质在于两几何图形间无公 【名师点评】

共点,抓住此点,平行关系的辨析则可应付自如.

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点、直线、平面之间的位置关系

跟踪训练
1.已知a,b表示直线,α、β、γ表示平面,下列推理正确
的是( ) A.α∩β=a,b?α?a∥b B.α∩β=a,a∥b?b∥α且b∥β C.a∥β,b∥β,a?α,b?α?α∥β D.α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥b 解析:选D.A中α∩β=a,b?α,则a,b可能平行也可能相 交;B中α∩β=a,a∥b,则可能b∥α且b∥β,也可能b在 平面α或β内;C中a∥β,b∥β,a?α,b?α,根据面面平行 的判定定理,需再加上条件a∩b=A,才能得出α∥β.D为 面面平行性质定理的符号语言.
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题型二
例2

由面面平行证线线平行

如图,已知α∥β,点P是平面α,β外的一点(不

在α与β之间),直线PB,PD分别与α,β相交于点A,B
和C,D. (1)求证:AC∥BD;

(2)已知PA=4,AB=5,PC=3,求PD的长.

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点、直线、平面之间的位置关系

【解】 (1)证明:∵PB∩PD=P, ∴直线 PB 和 PD 确定一个平面 γ, 则 α∩ γ= AC, β∩ γ= BD. 又 α∥ β,∴ AC∥ BD. (2)由 (1)得 AC∥ BD, PA PC 4 3 15 ∴ = ,∴ = ,∴ CD= , AB CD 5 CD 4 27 ∴ PD=PC+ CD= . 4

【名师点评】 本题实质是利用面面平行的性质定理证 明线线平行,关键是要明确 PB, PD 确定一个平面.

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互动探究
2.在本例中,若P在α与β之间,在第(2)问条件下求CD 的长. 解:如图,∵ PB∩ PC= P, ∴ PB, PC 确定平面 γ, γ∩ α= AC, γ∩ β= BD. 又 α∥ β,∴ AC∥ BD,∴△ PAC∽△ PBD, PA PC PA PC ∴ = ,即 = . PB PD AB- PA PD 4 3 3 ∴ = ,∴ PD= . 5- 4 PD 4 3 15 ∴ CD=PC+PD= 3+ = . 4 4
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题型三
例3

由面面平行证线面平行

如图,正方体ABCD-A′B′C′D′中,点E在AB′ 法一:作FH∥AD交AB于H,连接HE.如图

上,点F在BD上,且B′E=BF.求证:EF∥平面BB′C′C.
【证明】 所示.∵AD∥BC,∴FH∥BC.

又FH?平面BB′C′C,BC?平面BB′C′C,
∴FH∥平面BB′C′C.

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BF BH 由 FH∥ AD,可得 = , BD BA B′ E BH 又 BF= B′ E, BD= AB′,∴ = .∴ EH∥ B′ B. B′ A BA 又 EH?平面 BB′ C′ C, B′ B?平面 BB′ C′ C, ∴ EH∥平面 BB′ C′ C. 又 EH∩ FH= H,∴平面 FHE∥平面 BB′ C′ C. 又∵ EF?平面 FHE,∴ EF∥平面 BB′ C′ C.

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法二:连接 AF 并延长交 BC 于点 M,连接 B′ M.如图所示. ∵ AD∥ BC,∴△ AFD∽△ MFB. AF DF ∴ = . MF BF 又∵ BD= B′ A, B′ E= BF, AF AE ∴ DF= AE.∴ = . FM EB′ ∴ EF∥ B′ M. 又 EF?平面 BB′ C′ C, B′ M?平面 BB′ C′ C, ∴ EF∥平面 BB′ C′ C.

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【名师点评】

法一利用了面∥面的性质:找过EF的平

面与BB′C′C平行.法二利用了线面平行的判定定 理:在平面BB′C′C中找到与EF平行的线B′M.

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跟踪训练
3.如图所示,AB与CD是夹在两个平行平面α与β之间的
线段,且直线AB与CD是异面直线,M与P分别为线段 AB与CD的中点.求证:直线MP∥平面β.

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证明:如图所示,过点 A 作 AE∥ CD,且 AE 交平面 β 于 E, 连接 DE 与 BE. ∵ AE∥ CD,∴由 AE 与 CD 可以确定一个平面 γ, 则 α∩ γ= AC, β∩ γ= DE. ∵ α∥ β,∴ AC∥ DE. 取 AE 的中点 N,连接 NP 与 MN,如图所示.

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∵ M 与 P 分别为线段 AB 与 CD 的中点, ∴ NP∥ DE, MN∥ BE. 又∵ NP?平面 β, DE?平面 β, MN?平面 β, BE?平面 β, ∴ NP∥平面 β, MN∥平面 β. ∵ NP∩ MN= N,∴平面 MNP∥平面 β. ∵ MP?平面 MNP,∴ MP∥平面 β.

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【方法感悟】
1.证明线面平行的方法(1)应用线面平行的定义; (2)应用线面平行的判定定理;(3)应用面面平行的性质定 理,即“两个平面平行时,其中一个平面内的任意一条 直线都平行于另一个平面.” 2.三种平行关系间的转化

线线平行、线面平行、面面平行这三种关系是紧密相连
的,可以进行任意转化,相互间的转化关系如下:

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因此要判定某一平行关系的过程就是从一平行关系出发不断 转化的过程,在证明问题时要切实把握这一点,灵活地确定 转化思路和方向.

3.常用的面面平行的几个性质
(1)两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另 一个平面.

(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等.
(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. (4)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例.

(5)如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面互
相平行.
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易错警示
例4 以特殊代替一般,以偏概全致误 已知α∥β,AB,CD是夹在α与β间的两条线段,

点E,F分别在AB,CD上,且AE∶EB=CF∶FD= m∶n,求证:EF∥α,EF∥β. 【常见错误】 容易利用图(1)或图(2)中的特殊图形代替 一般证明,对AB与CD异面这种更一般的情形缺乏分 析,由此产生特殊代替一般的证明错误.

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【证明】

当AB,CD共面时,如图(1)、图(2)所示,根

据平行线分线段成比例定理,知EF∥AC,EF∥BD,立 即推出EF∥α,EF∥β;当AB,CD异面时,如图(3)所 示,过点A作AG∥CD交平面β于点G,连接DG,过点F 作FH∥AC交AG于点H,连接HE.由α∥β,知AC∥GD, 则HF∥GD,所以HF∥β;由于AC∥HF∥GD,故 CF∶FD=AH∶HG=m∶n=AE∶EB,则EH∥BG,所 以EH∥β.综上,可知平面EFH∥平面β,又α∥β,故平 面EFH∥平面α.由于EF?平面EFH,故EF∥α,EF∥β.

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【失误防范】

在立体几何中当已知两条直线时,要充

分考虑到这两条直线的各种位置关系,不要只考虑两条 直线共面的情况,还要把它们异面的情况考虑进去.由 于空间图形位置关系的多样性,就导致了部分考生仅仅 凭借这种多样位置关系的一种解决问题的情况,导致解 答不全.

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