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中考数学竞赛讲座及练习 第9讲 “设而不求”的未知数


第九讲 “设而不求”的未知数
让我们先看一道简单的数学题. 例 1 一个直角三角形的周长是 2 ? 6 ,斜边上的中线长是 1,求这个三角形的面积.

所谓“设而不求”的未知数,又叫辅助元素,它 是我们为解决问题增设的一些参数,它能起 到沟通数量关系,架起连接已知量和未知量的桥梁作用. 例2若

x y z ? ? , 求 x+y+z 的值. a?b b?c c?a

例 3 已知 p,q,r 都是 5 的倍数,r>q>p,且 r=p+10,试求

( p ? q)( p ? r ) 的值 q?r

例 4 若使

n ? 13 为可约分数,则自然数 n 的最小值应是多少? 5n ? 6

例 5 甲、乙、丙、丁四人,每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为 29,23,21 和 17, 这 四人中最大年龄与最小年龄的差是多少?

说明 此题不必求出 a,b,c,d 的值,只须比较一下,找出最大者与最小者是谁,作差即可 求解. 例 6 设有 n 个数 x1, x2,?,xn,它 们的值只能是 0,1,2 三个数中的一个,如果记
2 2 2 f1 ? x1 ? x2 ? x3 ? ?? xn , f 2 ? x12 ? x2 ? x3 ? ? ? xn

试用 f1 和 f 2 表示 f k ? x1 ? x2 ? x3 ? ?? xn
k k k

k

1

例 7 设自然数 62?? 427为 99 的倍数,试求 ?,?

例 8 我手中的卡片上写有一个三位数,并且个位 数不为零,现将个位与百位数字对调,取两 数的差(大数减小数),将所得差的三位数与此差的个位、百位数字对调后的三位数相加,最后的 和是多少?

在列方程解应用题中,更是经常用到增设参数的方法,下面再举几个例题. 例 9 从两个重量分别为 12 千克(kg)和 8 千克, 且含铜的百分数不同的合金上切下重量相等的 两块,把所切下的每块和另一块剩余的合金放在一起,熔炼后两个合金含铜的百分数相等.求所 切下的合金的重量是多少千克?

说明 在解含参 数的方程时,一般情况下可以把参数消去,转化成只含有待求未知数的一般方 程,也就是说应用题的解答与参数的数值无关. 例 10 某队伍长 1998 米(m),在行进中 排尾的一个战士因事赶到排头,然后立即返回,当这个 战士回到排尾时,全队已前进 1998 米,如果队伍和这个战士行进的速度都不改变,求这个战士走 过的路程.

说明 在同一 个问题中,由于考虑问题的角度不同,所以增设的参数也会有所不同(如上例中 的两种解法). 练习九

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字),又 N 是 4 的 倍数,且 N 被 11 除余 5,那么 x+y 等于多少? 4.五个人要完成某项工作,如果甲、乙、丙三人同时工作需 6 小时;甲、丙、戊三人同时工 作需 3 小时;甲、丙、丁三人同时工作需 7.5 小时;乙、丙、戊同时工作,需用 5 小时,问五个 人同时工作需用多少小时完成? 5.公共汽车每隔 x 分钟(min)发车一次,小红在大街上行走,发现从背后每隔 6 分钟开过来一辆 公共汽车,而每隔 4 则 x 为多少?

1 3

2 分钟迎面驶来一辆公共汽车,如果公共汽车与小红行进的速度都是匀速的, 7

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