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2014届高三数学第一轮总复习


2014 届高三数学第一轮总复习
集合 不等式的解法与简易逻辑
本章复习建议:解不等式是高中数学的主要工具之一,建议将第六章“不等式”拆开,把不等式的解法安排在第一章. 一 考试内容: (1) 集合、子集、补集、交集、并集. (2)不等式的解法.含绝对值的不等式. (3)逻辑联结词.四种命题.充分条件和必要条件. 二 考试要求: (1)理解集合、子集、补集、交

集、交集的概念.了解空集和全集的意义.了解属于、包含、相等关系的意义.掌握有关 的术语和符号,并会用它们正确表示一些简单的集合. (2)掌握简单不等式的解法. (3)理解逻辑联结词"或"、"且"、"非"的含义.理解四种命题及其相互关系.掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义.

g3.1001 集合的概念和运算
一、知识回顾: 基本概念:集合、元素;有限集、无限集;空集、全集;符号的使用. 集合的表示法:列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征:确定性、互异性、无序性. 集合间的交、并、补运算. 集合运算的性质; 集合的分类、特性、表示法、常用数集专用符号; 元素与集合、集合与集合的关系; 集合的文氏图、数轴法表示的应用.

交:A ? B ? {x | x ? A, 且x ? B} 并:A ? B ? {x | x ? A或x ? B} 补:C U A ? {x ?U , 且x ? A}
主要性质和运算律 包含关系:

A ? A, ? ? A, A ? U , C U A ? U , A ? B, B ? C ? A ? C; A ? B ? A, A ? B ? B; A ? B ? A, A ? B ? B.

等价关系: A ? B ? A ? B ? A ? A ? B ? B ? C U A ? B ? U 集合的运算律:(注意结合“文氏图”) 交换律: A ? B ? B ? A; A ? B ? B ? A. 结合律: ( A ? B) ? C ? A ? ( B ? C ); ( A ? B) ? C ? A ? ( B ? C ) 分配律:. A ? ( B ? C ) ? ( A ? B) ? ( A ? C ); A ? ( B ? C ) ? ( A ? B) ? ( A ? C )

0-1 律: ? ? A ? ?, ? ? A ? A,U ? A ? A,U ? A ? U 等幂律: A ? A ? A, A ? A ? A. 求补律:A∩?A=φ A∪?A=U ?U=φ ?φ =U ?(?A)=A U U U U U U 反演律:?(A∩B)= (?A)∪(?B) ?(A∪B)= (?A)∩(?B) U U U U U U 有限集的元素个数 定义:有限集 A 的元素的个数叫做集合 A 的基数,记为 card( A)规定 card(φ ) =0. 基本公式: (1、2、3、5 了解;4 要记住)

(1)card ( A ? B) ? card ( A) ? card ( B) ? card ( A ? B) (2)card ( A ? B ? C ) ? card ( A) ? card ( B) ? card (C ) ? card ( A ? B) ? card ( B ? C ) ? card (C ? A) ? card ( A ? B ? C )
(3) card(?A)= card(U)- card(A) U (4)设有限集合 A, card(A)=n,则 (ⅰ)A 的子集个数为 2 ;
n n

(ⅱ)A 的真子集个数为 2 ? 1 ;
n
n

(ⅲ)A 的非空子集个数为 2 ? 1 ;(ⅳ)A 的非空真子集个数为 2 ? 2 . (5)设有限集合 A、B、C, card(A)=n,card(B)=m,m<n,则
n? m (ⅰ) 若 B ? C ? A ,则 C 的个数为 2 ; n ?m ?1 ; (ⅱ) 若 B ? C ? A ,则 C 的个数为 2 n ?m ?1 ; (ⅲ) 若 B ? C ? A ,则 C 的个数为 2 n ?m ?2. (ⅳ) 若 B ? C ? A ,则 C 的个数为 2

二、基础训练 1. ( 04 年 全 国 Ⅰ 理 ) 设 A 、 B 、 I 均 为 非 空 集 合 , 且 满 足 A ? B ? I , 则 下 列 各 式 中 错 误 的 是 ( B ) (A) (CI A) ? B ? I (C) A ? (C I B) ? ? (B) (C I A) ? (C I B) ? I (D) (CI A) ? (C I B) ? CI B

2.(05 全国卷Ⅰ)设 I 为全集, S1、S 2、S3 是 I 的三个非空子集,且 S1 ? S 2 ? S 3 ? I ,则下面论断正确的是(C) (A) CI S1 ? S 2 ? S3) ? ( ? (C) CI S1 ? CI S 2 ? CI S 3) ? ?

( (B) S1 ? CI S2 ? CI S3) ( (D) S1 ? CI S2 ? CI S3)

3.(05 湖北卷)设 P、Q 为两个非空实数集合,定义集合 P+Q= {a ? b | a ? P, b ? Q}, 若P ? {0,2,5}, Q ? {1,2,6} ,则 P+Q 中元素的个数是 ( B )

A.9 B.8 C.7 D.6 4.设集合 A 和 B 都是坐标平面上点集{(x,y)︳x∈R,y∈R},映射 f: A→B 把集合 A 中的元素(x,y)映射成集合 B 中的元素 (x+y,x-y),则在映射 f 下,象(2,1)的原象是 ( ) (A)(3,1) (B) (

3 1 3 1 , ) (C)( ,? ) (D)(1,3) 2 2 2 2

5.(04 年北京理)函数 f ( x) ? ?

x?P ? x ,其中 P、M 为实数集 R 的两个非空子集,又规定 f(P)={y︱y=f(x),x∈P}, ?? x x ? M
B )

f(M)={y︱y=f(x),x∈M}.给出下列四个判断,其中正确判断有 ( ①若 P∩M= ? 则 f(P)∩f(M)= ? ②若 P∩M≠ ? 则 f(P)∩f(M)≠ ? ③若 P∪M=R 则 f(P)∪f(M)=R ④若 P∪M≠R 则 f(P)∪f(M)≠R A 1个 B 2个 C 3个 D 4个

2 6.(06 安徽卷)设集合 A ? x x ? 2 ? 2, x ? R , B ? y | y ? ? x , ?1 ? x ? 2 ,则 CR ? A ? B? 等于(

?

?

?

?



A. R

B. x x ? R, x ? 0

?

?

C. ?0?

D. ?

解: A ? [0, 2] , B ? [?4, 0] ,所以 CR ? A ? B ? ? CR{0},故选 B。 7(06 卷)若 A、B、C 为三个集合, A ? B ? B ? C ,则一定有 (A) A ? C (B) C ? A (C) A ? C (D) A ? ?

【思路点拨】本题主要考查.集合的并集与交集运算,集合之间关系的理解。 【正确解答】因为 A ? A ? B且C ? B ? C A ? B ? C ? B 由题意得 A ? C 所以选 A 【解后反思】对集合的子、交、并、补运算,以及集合之间的关系要牢固掌握。本题考查三个抽象集合之间的关系,可以 考虑借助与文氏图。 8.(06 卷 I)设集合 M ? x x ? x ? 0 , N ? x x ? 2 ,则
2

?

?

?

?

A. M ? N ? ?

B. M ? N ? M

C. M ? N ? M

D. M ? N ? R

解: M ? x x ? x ? 0 = {x | 0 ? x ? 1} , N ? x x ? 2 = {x | ?2 ?
2

?

?

?

?

x ? 2} ,

∴ M ? N ? M ,选 B. 9.(06 重庆卷)已知集合 U={1,2,3,4,5,6,7}, A={2,4,5,7},B={3,4,5},则( uA)∪( uB)= (A){1,6} (B){4,5} (C){1,2,3,4,5,7} (D){1,2,3,6,7}

解析:已知集合 U ? ? ,2,3,4,5,6,7? A ? ?2,4,5,7? B ? ? ,4,5?,( uA) ={1,3,6},( uB) ={1,2,6,7},则( uA)∪( uB) 1 , , 3 ={1,2,3,6,7},选 D. 10. (06 辽宁卷)设集合 A ? {1, 2},则满足 A ? B ? {1, 2,3} 的集合 B 的个数是 (A)1 (B)3
2

(C)4

(D)8

【解析】 A ? {1, 2}, A ? B ? {1, 2,3} ,则集合 B 中必含有元素 3,即此题可转化为求集合 A ? {1, 2}的子集个数问题,所 以满足题目条件的集合 B 共有 2 ? 4 个。故选择答案 C。 三、例题分析 例 1.已知集合 A= ?x ? y, x ? y, xy?,B= x ? y , x ? y ,0 ,A=B,求 x,y 的值。
2 2 2 2

?

?

2 2 2 例 2.已知集使 A= y y ? (a ? a ? 1) y ? a (a ? 1) ? 0 ,

?

?

B= ? y y ?

? ?

? 1 2 5 x ? x ? ,0 ? x ? 3? ,A∩B=φ ,求实数 a 的取值范围. 2 2 ?

2 3 2 例 3.已知函数 y=3x+1 的定义域为 A= ?3, b, c, d ? ,值域为 B= 4, 7, a ? 3a, a ? 5a ? 2a ? 20 求 a+b+c+d.

?

?

课堂练习 1.设集合 M={a,b},则满足 M∪N ? {a,b,c}的集合 N 的个数为 A.1 B.4 C.7 2.设 S 为全集, B ? A ? S ,则下列结论中不正确的是 A. CS A ? CS B B. A ? B ? B
2

( D.8 (

) )

C. A ? CS B) ? ( ?

D. CS A) B ? ? (04 山东) ( ?

3.已知集合 A={x|x -5x+6=0},B={x|mx+1=0},且 A∪B=A,则实数 m 组成的集合___________. 4.设集合 P={a,b,c,d},Q={A|A P},则集合 Q 的元素个数__________________. 5.定义 A-B={x|x∈A 且 x ? B},若 M={1,2,3,4,5},N={2,3,6},则 N-M 等于 ( ) A.M B.N C.{1,4,5} D.{6} 五、作业 六、知识扩充:

(1) 、已知集合 A= x 使y ? a ax ? x 2 有意义 ,集合 B= y 使y ? a ax ? x 2 有意义 ,A=B 是否可能成立?如可能成立, 求出使 A=B 的 a 的取值范围,如不可能成立,说明理由.

?

?

?

?

(2) 、定义域为 x x ? R, 且x ? 0 的奇函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增,而 f(1)=0,设函数 g(x)=sin x+kcosx-2k(x
2

?

?

∈[0,

? ])集合 M= ?k 使g ( x) ? 0? N= ?k 使f [ g ( x )] ? 0? ,求 M∩N. 2

七:自我思考与体会:


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