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上海西南模2011学年度第一学期高二数学摸底试卷


上海西南模 2011 学年度第一学期高二数学摸底试卷 (时间:60 分钟,总分 100)
友情提示:各位同学,快乐的暑假结束了,今天,你将迎来新学期的第一场考试! 祝你:诚实守信,沉着冷静,细致踏实,自信自强,去迎接胜利!
一、填空题(每小题 4 分,共 48 分) 1. 化简 cos ? cos?? ?

? ?

?

?

?? ? ? + sin ? sin?? ? ? ,得其结果为 3? 3? ?

姓名

2. 在等差数列 ?bn ? 中, b1 ? b2 ? 3 , b3 ? 5 ,则数列的公差 d ? ___________. 3. 在数列 ? an ? 中,已知 a1 ? a2 ? 1 , an ? 2 ? an ?1 ? an

? n ? N ? ,则 a
*

6

? ___________.

4. 若数列 ? an ? 的前 n 项和 Sn ? 3 n ,则数列的通项公式是___________. 5. 若 6.

?? tan ? ? 1 ? ? 3 ,则 tan ? ? ? ? ? ___________. 4? tan ? ? 1 ?
?

若 f (cos x) = cos 2 x ,则 f (sin15 ) =

. .

7. 若∠A 为三角形的内角,则 sin A + cos A 的取值范围是

8. 若数列 ? an ? 的前 n 项和 Sn ? n 2 ? 3n ? 2 ,则数列的通项公式是___________.

学号

9.

.已知:数列为:

12 1 3 2 1 4 3 2 1 , , , , , , , , ...... 则 a2012=_________. 1, 1 2 1 2 3 1 2 3 4
0

10. △ABC 中,A=60 ,b=1, S△ABC= 3 ,求

11. 将集合 n | n ? 2 ? 2 ,0 ? r ? s, r , s ? N 中的元素从小到大排列, 组成数列 ?a n ?, a100 = 求
r s

?

a?b?c = sin A ? sin B ? sin C

?

12. 公差为 d ,各项均为正整数的等差数列中,若 a1 ? 1 , a n ? 51 ,则 n ? d 的最小值等 于 .

二、选择题(每小题 3 分,共 12 分) 13. 函数 y ?

2 sin 2 x cos 2 x 是
(B) 周期为





? 的奇函数; 2 ? (C) 周期为 的奇函数; 4
(A) 周期为

? 的偶函数; 2 ? (D) 周期为 的偶函数. 4

班级

14. 用数学归纳法证明 1 ? 2 ? ? ? ? n ? 1? ? n ? ? n ? 1? ? ? ? 2 ? 1 ?
2 2 2 2 2 2 2

n ? 2n 2 ? 1? 3

时, “ k 从

到 k ? 1 ”左边需增加的代数式是 (A)


2 (B) k ? ? k ? 1? 2



? k ? 1?

2

2 (C) 2k ? ? k ? 1?

2

2 (D) 2k ? 2 ? k ? 1?

2

15.若不等式 ( ?1) n a ? 2 ?
3? ? A. ? ? 2, ? 2? ?

( ?1) n?1 对于任意正整数 n 恒成立,则实数 a 的取值范围是( n 3? 3? 3? ? ? ? B. ? ? 2, ? C. ? ? 3, ? D. ? ? 3, ? 2? 2? 2? ? ? ?
n ?1



?2? 16.已知数列 ?an ? 的通项为 an ? ? ? ?3?
A. 最大项为 0,最小项为 ?

?? 2 ? n ?1 ? ? ?? ? ? 1? ,下列表述正确的是( ?? 3 ? ? ? ?
B. 最大项为 0,最小项不存在



20 81 20 81

C. 最大项不存在,最小项为 ?

D. 最大项为 0,最小项为 a4

三、解答题(第 17 题 8 分,18,19,题各 10 分, 第 20 题 12 分) 17. (1)设等差数列{a n }的前 n 项的和为 S n ,已知 a 3 =12, S 12 >0,S 13 <0,指出 S 1 ,S 2 ,?, S 12 中哪一个值最大,并说明理由。 (2)等比数列 ?an ? 的首项 a1 ? 1536 ,公比 q ? 大值时 n 的值为多少? 并说明理由。

1 ,用 T n 表示它的前 n 项之积,则 Tn 取得最 2

18.(1)已知△ABC 三边 a, b, c 成等差数列,求 B 的范围; (2)已知△ABC 三边 a, b, c 成等比数 列,求角 B 的取值范围.

19. 成等差数列的三个正数的和等于 15, 并且这三个数分别加上 2、 13 后成为等比数列 ? b n ? 中 5、 的 b 3 、 b 4 、 b 5 。 (I) 求数列 ? b n ? 的通项公式; (II) 数列 ? b n ? 的前 n 项和为 S ,求证:数列 ? S n ?

n

? ?

5? ? 是等比数列。 4?

20.已知首项为 x1 的数列 { x n } 满足 xn ?1

?

axn ( a 为常数) 。 xn ? 1

(1)若对于任意的 x1 (2)当 a

? ?1 ,有 xn ?2 ? xn 对于任意的 n ? N * 都成立,求 a 的值;

? 1 时,若 x1 ? 0 ,数列 { x n } 是递增数列还是递减数列?请说明理由; ? 2 时,通过对数列 { x n } 的探究,写出“ { x n } 是有穷数

(3)当 a 确定后,数列 { x n } 由其首项 x1 确定,当 a 列”的一个真命题(不必证明) 。

说明:对于第 3 题,将根据写出真命题所体现的思维层次和对问题探究的完整性,给予不同的评分。

参考答案
一、 填空题 1.

1 2

2.

7 3
3 2

3.5

4.an= ?

?3 ?2 * 3
n ?1

5. 3

6.-

7. ( -1,

n ?1 ?6 , 2 ] 8 . an ? ? ? 2n ? 2 , n ? 2

9.

5 59

10.

2 39 3

11.28+214 =16640

12.16

二、 选择题 13.A 14.B 15,A 16 A

三、 解答题 17. (1)n=6 (2)n=11

18: (1)由△ABC 的三边 a, b, c 成等差数列,则 2b ? a ? c , cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 ,消去 b 化得 2ac

cos B ?

3(a 2 ? c 2 ) 1 6ac 1 1 ? ? ? ? ? .所以 B ? (0, ] . 8ac 4 8ac 4 2 3

(2)同样可以求得 B ? (0,

?
3

].

19.解:(I)设成等差数列的三个正数分别为 a ? d , a, a ? d ;则 a ? d ? a ? a ? d ? 15 ? a ? 5 ; 数列 ? b n ? 中的 b 3 、 b 4 、 b 5 依次为 7 ? d ,10,18 ? d ,则 (7 ? d )(18 ? d ) ? 100 ; 得 d ? 2 或 d ? ?13 (舍) ,于是 b3 ? 5, b4 ? 10 ? bn ? 5 ? 2
n?3

(II) 数列 ? b n ?

5 n ?1 5 5 n ?2 n?2 4 ? 5? 2 ? 2 的前 n 项和 Sn ? 5 ? 2 ? ,即 Sn ? ? 5 ? 2 ? 5 5 ? 2n?2 4 4 Sn ? 4 Sn?1 ?
5 4 ? ? 是公比为 2 的等比数列。 ?

因此数列 ? S n ?

? ?

(注:本题中数据由数表中的值推测得到,由于每个人的理解不同,允许数据之间有误差) 20.23、 (1) a ? ?1;????2′ (2)数列 { x n } 是递减数列;?????????4 (3)①数列 { x n } 满足 x n ?1 ?

2 xn 1 ,若 x1 ? ,则数列 { x n } 是有穷数列;???2′ xn ? 1 7

②数列 { x n } 满足 x n ?1 ?

2 xn ,若,则数列 { x n } 是有穷数列;?3 xn ? 1

③ 数列 { x n } 满足 x n ?1 ?

2 xn * , 则数 列 { x n } 是有 穷数列的 充要条 件是存 在 m? N ,使 得 xn ? 1

x1 ?

1 ;??5′ 1 ? 2m
2 xn ,则数列 { x n } 是有穷数列且项数为 m 的充要条件是 xn ? 1

④数列 { x n } 满足 x n ?1 ?

x1 ?

1 , m ? N * ??6′ m 1? 2

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