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必修4


三角恒等变换练习题
一、选择题 1.已知 x ∈ ( ? A.
7 24

9. sin163 sin 223 + sin 253 sin 313 = (
o o o o

) D.

A. ?

π
2

1 2

B.



1 2

C. ?

3 2
) D.

3 2

, 0) , cos x =
B. ?
7 24

4 ,则 tan 2 x = ( 5
C.
24 7


24 7

D. ?

10.已知 sin( A.

π

19 25

3 ? x) = , 则 sin 2x 的值为( 4 5 16 14 B. C. 25 25

7 25
)
17 3

2.函数 y = 3sin x + 4 cos x + 5 的最小正周期是( A.

) 11.若 α ∈ (0, π ) ,且 cos α + sin α = ?
17 9

π
5

B.

π
2

C. π

D. 2π

1 ,则 cos 2α = ( 3
17 9
) D.

A. 3.在△ABC 中, cos A cos B > sin A sin B ,则△ABC 为( A.锐角三角形
0

B. ±

) D.无法判定

17 9

C. ?

B.直角三角形
0 0

C.钝角三角形
0

12.函数 y = sin 4 x + cos 2 x 的最小正周期为( ) A.

4.设 a = sin14 + cos14 , b = sin16 + cos16 , c = A. a < b < c 5.函数 y = A.周期为 C.周期为 B. b < a < c C. c < b < a

6 ,则 a, b, c 大小关系( 2
D. a < c < b

π
4

B.

π
2

C. π

D. 2π

二、填空题

2 sin(2 x ? π ) cos[2( x + π )] 是(



1.求值: tan 20 + tan 40 + 3 tan 20 tan 40 = _____________。
0 0 0 0

π π
4 2

的奇函数 的奇函数

B.周期为 D.周期为

π π
4 2

的偶函数 2.若 的偶函数

1 + tan α 1 = 2008, 则 + tan 2α = 1 ? tan α cos 2α



6.已知 cos 2θ =

2 4 4 ,则 sin θ + cos θ 的值为( 3
7 C. 9
D. ?1

3.函数 f ( x ) = cos 2 x ? 2 3 sin x cos x 的最小正周期是___________。 ) 4.已知 sin

θ
2

13 A. 18

11 B. 18

+ cos

θ
2

=

2 3 , 那么 sin θ 的值为 3

, cos 2θ 的值为 时, cos A + 2 cos



5. ?ABC 的三个内角为 A 、 B 、 C ,当 A 为 7.设 a =

1 3 2 tan13o 1 ? cos 50o cos 6o ? sin 6o , b = ,c = , 则有( 2 2 1 + tan 2 13o 2
B. a < b < c C. a < c < b D. b < c < a

B+C 取得最大值,且这个最大 2




值为



A. a > b > c

6.已知在 ?ABC 中, 3sin A + 4 cos B = 6, 4sin B + 3cos A = 1, 则角 C 的大小为

8.函数 y =

1 ? tan 2 2 x 的最小正周期是( 1 + tan 2 2 x
π B. 2
C. π

7.计算: ) D. 2π

sin 65 o + sin 15 o sin 10 o 的值为_______. sin 25 o - cos 15 o cos 80 o

π A. 4

8.函数 y = sin

2x 2x π + cos( + ) 的图象中相邻两对称轴的距离是 3 3 6



9.函数 f ( x ) = cos x ?

1 cos 2 x( x ∈ R) 的最大值等于 2



5. 求值: (1) sin 6 sin 42 sin 66 sin 78 ; (2) sin 20 + cos 50 + sin 20 cos 50 。
2 0 2 0 0 0

0

0

0

0

10.已知 f ( x ) = A sin(ωx + ? ) 在同一个周期内,当 x =

π 时, f (x ) 取得最大值为 2 ,当 3

x = 0 时, f (x) 取得最小值为 ? 2 ,则函数 f (x) 的一个表达式为______________.
三、解答题 1.已知 sin α + sin β + sin γ = 0, cos α + cos β + cos γ = 0, 求 cos( β ? γ ) 的值.

6.已知 A + B =

π
4

,求证: (1 + tan A)(1 + tan B ) = 2

2.若 sin α + sin β =

2 , 求 cos α + cos β 的取值范围。 2

7.求值: log 2 cos

π
9

+ log 2 cos

2π 4π + log 2 cos 。 9 9

1 + cos 200 3.求值: ? sin100 (tan ?1 50 ? tan 50 ) 0 2sin 20

8.已知函数 f ( x) = a (cos x + sin x cos x) + b
2

(1)当 a > 0 时,求 f ( x) 的单调递增区间; 4.已知函数 y = sin

x x + 3 cos , x ∈ R. 2 2 (1)求 y 取最大值时相应的 x 的集合;

(2)当 a < 0 且 x ∈ [0,

π
2

] 时, f ( x) 的值域是 [3, 4], 求 a, b 的值.

(2)该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到 y = sin x ( x ∈ R ) 的图象.

答案
一、选择题 1.D 2.D 3.C 4.D

1. 3

tan 600 = tan(200 + 400 ) =

tan 200 + tan 400 = 3 1 ? tan 200 tan 400

x ∈ (?

4 3 3 2 tan x 24 , 0) , cos x = ,sin x = ? , tan x = ? , tan 2 x = =? 2 2 5 5 4 1 ? tan x 7 2π y = 5sin( x + ? ) + 5, T = = 2π 1

π

3 ? 3 tan 200 tan 400 = tan 200 + tan 400
2. 2008

1 1 sin 2α 1 + sin 2α + tan 2α = + = cos 2α cos 2α cos 2α cos 2α

cos A cos B ? sin A sin B = cos( A + B ) > 0, ? cos C > 0, cos C < 0, C 为钝角

=
3. π

a = 2 sin 590 , b = 2 sin 610 , c = 2 sin 600
y = ? 2 sin 2 x cos 2 x = ? 2 2π π sin 4 x ,为奇函数, T = = 2 4 2

(cos α + sin α ) 2 cos α + sin α 1 + tan α = = = 2008 cos 2 α ? sin 2 α cos α ? sin α 1 ? tan α

5.C

6.B

1 sin 4 θ + cos 4 θ = (sin 2 θ + cos 2 θ ) 2 ? 2sin 2 θ cos 2 θ = 1 ? sin 2 2θ 2 1 11 = 1 ? (1 ? cos 2 2θ ) = 2 18

7.C

a = sin 300 cos 6o ? cos 300 sin 6o = sin 240 , b = sin 260 , c = sin 250 , 1 ? tan 2 2 x 2π π = cos 4 x, T = = y= 2 1 + tan 2 x 4 2 sin17 o (? sin 43o ) + (? sin 73o )(? sin 47o ) = cos17o cos 43o ? sin17o sin 43o = cos 600

π 2π f ( x) = cos 2 x ? 3 sin 2 x = 2 cos(2 x + ) , T = =π 3 2 1 7 θ θ 4 1 7 4. , (sin + cos ) 2 = 1 + sin θ = ,sin θ = , cos 2θ = 1 ? 2sin 2 θ = 3 9 2 2 3 3 9 3 B+C A A A 0 5. 60 , cos A + 2 cos = cos A + 2sin = 1 ? 2sin 2 + 2sin 2 2 2 2 2 A A A 1 2 3 = ?2sin 2 + 2sin ? 1 = ?2(sin ? ) + 2 2 2 2 2 A 1 B+C 3 0 当 sin = ,即 A = 60 时,得 (cos A + 2 cos ) max = 2 2 2 2
6.

π

8.B

6

(3sin A + 4 cos B) 2 + (4sin B + 3cos A) 2 = 37, 25 + 24 sin( A + B) = 37 1 1 π sin( A + B) = ,sin C = ,事实上 A 为钝角,∴ C = 2 2 6

9.B

7 2 10.D sin 2 x = cos( ? 2 x) = cos 2( ? x) = 1 ? 2sin ( ? x) = 2 4 4 25 1 4 11.A (cos α + sin α ) 2 = ,sin α cos α = ? ,而 sin α > 0, cos α < 0 9 9 cos α ? sin α = ? (cos α + sin α ) 2 ? 4 sin α cos α = ? 17 3

π

π

π

7. 2 + 3

sin(800 ? 150 ) + sin150 sin100 sin 800 cos150 cos150 = = = 2+ 3 sin(150 + 100 ) ? cos150 cos800 sin150 cos100 sin150
y = sin

1 17 cos 2α = cos 2 α ? sin 2 α = (cos α + sin α )(cos α ? sin α ) = ? × (? ) 3 3
12.B

1 3 y = (sin 2 x)2 + cos 2 x = (sin 2 x)2 ? sin 2 x + 1 = (sin 2 x ? ) 2 + 2 4 1 3 1 3 = cos 2 2 x + = (1 + cos 4 x) + 4 4 8 4

2x 2x π 2x π 2x π 2x π + cos cos ? sin sin = cos cos + sin sin 3 3 6 3 6 3 6 3 6 2x π 2π = cos( ? ), T = = 3π ,相邻两对称轴的距离是周期的一半 2 3 6 3 3 1 1 3 f ( x) = ? cos 2 x + cos x + , 当 cos x = 时, f ( x) max = 9. 4 2 2 4 π T π 2π 2π π = , ω = 3,sin ? = ?1, 可取? = ? 10. f ( x ) = 2 sin(3 x ? ) A = 2, = , T = ω 2 2 3 3 2
8. 三、解答题 1.解: sin β + sin γ = ? sin α , cos β + cos γ = ? cos α ,

3π 2

二、填空题

(sin β + sin γ ) 2 + (cos β + cos γ ) 2 = 1,

1 2 + 2 cos( β ? γ ) = 1, cos( β ? γ ) = ? 。 2
2.解:令 cos α + cos β = t ,则 (sin α + sin β ) + (cos α + cos β ) = t +
2 2 2

(2)原式 =

1 , 2

1 ? cos 400 1 + cos1000 1 + + (sin 700 ? sin 300 ) 2 2 2

1 3 2 + 2 cos(α ? β ) = t 2 + , 2 cos(α ? β ) = t 2 ? 2 2

?2 ≤ t 2 ?

3 1 7 14 14 ≤ 2, ? ≤ t 2 ≤ , ? ≤t ≤ 2 2 2 2 2

1 1 1 = 1 + (cos1000 ? cos 400 ) + sin 700 ? 2 2 4 3 1 3 = ? sin 700 sin 300 + sin 700 = 4 2 4 π tan A + tan B 6.证明:Q A + B = ,∴ tan( A + B ) = = 1, 4 1 ? tan A tan B
得 tan A + tan B = 1 ? tan A tan B,

3.解:原式 =

2 cos 2 100 cos 50 sin 50 ? sin100 ( ? ) 4sin100 cos100 sin 50 cos 50

1 + tan A + tan B + tan A tan B = 2 ∴ (1 + tan A)(1 + tan B ) = 2
7.解:原式 = log 2 (cos

cos100 cos100 ? 2sin 200 0 = ? 2 cos10 = 2sin100 2sin100 = cos100 ? 2sin(300 ? 100 ) cos100 ? 2 sin 300 cos100 + 2 cos 300 sin100 = 2 sin100 2sin100 3 2

π
9

cos

2π 4π cos ), 9 9 sin

2π 4π 而 cos cos cos = 9 9 9
即原式 = log 2 8.解: f ( x ) = a ? (1) 2kπ ?

π

π
9

cos

π

= cos 300 =
4.解: y = sin

2π 4π cos 9 9 9 =1 π 8 sin 9 cos

x x x π + 3 cos = 2sin( + ) 2 2 2 3 x π π π (1)当 + = 2kπ + ,即 x = 4kπ + , k ∈ Z 时, y 取得最大值 2 3 2 3

1 = ?3 8

1 + cos 2 x 1 2a π a + a ? sin 2 x + b = sin(2 x + ) + + b 2 2 2 4 2

π ? ? ? x | x = 4kπ + , k ∈ Z ? 为所求 3 ? ?
(2) y = 2sin( +
π 右移 个单位 x π x 横坐标缩小到原来的2倍 3 ) ????? y = 2 sin ??????? y = 2 sin x → → 2 3 2

π

2 4 2 3π π [ kπ ? , kπ + ], k ∈ Z 为所求 8 8

≤ 2x +

π

≤ 2 kπ +

π

, kπ ?

3π π ≤ x ≤ kπ + , 8 8

(2) 0 ≤ x ≤

π π
2 4 ,

≤ 2x +

π
4



??????? y = sin x →
纵坐标缩小到原来的2倍

5π 2 π ,? ≤ sin(2 x + ) ≤ 1 , 4 2 4

5.解: (1)原式 = sin 6 cos12 cos 24 cos 48 =
0 0 0 0

sin 6 cos 6 cos12 cos 24 cos 48 cos 60

0

0

0

0

0

f ( x) min =

1+ 2 a + b = 3, f ( x) max = b = 4, 2

1 1 sin120 cos120 cos 240 cos 480 sin 240 cos 240 cos 480 =2 =4 cos 60 cos 60 1 1 1 sin 480 cos 480 sin 960 cos 60 1 8 16 16 = = = = 0 0 0 cos 6 cos 6 cos 6 16


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