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2014届高考数学一轮轻松突破复习 1.1.4函数的单调性与最值 文


1.1.4 函数的单调性与最值 文
一、选择题 1.(2013·宁夏月考)下列函数中,在(-1,1)内有零点且单调递增的是( A.y= log 1 x
2

)

B.y=2x-1 D.y=- x
3

1 2 C.y= x - 2

解析:观察四个选项,在(-1,1)内单调递增的只有函数 y=2x-1 且其在(-1,1)内也有零 点.故选 B. 答案:B 2.函数 f(x)=ln(4+3x- x )的单调递减区间是( 3? ? A.?-∞, ? 2? ?
2

)

?3 ? B.? ,+∞? ?2 ?

3? ? C.?-1, ? 2? ?

?3 ? D.? ,4? ?2 ?

? 3? 25 ?3 ? 解析: 函数 f(x)的定义域是(-1,4), u(x)=-x2+3x+4=-?x- ?2+ 的减区间为? ,4?, 2? 4 ? ?2 ? ?3 ? ∵e>1,∴函数 f(x)的单调减区间为? ,4?. ?2 ?
答案:D 3.已知函数 f(x)在区间[a,b]上单调,且 f(a)·f(b)<0,则方程 f(x)=0 在区间[a,b]上 ( ) A.至少有一实根 B.至多有一实根 C.没有实根 D.必有惟一的实根 解析:∵f(a)·f(b)<0 且 f(x)在[a,b]上单调,∴由数形结合,可以看出,必有惟一的实 数 x0,使 f(x0)=0 成立. 答案:D 4.函数 f(x)(x∈R)的图象如下图所示,则函数 g(x)=f( log a x )(0<a<1)的单调减区间是 ( )

? 1? A.?0, ? ? 2?

?1 ? B.(-∞,0)∪? ,+∞? ?2 ?

C.[ a,1] D.[ a, a+1]

-1-

1 解析: y=logax(0<a<1)为减函数, 根据复合函数的单调性及图象知, 0≤logax≤ , 当 即 a 2 ≤x≤1 时,g(x)为减函数,故其单调减区间为 [ a,1]. 答案:C 5.已知函数 f(x)= ?

?(a ? 2) x ? 1 x ? 1 ,若 f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,则实数 a 的取 x ?1 ? log a x

值范围为( ) A.(1,2) B.(2,3) C.(2,3] D.(2,+∞) 解析:要保证函数 f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,则首先分段函数应该在各自定义域内分 别单调递增. 若 f(x)=(a-2)x-1 在区间(-∞,1]上单调递增,则 a-2>0,即 a>2. 若 f(x)=logax 在区间(1,+∞)上单调递增,则 a>1. 另外,要保证函数 f(x)在(-∞,+∞)上单调递增还必须满足(a-2)×1-1≤loga1=0,即 a≤3.故实数 a 的取值范围为 2<a≤3. 答案:C 6.(2013·辽宁模拟)已知 f(x)是定义在实数集 R 上的增函数,且 f(1)=0,函数 g(x)在(- ∞,1]上为增函数,在[1,+∞)上为减函数,且 g(4)=g(0)=0,则集合{x|f(x)g(x)≥0} 等于( ) A.{x|x≤0 或 1≤x≤4} B.{x|0≤x≤4} C.{x|x≤4} D.{x|0≤x≤1 或 x≥4} 解析:画出函数 f(x)和 g(x)的草图如图,

由图可知当 f(x)g(x)≥0 时, 的取值范围是 x≤0 或 1≤x≤4, x 即{x|f(x)g(x)≥0}={x|x≤0 或 1≤x≤4},故选 A. 答案:A 二、填空题 7.已知 y=f(x)是定义在(-2,2)上的增函数,若 f(m-1)<f(1-2m),则 m 的取值范围是 __________. 解析:依题意,原不等式等价于

?-2<m-1<2

? ?-2<1-2m<2 ?m-1<1-2m ?

?-1<m<3 ? 2 ?? 2 ?m<2 ? 3

-1<m<3 1 2 ? - <m< . 2 3

-2-

? 1 2? 答案:?- , ? ? 2 3?
8.已知下列四个命题:①若 f(x)为减函数,则-f(x)为增函数;②若 f(x)为增函数,则函 数 g(x)=

1 在其定义域内为减函数; ③若 f(x)与 g(x)均为(a, b)上的增函数, f(x)·g(x) 则 f ( x)

也是区间(a, b)上的增函数; ④若 f(x)与 g(x)在(a, b)上分别是递增与递减函数, g(x)≠0, 且 则

f ( x) 在(a,b)上是递增函数.其中正确命题的序号是__________. g ( x)

解析:①正确;②不正确,可用 y=x(x≠0)说明,若 f(x)恒大于零(或若 f(x)恒小于零),则 命题②成立; 1 ③不正确,可用 y=x(x>0)与 y=- (x>0)说明; x ④不正确,可用 y=x(x>0)与 y=-x(x>0)说明. 答案:①

? ? x 2 ? 4 x ? 10 9.已知函数 f(x)= ? ?log 3 ( x ? 1) ? 6

x?2 2 ,若 f(6- a )>f(5a),则实数 a 的取值范围是 x?2

__________. 解析:当 x≤2 时,f1(x)=-x2+4x-10 是单调递增函数;当 x>2 时,f2(x)=log3(x-1) -6 也是单调递增函数,且 f1(2)=-22+4×2-10=-6,f2(2)=log3(2-1)-6=-6,即 f1(2)=f2(2),因此 f(x)在 R 上单调递增,又因为 f(6-a2)>f(5a),所以 6-a2>5a,解得 -6<a<1. 答案:-6<a<1 三、解答题 10.已知函数 f(x)=a- 1 . |x|

(1)求证:函数 y=f(x)在(0,+∞)上是增函数; (2)若 f(x)<2x 在(1,+∞)上恒成立,求实数 a 的取值范围. 1 解析:(1)证明:当 x∈(0,+∞)时,f(x)=a- , x 设 0<x1<x2,则 x1x2>0,x2-x1>0. 1? ? 1? ? f(x1)-f(x2)=?a- ?-?a- ? ? x1? ? x2? 1 1 x1-x2 = - = <0. x2 x1 x1x2 ∴f(x1)<f(x2),即 f(x)在(0,+∞)上是增函数. 1 (2)由题意 a- <2x 在(1,+∞)上恒成立, x 1 设 h(x)=2x+ ,则 a<h(x)在(1,+∞)上恒成立. x

-3-

可证 h(x)在(1,+∞)上单调递增. 故 a≤h(1)即 a≤3,∴a 的取值范围为(-∞,3]. 11.已知函数 f(x)=a· 2 +b· 3 ,其中常数 a,b 满足 ab≠0. (1)若 ab>0,判断函数 f(x)的单调性; (2)若 ab<0,求 f(x+1)>f(x)时 x 的取值范围. 解析:(1)当 a>0,b>0 时,任意 x1,x2∈R,令 x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=a(2 -2x2)+ b(3 -3 ), ∵2 <2 ,a>0? a(2 -2 )<0,
x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1

x

x

3 <3 ,b>0? b(3 -3 )<0,

x1

x2

x1

x2

∴f(x1)-f(x2)<0,函数 f(x)在 R 上是增函数. 当 a<0,b<0 时,同理,函数 f(x)在 R 上是减函数. (2)f(x+1)-f(x)=a·2x+2b·3x>0, a ?3? ? a? 当 a<0,b>0 时,? ?x>- ,则 x>log1.5?- ?; 2? 2b ? ? 2b? a ?3? ? a? 当 a>0,b<0 时,? ?x<- ,则 x<log1.5?- ?. 2b ?2? ? 2b? 12.设函数 f(x)对任意的 x,y,都有 f(x+y)=f(x)+f(y)-1,且当 x>0 时,f(x)>1. (1)求证:函数 f(x)是 R 上的增函数; (2)若 f(4)=5,解不等式 f(3 t -t-2)<3. 解析:(1)方法一:设 x1,x2∈R 且 x1<x2,则 Δ x=x2-x1>0, ∴f(Δ x)>1, ∴f(x2)=f(x1+Δ x)=f(x1)+f(Δ x)-1>f(x1), ∴f(x)是 R 上的增函数. 方法二:f(0)=f(0)+f(0)-1,∴f(0)=1. ∴f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)-1=1. ∴f(-x)=2-f(x), 设 x1,x2∈R 且 x1<x2,∴x2-x1>0. ∴f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)-1 =f(x2)+2-f(x1)-1 =f(x2)-f(x1)+1>1. ∴f(x2)-f(x1)>0,∴f(x)是 R 上的增函数, (2)f(4)=f(2)+f(2)-1=5,∴f(2)=3. ∴f(3t2-t-2)<3=f(2). 又由(1)的结论知函数 f(x)是 R 上的增函数. 4 ∴3t2-t-2<2,∴-1<t< . 3
2

-4-


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