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江苏省连云港市2012-2013第一学期期末高二理科试题


2012~2013 学年度第一学期期末考试

高二数学试题(选修物理)
考试说明 1.本试卷共 8 页,两大题,共 24 小题,考试时间 150 分钟. 2.请在试题规定的地方作答,其他地方解答无效. 题号 得分 一、填空题:本大题共 16 小题,每小题 5 分,共计 80 分.请把答案填写在试题中的横线 上. 1.已知命题 p : ?x ? R ,

x ? 2 ? 0 ,则 ?p 为
3

1-16

17

18

19

20

21

22

23

24

总分

. . . 条件. (填“充分不必要”、 “必 . . . . . .

2.不等式 x ? 7 x ? 12 ? 0 的解集为
2

3.抛物线 x ? 8 y 的焦点坐标为
2

“b ? ac” 4. 是“ a,b,c 成等比数列”的
2

要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”) 5.在等差数列 {an } 中, a2 ? 4 ,a4 ? 2 ,则 {an } 的前 5 项和 S 5 = 6.若双曲线

x y ? ? 1(a ? 0) 的一条渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 ,则 a= 2 a 9

2

2

7. ?ABC 中, AB ? 3,AC ? 1,?B ? 30? ,则 BC 等于 8.在等比数列 {an } 中, a4 ? a7 ? 2 , a5 a6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 ? 9.若点 (a,b) 在直线 x ? 2 y ? 2 上,则 3 ? 9 的最小值为
a b

? y ? 2, ? 10.已知变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, 则 z ? 3x ? y 的最大值为 ? x ? y ? 1, ?

1 3 15 11.在等差数列 {an } 中,已知 d ? , an ? , Sn ? ? ,则 n ? 2 2 2
12.若直线 y ? 13.若过椭圆

. .

1 x ? b 是曲线 y ? ln x( x ? 0) 的一条切线,则 b ? 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦点且垂直于 x 轴的直线被椭圆截得的弦长为 a ,则 a 2 b2 该椭圆的离心率为 .

高二数学试题(选修物理) 第 1 页(共 8 页)

14.函数 y ? cos 2 x ? sin x   , x ? (0 , ] 的最大值是 . 2 15.已知锐角 A , B 满足 tan( A ? B) ? 3tan A ,则 tan B 的最大值是
2 2

?



16.过椭圆

x y 2) 作两条互相垂直的弦 AB ,CD ,若弦 AB ,CD 的中 ? ? 1 内的点 P(1, 16 9 点分别为 M ,N ,则直线 MN 恒过定点,定点的坐标为 .

二、解答题:本大题共 8 小题,共计 120 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. 17. (本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中,已知 a sin A ? c sin C ? 2a sin C ? b sin B . (1)求 B ; (2)若 C ? 60? , b ? 2 ,求 c 与 a .

18. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x 1 ? 2x . (1)求 x0 ,使 f ?( x0 ) ? 0 ;

1 (2)求函数 f ( x) 在区间 [?1, ] 的值域. 2

高二数学试题(选修物理) 第 2 页(共 8 页)

19. (本小题满分 14 分) 命题 p : 方程

x2 y2 命题 q : 不等式 x2 ? 2 x ? k 2 ? 1 ? 0 对一切实数 ? ? 1表示双曲线, k ? 2 k ?1

x 恒成立.
(1)求命题 p 中双曲线的焦点坐标; (2)若命题“ p 且 q ”为真命题,求实数 k 的取值范围.

高二数学试题(选修物理) 第 3 页(共 8 页)

20. (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 动点 M 到直线 x ? ?1 的距离等于它到圆 F : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1 上的点的最小距离. (1)求点 M 的轨迹方程; (2)已知过点 F 的直线与点 M 的轨迹交于 A ,B 两点,且 | AF | ? 8 ,求 | BF | 的长.

高二数学试题(选修物理) 第 4 页(共 8 页)

21. (本小题满分 16 分) 某蔬菜基地准备建一批蔬菜大棚,蔬菜大棚的横截面为如图所示的等腰梯形,
?ABC ? 120? ,按照设计要求,其横截面面积为 9 3 平方米.为了使建造的大棚用料最省,

横截面的周长(梯形的底 BC 与两腰长的和)必须最小.设大棚高为 x 米. (1)当 x 为多少米时,用料最省? (2)如果大棚的高度设计在 [ 3 , 2] 范围内,求横截面周长的最小值.

(第 21 题图)

高二数学试题(选修物理) 第 5 页(共 8 页)

22. (本小题满分 16 分)
3 x2 y 2 ,连接 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? 2 2 a b 椭圆 C 的四个顶点得到的四边形的面积为 4 .

在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C :

(1)求椭圆 C 的方程; (2) 在椭圆 C 上, 是否存在点 M (m, n) 使得直线 l : mx ? ny ? 1 与圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 相交于 不同的两点 A , B ,且 ?ABC 的面积最大?若存在,求出点 M 的坐标及相对应的
?ABC 的面积;若不存在,请说明理由.

高二数学试题(选修物理) 第 6 页(共 8 页)

23. (本小题满分 16 分)

1 2 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c, f (2) ? , f ?(2) ? 4, g (2) ? 1, g ?(2) ? 3 . 3 3 (1)求函数 f ( x) 的单调增区间;
(2)当 a ? 1 时,函数 h( x) ? 切?请说明理由.
f ( x) ? g ( x) 1 3 在点 (2, h(2)) 处的切线能否与函数 f ( x) 的图象相

高二数学试题(选修物理) 第 7 页(共 8 页)

24. (本小题满分 16 分) 已 知 正 项 等 比 数 列 {an } 中 , a1 ? 2, a3 ? 8 . 数 列 {bn } 的 前 n 项 和 为 S n , 且

5 3 Sn ? n2 ? n . 2 2
(1)求 a n , bn ; (2)若 an ? bn ? c 对一切 n ?N*都成立,求 c 的最大值; (3)把数列 {an } 与 {bn } 中相同的项按从小到大的顺序排成一列,记数列 {cn } ,求满 足 cn ? 2012的最小正整数 n 的值.

高二数学试题(选修物理) 第 8 页(共 8 页)

高二数学(理)参考答案
一、填空题:本大题共 16 小题,每小题 5 分,共 80 分. 1. ?x ? R ,使 x ? 2 ? 0
3

2. (3, 4) 6.2 10.11

3. ?0,2? 7. 1 或 2 11.10 15.
3 3

4.必要不充分 8. ?7 12. ln2 ?1 16. (

5.15 9.6 13.
2 2

14.

2 3 9

16 18 , ) 25 25

二、解答题:本大题共 8 小题,共 120 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解: (1)由已知 a sin A ? csin C ? 2a sin C ? b sin B, 由正弦定理得 b2 ? a2 ? c2 ? 2ac , 由余弦定理得 b ? a ? c ? 2accosB ,故 cosB=
2 2 2

……………………3 分

2 ,∴ B=45°………6 分 2
……………………10 分

(2)

c b ? ,∴ c= 6 sin C sin B
2

解法一:由余弦定理得: c 即a
2

? a2 ? b2 ? 2ab cos C
……………………14 分
A

a ? 3 ? 1. ? 2a ? 2 ? 0 ,∴

a b a 2 ? ? 解法二:由正弦定理得 ,即 0 sin A sin B sin 75 sin 450
∴ a ? 3 ? 1. 解法三:也可由图作高求得答案. 18.解: (1) f ?( x) ? 1 ? 2 x ?
? 1 ? 3x 1 ? 2x x 1 ? 2x

2

…………………14 分
B 1 D C

……………………3 分 ……………………5 分

所以 f ?( x0 ) ?

1 ? 3x0 1 ? 2 x0

? 0 ,则 x0 ?

1 . 3

……………………7 分

1 (2)当 x ? (?1, ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 是增函数; 3

………………9 分

高二数学试题(选修物理) 第 9 页(共 8 页)

1 1 当 x ? ( , ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 是减函数; 3 2
1 3 1 , f ( )? 0 , f (?1) ? ? 3 , f ( ) ? 3 9 2 3 1 所以函数 f ( x) 在区间 [?1, ] 的值域为 [ ? 3, ] . 9 2

………………11 分

………………14 分

19.解: (1)因为 k ? 1 ? k ? 2 ,所以 a 2 ? k ? 1, b2 ? 2 ? k ……………………2 分 所以 c 2 ? 1 ,且焦点在 y 轴上, 所以双曲线的焦点坐标为 (0, ?1) . (2)命题 p : (k ? 2)(k ? 1) ? 0 , 1 ? k ? 2 ; 命题 q : ? ? 4 ? 4(k 2 ? 1) ? 0 , k ? ? 2 或 k ? 2 . ………………………4 分 ………………………6 分 ………………………8 分 ………………………10 分

? ?1 ? k ? 2, 因为命题“ p 且 q ”为真命题,所以 ? 即 2 ? k ? 2 .………14 分 ? ?k ? ? 2或k ? 2,
(注:若第(1)问分类讨论答案对也算对) 20. (1)设动点 M ( x, y ) ,则 | x ? 1|? ( x ? 2)2 ? ( y ? 0)2 ? 1 ,………………3 分 化简得: 6x ? 2 ? 2 | x ? 1|? y 2 , 当 x ? ?1 时, y 2 ? 8 x ; 当 x ? ?1 时, y 2 ? 4x ? 4 ? ?8 ,不合题意. 所以点 M 的轨迹方程为: y 2 ? 8 x . (注:本题也可用定义法得到抛物线方程) (2)抛物线的准线方程为 x ? ?2 . 过点 A 作准线的垂线 AM ,垂足为 M , M ……………………7 分 y E ……………………5 分

A

AM 交 y 轴于点 E .过点 A 作 x 轴垂线,垂足为 H .
过点 B 作准线的垂线 BN ,垂足为 N , 由抛物线的定义知: AF ? AM ? 8 . 因为 ME ? OF ? 2 ,所以 AE ? 6 , FH ? 4 . N

O B

F

H

x

高二数学试题(选修物理) 第 10 页(共 8 页)

在 Rt AHF 中, AF ? 8 , FH ? 4 ,所以 ?AFH ? 60 . ………………10 分 解法 1:直线 AB 的方程为 y ? 3( x ? 2) . y M E

? 2 4 3 ? y ? 3( x ? 2), 由? 得 A(6, 4 3) ,B( , ? ), 2 3 3 ? ? y ? 8x
所以 BF ? BN ?

G

A

2 8 ?2? . 3 3

………14 分 N

O B

F

H

x

解法 2:过点 B 作 BG ? AM 于点 G , 在 Rt ?GAB 中, ?GAB ? 60 ,则 AB ? 2 AG . 令 BF ? t ,则 AG ? 8 ? t , AB ? 8 ? t , 所以 8 ? t ? 2(8 ? t ) ,则 t ?

8 8 ,即 BF ? .………14 分 3 3 2 . 3

2 自注:或 y ? k ( x ? 2) , k 2 x2 ? (4k 2 ? 8) x ? 4k 2 ? 0 , x ? 6 代入得 k ? 3 , x2 ?

21.解: (1) 9 3 ?

1 1 2 3 ( AD ? BC ) x,AD ? BC ? 2 ? x ? BC ? x ……2 分 2 tan 60 3 1 2 3 9 3 3 x) x ,解得BC ? ? x .…………………4 分 所以 9 3 ? (2 BC ? 2 3 x 3
设外周长为 l . 则 l ? 2 AB ? BC ?

2x 9 3 3 ? ? x sin 60 x 3

…………………7 分

9 3 ?6 3, x 9 3 当 3x ? ,即 x ? 3 时等号成立,外周长的最小值为 6 3 , x ? 3x ?
此时大棚高 x 为 3 米; (2) …………………10 分

3x ?

9 3 9 ? 3( x ? ),设 3 ≤ x1 ? x2 ≤ 2. x x

x2 ?

9 9 9 ? x1 ? ? ( x2 ? x1 )(1 ? ) ? 0 ,l 是 x 在 [ 3 , 2] 的减函数, x2 x1 x1 x2
3?2? 9 3 13 3 ? (米) ,当 x =2 时取得最小值.……………16 分 2 2

所以 lmin ?

高二数学试题(选修物理) 第 11 页(共 8 页)

(本题也可利用导数求最值和判断在 [ 3 , 2] 上单调递减) 22.解: (1)由 e ? 由题意可知,

c 3 2 2 2 2 2 ,得 3a ? 4c ,再由 c ? a ? b 得 a ? 2b .………3 分 ? a 2
………………5 分

1 ? 2a ? 2b ? 4, 即ab ? 2 , 2

?a ? 2b, x2 ? y 2 ? 1. ……………8 分 解方程组 ? 得 a ? 2, b ? 1 ,所以椭圆的方程为 4 ? ab ? 2
(2) ?AOB 中, OA ? OB ? 1 , S ?AOB ? 当且仅当 ?AOB ? 90 时, S?AOB 有最大值
?

1 1 ? OA ? OB ? sin ?AOB ? 2 2
………………10 分

1 , 2

?AOB ? 90? 时,点 O 到直线 AB 的距离为 d ?

2 . 2
………………12 分

d?

2 1 2 ? ? ? m2 ? n 2 ? 2 . 2 2 2 2 m ?n
2

2 2 又因为 m ? 4n ? 4 ,所以 m ?

4 2 2 2 3 6 , n ? ,此时点 M (? ,? ) .………16 分 3 3 3 3

23.解: (1) f ?(2) ? 4, f ?( x) ? x2 ? 2ax ? b , 所以 f ?(2) ? 4 ? 4a ? b ? 4 ,得 b ? ?4 a ,则 f ?( x) ? x2 ? 2ax ? 4a ,
? ? 4a2 ? 16a ? 4(a2 ? 4a) .
2 f ( x) 的单调增区间: 当 ? ? 0,即a ? ?4或a ? 0时 , x1, 2 ? ?a ? a ? 4a ,函数

……………2 分

(??, ?a ? a2 ? 4a ) ; (?a ? a2 ? 4a , ??)

……………4 分

当 ? ? 0,即 ? 4 ? a ? 0时 , f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 的单调增区间: (??, ??) .……………6 分 (2) h(2) ?
f (2) ? g (2) 1 3 ? 1 ,即切点为 (2,1) .

高二数学试题(选修物理) 第 12 页(共 8 页)

1 1 f ?( x) g ( x) ? [ f ( x) ? ]g ?( x) f ?(2) g (2) ? [ f (2) ? ]g ?(2) 3 3 ?1 , 由 h?( x) ? ,得 h?(2) ? 2 2 g ( x) g (2)

所以,曲线 h( x) 在点 (2,1) 处的切线方程 y ? x ? 1 当 a ? 1 时, b ? ?4,

…………………9 分

2 2 8 由 f (2) ? , ? ? 4a ? 2b ? c ,得 c ? 2 , 3 3 3 1 所以 f ( x) ? x3 ? x2 ? 4x ? 2 , f ?( x) ? x2 ? 2x ? 4 3
当 f ?( x) ? x2 ? 2 x ? 4 ? 1 ,即 x 2 ? 2 x ? 5 ? 0 ,所以 x ? ?1 ? 6 . 当 x ? ?1 ? 6 时, f ( x) ? ………………11 分 ………………14 分

20 ?3 6 . 3

(注:直接代入或将 x2 ? ?2 x ? 5 降次整体代入均可) 20 而 x ? ?1 ? 6 , y ? x ? 1 ? ?2 ? 6 ? ?3 6 3 所以函数 h( x) ?
f ( x) ? g ( x) 1 3 在点 (2, h(2)) 处的切线不能与函数 f ( x) 图像相切………16 分

24.解: (1) an ? 2n . 当 n ? 1 时, b1 ? S1 ? 1 ;

………………………2 分

当 n ? 2 时, bn ? Sn ? Sn?1 ? 5n ? 1; b1 也满足 bn ? 5n ? 1 . 综上, bn ? 5n ? 1 . (2)由题意得: 2 ? 5n ? 1 ? c 对一切 n ? N 都成立,
n

………………………4 分
?

所以, c ? 2 ? 5n ? 1 对一切 n ? N 都成立,
n

?

令 cn ? 2n ? 5n ? 1 ,则 cn?1 ? 2 所以 cn?1 ? cn ? 2
n?1

n?1

? 5(n ? 1) ?1 ,
……………………7 分

? 5(n ? 1) ? 1 ? 2n ? 5n ?1 ? 2n ? 5 ,

当 n ? 2 时, cn?1 ? cn , {cn } 为递减数列,即 c1 ? c2 ? c3 ; 当 n ? 3 时, cn?1 ? cn , {cn } 为递增数列,即 c3 ? c4 ? c5 ? ……………………9 分

高二数学试题(选修物理) 第 13 页(共 8 页)

所以 cn 最小值为 c3 ? ?6 , 所以 c ? ?6 ,即 c 的最大值为 ?6 . (3) a1 ? 2, a2 ? 22 , a3 ? 23 , a4 ? 24 , a5 ? 25 , a6 ? 26 , .……………………11 分

b1 ? 4, b2 ? 9, b3 ? 14, b4 ? 19, b5 ? 24, b6 ? 29,
数列 {an } 与 {bn } 中相同的项按从小到大的顺序排成一列为数列 {cn }

c1 ? 4 ? 22 , c2 ? 64 ? 26 , c3 ? 210 , c4 ? 214 ,
c3 ? 2012, c4 ? 2012 ,

……………………14 分

所以满足 cn ? 2012的最小正整数 n 的值为 4 .

……………………16 分

高二数学试题(选修物理) 第 14 页(共 8 页)


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