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2011年黄冈中学高考数学一轮复习(内部)系列


2011 年黄冈中学高考一轮复习(内部)系列:
高 考 数 学 一 轮 复 习 单 元 测 试 卷( 13)— 数 形 结 合思想
一、选择题(本题每小题 5 分,共 60 分) 1.已知集合 P={ 0, m},Q={x│ 2 x ? 5 x ? 0, x ? Z },若 P∩Q≠ ? ,则 m 等于
2


/>)

A.1

B.2

C.1 或

2.使得点 A(cos 2? , sin 2? ) 到点 B(cos? , sin? ) 的距离为 1 的 ? 的一个值是 A.

5 2

D.1 或 2 ( )

? 12

B.

? 6

C. ?

? 3

D. ?

? 4

3.将函数 f : x ? sin 2 x 的图象向右平移 B=[-1,1]个单位长度,再作关于 x 轴的对称变 换,得到 y cs x x R ? o2, 的图象,则 f ( x ) 可以是 ? A. sinx B. cs ox C. 2s inx D. 2 o c sx ( C ) ( )

4.某工厂六年来生产某种产品的情况是:前三年年产量的增长速度越来越快,后三年年产量 保持不变,则该厂六年来这种产品的可用图像表示的是 C C C

t

t

t

t

o

3

6

o

3

6

o

3

6

o

3

6

A. B. C. D. 5.有一棱长为 a 的正方体框架,其内放置一气球,是其充气且尽可能地膨胀(仍保持为球的 形状) ,则气球表面积的最大值为 ( ) A. ?a
2

B.2 ?a

2

C.3 ?a

2

D.4 ?a

2

6.已知 z∈C,满足不等式 z z ? iz ? i z ? 0 的点 Z 的集合用阴影表示为





y

y O

y 1 1
B.
-

y


O
A.

x

x O
C.
-

O x
D.
1

x

1

7.直角坐标 xOy 平面上,平行直线 x=n(n=0,1,2,……,5)与平行直线 y=n(n=0, 1,2,……,5)组成的图形中,矩形共有 A.25 个 B.36 个 C.100 个 D.225 个 ( ) ( )

2 2 8.方程 x 1 ? y ? y 1 ? x ? 1 所对应的曲线图形是

A. 9.设 0<x<π ,则函数 y ? A.3

B.

C.

D. ( D.2- 3 ) )

2 ? cos x 的最小值是 sin x
C. 3

B.2

10. 四面体 ABCD 的六条棱中, 其中五条棱的长度都是 2, 则第六条棱长的取值范围是( A. ?0,2 ? B. 0,2 3

?

?

C. 2,2 3

?

?
2

D. ?2,4 ? )

11.若直线 y ? kx ? 1 与曲线 x ? A. ? 2 ? k ? ?1 C. 1 ? k ?

y 2 ? 1 有两个不同的交点,则 k 的取值范围是 (
B. ? 2 ? k ?

2

D. k ? ? 2 或 k ?

2

12.某企业购置了一批设备投入生产,据分析每台设备生产的总利 润 y (单位:万元)与年数 x ? x ? N ? 满足如图的二次函数关系。 要使生产的年平均利润最大,则每台设备应使用 A.3 年 B.4 年 C.5 年 二、填空题(本题每小题 4 分,共 16 分) ( D.6 年 )

z || ? ,? 的最小值是___________. 1 1 那? ? ? | i1 z 13.若复数 z 满足 | ?z | 2 么 |
14.已知偶函数 f ( x ) 的图象与 x 轴有五个公共点,那么方程 f ( x ) ? 0 的所有实根之和为 _______.

?5 x ? 3 y ? 15 ? 15.若 z= 3x ? 5 y中的x, y 满足约束条件 ? y ? x ? 1 ,则 Z 的最大值和最小值分别为 ?x ? 5 y ? 3 ?
2

. 16.某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象,如右图所示. 假设其关系为指数 函数,并给出下列说法 ①此指数函数的底数为 2; ②在第 5 个月时,野生水葫芦的面积就会超过 30m2; ③野生水葫芦从 4m2 蔓延到 12m2 只需 1.5 个月; ④设野生水葫芦蔓延到 2m2,3m2, 6m2 所需的时间分别 为 t1, t2, t3, 则有 t1 + t2 = t3; ⑤野生水葫芦在第 1 到第 3 个月之间蔓延的平均速度 等于在第 2 到第 4 个月之间蔓延的平均速度. 其中正确的说法有 . (请把正确说法的序号都填在横线上)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) : 17. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? sin( 位得到函数 g (x) 的图象. (I)求函数 g(x)的表达式; (II)证明当 x ? (

? 7? ? ? x) ? cos(x ? ) 的图象向右平移 个单 8 8 8

3? 5? , ) 时,经过函数 g(x)图象上任意两点的直线的斜率恒大于零. 4 4

18. (本小题满分 12 分)如图所示,已知四面体 O-ABC 中, M 为 BC 的中点,N 为 AC 的中点,Q 为 OB 的中点,P 为 OA 的中点,若 AB=OC, 试用向量方法证明,PM⊥QN.

19. (本小题满分 12 分)为了能更好地了解鲸的生活习性,某动物研究所在受伤的鲸身上安 装了电子监测装置,从海岸放归点 A 处(如图所示)把它放归大海,并沿海岸线由西到东不 停地对鲸进行了 40 分钟的跟踪观测,每隔 10 分钟踩点测得数据如下表(设鲸沿海面游动) 。
3

然后又在观测站 B 处对鲸进行生活习性的详细观测。已知 AB=15km,观测站 B 的观测半径 为 5km.

观测时刻(分钟) t 跟踪观测点到放归点 鲸位于跟踪观测点正北方向 距离 a(km) 的距离 b(km) 10 20 30 40 并画出鲸的运动路线简图; (II)若鲸继续以(I)-(2)中的运行路线运动,则鲸经过多少分钟(从放归时计时) , 可进入前方观测站 B 的观测范围。 ( 41 64) ≈. 1 2 3 4 1

2
3
2

(I)根据表中数据: (1)计算鲸沿海岸线方向运动的速度, (2)写出 a、b 满足的关系式

20. (本小题满分 12 分)如图所示,已知圆 C : ( x ? 1) ? y ? 8, 定点A(1,0), M 为圆上一动
2 2

点, P 在 AM 上, N 在 CM 上, 点 点 且满足 AM ? 2 AP, NP ? AM ? 0, 点N 的轨迹为 曲 线 E. (I)求曲线 E 的方程; (II)若过定点 F(0,2)的直线交曲线 E 于不同的两点 G、H(点 G 在点 F、H 之间) , 且满足 FG ? ? FH ,求 ? 的取值范围.

21. (本小题满分 12 分)在 xoy 平面上有一系列点

P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y 2 ),? ? ?, Pn ( xn , y n ),? 对每个自然数 n ,点 Pn 位于函数 y ? x 2 ( x ? 0) 1
4

的图象上.以点 Pn 为圆心的⊙ Pn 与 x 轴都相切,且⊙ Pn 与⊙ Pn ?1 又彼此外切.若 x1 ? 1 ,且

x n ?1 ? x n (n? N ) .
(Ⅰ)求证:数列 {

1 } 是等差数列; xn

(Ⅱ)设⊙ Pn 的面积为 S n , Tn ? S1 ? S 2 ? ? ? ? ? S n , 求证: Tn ?

3 ? 2

y
Pn
Pn+1

o
22. (本小题满分 14 分) 已知 a>1,数列 {a n } 的通项公式是 a n ?

1 a n?2

x
,前 n 项和记作 S n

(n=1,2,…) ,规定 S 0 ? 0 .函数 f (x) 在 S 0 处和每个区间( S i , Si ?1 ) (i=0,1,2,…) 上有定义,且 f ( S0 ) ? 0 , f ( S i ) ? ai (i=1,2,…) .当 x ? ( S i , Si ?1 )时,f(x)的图 像完全落在连结点 Pi ( S i , f ( Si ) )与点 Pi ?1 ( Si ?1 , f ( S i ?1 ) )的线段上. (Ⅰ)求 f(x)的定义域; (Ⅱ)设 f(x)的图像与坐标轴及直线 l: x ? S n (n=1,2,…)围成的图形面积为 An , 求 An 及 lim An ;
n ??

(Ⅲ)若存在正整数 n,使得 An ? a ,求 a 的取值范围.
2

-

-

5

答案
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) : (1).D (2).C(3).C (4).A(5).B(6).C (7).D (8).D (9).C (10).B (11).A (12).C 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) (13).1 ; (14).0; (15). 17 和-11 ;(16). ①②④ 三、解答题(共 74 分,按步骤得分)

( 17. 解: (I)?

7 ? ? ? )?x )? x (? ? 8 8 1 ? s x ) s??i 2 ) f ) i ?cx ) s x ( ?( x n o ( n? ( ……3 分 8 82 4 1 ?? 1 ? ? i[ x ) ] s2 g ( x s 2? ? ? i x ) n ( n ……6 分 2 8 4 2 3 ? 5 ? ( , )时是增函数 (II)证明一:依题意,只需证明函数 g(x)当 x? 4 4

?

?

?

?2在 2? ? x 2? s x k ? 2 ?k ? i n 2 2

?

?

? x k? k Z ) 即 k ? ? ?? ( ? 的每一个区间上是增函数
4 4
当 k?1时, gx ? i 2 在 ( ( ) sn x

?

?

……9 分 ……10 分

( 则当 x?

3 ? 5 ? , )时,经过函数 g(x)图像上任意两点的直线的斜率恒大于零。 4 4
……12 分

3? 5? , ) 是增函数 4 4

证明二:设函数 g(x)图像上任意两点

3 5 A 1 B 2 xx( , (,(,1 2 xy xy , ) , ) ,? ) 1 2 4 4
? B , ? 不妨设 x 2K 1x A sxi x2x 2ix2 i 1s 2 c 1x (? n? 2 n 2 o? n x s ( ) 1 ) s ? x2 ? x2 ? 1x 1x

??

3 5 3 5 x ? ) 1 2(, x , 分 , x ,x ( , x ? ) 1 2( 0…11 ? , x?) ?? 1 2 4 4 2 2 2

? ?

? ?
-

?

6

c x s xx0 0 o ) i ? 1 ?? s 2, ( ? 1 ) ?K x0 ? n?2 A ( 2, x0 x B , 1

3 ? 5 ? , )时,经过函数 g(x)图像上任意两点的直线的斜率恒大于零。 4 4 1 18. 证明 ∵M 是 BC 的中点,连结 OM, ∴ OM = ( OB + OC ) 。 2 1 同理由 N 是 AC 的中点,得 ON = ( OA + OC ) 。 2 1 ∵ PM = PO + OM = ( AO + OB + OC ) 2 1 1 = ( OB - OA + OC )= ( AB + OC ) , 2 2 1 1 QN = QO + ON = ( BO + OA + OC )= ( OA - OB + OC ) 2 2 1 1 = ( BA + OC )= ( OC - AB ) 。 2 2 1 1 1 2 2 ∴ PM · QN = ( OC + AB ) · ( OC - AB )= ( OC - AB ) 。 2 2 4
则当 x? ( ∵| AB |=| OC |,∴ PM · QN =0,即 PM⊥QN。 19.解: (I)由表中数据知(1)鲸沿海岸线方向运行的速度为 (2)a、b 满足的关系式为 b ? a 。 鲸的运动路线图为 (II)以点 A 为坐标原点,海岸线 AB 为 x 轴,建立直角坐标系,如图,设鲸所在的位 置为点 P(x,y) ,由(I)知 y ?

1 10

(km/分钟) 。

x。

又 B(15,0) ,依题意知,观测站 B 的观测区域为

( ?) ? ? ( ? , x12 y 2y 0 5 2 5 )
又y ?
2

x 1) x 2 , x ,∴ ( ?52? ? 5

? x2 ? 9 0 。 1x7 . 3 ?7 . 即 x 2 ? 00 ∴ 1? 1 。
故鲸从 A 点进入前方观测站 B 所用的时间为

1 1 .3 ? 1 1 3 分钟。 1 10
7

-

-

答:鲸大约经过 113 分钟进入 B 站的观测范围。 20. 解: (I)? AM ? 2 AP, NP ? AM ? 0. ∴NP 为 AM 的垂直平分线,∴|NA|=|NM|.

又? CN | ? | NM |? 2 2 ,? CN | ? | AN |? 2 2 ? 2. | | ∴动点 N 的轨迹是以点 C(-1,0) ,A(1,0)为焦点的椭圆. 且椭圆长轴长为 2a ? 2 2 , 焦距 2c=2.

? a ? 2 , c ? 1, b 2 ? 1.

∴曲线 E 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 2

(II)当直线 GH 斜率存在时, 设直线 GH 方程为 y ? kx ? 2, 代入椭圆方程 得 ( ? k ) x ? 4kx ? 3 ? 0.
2 2

x2 ? y 2 ? 1, 2

3 由? ? 0得k 2 ? . 2 ? 4k 3 设 G ( x1 , y1 ), H ( x 2 , y 2 ), 则x1 ? x 2 ? , x1 x2 ? 1 1 ? k2 ? k2 2 2
又 ? FG ? ? FH , ? ( x1 , y1 ? 2) ? ? ( x 2 , y 2 ? 2)

1 2

? x1 ? ?x2 ,

2 ? x1 ? x2 ? (1 ? ? ) x2 , x1 x2 ? ?x2 .

?(

x1 ? x2 2 xx 2 ) ? x2 ? 1 2 , 1? ? ?

? 4k 2 3 ) 1 1 ? k2 ? k2 ? 2 ? 2 , 整理得 ? (1 ? ? ) 2 (
3 16 16 ,? 4 ? ? . 3 2 3 ?3 2 2k

16 (1 ? ? ) 2 ? 1 ? 3( 2 ? 1) 2k
?4 ? ? ? 1

?k2 ?

?

?2?

16 1 .解得 ? ? ? 3. 3 3

又 ? 0 ? ? ? 1,

1 ? ? ? ? 1. 3 1 1 FH , ? ? . 3 3

又当直线 GH 斜率不存在,方程为 x ? 0, FG ?

-

-

8

1 1 ? ? ? ? 1,即所求?的取值范围是[ ,1) 3 3
21. 解: (1)依题意,⊙ Pn 的半径 rn ? y n ? x n ,
2

?⊙ Pn 与⊙ Pn ?1 彼此外切,
? Pn Pn ? 1 ? rn ? rn ? 1
两边平方,化简得 即

? ( xn ? xn?1 ) 2 ? ( y n ? y n?1 ) 2 ? y n ? y n?1
( x n ? x n?1 ) 2 ? 4 y n y n?1 ,

2 2 ( x n ? x n?1 ) 2 ? 4 x n x n?1 ,

? xn ? xn ?1 ? 0 ,

? xn ? xn ?1 ? 2 xn xn ?1

1 1 ? ? 2(n ? N ) , xn ?1 xn

∴ 数列 {

1 } 是等差数列. xn

(2) 由题设, x1 ? 1 ,∴

1 1 1 ? ? (n ? 1) ? 2 ,即 xn ? , xn x1 2n ? 1
4

S n ? ?rn

2

? ?y n

2

? ?x n

?

?
(2n ? 1) 4
? ? [1 ?



Tn ? S1 ? S 2 ? ? ? ? ? S n

1 1 1 ? 2 ??? ] 2 3 5 (2n ? 1) 2

? ? [1 ?

1 1 1 ? ??? ] 1? 3 3 ? 5 (2n ? 3) ? (2n ? 1)

= ? {1 ?

1 1 1 1 1 1 [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )]} 2 3 3 5 2n ? 3 2n ? 1 1 1 = ? [1 ? (1 ? )] 2 2n ? 1

?

3 ? ? 3 ? ? ? . 2 2(2n ? 1) 2

22. 解: (1)f(x)的定义域是 {S 0 } ? ( S 0,S1 ] ? ( S1,S 2 ] ? ? ? ( S n ?1,S n ] ? ?? ,
9

由于所有的 a n 都是正数,故 S n 是单调递增的. ∵ lim S n ?
n ??

a1 a a2 ? ? 1 ? q 1 ? 1 a ?1 a
k P1Pi ?1 ? f ( S i ?1 ) ? f ( S1 ) S i ?1 ? S i

∴f(x)的定义域是 [0,

a2 ] a ?1

(Ⅱ)∵

?

ai ?1 ? ai ? 1 ? a (i=1,2,…)与 i 无关. ai ?1

∴ 所有的 P1 , P2 , P3 …共线, 该直线过点 P1 (a,a) ,斜率为 1-a, ∴

A1 ?

1 2 a . 2

当 n≥2 时, An 是一个三角形与一个梯形面积之和(如上图所示) .梯形面积是

1 a(1 ? n ) 2n?2 ?1 1 1 1 a ? a] ? a [ f ( S1 ) ? f ( S n ) ]S( ? S1 ) ? (a ? n ?2 )[ n 2n?4 1 2a (a ? 1) 2 2 a 1? a
a2 a 2n?2 ? 1 ? 于是 An ? 2 2a 2 n ? 4 (a ? 1) a2 a2 a3 ? ? 故 lim An ? n ?? 2 2(a ? 1) 2(a ? 1)
2 n ??

(Ⅲ)解法一:结合图像,易见 k P1P2 ? 1 ? a ? ?1 即 a≥2 时, a ? lim An ? An , 而 k P1P2 ? 1 ? a ? ?1 ,即 a<2 时, lim An ?
n??

1 2 1 2 a ? a ? a2 2 2
2

故当 1<a<2 时,存在正整数 n,使得 An ? a 解法二:假设存在正整数 n,使得 An ? a ,
2

a2 a 2n?2 ? 1 ? 2n?4 ? a2 ? 0 则应有 2 2a (a ? 1)

-

-

10

?

a 2 n ?2 (a ? 2 ?

1
2n?2

a 2n?4 2a (a ? 1)


)

?0

?

a2 1 (a ? 2 ? 2 n ?2 ) ? 0 2(a ? 1) a



a ? 1,

a2 ?0 2(a ? 1)

?

a?2?
2

1 a
2n?2

?0

?

a?

1 a
2 n?2

?2

∴ 1<a<2 时,存在正整数 n,使得 An ? a 成立

-

-

11


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