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第十三章 排列组合及二项式定理习题及答案


第十三章

排列组合二项式定理 复习题及答案

一、概念:分类加法计数原理

分步乘法计数原理

排列

组合

m 排列数公式 An ? n?n ? 1??n ? 2???n ? m ? 1? ?

n! ?n ? m ?!

r />m 组合数公式 C n ?

m An n! ? m Am m!??n ? m?!

n 排列数性质:① An ? n! 0 组合数性质:① Cn ? 1

② 0! ? 1
m n ② Cn ? Cn ? m m m m ③ Cn ? Cn ?1 ? Cn?1

二、应用: 1. 把 3 本书放到 4 个抽屉中,不同的放法有▁▁▁种. 答案:4 =64 . 2. 中国、美国、古巴、日本举行四国女排邀请赛,每个国家都有得冠亚军的可能,但冠军 均不能并列,则得冠亚军的所有不同情况共有▁▁种. 答案:А
2 4
3

=12

.

3. 某班有 3 名学生准备参加校运动会的百米、二百米、跳高、跳远四项比赛,如果每班每 项限报 1 人,则这 3 名学生参赛的不同方法有▁▁▁种. 答案: А
3 4

=24

4. 从 1、3、5、10、20 这五个数中任选两个相加,则可得不同的和数▁▁▁个.能得到不同 的和▁▁个. 答案: С
2 5

=10

С 5 +С 5

4 5

+С 3 +С 5

2 5

+С 1 =31 5

5. 有 6 个排球队,举行单循环比赛.则比赛的场数有▁▁. 答案: С
2 6

=15

6. 有 10 个人两两碰杯,共碰杯▁▁▁次. 答案: С
2 10 =45

.

7. 用 1 元、2 元、5 元、10 元人民币各一张,能组成不同的币值▁▁▁种. 答案: С
1 4



2 4



3 4



4 4

=15

8. 正十二边形共有▁▁▁条对角线. 答案: С
2 12 -12=54

减去 12 个顺次相连不成对角线.

9. 用 1、2、3、4、5 五个数可以组成不充许数字重复的自然数▁▁个.

1

答案:

А 1 +А 5

2 5

+А 3 +А 5

4 5

+А 5 =325 5

10. 用 1、2、3、4、5 五个不同的数组成不许重复的三位数为▁▁.充许重复的三位数为▁ 答案: А 3 =60 5 5 =125
3

11. 在三位正整数中 0 的个数共▁▁▁个. 答案: 分为三类:一类含两个零有 100、200、· ··900 共 18 个二类十位为 0 而个位不为 0 有 9×9=81. 如 101、102、· ··109、201、202、· ··909 三类十位不为 0 而个位 为 0 的有 9×9=81 合计有 18+81+81=180 12. 数 72 有多少个正约数?.其中正偶数有多少个? 答案:72= 2 ×3
3 2

约数 2 ×3

r

x

其中 2 的指数有 0、1、2、3 四种取法,3 的指数有

0、1、2 三种取法共有 4×3=12 种. 偶约数 2 的指数有 1、2、3 三种取法共有 3×3=9 种 13. 现有男学生 8 名,女学生 2 名,要从中选 4 人组成一个学习小组,必须有女学生参加的 选法种数是▁▁▁. 答案:С
1 2

3 ·С 8 +С

2 2

·С

2 8

=112+28=140

14. 要从 8 名男医生和 7 名女医生中选 5 人组成一个医疗小组, 如果医疗小组中男.女医生均 不少于 2 人,则不同的选法种数是▁▁. 答案:С
2 8

·С

3 7

3 +С 8 ·С

2 7

=2156

15. 直线 a ∥ b , a 上有 5 个点, b 上有 4 个点.以这 9 个点为顶点,可组成不同三角形个 数▁▁▁个. 答案:С
2 5

·С 1 +С 1 ·С 5 5

2 4

=70.

16. 除点 O 外,在∠ AOB 的边 OA 上另有 5 点,边 OB 上另有 4 点,以含点 O 在内的 10 个点为顶点,可以组成多少不同的三角形. 答案:① С ② С
2 5 3 3 3 10 -С 6 -С 5 =90.

OA 中 6 取 3. OB 中 5 取 3 在一条直线上
2 4

·С

1 4

+С 1 ·С 5

+С 1 ·С 5

1 4

=90

OA 、 OB 有一个和两个点及 O

17. 在 10 名学生中有 6 名男学生,4 名女学生,要从中选 5 名参加义务劳动,女学生至多有 2 名的选法有▁▁▁种. 答案:С
0 4

·С 5 +С 6

1 4

·С

4 6



2 4

·С 3 =186 6

18. 某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教

?每地1人? , 其中甲和乙不同
4 6

去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有▁▁▁种. 答案:甲去则乙不去丙去有С
2 5

·А

4 4

甲不去则丙不去有С

·А

4 4

共有

240+360=600 19. 安排 7 位工作人员在 5 月 1 日至 5 月 7 日值班,其中甲乙二人都不安排在 5 月 1 日和 2 日,不同的安排方法共有▁▁▁▁种.

2

答案: 甲乙两人不在 1 日和 2 日有А 有А
2 5

2 5

种方法, 其余 5 人在剩下的 5 天中安排一天有А

5 5



·А 5 =240 5

20.电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱,其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观 众来信,甲信箱中有 30 封,乙信箱中有 20 封,现由主持人抽奖确定幸运观众,若先确定 一名幸运之星,再从两信箱中确定一名幸运伙伴,有____种不同的结果. 答案: 28800 分两类:①幸运之星在甲信箱中抽,先定幸运之星,再在两信箱中各定 幸运伙伴有 30 ? 29 ? 20 ? 17400 种结果②幸运之星在乙信箱中抽,同理有 20 ? 19 ? 30 ? 11400 种结果.因此,共有不同结果 17400 ? 11400 ? 28800 种 21. 某班级有一个 7 人小组,现任选其中 3 人相互调整座位,其余 4 人座位不变,则不同的 调整方案的种数有 ( ) А . 35 B. 70 С . 210 D. 105 答案:B.
3 从 7 人中选出 3 人有 C7 ? 35 种情况,再对选出的 3 人调整座位有 2 种情况

3 有 2C7 ? 70

22. 要从 10 名男生和 5 名女生中选出 6 人组成啦啦队,若男生选取 同的选法种数▁▁▁种. 答案:男 10 名女 5 名 С
4 2 10 ·С 5

2 ,剩余选女生,则不 3

=2100

23. 将 5 名实习生教师分配到高一年级的 3 个班实习,每班至少 1 名,最多 2 名,则不同的 分配方案有 ( ) А . 30 种 B. 90 种 С . 180 种 D. 270 种 答案:分下列 4 步:① 三个班中桃一个班得一名教师有С 1 种 3 ② 5 个教师中选一人进这个班有С 1 种 5 ③从剩下的 4 名教师中再选 2 人进第二个班有С ④ 最后剩下的 2 名教师进第三个班有С 由分步计数原理共有С 1 ·С 1 ·С 3 5
2 4 2 2 2 4





·С

2 2

=90 种

24. 某外商计划在 4 个候选城市投资 3 个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过 2 个,则该外商不同的投资方案有 ( ) А . 16 种 в .36 种 С .42 种 D.60 种 答案:分两类① 三个项目分别在三个城市内有А ②三个项目分别在两个城市内有С
2 3
3 4


2 4

·А

共有 24+36=60 种

25.正六边形 ABCDEF 中,А С ∥у 轴,从六个顶点中任取三点,使这三点能确定一条形 如 y ? ax ? bx ? c?a ? 0? 的抛物线的概率是▁▁▁.
2

3

答案: 由二次函数性质知三点可确定一条抛物线但两点连线不能与纵轴平行, 故概率为
3 C6 ? 2 ? 4 3 ? 3 5 C6

对 AC 有上下左右 4 种抛物线不满足题意

26. 从 1、2、3┅100 中,任选两个不同的数相乘,乘积(如两数相等仍按两个积计算)能被 3 整除的取法有▁▁▁种. 答案:能被 3 整除的数 33 个,不能被 3 整除的数 67 个. 则С
1 33

·С

1 67



2 33

=2739

不能被 3 整除的数С

2 100

-2739=

27. 一个袋子装有红球与白球各 5 个, 要从中取 4 个, 取出的红球多于白球的取法有▁▁种. 答案:С 3 ·С 1 +С 5 5
4 5 0 ·С 5 =55

28. 用数字 0、1、2┅9 这 10 个数字可组成第一位数字是 2 或 3 或 6 的 7 位电话号码为▁▁ 个 答案:2 开头 10 个
6

3 开头 10 个

6

6 开头 10 个

6

共 3×10

6

29. 己知,a ? {1,2,3},b ? {3,4},r ? {1,2,3,4},那么方程 ?x ? a? ? ? y ? b? ? r 2
2 2

共可表示▁▁▁个不同的圆. 答案: 3×2×4=24 30. 十字路口来往的车辆共有▁▁种不同的行车路线.
2 答案: A4 ? 12

每个路口有两种方法.

31. 若 m∈{ ? 2 , ? 1 ,0,1,2,3},n∈{ ? 3 , ? 2 , ? 1 ,0,1,2},方程

x2 y2 + =1 表 m n

示中心在原点的双曲线,则最多可表示▁▁条不同的双曲线. m ? ?2 m ? ?1 答案:13. n=1 、2 两条 n=1 .2 两条 m ?1 m ? 2 时 n 三条 m ? 3 时 n 三条 n= ? 3 , ? 2 , ? 1 . 三条 共 13 条 32. 有一元币 3 张,5 元币一张,10 元币 2 张.,可以组成多少种不同的币值. 答案:有一种币值时 3+1+2=6 种 两种币值时 1 元、5 元有 1×3=3 种 1 元、 10 元有 3×2=6 种 5 元、 元有 2×1=2 种 10 三种币值时 3×2×1=6 种 共 6+3+6+2+6=23 种. 33. 直线 Ax ? By ? 0 , 若从 0、1、2、3、5、7 六个数字中每次取两个不同的数作为Α 、 B 的值,则表示不同直线的条数为 Α . 2条 B. 12 条 答案:C 共Α
2 5

( C. 22 条 D. 25 条 取出的两个数中不含 0 时有Α



取出的两个数中含有 0 时有两条直线. +2=22 条.

2 5

34. 设集合 M={ K | K ? 3 ,K ? Z }. Ρ ( x , y )是坐标平面上的点,且 x , y ? M 则

4

Ρ 表示平面上▁▁个点. 答案:25. M={ ? 2 , ? 1 ,0,1,2} 横纵坐标均 5 种共 5×5=25 个 35. 有 386、 486、 586 型电脑各一台,甲、 乙、 丙、丁四名操作人员的技术等次不同, 甲、 乙会操作三种型号的电脑, 丙不能操作 586, 而丁只会操作 386,今从这四名操 作人员中选 3 人分别去操作以上电脑, 则不同的选派方法有 ( ) Α .4种 B. 6 种 C. 8 种 D. 12 种 答案:C 有丁时 586 486 386 无丁时 586 486 386 甲 丙 丁 甲 乙 丙 乙 丙 丁 甲 丙 乙 乙 甲 丁 乙 丙 甲 甲 乙 丁 乙 甲 丙 共 4+4=8 种 36. 从一个 3×4 方格中的一个顶点Α 到对角顶点 B 的最短路线有几条. 答案:从Α 到 B 的最短路线均需 7 步,包括横 4 纵 3,则从 7 步中取 4 步或 3 步的组合.
4 则从Α 到 B 的最短路线共有 C 7 =C 3 =35 条. 7 2 若 2×5 方格为 C 7 =C 5 7

37. 5 人排成一排,甲不站在正中间的排法种数为 Α . 24 B. 48 C. 96 答案: C 38. 甲不在正中有Α
1 4

( D. 119
4 4

)

. 其余 4 人任选Α

则Α

1 4



4 4

=96

也可Α 5 -Α 5 (

4 4

=96

7 人站成一排,如果甲、乙两人必须不相邻,则不同的排法种数 Α . 1440 B. 3600 C. 4320 D. 4800 答案:Α
7 7

)

-2Α 6 =3600 6

39. 一名老师和 4 名获奖同学排一排照相留念, 若老师不排在两端, 则不同的排法共▁▁种. 答案:72
1 老师 A3

学生Α

4 4

1 4 A3 A4 ? 72

40. 5 人排一排,如果Α 必须站在 B 的左边(Α 、B 可以不相邻),则不同的排法有▁▁▁种. 答案:Α
4 4

+Α 1 ?Α 3 +Α 3 3 × Α

1 2

?Α 3 +Α 3 =60 3 3 × B B Α

× × B B B B B B Α B 41. 5 人排成一排,甲不站在左端,乙不站在右端,共有多少种不同的排法. 答案:Α 5 -甲在左或乙在右 2A4 +多减的一个Α 3 =78 5 3 42. 有Α 、B、C、D、E 五人并排站在一排,如果Α 、B 必须相邻且 B 在Α 的右边.不同的排 法▁▁种 答案:4Α 3 =24 3 × Α ? × B Α × ? B × ? ? × ? ?
4

× B Α

5

? ? Α B ? ? ? ? Α B 43. 从 6 名志愿者中选出 4 人,分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作,若甲、乙 两名志愿者都不能从事翻译工作,则选派方案共有 ( ) Α . 280 种 B. 240 种 C. 180 种 D. 96 种 答案:B 选有Α 对翻译从甲、乙外的 4 人选一人有Α
3 5
1 4

余 3 个从甲、乙及前选后余的中

共有Α

1 4

?Α 3 =240 5

44. 有 6 个停车位置,有 3 辆汽车需要停放,若要使 3 个空位连在一起,则停放的方法数是 ( ) Α. Α
4 4

B. Α

3 6

C. Α

4 6

D. Α

3 3

答案:Α 45.有 4 名司机和 4 名售票员,分配到 4 辆公共车上工作,每辆汽车分别有 1 名司机和 1 名 售票员,则不同的分配方法总数有 ( ) Α. Α
4 8

B. Α

8 8

C. Α

4 4



4 4



4 4

答案:C 46. 5 名乒乓球运动员争夺冠亚军(不设并列名次),所有不同的可能性为▁▁▁种. 答案:Α
2 5

=20

47. 车厢里有 6 个座位,5 个人上车,有▁▁▁种不同的坐法. 答案:Α 5 =720 6 48. 从 10 个同学中选 4 人参加 4×100 米接力赛, 则从第一棒到第四棒有▁▁▁种不同的排 法. 答案:Α
4 10 =5040

49. 某节目共有 6 名女生,2 名男生参加表演,表演队分成前后两排,每排 4 人,男生和甲、 乙两女生必须在后排,这样的排法种数为▁▁种. 答案:两男两女及 4 个女生均可全排即Α
4 4



4 4

=576

50. 有 3 张卡片的正、反面分别写着 1 和 2,4 和 5,7 和 8,当将它们并排组成三位数时, 可能得到▁▁不同的三位数. 答案: C 1 ?C 4 C 2 =48 6
1 1

6 选 1 固定 1 个卡片,4 选 1 再固定 1 个卡片再 2 选 1

51.

1 开头 8 个,2 开头 8 个 ? ? ? 8 开头 8 个 共 6×8=48 7 个人并坐照相. ①.有多少不同的坐的方法; ②.如果某一个人必须坐在中间(或其他某一个固定位置),有多少不同的坐法; ③.如果某一个人不坐在中间(或不坐在其他某一个固定位置),有多少不同的坐法; ④.如果某一个人既不坐在中间也不坐在两端,有多少不同的坐法; ⑤. 如果某两个人必须坐在两端(或某两个不相邻的位置),有多少不同的坐法;

6

⑥.如果某两个人必须坐在一起(或三人.四人坐在一起),有多少不同的坐法; ⑦.如果某三个人必须坐在一起,其余四个人必须相邻而坐,有多少不同的坐法; ⑧如果某三个人与,其余四个人必须相间而坐,有多少不同的坐法; ⑨. 如果八个人并排而坐而其余四个人与其余四个人必须相间而坐, 有多少不同的坐 法. 答案:① 7 人全排Α
7 7

=5040.

②某人固定一个位置其余 6 人全排Α 6 =720 6 ③ 7 人全排减某人坐在中间既 Α
7 7

-Α 6 =4320 6
1 6

或某人不坐中间在其余 6 个位置中选一个Α 则Α 1 ?Α 6 =4320. 6 6 ④.Α
7 7

其余 6 人全排Α

6 6

全排-3Α 6 某人坐中间和两端=2880. 6
1 4

或 某 人 不 坐 中 间 也 不 坐 两 端 可 在 其 余 位 置 Α ⑤.两个人在 两端全排其余 5 人全排有Α
2 2

? Α

6 6

=2880.

?Α 5 =240 5
2 2 4 4

⑥.两人全排其余 5 人和那一个整体即 6 人全排 Α ⑦.三人及四人均全排且两组可交换即 Α
2 2

?Α 6 =1440 6 =288.

?Α 3 ?Α 3
4 4

⑧.某 4 人坐 1. 3. 5. 7 的位置可视为间隔即Α 3 ?Α 3

=144.
2 2

⑨.4 人坐 1. 3. 5. 7 另 4 人坐 2. 4. 6. 8 位置且两组可交换即Α



4 4



4 4

=1152.

52. 从 5 个男同学和 4 个女同学中选出 3 个男生和 2 个女生分别参加数、 理、 化、 计箅机、 作文竞赛,每人参加一项,问有多少种参赛方案. 答案:5 男生选 3 人 4 女生选 2 人 5 人全排即 C 3 ?C 4 ?Α 5 =7200. 5 5 53. 安排 3 名支教教师去 6 所学校任教,每校至多 2 人,则不同的分配方案共有▁▁▁种. 答案:Α 3 +Α 6 54.
2 6 2 ?C 3 =210.
2

25 个大学生己排成了 5 行 5 列, 现从中选出 3 人去 3 个不同的工厂参加社会实践活动, 要求这 3 人来自不同行,则不同的选派方案的种数为 ( ) Α . 3600 B. 7200 C. 7500 D. 10800 答案:C 分组两全排 5×5×5×C 3 ?Α 3 =7500. 5 3 选行选列选 3 人有 5 种

55. 用 0、 1、 2、 3.、4 这五个数组成没有重复数字的四位数,在这些四位数中,是偶数 的有 ( ) Α . 120 个 B. 96 个 C. 60 个 D. 36 个

7

答案:C 0 为个位有Α 个位Α
1 2

3 4

.
3 4

2. 4 为个位Α +Α
1 2

1 2 1 2

余 4 选 3 有Α
2 3

3 4

减 0 为首位 2. 4 为



2 3

共Α



3 4





=60.

56. 由 1、2、 3、 4、5 组成比 40000 小且没有重复数字的五位数的个数是▁▁. 答案:首位 1、 2、3 余的 4 个全排 Α 1 ?Α 3
4 4

=72

57. 用 1、 2、 3、4 四个数可组成没有重复数字且奇、偶相间的四位数▁▁个. 答案:8. Α
1 2



1 2



2 2

=8

1. 2. 3. 4.

3. 2. 1. 4. 2. 3. 4. 1. 4. 3. 2. 1.

1. 4. 3. 2. 2. 3. 1. 4. 2. 1. 4. 3. 4. 1. 2. 3. 58. 由数字 0、 1、 2、 3、 4、5 可组成不重复的 ①.多少个能被 5 整除的五位数;②.多少个六位奇数. 答案:①.个位为 0 有Α
4 5

+个位为 5 而首位不为 0 有Α 首位Α
1 4

1 4



3 4

=216. 共Α 1 ?Α 3
1 4

②.个位 1. 3. 5 有Α 1 . 3

. 中间Α

4 4



4 4

=288.

59. 用 0 到 9 这十个数字可以组成多少个没有重复数字的三位偶数. 答案:328. 0 在个位Α
2 9



1 4

?Α 1 ?Α 8

1 8

. 0 不在首位在 2. 4. 6. 8 中选一个在个
1 4

位.再从 8 个非零数中选一个在百位.再由含 0 内的 8 个选一个在十位有Α

?Α 1 ?Α 8

1 8

60. 从数字 1、2、 3、 5、 7 中任选两个作为对数的底数和真数,共可得不同对数值的个 数是 ( ) Α . 60 答案:D 61. B. 20 C. 12
2 4

D. 13 +1 即 1 为真数 2、3、5、7 为底

无 1 时从 2、 3、 5、7.中任选两个有Α

由 0、 1、 2、3、4、 5 这六个数字组成的无重复数字的六位数中,个位数字小于十 位数字的共有 ( ) Α . 210 个 B. 300 个 C. 464 个 D. 600 个 答案:B 选个位然后首位再十位再中间 × × × × × × Α
5 5
3
3

0 ?Α
1 4

Α 1 ?Α 3

1 2 3 5 4 和 300.

Α 1 ?Α 3 ?Α 3 3 Α 1 ?Α 3 ?Α 3 3 Α 1 ?Α 3
3 3

1 3
1 2

62. 用 0、1、 2、 3、4 组成数字不重复的三位数,将这些数从小到大排成一数列,则 310

8

是这个数列的第 Α . 25 项 答案:D

( B. 26 项 × 1 2 C. 27 项 × Α Α
2 4 2 4

)

D. 28 ×

3 0 1 3 0 2 3 0 4 3 1 0 和 28. 63. 由 0、 1、 2、?、9 这十个数字组成的无重复数字的四位数中,个位数字与百位数字 之差的绝对值等于 8 的个数为 ( ) Α . 180 B. 196 C. 210 D. 224 答案: C 个.百位选法有 0 与 8 或 1 与 9
2 2

取 0 与 8 时Α 和 210

2 2



2 8

取 1 与 9 时Α



1 7



1 7

64. 由 0、 1、 2、3、 4 五个数字组成没有重复数字的五位数,问满足下列条件的数有多 少个. ①.偶数; ②.1 不在个位. 答案: ①.60 即Α
4 4

0 在个位Α +2Α 1 ?Α 3 =60 3 3
4 4

4 4

+ 2 或 4 在个位Α

1 2

?首位Α 1 ?中间Α 3

3 3

②. 0 在个位Α

+0 不在个位从 2. 3. 4 中选一个Α 1 ?从非 0 的三个中选一个 3

在首位Α 1 ?中间Α 3 =78. 3 3 65. 在 100 以内所有能被 3 整除但不能被 7 整除的正整数之和是 Α . 1557 B. 1473 C. 1470 答案: B 能被 3 整除的数列 b 1 =3 b 33 =99 a 4 =84 k=33 r=4 ( D. 1368 s 1 =33(3+99)/2=1683 s 2 =4(21+84)/2=210 )

能被 3×7=21 整除的数 a 1 =21

则 1683-210=1473. 66. 有 6 本不同的书,分给甲、乙、丙 3 人,甲得 3 本,乙得 2 本,丙得 1 本,不同分法有 ( Α . 10 本 答案: B B. 60 本
2 ①. C 3 ?C 3 =60 6

)

C. 180 本
2 ②. C 1 ?C 5 ?C 3 =60 6 3

D. 360 本

67. 有 6 本不同的书,分给甲、乙、丙 3 人,一人得 3 本,一人得 2 本,一人得 1 本,不同 分法有 ( ) Α . 10 本 B. 60 本 C. 180 本 D. 360 本

9

答案: D

同上选出后要全排

2 C 1 ?C 5 ?C 3 ?Α 3 =360 6 3 3

68. 有 6 本不同的书, 分成 3 堆, 每堆 2 本,不同分法有 ( ) Α . 15 种 B. 60 种 C. 90 种 D. 360 种 答案: Α 设有Α . B. C. D. E. F 有如下分组(Α B. CD. EF) (Α B. EF. CD) (CD. Α B. EF) (CD. EF. Α B) (EF. Α B. CD) (EF. CD. Α B) 六种只算一种
2 2 2 C6 ? C 4 ? C 2 ? 15 种 3 A3

69. 有 6 本不同的书, 分给甲、 乙、 3 人,每人 2 本, 不同分法有 丙 Α . 15 种 B. 60 种 C. 90 种 D. 360 种 答案: C 用上题先分堆再全排
2 2 2 C6 ? C 4 ? C 2 3 ? A3 ? 90 种 3 A3

(

)

70. 把 3 名教师分配到 6 个班上课,每人两个班,不同分法有▁▁种. 答案: 90. 类似于 64 题
2 C 6 ?C 4 ?C 2 =90.
2 2

71. 把 8 个人分成 4 组,每组 2 人,不同分法有▁▁种. 答案: 105. 类似于 66 题
2 2 2 C82 ? C6 ? C4 ? C 2 ? 105 4 A4

72. 把 10 人分成 4 组,其中两组各 2 人,另两组各 3 人,不同分法有▁▁种. 答案: 6300.
2 3 3 C10 ? C82 C6 ? C3 ? ? 6300 2 2 A2 A2

73. 四个不同的小球,放入编号为 1、2、 3、 4 的四个盒子中,则恰有一个空盒的放法有 ____种. 答案: 144. 先选小球 C 4 ?从 4 个盒子中选三个排列Α 也可将盒子全排 C 4 ?Α
2 4 4 2 3 4

=144.

=144.

74. 设有编号为 1、 2、 3、 4、 5 的五个球和编号为 1、 2、 3、 4、 5 的五个盒子,将 这五个球分别放入盒中(每个盒放一个), 其中恰有两个球的编号与盒子编号相同的放法 有▁▁种. 答案: 20.
2 有 1. 2 相同时 C 5 2 后边有 5. 3. 4 及 4. 5. 3 两种. 共 2 C 5 =20.

75. 有编号为 1、 2、 3、?、10 的 10 个球和编号为 1、 2、 3、?、10 的 10 个盒子, 将这 10 个球分别放入盒中(每个盒放一个),恰有三个球的编号与盒子编号不相同的放 法有▁▁种. 答案:
7 3 2C10 ? 2C10 ? 240

76. 同室四人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺卡,则四张 贺年卡不同的分法有▁▁种. 答案: 9 种 可改为球与盒子号全不同的放法

10

① ② 2 1 2 4 2 3

③ 4 1 4

④ 3 3 1

① 3 3 3

② 1 4 4

③ 4 2 1

④ 2 1 2

① 4 4 4

② 3 3 1

③ 2 1 2

④ 1 2 3

共9种 77. 将 4 个颜色互不相同的球全部放入编号为 1 和 2 的两个盒子中,使得放入每个盒子里的 球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有 ( ) Α . 10 种 B. 20 种 C. 36 种 D. 52 种 答案: Α 1 号盒中放 1 个球 2 号盒中放 3 个球有 C 1 ?C 3 =4 种.加 1 号盒中放 2 个球 4 3 共 4+6=10 种

2 号盒中放 2 个球有 C 2 ?C 2 =6 种 4 2

78. 将标号为 1、2、? 10 的 10 个球放入标号为 1、2、? 10 的 10 个盒子里,恰好 3 个 球的标号与所在盒子的标号不一致的放法种数为 ( ) A. 120 B. 240 C. 360 D. 720 答案: B 79.
7 3 2C10 ? 2C10 ? 240

用 5 种不同颜色给四个连续的小正方形区域涂色,如果每一区域涂一种颜色,相邻区 域不能同色,那么涂色方法有▁▁种. 答案: 240. 3 与 1 可同色 4 与 2 可同色 即 5×4×4×3=240. 80. 用 5 种不同颜色给图中四个区域涂色,如果每一区域涂一种颜色, 相邻区域不能同色,那么涂色方法有▁▁种. 答案: 260. 颜色各不相同时有 5×4×3×2=120 有一组对角同色有 2×5×4×3=120 有两组对角同色有 5×4=20 共 120+120+20=260 81. 一个口袋内装有 4 个不同的红球,6 个不同的白球,若取出一个红球记 2 分,取出一个 白球记 1 分,问从口袋中取 5 个球使总分不小于 7 分的取法有▁▁▁种. 答案: 186 设取 x 个红球.у 个白球.则

2x ? y ? 7
或x?3

x? y ?5
у =2 或x?4

其中

0? x?4
2 3

0? y?6
4

则x?2

у =3

y ?1

2 C 4 ?C 3 +C 4 ?C 6 +C 4 ?C 1 =186 种. 6 6

82. 一条铁路原有 m 个车站,为适应客运需要,新增加 n 个车站 ?n ? 1? ,则客运车票增加 358 种(甲站到乙站和乙站到甲站需要两种不同的票),那么原有车站多少个. 答案:89. 设原有车票Α
2 m

. 增加后Α

2 m? n

.

则Α

2 m? n



2 m

=358

即 n?n ? 2m ? 1? ? 2 ? 179 得 m ? 89 另一组舍去 83. (隔板法)有 10 名三好学生名额,分给六个班,其中每班至少一名,求分配方法. 答案:126. o|o|oo|oo|oo|oo

n?2

n ? 2m ? 1 ? 1 7 9

11

4 9 个空插入 5 个板,即分成了六个班 C 5 =C 9 =126. 9

84. 某人射击 8 次,中 3 次,求连中两次的机会. 答案:30. o ① o ② o ③ o


2 6

o

⑤ o

6 个空,占两个位置.即可连中两次.Α

=6×5=30.

85. 从单词“Eguation”中选 5 个不同的字母排成一排,含有“gu”且“gu”相连顺序不 变的不同排列共有 ( ) A. 120 个 B. 480 个 C. 720 D. 840 答案:B 从剩余 6 个元素中选 3 个元素再全排 C 3 ·A 4 =480. 4 6

86. 如图.A、 B、 C、 D 为海上的四个小岛,要建三座桥将这四个岛 连接起来,不同的建桥方案共有▁▁▁种.

B D 答案:16. C 3 -4=16. 6 ACD ABD C 87. 在一块并排 10 垄的田地中,选择 2 垄分别种植 A. B 两种作物,每种作物种植一垄,为 有利于作物生长,要求 A、B 两种作物的间隔不小于 6 垄.则不同的选择方法有▁种. 答案:12. × × × × × × × × × × A · · · · · · B B B · A · · · · · · B B · · A · · · · · · B 还可交换 2(3+2+1)=12 种. 88. 从 6 双不同的鞋中任取 4 只,其中恰有一双配对的取法有 ( ) A. 270 种 B. 255 种 C. 240 种 D. 120 种 答案:C. 先从 6 双中任取一双有 C 1 种可配成一对,再从余下的 10 只中任取两只 6 A

4 种不满足题意. ABC BCD

2 2 有 C 10 种且去掉其中两个配成一对的可能 C 1 种.共 C 1 ( C 10 - C 1 )=240. 5 6 5

89. 现有 A. B. C 三个电脑室,A 有 3 台同型电脑,B、 C 各有 2 台同型电脑,若要安排 5 个 人到电脑室工作(每人使用一台电脑).则安排方法共有▁▁种. 答案:130. A B C 3 2 2 1 2 1
12

1 1 2

2C 3 =20 5
2 2 C 5 ·C 3 =30 2 2 C 5 ·C 3 =30

1 3 3

2 2 0

2 0 2

C 1 ·C 2 ·C 2 =30 4 2 5 C 3 ·C 2 =10 2 5 C 3 ·C 2 =10 2 5 共 130.

90. 小红把英语单词“error”中字母的拼写顺序搞错了,则她可能出现的错误种数是( ) A. 20 B. 10 C. 19 D. 9 答案:C. 将 r. r. r. o. e 五个字母按顺序排有
5 A5 ? 20 正确的只有一个 20-1=19 3 A3

91. 对某种产品的 6 种不同正品和 4 件不同次品一一进行测试,直到区分出所有次品为止, 若所有次品经过五次测试恰好被全部发现,则这样的测试方法有 ( ) A. 96 种 B. 144 种 C. 576 种 D. 720 种 答案:C. 第五次测试被取完次品,即前 4 次中 3 次取得次品,1 次取得正品且因 4 个次品不同应全排. C 4 ·C 1 ·A 4 =576. 6
3 4

92. 有类似于五个手指的一朵花的五片花瓣,现有四种不同颜色的画笔可供选择,规定每片 花瓣都要涂色且只涂一种颜色, 若涂完的花中颜色相同的花瓣恰有三片, 则不同涂法种 数为▁▁▁(用数字作答). 答案:240. 4 种颜色选 3 种,5 个花瓣选 3 个可涂同色,余的全排 C 3 ·C 4 ·A 3 =240. 5 3 93. 一条长椅上有 9 个座位,若 3 个人坐,要求相邻 2 人之间至少有 2 个空椅子,则共有不 同的坐法种数为 ( ) A. 84 B. 72 C. 60 D. 48 答案:C 三个人每人均占一个座位有 A 3 种,要求相邻两人间至少有 2 个空位子 3
3

1 3 的情况①.三空位是一个整体,放在 4 个空位中的一个位置有 C4 A3 ? 24

②三空位分两组放在 4 个空位中的两个位置有 C 4 ·A 3 =36 种. 3 ①

2

? O





? O ③ O ?

④ 共 24+36=60.

二项式定理复习题及解答
1 ?a ? b?n ? Cn0 a n ? Cn a n?1b ? Cn2 a n?2b2 ? ?? Cnnbn
5 4 3 2

r Tn?1 ? Cn a n?r b r

x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1. 化简: ? ? ? -5 ? ? ? +10 ? ? ? -10 ? ? ? +4 ? ? ?.
答案: x ? x
5

2. 求 1 ? x ? x 2

?

? ?1 ? x? 展开式中 x
7 8 7 7

10

的系数.
3

答案: 1 ? x ? x 2

?

? ?1 ? x? ?1 ? x? ? ?1 ? x ??1 ? x?
13

系数(-1) ·C 3 (-1)=35 7

3

3. 求( x -

2
3

) 100 的展开式中有多少项是有理项.

x
r T r ?1 =(-2) ·C 100 ·(
r

答案:17.

x ) 100?r ·( 3

1 x

r ) =(-2)·C 100 ·X

r

300 ? 5 r 6

r=6K (K=0. 1. 2 ┅ 16)

共 17 项

4. 由( 3 x + 3 2 ) 100 展开所得 x 的多项式中系数为有理数的共有▁▁▁项. 答案:17 T r ?1 =3
m
100 ? r 2 r

r ·2 3 ·C 100 x

100 ? r

r=6K (K=0. 1. 2 ┅ 16)
?

共 17 项

5. 设 f ? x ? ? ?1 ? x ? ? ?1 ? x ?
2

n

展开式中 x 的系数是 19(m、n∈Ν

).

① 求 f ? x ? 展开式中 x 的系数的最小值; ② 对 f ? x ? 展开式中 x 的系数取最小值时的 m、 n,求 f ? x ? 展开式中 x 的系数. 答案: ①. m+n=19
2
7

x 2 的系数 C 2 +C 2 =n 2 -19n+171=(nm n
n=9 、10 时 x 的系数取最小值 81.
2

19 2 323 ) + 2 4

②. n=9 m=⒑或 n=⒑ m =9 6. 在(3- x )
7

7 7 x 7 的系数.C 10 +C 9 =156

展开式中, x 的系数是▁▁.

5

答案: ? 189 7. 在(1 ? x )(1+ x ) 的展开式中, x 的系数是▁▁▁.
3 10 5

答案:207.

5 C 10 -C 1 0 =207

2

8.己知(

x 9 a ) 的展开式中, x 2 x
r T r ?1 =(-1) ·C 9 ·a
r

3

系数为

9 ,常数 a 的值为▁▁▁. 4
r 2

答案:

9?r

·x

r ?9 ?

r-9+

r =3 2

r=8

9 9 a= 16 4
10 2

a?4

9. ( x +2) ( x -1) 的展开式中 x 的系数是▁▁▁. 答案:-5120.
r T r ?1 =C 10 x
10 ? r

·2

r

r=9

T 9?1 =-5120

3 10. 若(2 x + 3 ) = a 0 + a 1 x + a

2

则( x 2 + a 3 x 3 , a 0 + a 2 ) 2 -( a 1 + a 3 ) 2 的值为▁

14

答案: ? 1 11. ( x 2

1 9 9 ) 的展开式中 x 的系数是▁▁▁. 2x
?r

r 答案: T r ?1 =C 9 ·2

·(-1) · x

r

18? 3 r

r=3

r C 9 ·2

?r

·(-1) =-

r

21 2

12. 己知(

1 n +2 a ) 展开式中第五、六、七项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项 2
n -21n+98=0 n=7 时 T 4 =
2

系数最大项的系数. 答案:C 4 +C 6 =2C 5 n n n n=⒕时 T 8 =T 7?1 =3432 13. ( x +
2

n=⒕ 7

35 2

T 5 =70

1 n ) 的展开式中,第 4 项与第 7 项的系数相等,求常数项. x
C 3 =C 6 n n n=9 r=6
6 T 7 =C 9 =84

答案:84.

14. 己知( x +

1 n ) 展开式中,所有偶数项系数之和等于 1024,求展开式的中间两项. x
n ?1

答案: 2 15. 己知(2 3 x +

=1024
n

n=11

T 6 =462X ·

3

x

T 7 =462X

2

1 x

) 的展开式中各项系数和为 59049,求展开式中的常数项.

答案: 13440.
10 ? r r T r ?1 =C 10 ·2

x ? 1 时(2+1) n =59049
·x
20 ?5 r 6

n=10
6

r=4

4 常数项为 C 10 ·2 =13440

16. 己知( x

lg x

-3)

n

的展开式中前三项的二项式系数之和为 22,且中间项的值为-540000,

求 x 的值. 答案: 10 或

1 10

C 0 +C 1 +C 2 =22 n n n T 4 =-540 x
3 lg x

n +n-42=0 =-540000

2

n =6
3 lg x

中间项为第 4 项 17. 91
92

x

=1000

x =10 或

1 . 10

除以 100 的余数是▁▁▁. 91
92

答案:81.

=(90+1)

92

=90

92

+C 1 ·90 +┅+C 90 ·90 +C 91 ·90+1 92 92 92

91

2

后两项不能被 100 整除. C 91 ·90+1=8281 除以 100 余数为 81 92 18. ( 4 a -

1 a

)

24

展开式中整式的项共有▁▁▁项.

15

答案:T r ?1 =C r 24 19. 若(1 ? 2 x ) A. ? 答案:B
5

(-1) ·a

r

24 ?3 r 4

r=4k

k=0、 1、 2 共 3 个.

展开式中第二项小于第一项,但不小于第三项, 则实数 x 的取值范围是( ) B. ?

1 ?x?0 4
第一项 1

1 ?x?0 10

C. x ? ? 第三项 40 x
2

1 10

D. x ? ?

1 4

第二项 ? 10 x

40x 2 ? ?10x ? 1
20. 求多项式(3 x - x +2 x -3)
4 3 102

?

1 ?x?0 10
4 3 67

?(3 x -5) x ?(7 x -5 x -1)
n

展开式各项系数和.

答案: f ? x ? ? a0 ? a1 x ? ? ? an x

系数和 a0 ? a1 ? ? ? an

f ?1? ? a0 ? a1 ? ? ? an ? (3-1+2-3) 102 (3-5) 4 (7-5-1) 67 =16
21. 多项式 x
1000

- x +(- x -2 x +2)

3

2

1000

展开式中 x 的偶次幂各项系数和与 x 的奇次幂各

项系数和各是多少. 答案: f ? x ? ? a0 ? a1 x ? ? ? an x
n

f ?1? ? a0 ? a1 ? a2 ? ? ? 1

f ??1? ? a0 ? a1 ? a2 ? ? ? 3
f ? x ? 偶次系数 ?
22.

1 ? f ?1? ? f ??1? ? ? 2 2

奇次系数 ?

1 ? f ?1? ? f ??1? ? ? ?1 2

?a ? b ? c? 10 展开式有▁▁项.
答案: 66.
10

( a ? b ? c ) =[( a ? b )+ c ]
10
9

10

9 =( a ? b ) +C 1 ( a ? b ) c +┅+C 10 ?a ? b ? c +C 10 c 10 10
8

9

11+10+┅+1=66 ( D. 不能用组合数表示 )

23.

?x ? 1??x ? 2??x ? 3???x ? n? 的展开式中 x n ? 1 的系数为
A. С
2 n ?1

B. C n ? 1 n=3 对A
2

n

C. С

n ?1 n

答案: A.

x 2 系数( x +1)( x +2)( x +3)= x 3 +6 x 2 +11 x +6
C 4 =6
3
2

x 2 系数为 6

对B
4

C 4 =4
5
3

3

24. 在 ?x ? 1? ? ?x ? 1? ? ?x ? 1? ? ?x ? 1? ? ?x ? 1? 的展开式中 x 系数为▁▁▁. 答案: ? 20 可求每一项中 x 系数然后求和. 也可求等比数列和
9
3

25. 多项式 ?x ? y ? z ?

展开式中含 x y z 项的系数是
16

4

2

3

(

)

A. С

2 2 3 9С 9С 9

B. 2С

4 2 3 9С 5С 3

C. С
4

4 2 3 9С 5С 3
5

D.

1 4 2 С 9С 5С 2

3 3

答案:C

4 x 4 系数 C 9 ( y ? z ) 5 x

( y ? z ) 展开式 y 2 z 3 系数С

2 3 5С 3

排列.组合.二项式定理.概率单元检测试题及答案
一.选择题. 1. 从五名学生选四名到А 、B、С 、? 四个工厂参加社会实践活动,其中甲不到А 、B 两工厂, 则选派的不同方案种数是 А . 24 答案:С

??

в . 48 С . 72 ?. 120 先从除甲以外的 4 名学生选两人到А 、B 两工厂,再从佘下的 3 人中选 2 人
2 4

到С 、? 工厂,故共有不同选法种数为А

·А

2 3

=72

2. 有七名同学站成一排照毕业照,其中甲必须站在正中间,且乙、丙两位同学要站在一起, 则不同的站法有 А . 240 种 в . 192 种 С . 96 种 ?. 48 种
1

? ?

答案:B 先从除甲、乙、丙之外的 4 名同学中再找一位与乙,丙在一起有С 4 种找法, 这样乙、丙及新找的一位在一侧有А 两组可以变换位置有А
2 2 2 2

·А

2 2

种站法,另 3 位在另一侧有А 3 种站法;再这 3

种方法,所以共有不同的站法种数为

?C A A ?? A
1 4 2 2 2 2

3 3

2 ? A2 ? 192

3. 12 名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查, 若每个路口 4 人, 则不同的分配方 案共有 А. С
4 4 12 ·С 8

? ?
·С
4 4



в . 3С

4 12

·С

4 8

·С

4 4



С. С

4 4 12 ·С 4

·А

3 3



?.

4 4 C12 C84 C4 种 3 A3

答案:А

把 12 人平均分成 3 组,每组 4 人,有С
4 4 12 ·С 8

8 4 12 ·С 8 4 4

·С

4 4

种分法;再分到三个不

同的路口去有А 3 种不同的分法;共有С 3

·С

种不同的分法.

4. 两个三口之家,共有 4 个大人.2 个小孩,约定星期曰乘“富康”“桑塔纳”两车结伴郊 、 游,每辆车最多只能坐 4 人,其中两个小孩不能独坐一辆车,则不同的乘车方法种数有

??
А . 40 в . 48 С . 60 ?. 68

17

答案:B 当两个小孩在一辆车上时有С 当两个小孩在两辆车上时有С 共С 5.
1 2

1 2 1 2

? ?
1 4

С С +С

1 4 1 4 2 4

+С +С +С

2 4 2 4 3 4

?种

3 4

?种

?

С

1 4



2 4

? +С 12 ?

С

? =48
( ?. А
11 x ?13

?x ? 3??x ? 4???x ? 13?
10 x ?3

? ( x ? N 且 x ? 13 )可表示为

)

А. А

в . А

11 x ?3

С. А

10 x ?13

答案:B
2

?x ? 3??x ? 4???x ? 13? ? ?x ? 3???x ? 3? ? 1????x ? 3? ? 10? ? A11 3 x?
3 n

6. ?1 ? x? ? ?1 ? x? ? ? ? ?1 ? x? 的所有二项式的各项系数之和是 А . 2 -4 答案:С
n

??
-2

в .2

n ?1

-2

С.2

n ?1

-4

?. 2

n?2

2 3 n n ?1 令 x ? 1 得 2 +2 +··+2 =2 -4 ·

7. 购买 40 分和 80 分邮票若干张,并要求每种至少有 2 张,那么,不超过 4 元钱的买法种 数共有

??

А .6种 в .7种 С.8种 ?. 9 种 答案:? 0.8 元的 2 张即 1.6 元,0.4 元有 6.5.4.3.2 共 5 种. 0.8 元的 3 张即 2.4 元,则 0.4 元有 4.3.2 共 3 种 0.8 元的 4 张即 3.2 元,则 0.4 元有 2 张共 1 种. 合计 9 种 二. 填空题: 8. 5 位男生和 3 位女生中,从中任选 3 位.其中至少要有一位女生的不同选法有__种.
3 略解:С 8 -С 3 =46 5

9. 在 3x 2 ? 2 的展开式中, x 的系数是▁▁▁▁.
4

?

?

5

略解:т

r r ?1 =С 5

?

3x

2

? 5? r · ?

-2

? r =?

-2

? r ·3 5?r ·С 5r · x 10?2r

得 r ?3 系数= ? 720 三. 解答题: 10. 一个圆上有 8 个等分点. 1 2

? ?

以其中两个点为端点的有向线段有多少条; 过其中三点画一个圆内接三角形,其中是直角三角形有多少个.

略解:1 2

? 以两点为端点的有向线段是排列问题.共有А

2 8

=56 条

? 圆上有 8 个等分点.因而两两相连有 4 条直径.共有 4С 16 =24 个苴角三角形.
18

? x2 3 ? 11. 在 ? ? 2 ? x 3 ? 展开式中第二项二项式系数比第三项二项式系数小 35,求常数项. ? ? ?
略解:由С 所以. т
2 n

n



1 n

=35

可得 n=10

r r ?1 =С 10 ·

?
1 2

1 2

? 10 ? r · ? ? 6 ·?
-3

-3

? r · x 20?5r

令 20 ? 5r ? 0 则常数项为С
4 10 ·

?

? 4 = 8505
32

19


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