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人教版高中数学必修一 2.2 对数的运算性质 教案


§2.2 对数的运算性质 教学目标
(一) 教学知识点
1. 对数的基本性质. 2. 对数的运算性质.

(二) 能力训练要求
1. 进一步熟悉对数的基本性质. 2. 熟练运用对数的运算性质. 3. 掌握化简,求值的技巧.

教学重点
对数运算性质的应用.

教学难点
化简,求值技巧.

教学方法
启发引导法

教学过程.
一、 复习回顾 上节课,我们学习对数的定义,由对数的定义可得:

ab ? N ? b ? log N ( a ? 0 且 a ? 1, N ? 0 ) a
本节课,我们将在这基础上,结合幂的运算性质,推导出对数的运算性质. 二、讲授新课 1 . 对数的基本性质 由对数的定义可得: loga 1 ? 0

log a a ? 1 ( a ? 0 且 a ? 1)

把 b ? log a N 代入 a b ? N 可得 a loga N ? N ( a ? 0 且 a ? 1 , N ? 0 ) 上式称为对数恒等式,通过上式可将任意正实数 N 转化为以 a 为底的指数
形式。
b b 把 a ? N 代入 b ? log a N 可得 b ? log a a ( a ? 0 且 a ? 1 )

通过上式可将任意实数 b 转化为以 a 为底的对数形式。
例如: 2 ? a
loga 2

? log a a2 ( a ? 0 且 a ? 1 )

2 . 对数的运算性质 接下来我们用指对数互化的思想, 结合指数的运算性质来推导有关对数的运

算性质。 指数的运算性质 a p ? aq ? a p ?q 在上式中 设 a p ? M ,
a q ? N 则有 MN ? a p?q

将指数式转化为对数式可得:

p?log a M


q?log a N l aoM gN (M ? 0

p ? q? l o g a MN
N ?0 a ? 0 且 a ? 1)

log N? a M ? lo ag

这就是对数运算的加法法则,用语言描述为:两个同底对数相加,底不变, 真数相乘。 请同学们猜想:两个同底对数相减,结果又如何? M log a M ? log a N ? log a N M M ? lo la N og ? N 证明如下:∵ l o g a ag ? al o g N N M ?log ( ? N ?) l Ng a ao N

?log g a M ? lo a N
对数运算的减法法则:两个同底对数相减,底不变,真数相除。 根据上述运算法则,多个同底对数相加,底不变,真数相乘, 即 若

log N2 ?? ? a N1 ? l o ag N1 ? N2 ? ? ? Nn ? M

laoN gN ?

l o N ? aN 1g 2

Nn

则上式可化为

nl o g lo gn a M ? a M
(M ? 0

n ? N?
a ? 0且a ?1 n? R)

若将 n 的取值范围扩展为实数集 R ,上式是否还会成立? 下证

nl o g lo gn a M ? a M
log a M ? p
∴ ∴ 即

证明:设

则有 M ? a p
M n ? anp

loga M n ? np
n log g a M ?n lo a M

(M ? 0

a ? 0且a ?1

n? R)

对数的乘法法则: M 的 n 次方的对数会等于 M 的对数的 n 倍。 例如: log2 8 ? log2 23 ? 3log2 2 ? 3 提问: lg a 2 ? 2lg a 这个等式会成立吗?

强调: 真数为偶次幂时, 必须保证等式两边的对数式有意义, 即真数大于 0。 3 . 例题讲解 [例 1]用 loga x , loga y , loga z 表示下列各式。 (1) log a
xy z

(2) log a

x2 y
3

z

分析:运用对数的运算性质求解。 xy ? log a xy ? log a z ? log a x ? log a y ? log a z 解: (1) log a z (2) log a

x2 y
3

z

? log a ( x2 y ) ? log a 3 z ? log a x 2 ? log a

y ? log a 3 z

1 1 ? 2 log a x ? log a y ? log a z 2 3 [例 2]求下列各式的值。

(1) log2 (47 ? 25 )

(2) lg 5 100

分析:运用对数的运算性质求解。 解: (1) log2 (47 ? 25 ) ? log2 47 ? log2 25 ? 7log2 4 ? 5log2 2 ? 7 ? 2 ? 5 ? 19
1 1 2 2 (2) lg 5 100 ? lg100 5 ? lg102 ? lg10 ? 5 5 5

三、课堂练习 1.计算下列各式的值 (1) log3 (27 ? 92 )
7 (3) lg14 ? 2 lg ? lg 7 ? lg18 3

(2) log7 3 49 (4)
lg 243 lg 9

(5) (lg 5) 2 ? lg 25 ? 1 解: (1) log3 (27 ? 92 ) ? log3 27 ? log3 92 ? log3 33 ? 2log3 9 ? 3 ? 4 ? 7
1 1 2 (2) log 7 3 49 ? log 7 49 ? log 7 7 2 ? 3 3 3 7 (3) lg14 ? 2 lg ? lg 7 ? lg18 3

? lg 2 ? lg 7 ? 2lg 7 ? 2lg3 ? lg 7 ? 2lg3 ? lg 2
?0

(4)

lg 243 lg 35 5lg 3 5 ? ? ? lg 9 lg 32 2lg 3 2

(5) (lg 5)2 ? lg 25 ? 1 ? (lg 5) 2 ? 2 lg 5 ? 1 ? lg 5 ? 1 ? 1 ? lg 5 2.已知 lg 2 ? a , 10b ? 3 ,求 解:依题意得: b ? lg3 ∴ lg12 ? lg 3 ? 2lg 2 ? b ? 2a
lg 5 ? lg 10 ? lg10 ? lg 2 ? 1 ? a 2

lg12 。 lg 5



lg12 2a ? b ? lg 5 1? a

四、课时小结 通过本节学习,大家应掌握对数运算性质的推导,并能熟练运用对数运算性 质进行对数式的化简、求值。 五、课后作业 (一)课本 P79 习题 2.7 4. (二)学案 P79 §2.14


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