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专题四 三角函数与复数


专题四
【考点聚焦】

三角函数与复数

考点 1:函数 y=Asin(? x ? ? )( A ? 0 , ? ? 0 ) 的图象与函数 y=sinx 图象的关系以及根据图 象写出函数的解析式 考点 2:三角函数的定义域和值域、最大值和最小值; 考点 3:三角函数的单调区间、最小正周期和三角函数图象的对称轴问题; 考点 4:和、

差、倍、半、 、诱导公式、和差化积和积化和差公式、万能公式、同角的三角 函数关系式; 考点 5:三角形中的内角和定理、正弦定理、余弦定理; 考点 6、复数的基本概念及运算. 【自我检测】 1. 同角三角函数基本关系式:________,______,_______. 2. 诱导公式是指 α 的三角函数与-α ,180? ? ? ,90? ? ? ,270? ? ? ,360?-α , k360?+α (k∈Z)三角函数之间关系:奇变偶不变,符号看象限. 3. 两角和与差的三角函数:sin(α ? β )=_______________________; cos(α ? β )=________________________;tan(α ? β )=_________________________. 4. 二倍角公式:sin2α =__________;cos2α =_________=__________=___________ tan2α =_____________. ? ? ? 5. 半角公式:sin =_______,cos =_______,tan =________=________=______.
2 2 2

6. 万能公式 sinα =_____________,cosα =_____________,tanα =_____________. 7. 三角函数的图象与性质: y=sinx 定义域 值 图 象 单调性 奇偶性 周期性 【重点 ? 难点 ? 热点】 问题 1:三角函数的图象问题 关于三角函数的图象问题,要掌握函数图象的平移变化、压缩变化,重点要掌握函数
1

y=cosx

y=tanx



y=Asin(? x ? ? )( A ? 0 , ? ? 0 ) 的图象与函数 y=sinx 图象的关系,注意先平移后伸缩与先 伸缩后平移是不同的,要会根据三角函数的图象写出三角函数的解析式. 例 1. (05 天津理)要得到 y ? 所有的点的 A、横坐标缩短到原来的 B、横坐标缩短到原来的
1 2 1 2

2 co s x 的图象,只需将函数 y ?

2 sin( 2 x ?

?
4

) 的图象上

倍(纵坐标不变),再向左平行移动

?
8

个单位长度 个单位长度 个单位长度 个单位长度

倍(纵坐标不变) ,再向右平行移动

?
4

C、横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再向左平行移动 D、横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再向右平行移动 思路点拨:将 y ?
2 sin( 2 x ?

?
8

?
4

?
4

) 化为 y ? 2 cos( 2 x ?

2 cos( 2 x ?

?
4

) ,再进行变换.

解答:变换 1:先将 y ?
y ? 2 cos[ 2 ( x ?

?
4

) 的图象向左平移

?
8

个单位,得到

?
8

)?

?
4

]?

2 cos 2 x 的图象, 再将 y ?

2 cos 2 x 的图象的横坐标缩短

到原来的 2 倍得到 y ? 变换 2:先将 y ?
y ?
y ?

2 cos x .

2 cos( x ? 2

?
4

) 的图象的横坐标缩短到原来的 2 倍,得到 2 cos( x ?

2 c o s (x ?
2 cos x .

?
4

) 的图象,再将 y ?

?
4

) 的图象向左平移

?
4

个单位,得到

由上可得,应选 C. 演变 1:函数 y ? sin( ? x ? ? )( x ? R , ? ? 0 , 0 ? ? ? 2? ) 的部分图象如图,则( ? ? A. ? ? , ? ?
2 4 ,? ?

) B. ? ? D. ? ?
?
3 ,? ? ,? ?

?
6 5? 4

C. ? ?

?
4

?
4

?
4

点拨与提示:根据图象得出函数的周期与振幅,再将(1,10 坐标代入即可. 问题 2:三角函数的求值问题 关干三角函数的求值问题,要注意根据已知条件,准确判断角所在的范围,合理选择公式,
2

正确选择所求三角函数值的符号 ? 1 例 2:已知 ? ? x ? 0 , sin x ? cos x ? .
2 5

3 sin

2

x 2

? 2 sin

x

cos

x

? cos

2

x 2

(I)求 sinx-cosx 的值; 思路分析:将 sinx-cosx=
1 5

(Ⅱ)求

2 2 tan x ? cot x

的值.

平方,求出 sinxcosx 的值,进而求出(sinx-cosx)2,然后由角

的范围确定 sinx-cosx 的符号. 解法一: (Ⅰ)由 sin x ? cos x ? 即
2 sin x cos x ? ? 24 25 . 1 5 ? (sin x ? cos x )
2

, 平方得 sin

2

x ? 2 sin x cos x ? cos ? 1 ? 2 sin x cos x ?

2

x ? .

1 25

,

49 25

又? ?

?
2

? x ? 0 ,? sin x ? 0 , cos x ? 0 , sin x ? cos x ? 0 , 故 sin x ? cos x ? ?
2

7 5

.

3 sin

x 2

? sin

x

cos

x

? cos

2

x 2 ?

2 sin

2

x

? sin x ? 1 ? cos x sin x
1 5 )? ? 108 125

(Ⅱ)

2 2 tan x ? cot x

2 sin x cos x
12 25

? sin x cos x ( 2 ? cos x ? sin x ) ? ( ?

) ? (2 ?

1 ? ? sin x ? cos x ? , 解法二: (Ⅰ)联立方程 ? 5 ? sin 2 ? cos 2 x ? 1 . ?

① ②
2

由①得 sin x ?

1 5

? cos x , 将其代入②,整理得 25 cos

x ? 5 cos x ? 12 ? 0 ,

? c o sx ? ?

3 5

或 c o sx ?

4 5

.

3 ? ? s i nx ? ? 5 , ? ? ?? ? x ? 0 ,? ? 2 ? c o sx ? 4 . ? 5 ?

故 sin x ? cos x ? ?
3 sin
2

7 5

.

x 2

? sin

x

cos

x

? cos

2

x 2
?

2 sin

2

x

? sin x ? 1 ? cos x sin x

(Ⅱ)

2 2 tan x ? cot x

2 sin x cos x

? sin x cos x ( 2 ? cos x ? sin x ) ? ( ?

3 5
3

)?

4 5

? (2 ?

4 5

?

3 5

)? ?

108 125

点评:本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限符号等 基本知识,以及推理和运算能力. 演变 1:已知 sin( ? ?
? 4 ) ? 7 2 10 , cos 2 ? ? 7 25 , 求 sin ? 及 tan( ? ? ? 3 ).

点拨与提示:用已知中的角表示所求的角. 问题 3:三角函数的单调性、周期性、奇偶性等问题 有关三角函数的单调性、周期性等问题,通常需要先变形化简,然后求解. 例 3: 设函数 f ( x ) ? sin( 2 x ? ? ) ( ? ? ? ? ? 0 ), y ? f ( x ) 图像的一条对称轴是直线 x ?
?
8

.

(Ⅰ)求 ? ; (Ⅱ)求函数 y ? f ( x ) 的单调增区间; (Ⅲ)画出函数 y ? f ( x ) 在区间 [ 0 , ? ] 上的图像. 思路点拨:正弦 y=sinx 的图象的对称轴为直线 x ? k ? ?
?
2 ( k ? Z ) ,其对称轴与 x 轴交点

的横坐标即是使函数取得最值的 x 值. ? ? 解: (Ⅰ)? x ? 是函数 y ? f ( x ) 的图像的对称轴,? sin( 2 ? ? ? ) ? ? 1,
8 ? 8

?
4

? ? ? k? ?

?
2

,k ? Z. 3? 4

? ?? ? ? ? 0 , ? ? ? 3? 4 ).

3? 4

.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ? ? ? 由题意得

, 因此 y ? sin( 2 x ? ? 2x ? 3? 4 )的单调增区间为 4

2 k? ?

?
2

? 2 k? ?

?
2

,k ? Z.

所以函数 y ? sin( 2 x ? (Ⅲ)由 y ? sin( 2 x ? x 0
2 2
3? 4

3?

[k? ?

?
8

, k? ?

5? 8

], k ? Z .

)知

?
8

3? 8

5? 8

7? 8

?
2 2

y

?

-1

0

1

0

?

故函数 y ? f ( x ) 在区间 [ 0 , ? ]上图像是

4

点评:本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识,考查推理和运算能力. 演变 3:已知向量 x x ? x ? x ?
a ? ( 2 cos , tan( ? )), b ? ( 2 sin( ? ), tan( ? 2 2 4 2 4 2 4

)), 令 f ( x ) ? a ? b .

求函数 f(x)的最大值,最小正周期,并写出 f(x)在[0,π ]上的单调区间. 问题 4: “拆项”与“添项”的问题 “拆项”与“添项”是指在作三角变换时,对角或三角函数可以分别进行面或添项处 理. 例 4: (1)求
sin 7 ? cos 15 sin 8 cos 7 ? sin 15 sin 8
2 5
? ? ? ? ? ?

的值;
?
2 1 4

(2)已知: tan( ? ? ? ) ?

, tan( ? ?

)?

,求: tan(

?
4

? ? ) 的值.

思路分析: 解此题的关健是能否抓住题中各角之间的内在联系.如 (1) 中的含有角 7?、 15?、 ? 8?, 发现它们之间的关系是 15?=7?+8?, 故可将 7? 拆成 15?-8?; 同理在第 题中 ? ? (2)
4

可以拆成两角差,即 (? ? ? ) ? ( ? ?
sin 7 ? cos 15 sin 8 cos 7 ? sin 15 sin 8 1 ? cos 30 sin 30
? ? ? ? ? ? ? ?

?
4

).
? ? ? ? ?

解: (1)



sin( 15 ? 8 ) ? cos 15 sin 8 cos( 15 ? 8 ) ? sin 15 sin 8
? ? ?



cos 8 sin 15 cos 8 cos 15
?

?

? ?

=tan15?=
?
4

=2 ?

3

(2) ∵

? ? = (? ? ? ) ? ( ? ?

?
4

)

5

∴tan(

?
4

? ? )=tan[ (? ? ? ) ? ( ? ?

?
4

tan( ? ? ? ) ? tan( ? ?

?
4

)

2

? 2 5

1 4 ? 1 4

) ]=
1 ? tan( ? ? ? ) tan( ? ?

?
4


)

5 1?



3 22

点评:进行三角变换的技巧常常是变角――注意角的和、差、倍、半、互余、互补关系, 根据实际情况,对角进行“拆”或“添”变形,这样可以大大减少运算量. 演变 4:求
2 cos 10
?

? sin 20
?

?

的值.

cos 20

点拨与提示:10?=30?-20?. 问题五:复数方程和共轭复数 复数方程常见解法是将复数方程转化为实数方程组;关于共轭复数有两个充要条件: ①Z∈R ? Z ? Z ,②非零复数 y 为纯虚数 ? y ? y ? 0 ,这两个充要条件是用整体观点 处理复数的生要工具. 例 5:求实数 k 的值,使方程 x ? ( k ? 2 i ) x ? 2 ? ki ? 0 至少有一个实根.
2

思路分析:已知方程是一元二次方程,系数含有参数,并且方程有一个实根,设出实根, 利用复数相等可得出实数方程组,从而得解. 解:设 ? 是方程的实根,则 ? 即 (?
2

? ( k ? 2 i )? ? 2 ? ki ? 0 ,

2

?? 2 ? k ? ? 2 ? 0 ? k ? ? 2 ) ? ( 2? ? k ) i ? 0 根据复数相等的充要条件得: ? ,消去 ? 2? ? k ? 0

? 得 k2=8,∴k= ? 2 2

点评:如果利用一元二次方程的判别式△=(k+2i)2-4(2+ki)=k2-12,要使方程至 少有一个实根,只需△≥0,即 k≤ ? 2 3 ,k≥ 2 3 ,这样的解法是错误的.错误的原因在 于:一元二次方程的判别式△=b -4ac≥0 是实系数一元二次方程有实根的充要条件,不 适合于复系数一元二次方程.对于这类虚数系数一元二次方程有实根的常见解法是设实根 为 ? ,将 x= ? 代入方程,根据复数相等的条件来解. 演变 5:解复数集中的方程: ( 2 x ? 5 x ? 2 ) ? ( x ? x ? 2 ) i ? 0
2 2
2

点拨与提示:整理成关于 x 的一元二次方程,用求根公式求解. 例 6:设 z 是虚数, W ? z ?
1 z

是实数, u ?

1? u 1? u

,求证:u 为纯虚数.

思路分析:本题证法很多,可以从共轭复数运算的角度给出证明.

6

证明:∵ W ? z ?

1 z

∈R,∴ z ?

1 z

? z?

1 z

? z?

1 z

,∴ z ? z ? (

1 z

?

1 z

)? 0

∴ ( z ? z )( 1 ?

1 |z|
2

) ? 0 ,∵z 是纯虚数,∴ z ? z ? 0 ,∴|z|=1,∴ z ?

1 z

∵u ? (

1? z 1? z

) ?

1? z 1? z

1? ? 1?

1 z ?1 z ? ? ? u .∴ u ? u ? 0 .∵z 是虚数, z ? 1 , u ? 0 , ∴ ∴ 1 z ?1 z

∴u 为纯虚数. 点评:用整体观点处理复数问题时,应注意利用前面提到的充要条件. 演变 6:设 z1,z2 为两个非零复数,且|z1+z2|=|z1-z2|,求证: ( 点拨与提示:利用复数加、减法的几何意义求解. 专题小结 1.三角变换常用的方法技巧有切割化弦法,升幂降幂法、辅助元素法,“1”的代换法 等.对于三角公式要记忆准确(在理解基础上) ,并要注意公式成立的条件,在应用时, 要认真分析,合理转化,避免盲目性. 2.三角函数图象的对称性和有界性是高考命题的一个热点.最基本的三角函数图象 的形状和位置特征,要准确掌握,它是利用数形结合思想解决三角函数问题的关键.三角 函数图象各种变换的实质要熟练掌握,不能从形式上简单判断. 3.解三角形时,要根据条件正确选择正、余弦定理以及三角变换式.要充分发挥图 形的作用,注意三角形外接圆半径在正弦定理中的转化功能 【临阵磨枪】 一、选择题 1.已知 f(cosx)=cos3x,则 f(sin30?)的值为( A 0 B 1 C -1 D
z1 z2 ) 为负数.
2


3 2

2 . 2006 年 辽 宁 卷 ) ? A B C 的 三 内 角 A , B , C 所 对 边 的 长 分 别 为 a , b , c 设 向 量 (
?? ? ?? ? p ? ( a ? c , b ) , q ? ( b ? a , c ? a ) ,若 p // q ,则角 C 的大小为

(A)

?
6

(B)

?
3

(C)

?
2

(D)

2? 3

3. (2006 年安徽卷)将函数 y ? sin ? x ( ? ? 0) 的图象按向量 a ? ? ?
?
7

?

?

?

? , 0 ? 平移,平移后 6 ?

的图象如图所示,则平移后的图象所对应函数的解析式是( ? ? A. y ? sin ( x ? ) B. y ? sin ( x ? )
6 6
)



C. y ? sin ( 2 x ?

?
3

D. y ? sin ( 2 x ?

?
3

)

4.把函数 y ? 种变动可以是(

2 2

(cos 3 x ? sin 3 x ) 的图象适当变动,就可得到 y=-sin3x 的图象,这


?
4

A 沿 x 轴向右平移 C 沿 x 轴向右平移

B 沿 x 轴向左平移

?
4

?
12

D 沿 x 轴向左平移

?
12

5.已知复数 z1,z2 在复平面上对应的点分别是 A,B,O 为坐标原点,当 z1=2(cos60?+isin60?)?z2,|z2|=2,则△AOB 的面积为( ) A
4 3

B

2 3

C

3

D

2 )

6.复数 z=1-cosθ -isinθ (3 ? <θ <4π )的辐角主值是( 3? ? ? ? ? 3? ? ?? 3? ? ? A B C D
2 11 2 2 13 2 2 2

7.函数 y=3sin(x+20?)+5sin(x+80?)的最大值为( A B C 7

) D 8
?
2 ] ,则当△OAB 的

8.在△OAB 中,O 为坐标原点, A (1, cos ? ), B (sin ? ,1), ? ? ( 0 , 面积达最大值时, ? ? ( ? ? A. B.
6 4

) C.
? a?b a?b

?
3

D.

?
2

9.在△ABC 中,若 tan 是( ) A 等腰三角形 10.函数 y= y ?
1 2

A? B 2

,其中 a,b 分别是∠A,∠B 的对边,则△ABC

B 直角三角形
sin 2 x ? 3 cos
2

C 等腰直角三角形 D 等腰或直角三角形
x? 3 2

的最小正周期为(
?
2


?
4

A 2π 二、填空题

B π

C

D

8

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已知 sinα=
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3 5

,α∈(
, 3? 4

?
2

,π),tan(π-β)=
?
4

1 2

,则 tan(α-2β)=______
?
4

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设 α∈(
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?
4

) , β ∈ (0 ,

) , cos(α -

)=

3 5

, sin(

3? 4

+β)=

5 13

,则

sin(α+β)=_________

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13.已知复数: z 0 ? 3 ? 2 i ,复数 z 满足 z ? z 0 ? 3 z ? z 0 ,则复数 z ? 14.设函数 f (x)的图象与直线 x =a,x =b 及 x 轴所围成图形的面积称为 f(x)在[a,b] 上的面积,已知函数 y=sin(nx)在[0, 在[0,
2? 3

?
n

]上的面积为

2 n

(n∈N )(i)y=sin3x , ,
4? 3

*

]上的面积为

; (ii)y=sin(3x-π)+1 在[

?
3

]上的面积为

.

三、解答题 15
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不查表求值:

2 sin 130 ? ? sin 100 ? (1 ? 1 ? cos 10 ?

3 tan 370 ? )

.

16

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(2006 年安徽卷)已知 (Ⅰ)求 tan ? 的值; 2 ?
5 sin

3? 4

? ? ? ? , tan ? ? cot ? ? ?

10 3

? 8 sin

?
2

co s

?
2

? 1 1 co s

2

?
2

?8

(Ⅱ)求

2

? ? ? 2 sin ? ? ? ? 2 ? ?
2

的值.

17.在复数范围内解方程: z

2?i 18 .( 2006 年 四 川 卷 ) 已 知 A , B , C 是 三 角 形 ? A B C 三 内 角 , 向 量 ?? ? ?? ? m ? ? 1, 3 , n ? ? co s A , sin A ? ,且 m ? n ? 1 .

? ( z ? z )i ?

3?i

(i 为虚数单位).

?

?

(Ⅰ)求角 A ; (Ⅱ)若 19
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1 ? sin 2 B co s B ? sin B
2 2

? ? 3 ,求 tan B .

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已 知 cos α +sin β = 3 , sin α +cos β 的 取 值 范 围 是 D , x ∈ D , 求 函 数
2x ? 3

y= log

1 2

4 x ? 10

的最小值,并求取得最小值时 x 的值

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1.C 提示: f (sin 30 ? ) ? f (cos 60 ? ) ? cos 180 ? ? ? 1
9

2

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B 提示: p // q ? ( a ? c )( c ? a ) ? b ( b ? a ) ? b ? a ? c ? a b ,利用余弦定理可得
2 2 2

??

?

2 cos C ? 1 ,即 co s C ?

1 2

? C ?

?
3

,故选择答案 B.
? ? ?

3.C

提示:将函数 y ? sin ? x (? ? 0 ) 的图象按向量 a ? ? ?
?
6 ) ,由图象知, ? ( 7? 12 ?

?

? , 0 ? 平移,平移后的图象 6 ?
3? 2

所对应的解析式为 y ? sin ? ( x ? 4.D 提示: y ? ? sin( 3 x ?
?
4

?
6

)?

,所以 ? ? 2 .

) ? ? sin[ 3 ( x ?

?
12

)] 1

5.B 提示∠AOB=60?,|z2|=2|z1|=4, S ? AOB ?

? | z 1 || z 2 | sin 60 ? ? 2 3 2 ? ? ? 3? ? ? 3? 3? ? ? ) ? i sin( )] ,∵ ? ? 2 ? , ? sin ? 0, 6.B 提示: z ? ? 2 sin [cos( 2 2 2 2 2 2 ? ? 3? ? 1 0 ? ? ,? arg Z ? (? ? 3? ). 2 2 2

7.C 提示:y=3sin(x+20?)+5sin(x+80?)=3sin(x+20?)+5sin[(x+20?)+60?] =
11 2 sin( x ? 20 ? ) ? 5 3 2 cos( x ? 20 ? ) ? 7 sin( x ? 20 ? ? ? ) ? 7

8.D
? 1 2 ?

提示: S ? OAB ? 1 ?
1 4

1 2

sin ? ?

1 2

cos ? ?

1 2

(1 ? cos ? )( 1 ? s in ? ) ?

1 2

?

1 2

s in ? cos ?

sin 2? , 当 2? ? ? 即 ? ?

?
2

时,面积最大.
2 sin ? 2 sin A? B 2 A? B 2 cos cos A? B 2 A? B 2

9. 提示: D 由正弦定理得:tan

A? B 2

?

a?b a?b

?

sin A ? sin B sin a ? sin B

= tan

A? B 2

cot

A? B 2

,∴ tan

A? B 2

? 0 或 cot

A? B 2

? 1∴

A? B 2

? 0或

A?B 2

?

?
2

∴A=B 或 A+B=90? 10.D 提示: y ?
7 24
3 4

1 2

sin 2 x ?
3 5

3 2

cos 2 x ?
? 2

3 2

?

3 2
4 5

? sin( 2 x ?

?
2

) ,则 T ? ?

11.

提示

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∵sinα=
1 2

,α∈(

,π),∴cosα=-
1 2

则 tanα=-

,又 tan(π-β)=

可得 tanβ=-

,

10

tan 2 ? ?

2 tan ? 1 ? tan ?
2

?

) 2 ? ? 4. 1 2 3 1 ? (? ) 2
2

2 ? (?

1

tan (? ? 2 ? ) ?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? ? tan 2 ?

? ?

3 4

? (? 3 4

4 3

) 4 3 ? )

7 24

1 ? (?

) ? (?

12

56
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提示
?
4

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α∈(
4 5

65

? 3? ? ? ? 3 , ),α- ∈(0, ),又 cos(α- )= 4 4 5 4 2 4

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? sin( ? ?

)?

, ? ? (0,

?
4

). ?

3? 4

? ? ?(

3? 4

, ? ). sin(

3? 4

? ?) ?

5 13

,? cos(

3? 4

? ?) ? ?

12 13

.

? sin( ? ? ? ) ? sin[( ? ? ? ? cos[( ? ? ? ? 3 5 ? (?
3 2

?
4

)?(

3? 4

? ?)?

?
2

] ) ? cos( 56 65 3? 4 ? ? ) ? sin( ? ?

?
4

)?( 4 5 ?

3? 4 5 13

? ? )] ? ? cos( ? ? ? 56 65

?
4

?
4

) ? sin(

3? 4

? ?)

12 13

)?

.即 sin( ? ? ? ) ?

13.1-

i
3 2

提示:设 z=a+bi,由(3+2i)(a+bi)=3(a+bi)+3+2i,得 3a-2b=3a+3,2a+3b=3b+2, . 提示:由题意得: y ? sin 3 x 在 [ 0,
?
3 2? 3 ]上的面积为 2 3 ?2 ? 4

∴a=1,b= ? 14.

4 2 , ?? 3 3


?? .

y ? sin( 3 x ? ? ) ? 1在 [



4? 3

]上的图象

为一个半周期结合图象分析其面积为

3 2 3

15

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2
10 3

16.解:(Ⅰ)由 tan ? ? co t ? ? ?
tan ? ? ? 3 或 tan ? ? ? 1 3

得 3 tan ? ? 10 tan ? ? 3 ? 0 ,即
2

,又
?
2

3? 4

? ? ? ? ,所以 tan ? ? ?

1 3

为所求.
? 4 sin ? ? 1 1 ? 2 co s ? 1 + co s ? 2 ?8

5 sin

2

?
2

? 8 sin

co s

?
2

? 1 1 co s

2

?
2

?8

5

1 - co s ? 2

(Ⅱ)

? ? ? 2 sin ? ? ? ? 2 ? ?

=

=

5 ? 5 co s ? ? 8 sin ? ? 1 1 ? 1 1 co s ? ? 1 6 ? 2 2 co s ?

=

8 sin ? ? 6 co s ? ? 2 2 co s ?
11

?

8 tan ? ? 6 ?2 2

=?

5 2 6

17.解:原方程化简为 z

2

? ( z ? z )i ? 1 ? i ,

设 z=x+yi(x、 y∈R),代入上述方程得 x2+y2+2xi=1-i, ∴ x2+y2=1 且 2x=-1,解得 x=-
3 2
1 2

1 2



y=±

, ∴原方程的解是 z=?? ?

±

3 2

i.

18. 解: (Ⅰ)∵ m ? n ? 1 ∴ ? 1, 3 ? ? co s A , sin A ? ? 1
? 3 1? 2 ? sin A ? ? co s A ? ? ? 1 , ? 2 2? ? ?

?

?

即 3 sin A ? co s A ? 1

? ? 1 ? sin ? A ? ? ? 6 ? 2 ?

∵0 ? A ? ? ,? (Ⅱ)由题知

?

? A?

?
6

?

5? 6

∴A?
2

?
6

?

?
6

∴A ?

?
3
2

6 1 ? 2 sin B co s B co s B ? sin B
2 2

? ? 3 ,整理得 sin B ? sin B cos B ? 2 cos B ? 0

∴ cos B ? 0 ∴ tan B ? tan B ? 2 ? 0 ∴ tan B ? 2 或 tan B ? ? 1
2

而 tan B ? ? 1 使 cos B ? sin B ? 0 ,舍去
2 2

∴ tan B ? 2
2? 3
8?5 3 11

? ? ? ∴ tan C ? tan ? ? ? ? A ? B ? ? ? ? tan ? A ? B ? ? ? ? ? 1 ? tan A tan B 1? 2 3

tan A ? tan B

19

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设 u=sinα +cosβ

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则 u2+( 3 )2
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=(sinα +cosβ )2+(cosα +sinβ )2=2+2sin(α +β )≤4 ∴u ≤1,-1≤u≤1 即 D=[-1,1],
2
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设 t= 2 x ? 3 ,∵-1≤x≤1,∴1≤t≤ 5
?M ? 2x ? 3 4 x ? 10 4 t ? t 2t ? 4
2

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x=
1

t

2

?3
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2

?

1 2t ? 4 t

?

?

2 8

.

4 2 2 8

当 且 仅 当 2t ?

,即 t ?

2时 , M

m ax

?

.

? y ? lo g 0 .5 M 在 M ? 0时 是 减 函 数 , ? y m in ? lo g 0 .5 此时t ? 2, 2 8 ? lo g 0 .5 2 ? lo g 0 .5 8 ? 1 2 . 5 2 时,

2x ? 3 ?

2, x ? ?

【挑战自我】
12

设 a,b,c 为 △ABC 的 三 边 , a≤b≤c , R 是 △ABC 的 外 接 圆 半 径 , 令 f=a+b - 2R-8R sin
A 2 sin B 2 sin C 2 A 2 sin B 2 sin C

,试用 C 的大小来判定 f 的符号. )
? cos B ? A ) sin C 2 C 2 sin

解:f=2R(sinA+sinB-1-4 sin =2R[ 2 sin =4R cos =4R cos =2R (cos
B ? A cos B ? A

? 1 ? 2 (cos C 2 C

2 B ? A 2

]

2 B ? A 2 B ? A 2 C 2

(sin (sin C 2

2 B ? A 2 ? ?C 2

? sin ? sin

) ? 2 R ? 4 R cos ) ? 2 R ? 4 R sin ? cos C 2 ? sin C 2

2 ? ?C 2
2

C 2

? sin

)( 2 cos

2 B ? A 2

) B ? A 2 C 2 ? cos C 2 C 2

由 a≤b≤c,得 A≤B≤C,所以 0<B-A<B+A,因此 cos
cos B ? A 2 ? cos B ? A 2 C 2 ? sin ? sin ? sin C 2 C 2 C 2 2? ? sin C 2



,所以 2 cos
?
2

B ? A 2

? cos

? sin

故当 f>0 时, cos 当 f=0 时, cos 当 f<0 时, cos 【答案及点拨】 演变 1:由图得
?
4 ? ? ? 2k? ? T 4

,则 0<C<
?
2 ? 2

C 2 C 2

,则 C= ,则 C>

? 2 ,? T ? 8 ,由 T=

?
2

,? ? 2 k? ?

?
4

,得 ? ?

? ?
4

,得 ? ? ,选(C)

?
4

,在 y=sin(

?
4

x ? ? )中令 x=1,y=1,得

演变 2: (解法一)由题设条件,应用两角差的正弦公式得
7 10 2 ? sin( ? ? ? 4 ) ? 2 2 (sin ? ? cos ? )

即 sin ? ? cos ? ? ,

7 5



由题设条件,应用二倍角余弦公式得
7 25 ? cos 2 ? ? cos
2

? ? sin 1 5 3 5

2

? ? (cos ? ? sin ? )(cos ? ? sin ? ) ? ?

7 5

(cos ? ? sin ? )

故 cos ? ? sin ? ? ?


, cos ? ? ? 4 5
13

由①式和②式得 sin ? ?

.因此, tan ? ? ?

3 4

,由两角和的正切公式

tan( ? ?

? 4

)?

tan ? ? 1?

3

3? ? 1?

3 3 .

3 tan ?

4 ? 4 3 ? 3 ? 48 ? 25 11 3 3 4?3 3 4

解法二:由题设条件,应用二倍角余弦公式得 解得 sin
2

7 25

? cos 2 ? ? 1 ? 2 sin

2

?

? ?

9 25

, 即 sin ? ? ?

3 5

由 sin( ? ?

? 4

) ?
7 5

7 10

2

, 可得 sin ? ? cos ? ?

7 5
7 5 ? 0 ,故 ? 在第二象限,于是 sin ? ? 3 5

由于 sin ? ?

? cos ? ? 0 , 且 cos ? ? sin ? ? 7 5 ? ? 4 5 x 2 sin( x 2 ?

.

从而 cos ? ? sin ? ?

,以下同解法一.
?
4 ) ? tan( x 2 ?

演变 3: f ( x ) ? a ? b ? 2 2 cos

?
4

) tan(

x 2

?

?
4

)

? 2 2 co s

x 2

(

2 2

sin

x 2

?

2 2

co s

x 2

1 ? tan )? 1 ? tan

x 2 ? x 2

tan

x 2

?1 x 2

1 ? tan

? 2 sin

x 2

co s

x 2

? 2 co s

2

x 2

?1

? sin x ? cos x = 2 sin( x ?

?
4

). ? 4 ] 上单调增加, [ ? ? , ] 上单调 4 2

所以 f ( x )的最大值为

2 ,最小正周期为 2 ? , f ( x ) 在 [ 0 ,

减少. 演变 4:∵10?=30?-20?, ∴原式=
2 cos( 30 ? ? 20 ? ) ? sin 20 ? cos 20 ? ? 2 (cos 30 ? cos 20 ? ? sin 30 ? sin 20 ? ) ? sin 20 ? cos 20 ?

=2cos30?= 3 . 演变 5:原方程可化为 ( 2 ? i ) x ? ( 5 ? i ) x ? 2 ? 2 i ? 0
2

△= ?? ( 5 ? i ) ? ? 4 ( 2 ? i )( 2 ? 2 i ) ? 24 ? 10 i ? 24 ? 8 i ? 18 i .
2

14

而 18i 的 平 方 根 为 ? 3 (1 ? i ) , 所 以 方 程 的 根 为 x 1 , 2 ? ∴ x1 ? 2 , x 2 ?
1 5 ? 3 5

5 ? i ? 3 (1 ? i ) 2(2 ? i)



i.

演变 6:提示:∵|z1+z2|=|z1-z2|(y1y2 ? 0 ) | ,∴

z1 z2

? 1 |? |

z1 z2

? 1 | .即

z1 z2

在复平面内对

应的点到(-1,0)(1,0)的距离相等,∴ 、

z1 z2

对应的点在虚轴上,即

z1 z2

为纯虚数.

演变题要有点拨,原创题有详解,一般题给答案

15


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