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普通高中课程标准实验教科书数学(A版)必修2总体介绍


普通高中课程标准实验教科书·数学(A版)必修2总体介绍 王申怀 张劲松 章建跃   本教科书根据教育部颁发的《普通高中数学课程标准(实验)》(简称"标准")编写,为高中数学课程5个必修模块中的第二个,涉及立体几何与解析几何的基础知识.

一、内容结构

本书内容包括立体几何初步、解析几何初步,共分四章,36课时,具体内容是:第一章 空间几何体(8课时);第二章 点、直线、平面之间的位置关系(10课时);第三章 直线与方程(9课时);第四章 圆与方程(9课时).

  "标准"把立体几何分成两部分.第一部分是本模块中的"立体几何初步",从现实世界中具体实物的整体观察入手,认识最基本的空间几何图形(柱、锥、台、球)及其直观图的画法,并了解这些简单几何体的表面积与体积的计算方法.然后,再以长方体为载体,直观认识和理解空间点、直线、平面的概念及其相互位置关系;通过直观感知、操作确认、思辨论证,认识和理解有关直线和平面平行、垂直的性质与判定,论证一些有关空间直线和平面位置关系的简单命题.第二部分是选修课程的系列2-1"空间中的向量与立体几何",以向量为工具,进一步论证和解决一些有关空间图形的位置关系和度量问题.

  第一章,以观察建筑物、物体、实物模型的结构特点为起点,引导学生认识柱、锥、台、球的结构特征,并运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构;绘制简单空间图形的三视图和直观图,了解柱、锥、台、球的度量(表面积和体积),目的是以此为载体,使学生进一步熟悉简单几何体的结构特征,发展空间观念和想象能力.

  第二章,与以往立体几何教科书的顺序比较,没有从抽象的概念出发,推导点、直线和平面的相互位置关系,而是借助长方体模型或直观具体的实物,让学生经历直观感知、操作确认、思辨论证的过程,认识点、直线和平面的平行、垂直等位置关系,使学生经历从直观到抽象,从特殊到一般的过程,从而发展学生的空间观念.

  与立体几何一样,解析几何也分成两部分.第一部分是本模块中的"解析几何初步",内容是直线的方程、圆的方程,运用代数方法研究直线、圆的几何性质及其位置关系,初步掌握坐标法思想,初步形成用代数方法解决几何问题的能力,并要求学生初步了解空间直角坐标系.第二部分是选修系列1(文科必选)、选修系列2(理科必选)中的圆锥曲线与方程,内容是椭圆、双曲线、抛物线的方程及其简单性质,进一步在"曲线与方程"的思想指导下研究问题.

  本书第三章,先引导学生认识直角坐标系下确定直线的几何要素(一个点的坐标和倾斜角即斜率),并根据几何特征推导直线方程,得出直线方程的点斜式、两点式、斜截式和截距式,并归纳到一般式,从而建立直线与二元一次方程的关系;利用直线的斜率,研究平行、垂直等位置关系;利用直线方程研究点到直线的距离公式;等等.
  
  第四章,从平面上确定圆的几何要素(圆心坐标和半径)入手,得出圆的标准方程,并变形得到圆的一般方程;引导学生利用直线的方程、圆的方程,研究直线与圆的位置关系,并用坐标法解决平面几何问题,使学生进一步体会解析几何的基本思想.最后介绍了空间直角坐标系.

  二、主要变化

  1.从整体到局部安排立体几何内容

  以往立体几何的内容体系相比,本模块立体几何的内容体系结构有重大改革.以往立体几何内容,一般从构成空间几何体的基本要素(点、直线和平面)的研究开始,在讲述平面及其基本性质,点、直线、平面之间位置关系和有关公理、定理的基础上,再研究由它们组成的简单几何体(棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、台、球)的结构特征、体积、表面积等.本书以直观感知、操作确认为认识手段,先研究柱、锥、台、球等简单几何体的结构特征,根据这些特征绘制三视图、直观图,并解决相关的度量问题(特别是渗透了极限思想).在学生建立充分感知的基础上,再对几何体的"细部特征",即构成几何体的几何元素(点、线、面等)的关系及其度量进行研究.这样安排,既符合学生认识空间问题的基本规律,降低立体几何学习入门的门槛,有利于提高学生学习立体几何的兴趣,使学生的空间想象能力、几何直观能力得到循序渐进的培养.

  2.强调几何直观,合情推理愉卵阋{詫颠E渎雁襸詫颠砘枷

  长方体是认识直线、平面位置关系的简单、直观而且重要的载体,其中的棱与棱、棱与面、面与面之间的位置关系,可以为学生研究直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系提供直观模型.因此,教科书特别注重发挥长方体的作用,以长方体为学具,帮助学生探索空间直线、平面的位置关系,归纳、概括它们的判定定理和性质定理.比如,在有关直线与平面、平面与平面平行与垂直的判定定理,通过引导学生观察长方体,从中归纳出直线与平面、平面与平面平行与垂直的判定和性质.从思维方式来说,根据"标准"的要求,教科书在不削弱逻辑推理的前提下,加强了归纳、类比等合情推理.例如,关于直线与平面、平面与平面的平行与垂直等的判定,在直观感知、操作确认的基础上,只以合情推理的方式得出判定方法但不证明,而性质定理也在合情推理获得有关猜想的基础上再给出证明.显然,这样做既可以为学生铺设合适的立体几何学习台阶,降低难度,又可以使立体几何的学习过程完整化,为学生理解抽象的直线、平面位置关系的判定和性质提供有力的支撑,有助于培养学生的数学思维能力,并在推理过程中使学生逐步熟悉公理化思想.

  3.加强数学知识的联系性,通过"三步曲"明确坐标法基本思想
  
  解析几何的基本思想是坐标法.用方程表示直线和圆,利用方程研究直线、圆的位置关系,研究两条直线的交点、点到直线的距离、两条平行直线之间的距离等问题时,都需要把几何问题代数化,先利用直线和圆的几何特征求出相应的方程,将几何问题转化为代数问题,然后再通过代数运算得出代数结果,最后对代数结果作出几何解释.为了使学生更好地掌握坐标法思想,教科书结合大量的例题,突出用坐标法解决几何问题的"三步曲":

  第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题;

  第二步:通过代数运算,解决代数问题;

  第三步:把代数运算结果"翻译"成几何结论.

  坐标法沟通了代数与几何的联系,体现了数形结合思想.为了加强数形结合思想,教科书以坐标系为纽带,沟通了(一次)函数、方程、数及其运算、平面几何等之间的联系,使学生体会从不同角度研究同一个问题的必要性,并掌握相应的研究方法.

三、教学建议

  1.认真把握"标准"的教学要求

  与以往的立体几何教学要求相比,本模块在几何推理证明的难度上有所降低,淡化了几何证明的技巧,不对直线、平面位置关系的判定定理进行逻辑推理证明,减少了定理的数量,删去了一些几何证明题.同时,通过改变知识的逻辑顺序,把空间图形的整体认识和把握作为立体几何的学习起点,加强了直观感知和操作确认的过程,使合情推理得到加强,以使学生在立体几何学习中的认识过程完整化,这对培养学生的几何直观能力、空间想象力,发展他们的空间观念有好处.因此,在教学中一定要注意根据"标准"的要求和教科书的内容安排,扎实地进行第一章的教学,使学生能正确把握空间几何体的结构特征,并能用这些特征来描述现实中简单几何体的结构,掌握在平面上表示空间图形的方法.第二章是立体几何的学习难点,教学中要充分使用长方体模型,为学生理解直线、平面的位置关系提供直观工具,从而降低立体几何的学习难度.特别是关于直线、平面的平行、垂直的判定定理及其应用,应当把握"直观感知、操作确认"的要求,不要在证明、应用上做过多的文章,进一步的提高可以在选修系列的学习中完成.

  解析几何初步的教学,要注意结合具体的直线和圆,引导学生探索在平面上确定这些图形的几何要素,推导出它们的代数方程,进而运用方程研究它们在平面上的位置以及相互关系,体会用代数方法解决几何问题的思想.教学中不要让学生做综合性强、难度大的题目,在研究直线、圆的位置关系时,不要让学生讨论涉及含参数的二次不等式的问题.

  2.通过建立相关知识的联系,渗透"数形结合"等思想方法

  本册内容的起点是义务教育阶段"空间与图形"的相关知识,特别是"空间几何体"的内容.由于部分高一同学在初中阶段没有学过视图与投影方面的知识,所以教学中可以对这方面的指示作适当的补充.立体几何的教学要注意与平面几何的联系,可以引导学生在与平面几何的类比过程中,提出立体几何研究的问题及其研究方法.例如,关于空间两条直线,可以让学生考虑平面几何讨论过的两条直线的位置关系──平行、相交(垂直是特例),再提出问题"在空间是否还有别的位置关系?"通过教具直观演示得出空间存在"既不平行也不垂直"的两条直线──异面直线,从而明确立体几何中主要讨论异面直线;然后再从"度量"的角度提出需要研究异面直线所成的角、距离的问题,并引导学生体会"空间问题平面化"的基本思想,利用"平面角"定义异面直线所成的角......

  关于直线与平面的平行、垂直也可以用同样的思路.总之,可以通过与平面几何相关知识的类比,得出立体几何中的问题与方法.

  在解析几何初步的教学中,要特别注意"数形结合"思想方法的渗透和理解.具体的,应当让学生经历:分析问题涉及的几何要素、关系──用代数语言描述几何要素及其关系──进行代数变换、运算,解决代数问题──解释代数结果的几何含义──获得几何结果.

  3.关注现代信息技术的运用

  有条件的学校应当注意应用信息技术帮助学生分析空间几何体及其结构特征,运用现代信息技术和有关软件,制作一些课件,如动态演示空间点、直线、平面之间的位置关系,空间中的平行与垂直关系等等,以培养学生的空间想象力;在解析几何初步的教学中,可以借助信息技术动态演示曲线的变化情况,观察曲线的性质;可以借助信息技术探究轨迹的形状,在形成对轨迹的直观认识的基础上再进行代数表示和代数变换;等等. 普通高中课程标准实验教科书·数学(A版)必修2《空间几何体》简介 北京师范大学 马 波   几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科.空间几何体是几何学的重要组成部分,它在土木建筑、机械设计、航海测绘等大量实际问题中都有广泛的应用.

  本章将在义务教育数学课程"空间与图形"的基础上,从对空间几何体的整体观察入手,研究空间几何体的结构特征、三视图和直观图,了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法.
  
  一、内容与课程学习目标
  
  本章的主要内容是认识空间图形,通过对空间几何体的整体把握,培养和发展空间想象能力.从学生熟悉的物体入手,使学生对物体形状的认识由感性上升到理性;通过三视图和直观图的学习,进一步认识空间几何体的结构.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式,从度量的角度加深对空间几何体的整体认识.通过本章的学习,要使学生达到下列目标:
  
  1.利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形,认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
  
2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述的三视图所表示的立体模型,会使用材料(如纸板)制作模型,会用斜二侧法画出它们的直观图.

3.通过观察用两种方法(平行投影与中心投影)画出的视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式.

4.完成实习作业,如画出某些建筑的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不作严格要求).

5.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式).

  二、内容安排
  
本章包括3节,约需8课时,具体分配如下(仅供参考):

  1.1 空间几何体的结构 约2课时
  
1.2 空间几何体的三视图和直观图 约2课时

  1.3 空间几何体的表面积与体积 约2课时
  
  实习作业 约1课时

  小 结 约1课时
  
  1."空间几何体的结构"首先让学生观察现实世界中实物的图片,引导学生对观察到实物进行分类,归纳、抽象、概括出柱体、锥体、台体和球体的结构特征,同时给出由它们组合而成的简单几何体的结构特征.然后要求学生例举生活中的几何体,并掌握它们的结构特征.

  2."空间几何体的三视图和直观图"主要包括在平面上表示立体图形,用三视图和直观图表示空间几何体,实现空间几何体与三视图、直观图之间的相互转化,利用三视图或直观图制作立体模型;通过空间几何体在平行投影和中心投影下的影象,使学生认识立体图形在平面上的不同表示形式.

  3."阅读材料 画法几何与蒙日"主要介绍画法几何的内容,以及法国数学家蒙日在画法几何方面的贡献,使学生了解画法几何的历史背景及发展.,

  4."空间几何体的表面积与体积"主要包括空间几何体的表面积、体积,简单几何体的表面积与体积.

  5.实习作业的内容是画出建筑物的三视图和直观图,体会几何学在建筑方面的应用.

  三、编写过程中考虑的几个问题

  1.从生活中来,到生活中去,理论联系实际,培养学生的应用意识和应用能力
  
  三维空间是人类生存的现实空间,它为我们的学习提供了大量现实的素材.在本章内容的呈现方式上,正文充分利用现实生活中的素材,使学生在观察的基础上,抽象出空间图形,然后归纳出它们的结构特征,把握图形的特点.例题、习题中部分题目也注意与生产生活的联系.另外,教师还要在此基础上,充分借助幻灯、计算机软件等工具向学生展示更多的实物、图片,增强学生的直观感受,提高学生的学习兴趣,更好地认识空间几何体,提高几何直观能力.

  实习作业要求画出建筑物的三视图和直观图,这为学生综合应用本章知识进行实践提供了机会,对学生的应用意识和应用能力的培养有极大的帮助.
  
  2.强调学生的动手操作和主动参与,让他们在观察、操作、想象、交流等活动中认识空间几何体,提高空间想象能力
  
  学习方式的转变是课程改革的重要目标之一.教科书中设置了"观察""思考""探究"等栏目,例如:
  
  ●1.1.2简单组合体的结构特征中的"探究"栏目:"请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体,你能说出组成这些物体的几何结构特征吗?它们是由哪些基本几何体组成的?"
  
  ●1.1.2 空间几何体的直观图中的"探究"栏目:(2)空间几何体的三视图和直观图能够帮助我们从不同侧面、不同角度认识几何体的结构,它们各有哪些特点?二者有何关系?"
  
  ●1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积中的"探究"栏目:"如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征,求它们的表面积?"等等.
  
  通过这些活动,鼓励学生思考、动手、交流,参与课堂教学,养成良好的学习习惯.
  
  3.重视实物与图形、空间图形与平面图形的互相转化
  
  无论是空间几何体的结构,还是它们的三视图、直观图,表面积、体积,都涉及到大量的空间图形、平面图形,以及它们之间的互相转化.在研究这些图形时,我们始终注意与实物的联系,使抽象与具体结合起来.要求学生能够从实物抽象出空间图形,从空间图形想象实物的形状;能够画出实物的三视图和直观图,能够从空间几何体的直观图画出它的三视图,从三视图画出它的直观图等等.这些数学活动是使学生掌握图形,提高识图能力的有效途径.

  四、对教学的几个建议
  
  1.注意与义务教育阶段课程"空间与图形"部分的衔接
  
  本章知识内容与义务教育阶段"空间与图形"部分联系密切,许多内容,如空间几何体、三视图、投影等都在义务教育阶段有所接触.
  
  从《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》来看,学生对正方体、长方体、圆柱、圆锥、球等份都有了直观认识;会画直棱柱、圆柱、圆锥与球的三视图,会判断简单物体的三视图,能根据展开图描述基本几何体或实物原型;了解直棱柱、圆锥的侧面展开图,能根据展开图判断和制作立体模型;能够求解正方体、长方体、圆柱、圆锥的表面积与体积;能够利用基本几何体与其三视图、展开图之间的关系解决现实生活中的简单问题.
  
  本章的教学内容中的空间几何体的结构、三视图、表面积、体积等都与义务教育阶段的学习内容相关,区别在于学习的深度和概括程度上.前面是对具体的棱柱(如正方体、长方体等)进行研究,对圆柱、圆锥和球的认识比较具体.本章对它们的研究更加深入,给出了它们的结构特征.同时,还学习了台体的有关知识,简单组合体涉及柱体、锥体、台体以及球体,比义务教育阶段数学课程"空间与图形"部分呈现的组合体多.另外,本章还要求学生如何在平面上画出空间几何体的直观图、空间几何体的直观图和三视图之间的关系以及通过空间几何体在平行投影和中心投影下的影象使学生认识在平面上可以用多种方法来表示空间几何体.
  
  了解本章内容,要求与义务教育阶段数学课程"空间与图形"部分的内容、要求的联系与区别.教学时便可以在学习过的知识基础上,加深一步.
  
2.严谨适度,把握教学要求

  在《普通高中数学课程标准(实验)》中,立体几何内容的体系结构有重大改革.过去常从研究点、直线和平面开始,再研究由它们组成的几何体,遵循部分到整体的原则;现在先从对空间几何体的整体感受入手,再研究组成空间几何体的点、直线和平面.这种安排有助于培养学生的空间想象能力、几何直观能力,降低立体几何学习入门难的门槛,提高学生学习立体几何学习的兴趣.
  
  对于空间几何体的认识,教科书从空间几何体的结构特征、表示方法与度量三个方面展开.由于没有点、直线与平面的有关知识,本章的学习不能建立在严格的逻辑推理的基础上,这与以往教科书有相当大的区别,教师在实际教学中要充分注意到这一点.

  本章教学重视从实际出发,从具体到抽象,提供丰富的实物模型或计算机软件呈现的几何体,在此基础上引导学生观察、归纳、抽象、概括出它们的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构;巩固和提高义务教育阶段有关三视图的学习和理解,掌握斜二侧法画平面图形和立体图形的方法和技能,能够使用材料(如纸板)制作立体模型;通过平行投影和中心投影,使学生了解空间图形的不同表示形式;了解空间几何体的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式),能够计算基本几何体及它们的简单组合体的表面积和体积.

  本章在球的表面积和体积公式的推导过程中利用了极限的思想,但不作为教学要求.有兴趣的同学和学有余力的同学可以了解整个推导过程,了解极限的思想方法在处理这方面问题的作用.
  
  总之,教学要求定位在直观感知、操作确认、度量计算的层面.

  3.重视现代信息技术的应用
  
  现代信息技术的广泛应用正在对数学课程的编写、数学教学的实施产生深刻影响.信息技术应用于数学教学,对课堂信息容量的增加、对提高学生学习数学的兴趣、为学生创设一个良好的学习环境等方面都有重要意义.
  
  在本章,利用信息技术工具,可以给我们展现丰富多彩的图形世界,帮助学生从中抽象出空间图形.动态演示空间几何体的三视图和直观图,认识立体图形与平面图形的关系,帮助学生建立空间观念,提高空间想象能力和几何直观能力.学好立体几何需要学生能够多动手画一画、做一做.从不同的角度观察空间图形,体会空间几何体在不同的视角下的结构特征.因此,有条件的地方应尽可能使用信息技术,帮助学生更好地学习,达到较好的教学效果. 普通高中课程标准实验教科书·数学(A版)必修2《点、直线、平面之间的位置关系》简介 北京市十一学校 张 鹤   空间几何体各式各样、千姿百态.在"第一章空间几何体"中我们对它们的整体结构有了大致的了解,有了初步的整体认识.本章我们从构成空间几何体的基本元素──点、直线和平面入手,以长方体为载体,直观认识和理解空间中点、直线、平面的位置关系.由整体到局部,由局部认识整体,逐步把握空间几何体的性质.同时,学会用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定,并对某些数学结论进行论证.

  一、内容与课程学习目标
  
  本章的内容是点、直线、平面之间的位置关系.通过本章学习,学生应当达到下列目标:
  
  1.以长方体为载体,使学生在直观感知的基础上,认识空间中点、直线、平面之间的位置关系.

  2.通过对大量图形的观察、实验、操作和说理,使学生进一步了解平行、垂直判定方法以及基本性质.

  3.学会准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系,体验公理化思想,培养逻辑思维能力,并用来解决一些简单的推理论证及应用问题.

  二、内容安排
  
  本章内容共分三节,约需10课时,具体课时分配如下(仅供参考):
  
  2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 约3课时
  
  2.2 直线、平面平行的判定及其性质 约3课时
  
  2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 约3课时
  
小 结 约1课时

1."空间点、直线、平面之间的位置关系"包括四部分内容,按照平面、空间中直线与直线之间的位置关系,空间中直线与平面的位置关系,空间中平面与平面的位置关系编排了4小节.点、直线的描述性定义在义务教育阶段已经学过,本节首先给出平面的描述性定义,然后给出作为推理依据的三个公理:

  公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.

  公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.

  公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

  三个公理的叙述中把文字语言、图形语言、符号语言三者有机结合.在此基础上再给出作为推理依据的公理4和定理,即
  
  公理4:平行于同一条直线的两条直线平行.
  
  定理:空间中如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.

  无论在讲空间中直线与直线位置关系、直线与平面的位置关系还是平面与平面的位置关系都是借助长方体这个直观载体,从对长方体的观察开始.
  
  平行和垂直是空间中最重要的两种关系.平行反映了空间的平直性,垂直反映了空间的对称性.
  
  2."直线、平面平行的判定及其性质"以平行为主线,按照先判定再给出性质的顺序,依次安排直线与平面平行的判定、平面与平面平行的判定,直线与平面平行的性质,平面与平面平行的性质.通过直观感知、操作确认,归纳出以下判定定理:

  ◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.

  ◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.

和性质定理:

  ◆一条直线与一个平面平行,则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行.
  
◆两个平面平行,则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行.

  3."直线、平面垂直的判定及其性质"以垂直为主线,按照先判定再给出性质的顺序,依次安排直线与平面垂直的判定、平面与平面垂直的判定,直线与平面垂直的性质,平面与平面垂直的性质.通过直观感知、操作确认,归纳出以下判定定理:
  
◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,则该直线与此平面垂直.

◆ 一个平面过另一个平面的垂线,则两个平面垂直.

和性质定理:

◆垂直于同一个平面的两条直线平行.

◆两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.

  空间中的平行关系和垂直关系在一定条件下互相转化,如垂直于同一个平面的两条直线平行等等.
  
  三、编写中考虑的几个问题
  
  本章强调空间观念的建立和空间想象能力的培养,引入合情推理,突出几何直观,在大量实际背景,直观操作和感受的基础上,引导学生归纳、概括出若干定理,目的是让学生感受公理化思想,了解证明的含义.本章给出的4个公理、9个定理中只有4个性质定理需要证明,其余4个判定定理只需通过直观感知、操作确认,归纳得出.

  1.遵循"直观感知──操作确认──思辨论证──度量计算"的认识过程展开知识内容,充分利用"观察""思考""探究"等栏目

  空间点、直线、平面的位置关系,直线、平面平行的判定及其性质,直线、平面垂直的判定及其性质都是以长方体为直观载体,按照操作加以确认,用精确语言表达,再将直线、平面平行和垂直的性质定理进行严密的论证和计算.
  
  为了实现上述认识过程,教科书设置了"观察""思考""探究"等栏目,以确保"直观感知──操作确认──思辨论证──度量计算"四个层次的认识过程的展开和实施. 以学生经历从实际背景中抽象出数学模型,从现实的生活空间中抽象出几何图形和几何问题的过程.

  观察:重在引导学生看实物模型以及长方体,其目的是提高学生的空间想象能力,加深对所学知识的理解和记忆.应借助现代信息技术工具,看表现空间点、直线与平面位置关系的各种图形,获得丰富的感性材料.在引导学生观察模型时,应引导学生学会有目的地、有序地、全面地观察模型体现的点、直线、平面之间的关系.
  
  思考:侧重于从学生的实际生活和生产实际中提出与数学有关的问题,放手让学生去想去议,调动学生思维的积极性和学习交流.当学生经过思考、讨论后,真正实现由感性认识向理性认识的过渡,达到巩固所学知识的目的,激发学生的理性思维,引导学生由直观感知、操作确认到思辨论证的过渡.
  
  探究:着眼于促使学生独立思考和自主探索,给学生自主探索的机会,让学生在讨论的基础上发现问题和解决问题;安排适量的、具有一定探索意义和开放性的问题,给学生比较充分的思考的空间和时间,在借助图形直观进行合情推理的过程中,增强学生探究的好奇心,加深对数学的理解,培养学生乐于钻研、勤于思考的习惯,激发出潜在的创造力,让学生在不断探索与创造的氛围中发展解决问题的能力,体会数学的价值.
  
教科书在阐述内容的过程中,大量使用"观察""思考""探究"栏目,让学生在学习过程中,通过自主探索,认识和掌握空间图形的性质,积累数学活动的经验,发展空间观念和推理能力.

  2.强调几何直觉,把空间观念的建立和空间想象能力的培养放到突出的位置
  
  当代伟大的数学家M·阿蒂亚先生指出:"几何是数学中这样的一部分,其中视觉思维占主导地位......几何直觉是增进数学理解力的很有效的途径." 几何学能够给我们提供一种直观的形象,通过对图形的把握,发展空间观念,培养空间想象能力.
  
  本章内容在安排上,从对空间几何体的整体观察入手,认识空间图形,再以长方体为载体,直观认识空间点、直线、平面的位置关系,抽象出有关概念,用数学语言表述有关性质与判定.可以这么说,几何,作为一种直观、形象的数学模型,它在发展学生创新精神方面的价值是独特的,难以替代的.
  
  3. 发展合情推理,降低"证明"的要求,渗透公理化思想
  
  归纳和类比是合情推理的主要形式.本章试图使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动,发展合情推理和初步的演绎推理能力.适当发展合情推理,把合情推理与演绎推理结合起来,让学生通过合情推理-演绎推理的过程获得结论.

  本章内容削弱了以演绎推理为主要形式的定理证明,减少了定理的数量,删去了大量的几何证明题,淡化了几何证明的技巧,降低了论证过程形式化的要求和证明的难度.这样的安排主要出于以下考虑:体现《普通高中数学课程标准(实验)》的理念,推理不仅仅指演绎推理,还包括合情推理,这两种推理相辅相成.

  四、对教学的几个建议
  
  1.立体几何体系结构的设计遵循从整体到局部、具体到抽象的原则,这是立体几何内容改革的重点
  
  与传统立体几何内容体系相比,本次立体几何内容的体系结构有重大改革.传统立体几何常从研究点、直线和平面开始,先讲清楚它们之间的位置关系和有关公理、定理,再研究由它们组成的几何体的结构特征,几何体的体积、表面积等等,基本上按照从局部到整体的原则.现在,先从对空间几何体的整体感受入手,再研究组成空间几何体的点、直线和平面.这种安排有助于培养学生的空间想象能力、几何直观能力,淡化几何论证,降低立体几何学习入门难的门槛,提高学生学习立体几何内容学习的兴趣.

  第一章和第二章是一个有机的整体,第二章讲完后,可引导学生从点、直线、平面的角度重新认识空间几何体,对空间几何体的结构特征有更本质的认识.

  2 . 把握几何推理证明的要求
  
欧几里得公理体系把几何与逻辑结合起来,几何就与演绎推理结下了不解之缘,成为训练逻辑推理的素材.就推理来说,既有合情推理,又有演绎推理,而且从数学自身发展的过程来看,即使演绎推理也并非"几何"所独有,它广泛存在于数学的各个分支中.20世纪80年代以来,国际数学教育对几何推理的要求发生了一些变化,从纯粹的演绎推理转向较少的演绎推理,更多地强调从具体情境或前提出发进行合情推理;从单纯强调几何的推理价值转向更全面地体现几何的教育价值,特别是几何在发展学生空间观念,以及观察、操作、试验、探索、合情推理等"过程性"方面的教育价值.

  3.注意加强几何建模以及探究过程,在教学过程中,强调几何直观
  
  本章的知识与学生学习的生活联系密切,如直线与直线位置关系、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系等等.学习时,一方面引导学生从生活实际出发,把知识与周围的事物联系起来,另一方面,教师要引导学生经历从现实的生活空间中抽象出空间图形的过程,注重探索空间图形位置关系的判定与性质的过程.比如,在有关直线、平面平行与垂直判定定理的教学中,要注重引导学生通过观察、操作、有条理的思考和推理等活动,从多种角度认识直线、平面平行与垂直的判定方法;在性质定理的教学中,同样不能忽视学生从实际问题出发,进行探究的过程.要引导学生借助图形直观,通过归纳、类比等合情推理来探索直线、平面平行与垂直的性质及其证明.

  立体几何在构建直观、形象化的数学模型方面有其独特作用.图形的直观,不仅为学生感受、理解抽象的概念提供了有力的支撑,而且有助于培养学生的合情推理和演绎推理能力.

  4.恰当使用现代信息技术,展示丰富的图形

  (1)通过现代信息技术,如计算机、网络等展示丰富的图片,让学生感受大量的实物,抽象出空间几何体及其结构特征.

  (2)运用现代信息技术和有关软件,制作一些课件,如动态演示空间点、直线、平面之间的位置关系,以及空间中的平行与垂直关系等等.
  
  使用信息技术的目的是通过演示、作图、验证等帮助学生认识几何体的结构特征;为学生理解和掌握图形的几何性质、探究几何性质等提供支持,提高学生的几何直观能力.在学生的空间概念还比较薄弱的时候,特别是在刚开始学习立体几何的阶段,如果能够引导学生通过信息技术观察实物模型,并根据模型进行分析,对帮助学生树立空间概念将有极大的帮助 普通高中课程标准实验教科书·数学(A版)必修2《直线与方程》简介 北京师范大学 王敬庚   在平面几何和立体几何里,我们直接依据几何图形中点、直线、平面的关系研究几何图形的性质.现在采用另外一种研究方法:坐标法.坐标法是在坐标系的基础上,把几何问题转化成代数问题,通过代数运算研究几何图形性质的方法.它是解析几何中最基本的研究方法.
  
  解析几何是17世纪法国数学家笛卡儿和费马创立的.解析几何的创立是数学发展史上的一个里程碑,数学从此由常量数学进入变量数学时期.解析几何由此成为近代数学的基础之一.
  
  一、内容与课程学习目标
  
  本章我们在直角坐标系中,建立直线的方程,并通过方程研究直线的有关性质,如平行、垂直、两条直线的交点、点到直线的距离等.通过本章学习,学生应当达到的学习目标是:
  
  1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素.
  
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线斜率的计算公式.

3.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.

4.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),体会斜截式与一次函数的关系.

5.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.

6.探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.

二、内容安排

本章共分三节,大约需要9课时.具体课时分配如下(仅供参考):

3.1 直线的倾斜角与斜率 约2课时

3.2 直线的方程 约3课时

3.3 直线的交点坐标与距离公式 约3课时

小 结 约1课时

  1."直线的倾斜角与斜率"首先探索平面直角坐标系中确定直线位置的几何要素──点和倾斜角.给出斜率的概念,并用代数方法表示它,导出用两点坐标表示斜率的公式,并根据直线的斜率判断两条直线平行与垂直.
  
  2."直线的方程" 首先在直角坐标系中建立直线的方程,然后介绍直线方程的点斜式、两点式、一般式,最后得出结论:在平面直角坐标系中,一切直线的方程都是二元一次方程,二元一次方程表示直线.
  
  3."直线的交点坐标与距离公式" 通过直线的方程研究两条直线的交点,并由此判断两条直线的位置关系:相交、平行及重合.通过点的坐标和直线的方程,导出两点间的距离、点到直线的距离以及两平行线间的距离.
  
  4."探究与发现 魔术师的地毯"是一个非常有趣的素材,主要是让学生运用直线斜率的知识,看两条直线是否共线,进而探究0.01m2的地毯到什么地方去了?
  
  三、编写中考虑的几个问题
  
  1.贯穿"坐标法"的思想,突出解析几何解决问题的"三部曲"
  
  本章注意突出解析几何的基本思想"坐标法":用方程表示直线,运用方程研究直线的位置关系:平行、垂直,以及两条直线的交点、点到直线的距离、两条平行直线之间的距离.几何问题代数化,用数量关系表示空间形式、位置关系等等.结合大量的例题,突出用坐标方法解决几何问题的"三部曲":
  
第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题;

第二步:通过代数运算,解决代数问题;

第三步:把代数运算结果"翻译"成几何结论.

2.从一个或几个数学问题展开知识内容

问题是数学的心脏.引入知识内容时,常设置一个或几个问题,创设一种情境,一方面引起学生的兴趣,另一方面引起学生解决问题的求知欲望.

比如"3. 1.1 倾斜角与斜率",提出了几个思考题:

  思考:对于平面直角坐标系内的一条直线l,它的位置关系由那些条件确定呢?

  思考:日常生活中,还有没有表示倾斜程度的量?
  
  3.关注结论形成的过程,通过思考、探究,得出结论
  
  本章在编写时注意呈现方式,不直接给出结论,让学生证明.而是把结论放在学生经过一系列数学活动之后,通过思考、探究,得出结论.比如,用"坐标法"解决问题的"三部曲"就是通过解决一系列问题后得出.在例题的呈现时,增加了分析的过程,重点分析解题的思路.
  
  4.充分利用教科书边空,提出具有一定思考价值的问题,强调重要的数学思想方法
  
  利用教科书边空不失时机地提出一些具有一定思考价值的问题,例如,"3.2.1 直线的点斜式方程"中的边空"截距是距离吗?""3.2.3 直线的一般式方程"中边空"分类讨论时,常按和分类,这样可以做到不重不漏."等等.
  
  四、对教学的几个建议
  
  1.注意把握教学要求
  
  教学中,注意控制教学的难度,避免进行综合性强、难度较大的数学题的训练,避免在解题技巧上做文章.比如,义务教育阶段"空间与图形"部分涉及的许多结论都可以用坐标法来加以证明,而义务教育阶段的教学要求已经有所改变.因此,用坐标法证明平面几何题要求不宜过高,适可而止.

  传统的解析几何内容安排在三角函数后面,而现在安排在三角函数之前.当用到相关三角函数时,只在边空给出提示,让学生作为结论直接使用,不给出证明.例如,,.这些结论放在数学4时补证.

2.关注重要数学思想方法的教学

  重要的数学思想方法不怕重复.《普通高中数学课程标准(实验)》要求"坐标法"应贯穿平面解析几何教学的始终,帮助学生不断地体会"数形结合"的思想方法.在教学中应自始至终强化这一思想方法,这是解析几何的特点.教学中注意"数"与"形"的结合,在通过代数方法研究几何对象的位置关系以后,还可以画出其图形,验证代数结果;同时,通过观察几何图形得到的数学结论,对结论进行代数证明,即用解析方法解决某些代数问题,不应割断它们之间的联系,只强调"形"到"数"的方面.而忽视"数"到"形"的方面.

3.关注学生的动手操作和主动参与

  学习方式的转变是课程改革的重要目标之一.教学中,注意提供充分的数学活动和交流的机会,引导他们在自主探索的过程中获得知识、增强技能、掌握基本的数学思想方法. "观察"、"思考"、"探究"等栏目设置目的之一就是让学生参与到数学活动中来.

4.关注信息技术的应用

  平面解析几何是一门典型的数与形结合的学科,信息技术在加强几何直观,促使数与形结合方面有着特殊的作用.借助信息技术,可以形象、直观地帮助学生认识所研究的直线.在动态演示中,观察直线的性质,在直观了解的基础上,寻求形成这些性质的原因以及代数表示.通过对方程的研究,了解直线与直线的关系时,运用信息技术,可以进一步验证得到的结果,为抽象的认识增添形象的支持. 普通高中课程标准实验教科书·数学(A版)必修2《圆与方程》简介 南京师范大学附属中学 陶维林   本章在"第三章 直线与方程"的基础上,在直角坐标系中建立圆的方程,并通过圆的方程,研究直线与圆、圆与圆的位置关系.

  在直角坐标系中,建立几何对象的方程,并通过方程研究几何对象,这是研究几何问题的重要方法.通过坐标系,把点与坐标、曲线与方程联系起来,实现空间形式与数量关系的结合.
  
  一、内容与课程学习目标
  
本章主要内容是在直角坐标系中建立圆的方程,并通过圆的方程,研究直线与圆、圆与圆的位置关系.通过本章学习,要使学生达到如下学习目标:

1.回顾确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程与一般方程.

2.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系.

3.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.

4.进一步体会用代数方法处理几何问题的思想.

5.通过具体情境,感受建立空间直角坐标系的必要性,了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系刻画点的位置.

6.通过表示特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标,探索并得出空间两点间的距离公式.

二、内容安排

  本章内容共分三节,约需9课时,具体课时分配如下(仅供参考):
  
4.1 圆的方程 约2课时

4.2 直线、圆的位置关系 约4课时

4.3 空间直角坐标系 约2课时

小 结 约1课时

  1."直线与方程"一章研究了直线方程的各种形式、直线之间的位置关系以及直线之间位置关系的简单应用.本章在第三章的基础上,学习圆的有关知识──圆的标准方程、圆的一般方程;继续运用"坐标法"研究直线与圆、圆与圆的位置关系等几何问题;学习空间直角坐标系的有关知识,用坐标表示简单的空间的几何对象.
  
  2."圆的方程"一节包括圆的标准方程、圆的一般方程两部分.首先提出确定圆的几何要素这个问题,指出圆心和半径是确定一个圆最基本的要素,然后引导学生用代数的语言(方程)描述圆,进而得到圆心为C(a,b ),半径为r的圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2.对圆的标准方程进行变形,可以得出圆的一般方程,它们是表示圆的方程的两种形式.
  
  3."直线、圆的位置关系"中,先从几何角度指出它们之间的直线与直线、直线与圆的位置关系,然后用方程去描述它们,通过方程研究直线、圆的位置关系.最后安排了直线与圆的方程在解决实际问题和平面几何问题方面的应用.
  
  通过方程,研究直线与圆、圆与圆的位置关系是本章的主要内容之一.判断直线与圆、圆与圆的位置关系可以从两个方面入手:
  
  (1)曲线C1与C2有无公共点,等价于由它们的方程组成的方程组有无实数解.方程组有几组实数解,曲线C1与C2就有几个公共点;方程组没有实数解,C1与C2就没有公共点.
  
  (2)运用平面几何知识,把直线与圆、圆与圆的位置关系的结论转化为相应的代数问题.
  
在本节的最后,进一步指出用坐标方法解决几何问题的"三部曲":

第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题;

第二步:通过代数运算,解决代数问题;

第三步:把代数运算结果"翻译"成几何结论.

  4."空间直角坐标系"包括空间直角坐标系的概念,用坐标表示空间中简单的几何对象,以及空间中两点间的距离公式.
  
  5.为了使学生更好地了解"坐标法",认识信息技术在探求轨迹方面的作用,本章安排了"阅读与思考 坐标法与机器证明"和"探究与发现 用《几何画板》探求点的轨迹(圆)"以及"阅读与思考 坐标法与机器证明"介绍了坐标法、笛卡儿、坐标法与机器证明之间的关系、机器证明的思想,以及在机器证明方面作出重大贡献的的我国著名数学家吴文俊先生.目的是拓广学生的知识面,了解我国数学家作出的重大贡献,激发学生进一步深入学习数学的兴趣."探究与发现 用《几何画板》探求点的轨迹(圆)"介绍了《几何画板》在探求点的轨迹,帮助学生猜想、发现方面的作用.
  
  三、编写中考虑的几个问题
  
  1.始终贯穿"坐标法"的思想
  
  解析几何的特点是用代数的方法研究几何图形.对于义务教育阶段中判断圆与直线、圆与圆之间的位置关系的方法,学生并不陌生.这里研究问题的方法与以前不同,这就是坐标法.
  
  在建立圆的标准方程时,首先帮助学生回顾确定圆的要素,然后利用坐标法来刻画圆,建立了圆的标准方程;判断圆与直线、圆与圆的位置关系时,首先回顾义务教育阶段如何判断圆与直线、圆与圆的位置关系,然后利用坐标法研究它们.从另一个角度看,既然圆、直线都可以用方程来刻画,那么就可以通过对方程的研究来研究直线与圆、圆与圆的位置关系,这就是两曲线是否有公共点的问题,即它们的方程组成的方程组有没有实数解的问题.本章在进行圆与直线、圆与圆的位置关系判断时,常常采用这两种方法.
  
  2.从一个或几个数学问题展开知识内容
  
  问题是数学的心脏.引入知识内容时,常设置一个或几个问题,创设一种情境,一方面引起学生的兴趣,另一方面引起学生解决问题的求知欲望.
  
比如"4. 1.2 圆的一般方程",提出了两个思考题

  思考:方程x2+y2-2x+4y+1=0表示什么图形?方程x2+y2-2x-4y+6=0表示什么图形?

  实际上,对方程x2+y2-2x-4y+6=0配方,得(x-1)2+(y-2)2=-1,这个方程不表示任何图形.
  
  紧接着,教科书又提出一个让学生探究的问题.
  
  探究:形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程在什么条件下表示圆?
  
  教科书环环相扣,把学生引入一个又一个"愤"与"悱"的境地,使得学生通过问题的解决学习新的知识.
  
  3.关注结论形成的过程,通过思考、探究,得出结论
  
  本章在编写时注意呈现方式,不直接给出结论,让学生证明.而是把结论放在学生经过一系列数学活动之后,通过思考、探究,得出结论.比如,用"坐标法"解决问题的"三部曲"就是通过解决一系列问题后得出.在例题的呈现时,增加了分析的过程,重点分析解题的思路.在探求点的轨迹时,提倡先用信息技术工具探究轨迹的形状,对问题有一个直观的了解,然后再分析轨迹形成的原因,找出解决问题的方法,使得学生抓住问题的本质,理清思路,制订合理的解题策略.
  
  4.充分利用教科书边空,提出具有一定思考价值的问题,强调重要的数学思想方法
  
  利用教科书边空不失时机地提出一些具有一定思考价值的问题,例如:
  
(1)当一个问题解决之后,询问"还有其他不同的解法吗?"或者是"有更好的解法吗?"

(2)当同一个问题有两种解法时,要求比较它们的优劣.如"请同学们比较这两种证明方法,并指出各自的特点?"在比较中加深理解,促使学生养成解题后反思的良好习惯.

(3)当同一个问题有多种解法时,要求学生在教科书已经给出一种或两种解法的基础上再给出一种.

归纳、抽象是重要的数学思想方法.在问题解决之后,要求学生进行一些简单的归纳.例如,"4. 1.1 圆的标准方程",在学习了例2与例3之后,提出"比较例2和例3,你能归纳出求任意三角形外接圆的标准方程的两种方法吗?"


通过问题的开放性,触类旁通地提出问题.比如,研究圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0与圆C2:x2+y2-4x-4y-2=0的关系时,把它们的方程相减,得到x+2y-1=0.在边空处要求"画出圆C1与C2以及方程x+2y-1=0表示的直线,你发现了什么?你能说明为什么吗?"更进一步,能否说,要研究圆C1与圆C2的关系只要研究直线x+2y-1=0与C1(或C2)的关系就可以了呢?这一问题,不仅体现了"化归"的思想,而且是颇具思考价值的.

5.注意加强与实际问题、其他学科的联系

本章内容的选择尽可能加强与学生的生活、生产实际的联系.比如,为说明研究直线与圆的位置关系的必要性,设置了一个渔船能否避开台风的问题:

一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报:台风中心位于轮船正西70 km处,受影响的范围是半径长为30 km的圆形区域. 已知港口位于台风中心正北40 km处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响?
  
  在直线与圆的方程的应用部分,设置了与圆拱桥有关的计算题.学习空间直角坐标系时,要求写出食盐晶胞中钠原子在空间直角坐标系中的位置(坐标)等等.

6.介绍科技成果,渗透数学文化

本章通过设置"阅读与思考 坐标法与机器证明"栏目,介绍科学家、数学史、数学在现代生活中的应用等,机器证明几何定理是坐标法的精彩应用,我国数学家吴文俊先生在这方面有着重要的贡献,较为详细地介绍了机器证明几何定理研究的历史.

  四、对教学的几个建议
  
  1.认真把握教学要求
  
教学中,注意控制教学的难度,避免进行综合性强、难度较大的数学题的训练,避免在解题技巧上做文章.比如,义务教育阶段"空间与图形"部分涉及的许多结论都可以用坐标法来加以证明,而义务教育阶段的教学要求已经有所改变.因此,用坐标法证明平面几何题要求不宜过高,适可而止.再如,教科书不介绍圆的切线方程x0x+y0y=r2,这并不是说不涉及圆与直线相切这一位置关系.与直线相切这一位置关系的判断可以有两种方法,一种是利用圆心到直线的距离等于半径长;另一种是利用它们的方程组成的方程组只有一组实数解.

2.关注重要数学思想方法的教学

重要的数学思想方法不怕重复.《普通高中数学课程标准(实验)》要求"坐标法"应贯穿平面解析几何教学的始终,帮助学生不断地体会"数形结合"的思想方法.在教学中应自始至终强化这一思想方法,这是解析几何的特点.教学中注意"数"与"形"的结合,在通过代数方法研究几何对象的位置关系以后,还可以画出其图形,验证代数结果;同时,通过观察几何图形得到的数学结论,对结论进行代数证明,不应割断它们之间的联系,只强调其一方面.

3.关注学生的动手操作和主动参与

学习方式的转变是课程改革的重要目标之一.教学中,注意提供充分的数学活动和交流的机会,引导他们在自主探索的过程中获得知识、增强技能、掌握基本的数学思想方法.例如,判断直线与圆、圆与圆的位置关系以及它们的简单应用,探究点的轨迹等内容,可以先让学生画一画、想一想,然后进行代数论证."观察""思考""探究"等栏目设置目的之一就是想让学生参与到数学活动中来.

4.关注信息技术的应用

平面解析几何是一门典型的数与形结合的学科,信息技术在加强几何直观,促使数与形结合方面有着特殊的作用.借助信息技术,可以形象、直观地帮助学生认识所研究的曲线.在动态演示中,观察曲线的性质,在直观了解的基础上,寻求形成这些性质的原因以及代数表示.通过对方程的研究,了解曲线与曲线的关系时,运用信息技术,可以进一步验证得到的结果,为抽象的认识增添了形象的支持.在探究点的轨迹时,可以借助信息技术,探究轨迹的形状等等.
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