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7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 练出高分(含答案解析)


§ 7.3

二元一次不等式(组)与简单的线性规 划问题

A 组 专项基础训练 (时间:35 分钟,满分:57 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1. 设 A={(x,y)|x,y,1-x-y 是三角形的三边长},则 A 所表示的平面区域(不含边界的阴 影部分)是 ( )

答案 A

/>x+y>1-x-y, ? ? 1 解析 由已知得?x+?1-x-y?>y, 即 y<2, ? ?y+?1-x-y?>x, 1

? ? ? ? ?x<2.

1 x+y> , 2

x≥0, ? ?y≥0, 2. (2011· 湖北)直线 2x+y-10=0 与不等式组? x-y≥-2, ? ?4x+3y≤20

表示的平面区域的公共点有

(

)

A.0 个 答案 B

B.1 个

C.2 个

D.无数个

解析 在坐标平面内画出直线 2x+y-10=0 与不等式组表示的平面区域, 易知直线与此 区域的公共点有 1 个. x+2y≥2, ? ? 3. (2012· 山东)设变量 x,y 满足约束条件?2x+y≤4, ? ?4x-y≥-1, 是 3 - ,6? A.? ? 2 ? C.[-1,6] 答案 A 解析 作出不等式组表示的可行域,如图阴影部分所示,作直线 3x-y=0,并向左上、 右下平移. 3 - ,-1? B.? ? 2 ? 3 -6, ? D.? 2? ?

则目标函数 z=3x-y 的取值范围

(

)

由图可得, 当直线过点 A 时,z=3x-y 取最大值;当直线过点 B 时,z=3x-y 取最小值.
?x+2y-2=0, ? 由? 解得 A(2,0); ?2x+y-4=0 ? ?4x-y+1=0, ? 由? ? ?2x+y-4=0

1 ? 解得 B? ?2,3?.

1 3 ∴zmax=3×2-0=6,zmin=3× -3=- . 2 2 3 ? ∴z=3x-y 的取值范围是? ?-2,6?. 4. 某加工厂用某原料由甲车间加工出 A 产品,由乙车间加工出 B 产品,甲车间加工一箱原 料需耗费工时 10 小时可加工出 7 千克 A 产品,每千克 A 产品获利 40 元,乙车间加工一 箱原料需耗费工时 6 小时可加工出 4 千克 B 产品,每千克 B 产品获利 50 元.甲、乙两 车间每天共能完成至多 70 箱原料的加工,每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过 480 小时,甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为 A.甲车间加工原料 10 箱,乙车间加工原料 60 箱 B.甲车间加工原料 15 箱,乙车间加工原料 55 箱 ( )

C.甲车间加工原料 18 箱,乙车间加工原料 50 箱 D.甲车间加工原料 40 箱,乙车间加工原料 30 箱 答案 B 解析 设甲车间加工原料 x 箱, 乙车间加工原料 y 箱, x+y≤70 ? ? 则?10x+6y≤480 ? ?x,y∈N 目标函数 z=280x+200y, 结合图象可得:当 x=15,y=55 时,z 最大. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 5. (2011· 陕西)如图,点(x,y)在四边形 ABCD 内部和边界上运动,那 么 2x-y 的最小值为________. 答案 1 解析 令 b=2x-y,则 y=2x-b,如图所示,作斜率为 2 的平行线 y=2x-b, 当经过点 A 时,直线在 y 轴上的截距最大,为-b,此时 b=2x-y 取得最小值,为 b=2×1-1=1.
? ?3≤2x+y≤9, 6. (2011· 课标全国)若变量 x,y 满足约束条件? 则 z=x+2y 的最小值为 ?6≤x-y≤9, ?

________. 答案 -6 解析 作出不等式表示的可行域如图(阴影部分).

易知直线 z=x+2y 过点 B 时,z 有最小值.
?x-y=9, ?x=4, ? ? 由? 得? ? ? ?2x+y=3 ?y=-5.

所以 zmin=4+2×(-5)=-6. 7. 某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨、B 原料 2 吨;生产 每吨乙产品要用 A 原料 1 吨、B 原料 3 吨.销售每吨甲产品可获得利润 5 万元、每吨乙 产品可获得利润 3 万元, 该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨、 B 原料不超 过 18 吨,那么该企业可获得的最大利润是________万元. 答案 27 解析 设生产甲产品 x 吨、乙产品 y 吨, 则获得的利润为 z=5x+3y. x≥0, ? ?y≥0, 由题意得? 3x+y≤13, ? ?2x+3y≤18, 可行域如图阴影所示. 由图可知当 x、y 在 A 点取值时,z 取得最大值,此时 x=3,y=4,z=5× 3+3× 4=27(万 元). 三、解答题(共 22 分) 8. (10 分)画出 2x-3<y≤3 表示的区域,并求出所有正整数解. 解
?y>2x-3, ? 先将所给不等式转化为? ? ?y≤3.

而求正整数解则意味着 x,y 还有限制条件, y>2x-3 ? ? 即求?y≤3 ? ?x,y>0

的整数解.

?y>2x-3 ? 所给不等式等价于? ?y≤3. ?

依照二元一次不等式表示平面区域可得如图(1). y>2x-3, ? ? 对于 2x-3<y≤3 的正整数解,再画出?y≤3, ? ?x,y>0

表示的平面区域.如图(2)所示:

可知,在该区域内有整数解为(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,2)、(2,3)共五组. 9. (12 分)制订投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏损.某 投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为 100% 和 50%,可能的最大亏损率分别为 30%和 10%.若投资人计划投资金额不超过 10 万元, 要求确保可能的资金亏损不超过 1.8 万元,问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元, 才能使可能的盈利最大? 解 设投资人分别用 x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目,

x+y≤10, ? ?0.3x+0.1y≤1.8, 由题意知? x≥0, ? ?y≥0,

目标函数 z=x+0.5y.

上述不等式组表示的平面区域如图所示,阴影部分(含边界)即为可行域. 将 z=x+0.5y 变形为 y=-2x+2z,这是斜率为-2、随 z 变化的一组平行线,当直线 y =-2x+2z 经过可行域内的点 M 时,直线 y=-2x+2z 在 y 轴上的截距 2z 最大,z 也最 大. 这里 M 点是直线 x+y=10 和 0.3x+0.1y=1.8 的交点.
?x+y=10, ? 解方程组? ? ?0.3x+0.1y=1.8,

得 x=4,y=6,

此时 z=4+0.5×6=7(万元). ∵7>0,∴当 x=4,y=6 时,z 取得最大值, 所以投资人用 4 万元投资甲项目、 6 万元投资乙项目, 才能在确保亏损不超过 1.8 万元的 前提下,使可能的盈利最大. B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟,满分:43 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) x+y-3≤0, ? ? 1. (2012· 福建)若函数 y=2x 图象上存在点(x, y)满足约束条件?x-2y-3≤0, ? ?x≥m,

则实数 m 的

最大值为 1 A.- 2 答案 B B.1 3 C. 2 D.2

(

)

解析 在同一直角坐标系中作出函数 y=2x 的图象及
?x+y-3≤0, ? ? ? ?x-2y-3≤0

所表示的平面区域,如图阴影部分所示.

由图可知,当 m≤1 时, 函数 y=2x 的图象上存在点(x,y)满足约束条件, 故 m 的最大值为 1. 2. (2012· 课标全国)已知正三角形 ABC 的顶点 A(1,1),B(1,3),顶点 C 在第一象限,若点(x, y)在△ABC 内部,则 z=-x+y 的取值范围是 A.(1- 3,2) C.( 3-1,2) 答案 A 解析 如图, B.(0,2) D.(0,1+ 3) ( )

根据题意得 C(1+ 3,2). 作直线-x+y=0,并向左上或右下平移,过点 B(1,3)和 C(1+ 3,2)时,z=-x+y 取范 围的边界值,即-(1+ 3)+2<z<-1+3, ∴z=-x+y 的取值范围是(1- 3,2). x≥1, ? ? 3. 设不等式组?x-2y+3≥0, 所表示的平面区域是 Ω1,平面区域 Ω2 与 Ω1 关于直线 3x ? ?y≥x -4y-9=0 对称.对于 Ω1 中的任意点 A 与 Ω2 中的任意点 B,|AB|的最小值等于( )

28 A. 5 答案 B 解析

B.4

12 C. 5

D.2

x≥1 ? ? 不等式组?x-2y+3≥0 ? ?y≥x

? ? ?x=1 ?x=1 ,所表示的平面区域如图所示,解方程组? ,得? . ?y=x ?y=1 ? ?

|3-4-9| 点 A(1,1)到直线 3x-4y-9=0 的距离为 d= =2,则|AB|的最小值为 4. 5 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) y≤x, ? ? 4. 已知 z=2x-y,式中变量 x,y 满足约束条件?x+y≥1, ? ?x≤2, 答案 5

则 z 的最大值为________.

解析

在坐标平面内画出题中的不等式表示的平面区域及直线 2x

-y=0,平移该直线,当平移到经过该平面区域内的点(2,-1)时, 相应直线在 x 轴上的截距最大,此时 z=2x-y 取得最大值,最大值 是 z=2×2-(-1)=5. x+2y-3≤0, ? ? 5. 已知变量 x,y 满足条件?x+3y-3≥0, ? ?y-1≤0,

若目标函数 z=ax+y(其中 a>0)仅在点(3,0)处

取得最大值,则 a 的取值范围是__________. 1 ? 答案 ? ?2,+∞? 解析

画出 x、y 满足条件的可行域如图所示,要使目标函数 z=ax+y 仅在点(3,0)处取得最大 1 1 值,则直线 y=-ax+z 的斜率应小于直线 x+2y-3=0 的斜率,即-a<- ,∴a> . 2 2 6. (2011· 湖北改编)已知向量 a=(x+z,3), b=(2, y-z), 且 a⊥b.若 x, y 满足不等式|x|+|y|≤1, 则 z 的取值范围为__________. 答案 [-3,3]

解析 ∵a=(x+z,3),b=(2,y-z),且 a⊥b, ∴a· b=2(x+z)+3(y-z)=0, 即 2x+3y-z=0.又|x|+|y|≤1 表示的区域为图中阴影部分, ∴当 2x+3y-z=0 过点 B(0,-1)时,zmin=-3,当 2x+3y-z=0 过点 A(0,1)时,zmin =3. ∴z∈[-3,3]. 三、解答题 7. (13 分)某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐. 已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水 化合物,6 个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素 C;一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水 化合物, 6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外, 该儿童这两餐需要的营养中至

少含 64 个单位的碳水化合物, 42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C.如果一个单位 的午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元,那么要满足上述的营养要求,并且花费最少, 应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐? 解

设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为 x 个单位和 y 个单位,所花的费用为 z 元,则 x≥0,y≥0, ? ?12x+8y≥64, 依题意得:z=2.5x+4y,且 x,y 满足? 6x+6y≥42, ? ?6x+10y≥54, x≥0,y≥0, ? ?3x+2y≥16, 即? x+y≥7, ? ?3x+5y≥27. 画出可行域如图所示. 让目标函数表示的直线 2.5x+4y=z 在可行域上平移, 2.5x+4y 在(4,3)处取得最小值,由此可知 z=22. 因此,应当为该儿童预订 4 个单位的午餐和 3 个单位的晚餐,就可满足要求.


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