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导数与极值、最值练习题


三、知识新授
(一)函数极值的概念 (二)函数极值的求法:(1)考虑函数的定义域并求 f'(x); (2)解方程 f'(x)=0,得方程的根 x0(可能不止一个) (3)如果在 x0 附近的左侧 f'(x)>0,右侧 f'(x)<0,那么 f(x0)是 极大值;反之,那么 f(x0)是极大值 题型一 图像问题 1、函数 f ( x) 的导函数图象如下图所示,则函数 f ( x) 在图示区间上(
y
b O



y

a

x

O

x

(第二题图) A.无极大值点,有四个极小值点 C.有两个极大值点,两个极小值点 B.有三个极大值点,两个极小值点 D.有四个极大值点,无极小值点

b) ,导函数 f ?( x) 在 (a , b) 内的图象如图所示,则函数 f ( x) 在 2、函数 f ( x) 的定义域为开区间 (a , b) 内有极小值点( 开区间 (a ,

) C.3 个 D.4 个 )

A.1 个

B.2 个

2 3、若函数 f ( x) ? x ? bx ? c 的图象的顶点在第四象限,则函数 f ?( x) 的图象可能为(

y

y

y

y

O

x

O

x

O

x

O

x

A.

4、设
y

f ?( x)

B.

C.

D.

是函数

f ( x)

的导函数,
y

y ? f ?( x)
y

的图象如下图所示,则 y ? f ( x) 的图象可能是(
y y



O

1 2

x

O

2 1

x

O

1

2

x

O

1

2

x

O
-1

1

2

x
A. B. C. D.

? 5、已知函数 f ? x ? 的导函数 f ? x ? 的图象如右图所示,那么函数 f ? x ? 的图象最有可能的是(
y f '(x)



O -1

1

x

6、 f ?( x) 是 f ( x) 的导函数, f ?( x) 的图象如图所示,则 f ( x) 的图象只可能是(
y



O
y

2

x
y y y

O A.

2

x

O B.

2

x

O C.

2

x

O D.

2

x

7、如果函数

y ? f ? x?

的图象如图,那么导函数 y ? f ?( x) 的图象可能是(



y y=f(x)

y
x

y

y

y

x

x

x

x

A

B

C

D

2

8、如图所示是函数 y ? f ( x) 的导函数 y ? f ?( x) 图象,则下列哪一个判断可能是正确的(
y



0) 内 y ? f ( x) 为增函数 A.在区间 (?2 ,
3) 内 y ? f ( x) 为减函数 B.在区间 (0 ,
-2 3

O

2

4

x

? ?) 内 y ? f ( x) 为增函数 C.在区间 (4 ,

D.当 x ? 2 时 y ? f ( x) 有极小值 9、如果函数 y ? f ( x) 的导函数的图象如图所示,给出下列判断:
1? ①函数 y ? f ( x) 在区间 ? ? ?3 , ? ? 内单调递增; ? 2? ? ? ②函数 y ? f ( x) 在区间 ? ? ? , 3 ? 内单调递减; 1 ? 2
y

③函数 y ? f ( x) 在区间 (4 , 5) 内单调递增; ④当 x ? 2 时,函数 y ? f ( x) 有极小值;
1 ⑤当 x ? ? 时,函数 y ? f ( x) 有极大值; 2
3 -3 -2 -1 1 0 2 1 2 4 5 x

则上述判断中正确的是___________. 10、函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? 的图象大致是
y y
1 2


y


y

x O x O

O

x O

1 x D

A

B

C

11、己知函数

f ? x ? ? ax3 ? bx2 ? c
B. 8a ? 4b ? c

,其导数 f ?( x) 的图象如图所示,则函数 C. 3a ? 2b D. c

f ? x?

的极小值是(



A. a ? b ? c

y

O

1

2 x

3

题型二 极值求法 1 求下列函数的极值 (1)f(x)=x3-3x2-9x+5; (2)f(x)=
ln x x

1 (3)f(x)= x ? cos x (?? ? x ? ? ) 2

2、设 a 为实数,函数 y=ex-2x+2a,求 y 的单调区间与极值

1 3、设函数 f(x)= ? x 3 +x2+(m2-1)x,其中 m>0。 3

(1)当 m=1 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率 (2)求函数 f(x)的单调区间与极值

4

4、若函数 f(x)=

1 x2 ? a ,(1)若 f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为 ,求实数 a 的值(2)若 2 x ?1

f(x)在 x=1 处取得极值,求函数的单调区间

5、函数 f(x)=x3+ax2+3x-9 已知 f(x)在 x=-3 时取得极值,求 a

6、若函数 y=-x3+6x2+m 的极大值为 13,求 m 的值

7、已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+a2 在 x=1 处有极值 10.

(1)求 a,b 的值; (2)f(x)的单调区间

5

1 8、已知函数 f(x)=ax2+blnx 在 x=1 处有极值 (1)求 a,b 的值;(2)判定函数的单调性,并求出 2

单调区间

9、 设函数 f(x)=

a 3 x ? bx 2 ? cx ? d (a>0), ?? ?, 且方程 f'(x)-9x=0 的两根分别为 1,4, 若 f(x)在 (? 3



内无极值点,求 a 的取值范围

(三)函数的最值与导数 注:求函数 f(x)在闭区间[a,b]内的最值步骤如下 (1)求函数 y=f(x)在(a,b)内的极值 (2)将函数 y=f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a),f(b)比较,其中最大的一个就是 最大值,最小的一个就是最小值 题型一 求闭区间上的最值 1、设在区间[a,b]上函数 f(x)的图像是一条连续不断的曲线,且在区间(a,b)上可导, 下列命题正确的是 (1)若函数在[a,b]上有最大值,则这个最大值必是[a,b]上的极大值 (2)若函数在[a,b]上有最小值,则这个最小值必是[a,b]上的极小值 (3)若函数在[a,b]上有最值,则这个最值必在 x=a 或 x=b 处取得 2、求函数 f(x)=x2-4x+6 在区间[1,5]上的最值

6

3、求函数 f(x)=x3-3x2+6x-10 在区间[-1,1]上的最值

4、已知 f(x)=x3+2x2-4x+5,求函数在[-3,1]上的最值

题型二 有函数的最值确定参数的值 1、已知函数 f(x)=ax3-6ax2+b,x ? [-3,1]的最大值为 3,最小值为-29,求 a,b 的值

2、设

3 2 6 ? a ? 1 ,函数 f(x)=x3- ax2+b(-1 ? x ? 1 )的最大值为 1,最小值为 ? ,求 a,b 2 3 2

7

(四)导数综合应用 1、已知函数 f(x)=x2+ax+blnx(x>0,a,b 为实数).(1)若 a=1,b=-1,求函数 f(x)的极值.(2)若 a+b=-2,讨论 f(x)的单调性.

b 2、设函数 f(x)=ax- +lnx。(1)当 f(1)=0 时,若函数 f(x)是单调函数,求实数 a 的取值范 x

围.(2)当 f(x)在 x=2,x=4 出取得极值时,若方程 f(x)=c 在区间[1,8]内有三个不同的实 数根,求实数 c 的取值范围(ln2 ? 0.639)..

8

3、已知函数 f(x)=mx3+ax2-x 是奇函数,且其图像上以 N(1,f(1))为切点的切线的倾斜角为

? . 4

(1)求函数 f(x)的解析式.(2)试确定最小正整数 k,使得不等式 f(x) ? k-2010 对于 x ? [-1,3]恒成立;(3)求证:|f(sinx)+f(cosx)| ? 2f(t+
1 ),(t>0) 2t

1 4、设函数 f(x)= x3-ax2-3a2x+1(a>0).(1)若 a=1,求曲线 f(x)在(a,f(a))处的切线方程。 3

(2)求函数 f(x)的单调区间、极大值、和极小值.(3)若 x ? [a+1,a+2]时,恒有 f'(x)>-3a, 求实数 a 的取值范围.

9

a 5、已知函数 f(x)=lnx,g(x)= (a>0),设 F(x)=f(x)+g(x).(1)设函数 F(x)的单调区间;(2) x 1 若以函数 y=F(x)(x ? (0,3])图像上任意一点 P(x0,y0)为切点的切线的斜率 k ? 横成立,求 2 2a 实数 a 的最小值,(3)是否存在实数 m 使得 y=g( 2 )+m-1 的图像与函数 y=f(1+x2)的图像恰 x ?1

好有 4 个不同的交点?若存在,求出 m 的范围;若不存在,请说明理由.

6、

7、

10

8、

9、

11


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