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河北省唐山一中2015-2016学年高二下学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案


唐山市第一中学 2015—2016 学年度第二学期期末考试

高二年级

数学(理)试卷 审核人:张晶晶

命题人:郝刚 罗茹芳

说明: 1.考试时间 120 分钟,满分 150 分。2.将卷Ⅰ答案用 2B 铅笔涂在答题卡上,将卷Ⅱ答案答在 答题纸上。3.Ⅱ卷答题纸卷头和答题卡均填涂本次考试的考号。



卷Ⅰ(选择题

共 60 分)

一.选择题(共 12 小题,每小题 5 分,计 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一个 选项符合题意) 1.已知 R 是实数集, M ? {x | A.(1,2) 2.复数 B.[0,2] 的共轭复数等于

2 ? 1}, N ? { y | y ? x ? 1 ? 1}, N ? C R M ? ( x
C. [1,2] D. ? (

)

1 ? 3i 3 ?i



A. i

B. ? i

C. 3 ? i

D.

3 ?i

3.若命题 p : ?x ? (0,?? ), log 2 ( x ? 题为真命题的是 A. p ? q B. p ? q

1 2 ) ? 1 ,命题 q : ?x0 ? R, x0 ? x0 ? 1 ? 0 ,则下列命 x
( C. (?p) ? q D. (?p) ? (?q) ( ) )

4.设 X ~ N (500 ,602 ), P( X ? 440) ? 0.16 ,则 P( X ? 560) ? A.0.16 B.0.32 C.0.84 D.0.64

5.设 f(x)是定义在正整数集上的函数,且 f(x)满足:“当 f(k)≥k2 成立时,总可推出 f(k+1)≥(k+1)2 成立”.那么,下列命题总成立的是 A.若 f(3)≥9 成立,则当 k≥1 时,均有 f(k)≥k2 成立 B.若 f(5)≥25 成立,则当 k≤5 时,均有 f(k)≥k2 成立 C.若 f(7)<49 成立,则当 k≥8 时,均有 f(k)<k2 成立 D.若 f(4)=25 成立,则当 k≥4 时,均有 f(k)≥k2 成立
2 2 6. a ? b 是直线 y ? x ? 2 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? 2 相切的

(

)





A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( )

7.由曲线 y= x ,直线 y=x-2 及 y 轴所围成的图形的面积为 A.

10 3

B.4

C.

16 3

D.6

8.数 80 A.0

100

除以 9 所得余数是 B.8 C.﹣1 D.1





9.两位工人加工同一种零件共 100 个,甲加工了 40 个,其中 35 个是合格品,乙加工了 60 个, 其中有 50 个合格,令 A 事件为”从 100 个产品中任意取一个,取出的是合格品”,B 事件为” 从 100 个产品中任意取一个,取到甲生产的产品”,则 P(A|B)等于 A. 2 ( D. 5 )

5

B. 35

100

C. 7

8

7

10.已知 f ( x) 为 R 上的可导函数,且对 ?x ? R, 均有f ( x) ? f ' ( x) ,则有 A. e 2016 f (?2016 ) ? f (0), f (2016 ) ? e 2016 f (0) B. e 2016 f (?2016 ) ? f (0), f (2016 ) ? e 2016 f (0) C. e 2016 f (?2016 ) ? f (0), f (2016 ) ? e 2016 f (0) D. e 2016 f (?2016 ) ? f (0), f (2016 ) ? e 2016 f (0)





11.现有 12 张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各三张,从中任取 3 张,要 求这 3 张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多 1 张,不同的取法种数 ( A.135 B.172 C.189 D.162 )

? 1 ? 1,?1 ? x ? 0 ? 12.已知定义域为 R 的函数 g ( x) ,当 x ? ?? 1,1? 时, g ( x) ? ? x ? 1 ,且 ? x 2 ? 3x ? 2,0 ? x ? 1 ?
g ( x ? 2) ? g ( x) 对 ?x ? R 恒成立,若函数 f ( x) ? g ( x) ? m( x ? 1) 在区间 ?? 1,5? 内有 6 个
零点,则实数 m 的取值范围是 A. ( , ) ( )

2 2 5 3

B. ( ?? , ] U ( ,?? )

2 5

2 3

C. [ , )

2 2 5 3

D. [ , ]

2 2 5 3

卷Ⅱ(非选择题

共 90 分)

二.填空题(共 4 小题,每题 5 分,共 20 分) 13. 某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况,具体数据如下表: 非统计专业 性别 男 女 专业 13 7 10 20 统计专业

为了判断主修统计专业是否与性别有关系,根据表中的数据,所以判定主修统计专业与 .( K ?2 ?
2

性别有关系,那么这种判断出错的可能性为

n(ad ? bc)2 ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
0.001 10.828

P(K2≥k) k

0.050 3.841

0.010 6.635

2 x ?1 ? sin x 在区间 [?k , k ](k ? 0) 上的值域为 [ m, n] ,则 m ? n 的值 14. 若函数 f ( x) ? 1 ? x 2 ?1
是________
3 15.已知函数 f ( x ) 的导数为 f '( x) ,且满足关系式 f ( x) ? x ?

?

2

0

xdx ? x 2 f '(1) ? 3x
y

则 f '(2) 的值等于__________. 16. 如图,三次函数 y ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 的零点为
?1, 1, 2 ,则该函数的单调减区间为


?1 O 1 2

x

三.解答题(共 6 小题) 17. (本小题满分 12 分)

(第 16 题)

已知命题 p:方程 2x2+ax-a2=0 在[-1,1]上有解;命题 q:只有一个实数 x 满足不等 式 x2+2ax+2a≤0,若命题“p∨q”是假命题,求 a 的取值范围. 18.(本小题满分 12 分) 有一种舞台灯,外形是正六棱柱,在其每一个侧面(编号为①②③④⑤⑥)上安装 5 只颜 色各异的灯,假若每只灯正常发光的概率为 0.5,若一个侧面上至少有 3 只灯发光,则不需 要更换这个面,否则需要更换这个面,假定更换一个面需要 100 元,用? 表示更换的面数, 用 ? 表示更换费用. (1)求①号面需要更换的概率; (2)求 6 个面中恰好有 2 个面需要更换的概率; (3)写出? 的分布列,求 ? 的数学期望. 19. (本小题满分 12 分)

E ,F 直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中, AA 1 ? AB ? AC ? 1 ,
分别是 CC1 、 BC 的中点, AE ? A1B1 , D 为棱 A1B1 上的点. (1)证明: DF ? AE ; (2)是否存在一点 D ,使得平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面

角的余弦值为

14 ?若存在,说明点 D 的位置,若不存在,说明理由. 14
1 2 x 与直线 l : y ? kx ? 1 没有公共点,设点P为直线 l 上的动点,过P作 2

20. (本小题满分12分) 已知抛物线 C : y ?

抛物线C的两条切线,A,B为切点. (1)证明:直线AB恒过定点Q; (2)若点P与(1)中的定点Q的连线交抛物线C于M,N两点,证明: 21. (本小题满分12分) 已知函数 f ( x) ? e x ? ax ? 1(a ? 0, e为自然对数的底数) . ⑴求函数 f ( x) 的最小值; ⑵若 f ( x) ≥0对任意的 x ? R 恒成立,求实数a的值; ⑶在⑵的条件下,证明: ( ) ? ( ) ? ??? ? (
n n

PM PN

?

QM QN

.

1 n

2 n

n ?1 n n n e ) ?( ) ? (其中n ? N*) . n n e ?1

数学选考题

请考生从给出的 22、23、24 三题中任选一题作答

22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图所示,已知圆 O 外有一点 P ,作圆 O 的切线 PM ,

M 为切点,过 PM 的中点 N ,作割线 NAB ,交圆于 A 、 B 两点,连接 PA 并延长,交圆 O 于点 C ,连接 PB 交圆 O
于点 D ,若 MC ? BC . (1)求证:△ APM ∽△ ABP ; (2)求证:四边形 PMCD 是平行四边形. 23. (本小题满分 10 分)选修 4—4: 坐标系与参数方程.

1 ? ?x ? 1 ? 2 t, ? x ? cos ? , ? 已知直线 ? : ? (t 为参数), 曲线 C1 : ? ? y ? sin ? , ? y ? 3 t. ? 2 ? (1)设 ? 与 C1 相交于 A, B 两点,求 | AB | ;
(2) 若把曲线 C1 上各点的横坐标压缩为原来的

( ? 为参数).

3 1 倍,纵坐标压缩为原来的 倍,得到曲线 2 2 C2 ,设点 P 是曲线 C2 上的一个动点,求它到直线 ? 的距离的最小值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4 – 5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | x ? 2 | (1)求不等式 f ( x) ? 3 的解集; (2)若关于 x 的不等式 f ( x) ? t ? 3t 在 [0,1] 上无解,求实数 t 的取值范围.
2

唐山市第一中学 2015—2016 学年度第二学期期末考试

高二年级
一.选择题 CBAAD ACDCD CC 二.填空题 13..0.05 14. 4 15.-9 16. ?

数学(理)试卷答案

?2? 7 2? 7 ? ? ? 3 , 3 ? ? ?

三.解答题 17. 由 2x2+ax-a2=0, 得(2x-a)(x+a)=0, a ∴x= 或 x=-a, 2 a? ∴当命题 p 为真命题时,? ?2?≤1 或|-a|≤1, ∴|a|≤2. 又“只有一个实数 x 满足不等式 x2+2ax+2a≤0”, 即抛物线 y=x2+2ax+2a 与 x 轴只有一个交点, ∴Δ=4a2-8a=0, ∴a=0 或 a=2. ∴当命题 q 为真命题时,a=0 或 a=2. ∵命题“p∨q”为假命题, ∴a>2 或 a<-2. 即 a 的取值范围为 a>2 或 a<-2. 18.解(1)因为①号面不需要更换的概率为:
3 4 5 C5 ? C5 ? C5 5

2

?

1 2

所以①号面需要更换的概率为:P=1-

1 1 = 2 2

(2)根据独立重复试验,6 个面中恰好有 2 个面需要更换的概率为:
2 C6 15 2 1 2 1 4 ( ) ( ) ? 6 ? P6(2)= C 6 2 2 64 2 C0 C1 1 1 2 6 6 (3)因为 ? B(6, ) ,又 P6(0)= 6 ,P6(1)= 6 ,P6(2)= ? ? 2 64 32 2 2 3 C6 C4 C5 C6 5 15 3 6 6 6 ? ? ? ? P6(3)= 6 ,P6(4)= 6 ,P6(5)= 6 ,P6(6)= 6 16 64 32 2 2 2 2 ? 的分布列为:

2 C6

2

6

?

15 , 64

1 64

?

0
1 64

1
3 32

2
15 64

3
5 16

4
15 64

5
3 32

6
1 64

P

? =100 ? ,E ? =100E ? =300

20.解:(1)设

,则

.





,所以

.

于是抛物线 C 在 A 点处的切线方程为 设 , 则 有 . 所以 AB 的方程为 点 . ,即

,即 . 设

. , 同 理 有

,所以直线 AB 恒过定

(2)PQ 的方程为

,与抛物线方程

联立,消去 y,得



,

,则

,





,









,



由(1)知,(2)式

左边

. 故(2)式成立,从而结论成立. 21.解: (1)由题意 a ? 0, f ?( x) ? e x ? a ,由 f ?( x) ? e x ? a ? 0 得 x ? ln a . 当 x ? (??, ln a ) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (ln a, ??) 时, f ?( x) ? 0 . ∴ f ( x) 在 (??, ln a ) 单调递减,在 (ln a, ??) 单调递增. 即 f ( x) 在 x ? ln a 处取得极小值,且为最小值, 其最小值为 f (ln a ) ? eln a ? a ln a ? 1 ? a ? a ln a ? 1. (2) f ( x)≥0 对任意的 x ? R 恒成立,即在 x ? R 上, f ( x) min ≥0 .

由(1) ,设 g (a ) ? a ? a ln a ? 1. ,所以 g (a )≥0 . 由 g ?(a ) ? 1 ? ln a ? 1 ? ? ln a ? 0 得 a ? 1 . ∴ g (a ) 在区间 (0,1) 上单调递增,在区间 (1, ??) 上单调递减, ∴ g (a ) 在 a ? 1 处取得极大值 g (1) ? 0 . 因此 g (a )≥0 的解为 a ? 1 ,∴ a ? 1 . (3)由(2)知,因为 a ? 1 ,所以对任意实数 x 均有 e x ? x ? 1 ≥ 0 ,即 1 ? x ≤ e x . 令x?? ∴
k k ?? ?? k k k (n ? N*, k ? 0,1, 2,3, …,n ? 1) ,则 0 ? 1 ? ≤ e n .∴ (1 ? ) n ≤ (e n ) n ? e ? k . n n n

1 ? e? n 1 e 1 2 n ?1 n n n ? ? ( )n ? ( )n ? … ? ( ) ? ( ) ≤ e ? ( n ?1) ? e ? ( n ? 2) ? … ? e ?2 ? e ?1 ? 1 ? ?1 ?1 n n n n 1? e 1? e e ?1

22. 证明:(1)∵ PM 是圆 O 的切线, NAB 是圆 O 的割线, N 是 PM 的中点,

PN NA ? , BN PN 又∵ ?PNA ? ?BNP , ∴△ PNA ∽△ BNP , ∴ ?APN ? ?PBN , 即 ?APM ? ?PBA . ∵ MC ? BC , ∴ ?MAC ? ?BAC , ∴ ?MAP ? ?PAB , ∴△ APM ∽△ ABP .
∴ MN ? PN ? NA ? NB , ∴
2 2

(2)∵ ?ACD ? ?PBN ,∴ ?ACD ? ?PBN ? ?APN ,即 ?PCD ? ?CPM , ∴ PM // CD , ∵△ APM ∽△ ABP ,∴ ?PMA ? ?BPA , ∵ PM 是圆 O 的切线,∴ ?PMA ? ?MCP , ∴ ?PMA ? ?BPA ? ?MCP ,即 ?DPC ? ?MCP , ∴ MC // PD , ∴四边形 PMCD 是平行四边形. 23.解: (Ⅰ) ? 的普通方程为 y ? 联立方程组

3 ( x ? 1), C1 的普通方程为 x 2 ? y 2 ? 1.

? 1 3 ? y ? 3 ( x ? 1), 解得 ? 与 C1 的交点为 A(1,0) , B ( ,? ) ,则 | AB |? 1 . ? 2 2 2 2 ? x ? y ? 1 , ? 1 ? x ? cos ? , ? 1 3 ? 2 (Ⅱ) C2 的参数方程为 ? sin ? ) , (? 为参数).故点 P 的坐标是 ( cos ? , 3 2 2 ?y ? sin ? . ? 2 ?

3 3 cos ? ? sin ? ? 3 | 3 ? 2 2 从而点 P 到直线 ? 的距离是 d ? ? [ 2 sin(? ? ) ? 2] , 2 4 4 6 ? 由此当 sin(? ? ) ? ?1 时, d 取得最小值,且最小值为 ( 2 ? 1) . 4 4 |
24.

1 ? x? ? x ? 3, 2 ? 1 ? 解: (Ⅰ) f ( x) ? ??3 x ? 1, ?2 ? x ? ,所以原不等式转化为 2 ? x ? ?2 ? 3 ? x, ? ? ? 1 1 ? ? x ? ?2 4? ? x? ??2 ? x ? ? 所以原不等式的解集为 ? ??, ? ? ? ? 6, ?? ? 2 或? 2或? ? 3? ? ?3 ? x ? 3 ?x ? 3 ? 3 ? ? ?3 x ? 1 ? 3 ?
(Ⅱ)只要 f ( x) max ? t 2 ? 3t , 由(Ⅰ)知 f ( x) max ? ?1 ? t 2 ? 3t 解得 t ?

3? 5 3? 5 或t ? 2 2


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