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3.2.1立体几何中的向量方法二:空间角


3.2.2 立体几何中的向量方法
——夹角问题

回忆:线线角

? ?? 异面直线所成角的范围:? ? ? 0, ? ? 2? C D

? ? 设直线CD的方向向量为a,AB的方向向量为b
? ? b
? a

?

A

?



D1

B

? ? ? ? a??, ??b

|

? ? ? ? ? a??, ??b

? a

?? ? b

结论:

?

? ? | cos ? a, b ?|

|

回忆:线线角

? ?? 异面直线所成角的范围:? ? ? 0, ? ? 2?

? ? (1) l , m的夹角为?, cos ? ? cos ? a, b ?
C

D
?
D1

?

A

B

新课:线面角

? 直线与平面所成角的范围: ? [0, ]
2
A

?

思考:
O

B

?

?

? 设平面?的法向量为n,则 ? ??? ? ? n, BA ? 与?的关系?

线面角:
? ? (2) l , ?的夹角为?, sin ? ? cos ? a, u ?
? n

A A B?

B?

?
? ? ? π cos( - θ) = cos < a, u > 2

?

? ? ? π cos( + θ) = cos < a, u > 2

? n

结论:sin ?

?

? ??? ? | cos ? n, AB ?|

例1: 正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为1.
???? ???? ???? ? 解:设正方体棱长为1, AB, , 1为单 以 AD AA 0,, 0,, 位正交基底,可得 A(0, 0) B1 (1,1) ????? B1 , ,, C (11,, 1 (111) 则B1C1 ? (01 0) ,0) C , ,, ???? ? ???? AB1 ? (1 01) AC ? (11 0) , ,, , , ?? 设平面AB1C的法向量为n ? ( x,y,z ) ? ???? ? ? ???? 则n ? AB1 ? 0,? AC ? 0 n B ?x ? z ? 0 所以 ? ,取x = 1, x x? y ?0 ? ? ????? ? B 得y = z = -1,故n = (1, , , cos n,1C1 -1 -1)

的正弦值。 求B1C1与面AB1C所成的角.
z

A1 C1

D1
y

A
C

D

0 ?1 ? 0 3 ? ?? 3 1? 3 3 所以B1C1与面AB1C所成的角的正弦值为 。 3

练习 1、如图,已知:直角梯形OABC中, OA∥BC,∠AOC=90°,SO⊥面OABC, z 且OS=OC=BC=1,OA=2。 S 求:OS与面SAB所成角的余弦值
??? ??? (2)解: ? (2, ?1), ? (11 ?1) SA 0, SB , , O ? 设平面SAB的一个法向量为n ? ( x,y,z) A ?2 x ? z ? 0 ?? 取x ? 1,则y ? 1,z ? 2 ?x ? y ? z ? 0 x ??? ? ? 故平面SAB的一个法向量为n ? (11 2) , ,,又OS ? (0, 01) , ? ??? ? 0?0?2 6 ? cos n, ? OS ? 3 1? 6 3 所以OS与面SAB所成角的余弦值为 3
C B

y

例2、如图,正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为 2a 求AC1和面ABB1A1所成角 解:设平面ABB1B的法向量: n ? ( x, y, z ) ???? ??? ? AA ? (0,0, 2a) AB ? (0, a,0) 1
?

C1 A1 B1

?

( x, y, z) ? (0,0, 2a) ? 0 ( x, y, z) ? (0, a,0) ? 0

令x=1

? ? n ? (1,0,0)

???? ? 3 1 AC1 ? (? a , a , 2a ) 2 2

3 2 ???? ? ? ? a ???? ? ? AC1 ? n 1 ? ? ? 2 2 ?? cos ? AC1 , n ?? ???? 2 | AC1 | ? | n | 3a

C

1 ? sin ? ? 2

A

B

练习:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,F是BC的中点,点 1 E在D1C1上,且D1E= D1C1,试求直线EF与平面D1AC所 4 成角的正弦值.

练习:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,F是BC的中点,点 1 E在D1C1上,且D1E= D1C1,试求直线EF与平面D1AC所 4 成角的正弦值.
解:设正方体棱长为1,以,,为单位正交基底, 建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,

1 1 则 B1 (1,1,1),E(0,,1),F( ,1,0),连接DB1 , 4 2 ? ? 1 3
DB 所以 1=(1,1,1), =( EF
?

2 4

, ,-1).

DB为平面D1AC的一个法向量, 由题意可知, 1

1 1 1? ? 1? ? 1? 1 ? ? 2 4 cos〈DB1 , 〉= EF 1 9 3? ? ?1 4 16 87 = 87

? ? 设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , ? ? 平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则 ?? (3) ? , ? 的夹角为?, cosθ = ?cos < u, v >

面面角:

? u

?

? v

?

?

?? (3) ? , ? 的夹角为?, 则cosθ = ?cos < u, v >

? ? 设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , ? ? 平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则

夹角问题:

? u ? v

?

?

?

的棱长为 1. 例1: 求B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值.
解1

z
D1

A1
B1

C1
D

E

F
x

A y
B

C

的棱长为 1. 例1: 求B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值.
解2 建立直角坐标系.
????? 则B1C1 ? (0,-1 0), ,

z
D1

A1
B1

???? ? D1B = (1,1, 1) ?

平面AB1C的一个法向量为

C1
D

E

???? ????? 0 ? 1 ? 0 ? 3 cos BD1,1C1 ? B ?? 3 1? 3

F
x

A y
B

C

3 所以B1C1与面AB1C所成的角的正弦值为 。 3

例2 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是 正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC, E是PC的 中点,作EF⊥PB交PB于点F.

(1)求证:PA//平面EDB
(2)求证:PB

P F
D A

?平面EFD

E

(3)求二面角C-PB-D的大小。

C B

例2 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是 正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC, E是PC的 中点,作EF⊥PB交PB于点F.

(1)求证:PA//平面EDB
(2)求证:PB

P F
D A

?平面EFD

E

(3)求二面角C-PB-D的大小。

解1

设DC=1.
B

已知PB ? EF , 由(2) 可知PB ? DF , 故?EFD是二 面角C ? PB ? D的平面角。

C

例2 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是 正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC, E是PC的 中点,作EF⊥PB交PB于点F. (3) 求二面角C-PB-D Z 的大小。 解2 如图所示建立 P 空间直角坐标系,设DC=1.

平面PBC的一个法向量为
???? 1 1 DE ? (0, , ) 2 2

F
D
G

E

平面PBD的一个法向量为
??? ? 1 1 CG ? ( , ? , 0) ???? ???? 2 2 ?
A X

C B
?

Y

cos ? DE1 , GC ?? ?1/ 2

cos? ? 1/ 2, ? ? 60

解3 建立空间直角坐标系,设DC=1. 已知PB ? EF ,由(2)可知PB ? DF , 故?EFD是 二面角C ? PB ? D的平面角。 设点F的坐标为 x, y, z),则PF ? ( x, y, z ?1) ( Z 因为PF ? k PB P 所以( x, y, z ? 1) ? k (1,1, ?1)

? (k , k , ?k )

即x ? k , y ? k , z ? 1 ? k
因为PB ? DF ? 0
所以(1,1,?1) ? (k , k ,1 ? k ) ? k ? k ? 1 ? k ? 3k ? 1 ? 0A 1 1 2 1 F ( ,, ) X 所以 k ? 3 3 3 3
D

F

E

C
B

Y

1 1 2 1 1 点F的坐标为 ( , , ) 又点E的坐标为 (0, , ) 3 3 3 2 2 ??? ? 1 1 1 1 1 2 所以 FE ? (? , ,? ) FD ? (? , ? , ? ) 3 6 6 3 3 3
因为cos?EFD ? FE ? FD FE FD 1 1 1 1 1 2 1 ( ? , ,? ) ? ( ? ,? ,? ) 3 6 6 3 3 3 ?6?1 ? 1 2 6 6 ? 3 6 3

所以?EFD ? 60 ,即二面角 C ? PB ? D的大小为 60 .
? ?

例3、在底面是直角梯形的 四棱锥S ? ABCD中, ?ABC ? 90 , SA ? 平面ABCD, SA ? AB ? BC ? 1, 1 AD ? .求平面SCD与平面SBA所成的二面角的 2 z 正切值. y
S C B

?

A

D

x

练1.在长方体ABCD ? A1B1C 1D1中,AD ? AA1 ? 1, AB ? 2, 点E在AB上,且AE ? 2 ? 3,求二面角 D1 ? CE ? D的余弦值
A1
D

z
D1
B1

C1

x

A

·
E

C y B

练2如图,棱长为2的正方体ABCD ? A1B1C 1D1中, . E、F分别是BB1、DD1的中点,求平面AEC1F与平面ABCD 所成角的余弦值
B1
E

z
A1
C1

D1
F ·

·
B

A

D y C

x

3
求二面角A-BD1 -C的大小.
解1

的棱长为 1.

D1 C1
D B1

A1

A

C

B

练3:

的棱长为 1.

求二面角A-BD1 -C的大小.
解2 建立直角坐标系.

z
D1

平面ABD1的一个法向量为
???? ? DA1 ? (0,1,1)
C1

A1
B1

平面CBD1的一个法向量为

???? ???? ? ? cos ? DA1 , DC1 ?? 1/ 2 ? cos? ? ?1/ 2, ? ? 120

???? ? DC1 ? (1,0,1)

D

A y
B

x

C

二面角A-BD1 -C的大小为120?.


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