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2015年广州二模理科数学试卷与答案(完整)


试卷类型:A

2015 年广州市普通高中毕业班综合测试(二) 数学(理科)
2015.4 本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分.考试用时 120 分钟 注意事项: 1. 答卷前,考生务必用 2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号.用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、 学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应 位置上. 2. 3. 4. 5. 选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案,答案不能答在试卷上. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答, 答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上; 如需改动, 先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答案无效. 考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.

参考公式:球的表面积公式 S

? 4?R2 ,其中 R 是球的半径.

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.命题“若 x A.若 x C.若 x

? 2 ,则 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ”的逆否命题是

(
2

)

? 2 ,则 x 2 ? 3x ? 2 ? 0
2

B.若 x

? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 2

? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 2
(

D.若 x

? 2 ,则 x 2 ? 3x ? 2 ? 0

2.已知 a

? b ? 0 ,则下列不等关系式中正确的是

) C. a
1 2

A. sin a

? sin b

B. log 2 a ? log 2 b

?b

1 2

?1? ?1? D. ? ? ? ? ? ? 3? ? 3?
)

a

b

3.已知函数

?? x , ? 4 f ? x ? ? ?? 1? ?? x ? ? , x? ??
B.

x ? 0, x ? 0,


f? ? f ? 2 ?? ??

(

A.

1 4

1 2

C. 2

D. 4 1 所示,则此

y 3 5 O -3 1 x

4.函数

y ? Asin ??x ? ? ? ? A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ?? 的图象的一部分如图
)

函数的解析式为 (

数学(理科)试题 A

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图1

A.

?? ?? y ? 3sin ? x ? ? ?? ?? ?? ?? y ? 3sin ? x ? ? ?? ??
4 25

B.

?? ? ?? y ? 3sin ? x ? ? ? ? ?? ?? ? ?? y ? 3sin ? x ? ? ? ? ??
( V C )

C.

D.

5. 已知函数 A.

若在区间 ? ?4, 4? 上任取一个实数 x0 , 则使 f ? x0 ? ? 0 成立的概率为 f ? x ? ? ? x2 ? 2 x ? 3 , B.

1 2 C. D. 1 2 3 6.如图 2,圆锥的底面直径 AB ? 2 ,母线长 VA ? 3 ,点 C 在母线 VB 上,且 VC ? 1 ,有一只
蚂蚁沿圆锥的侧面从点 A.

A 到达点 C ,则这只蚂蚁爬行的最短距离是
B.

(

)

13

7
A 图2 B

4 3 C. 3
7.已知两定点 出下列直线:① x 为 ( A.1 8.设 P ) B.2

3 3 D. 2

A ? ?1,0? , B ?1,0 ? ,若直线 l 上存在点 M

,使得

MA ? MB ? 3 ,则称直线 l 为“ M

型直线” .给

? 2 ;② y ? x ? 3 ;③ y ? ?2 x ? 1 ;④ y ? 1 ;⑤ y ? 2 x ? 3 .其中是“ M
C.3
5

型直线”的条数

D.4

? x, y ? 是函数 y ? f ? x? 的图象上一点,向量 a ? ?1, ? x ? 2?
B.9 C.18

?

,b ?

?1, y ? 2x ? ,且 a / / b .数列 ?an ? 是公
( )

差不为 0 的等差数列,且 A.0

f ? a1 ? ? f ? a2 ? ????? f ? a9 ? ? 36 ,则 a1 ? a2 ? ??? ? a9 ?
D.36

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.已知 i 为虚数单位,复数 z

?

1? i ,则 z ? 1? i

. .

10.执行如图 3 所示的程序框图,则输出的 z 的值是

开始

x=1, y=2

z=xy

z<20? 否



x=y

y=z

图3

输出 z

结束

11.已知

3? ?? ?? ? f ? x ? ? sin ? x ? ? ,若 cos ? ? ? 0 ? ? ? ? ,则 5 ? 6? 2? ?
数学(理科)试题 A

?? ? f ?? ? ? ? 12 ? ?



第 2 页 共 16 页

12.5 名志愿者中安排 4 人在周六、周日两天参加社区公益活动.若每天安排 2 人,则不同的安排方案共有_________种(用 数字作答) . 13.在边长为 1 的正方形

ABCD 中,以 A 为起点,其余顶点为终点的向量分别为 a1 , a2 , a3 ;以 C 为起点,其余顶

点为终点的向量分别为

c1 , c2

, .

c 3 . 若 m 为 ? ai ? a j ? ? ? cs ? ct ?

的最小值,其中

?i, j? ? ?1, 2,3? ,
F

?s, t? ? ?1, 2,3? ,则 m ?
14. (几何证明选讲选做题) 如图 4,在平行四边形

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题)

ABCD 中, AB ? 4 ,点 E 为边 DC 的中点,
,且

D G A 图4 B

C

AE 与 BC 的延长线交于点 F
垂足为 G ,若 DG

AE 平分 ? BAD ,作 DG ? AE ,


? 1 ,则 AF

的长为

15. (坐标系与参数方程选做题) 在平面直角坐标系中,已知曲线 C1 和 C2 的方程分别为 ?

? x ? 4t , ? x ? 3 ? 2t , ( t 为参数)和 ? (t 2 ? y ? 2t ? y ? 1 ? 2t

为参数) ,则曲线

C1 和 C2 的交点有
16. (本小题满分12分) 已知△

个.

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

ABC 的三边 a , b , c 所对的角分别为 A , B , C ,且 a : b : c ? 7 : 5 : 3 . A 的值;

1) 求 cos 2) 若△

ABC 的面积为 45 3 ,求△ ABC 外接圆半径的大小.

17. (本小题满分12分) 某市为了宣传环保知识,举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动(一人答一份) .现从回收的年龄在 20~60 岁 的问卷中随机抽取了 n 份,统计结果如 下面的图表所示. 组号 1 2 3 4 年龄 分组 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60] 答对全卷 的人数 28 27 5 答对全卷的人数 占本组的概率 0.035 c 0.025 0.010 0 频率/组距

b
0.9 0.5 0.4

a

20 30 40 50 60

年龄

1) 分别求出 a , b , c , n 的值; 2) 从第 3, 4 组答对全卷的人中用分层抽样的方法抽取 6 人, 在所抽取的 6 人中随机抽取 2 人授予 “环保之星” , 记 为第 3 组被授予“环保之星”的人数,求 X 的分布列与数学期望. 18. (本小题满分14分)如图5,已知六棱柱

X

ABCDEF ? A1B1C1D1E1F1 的侧棱垂直于底面,侧棱长与底面边长都为3,
第 3 页 共 16 页

M

, N 分别

数学(理科)试题 A

是棱

AB , AA1 上的点,且 AM ? AN ? 1 .

1) 证明: M , N , E1 , D 四点共面; 2) 求直线 BC 与平面 MNE1D 所成角的正弦值.

E1 F1

D1 C1

A1 E F N M 图5

B1 D C B

A

19. (本小题满分14分)已知点 P n 公差为1的等差数列. (1)求数列 (2)求证:

? an , bn ? ? n ? N * ? 在直线 l : y ? 3x ? 1 上, P1 是直线 l 与 y 轴的交点,数列 ?an ? 是

?an ? , ?bn ? 的通项公式;
1 PP 1 2
2

?

1 PP 1 3
2

?

?

1 PP 1 n ?1
2

?

1 . 6
2

20. (本小题满分14分)已知圆心在 x 轴上的圆 C 过点 (1)求圆 C 的方程;

? 0, 0 ? 和 ? ?1,1? ,圆 D 的方程为 ? x ? 4 ?
y 轴于 A , B 两点,求 AB

? y2 ? 4 .

(2)由圆 D 上的动点 P 向圆 C 作两条切线分别交 21. (本小题满分14分)已知函数

的取值范围.

f ? x ? ? a ln x ?

x ?1 x , g ? x ? ? e (其中 e 为自然对数的底数) . x ?1

1) 若函数 2) 当 b

f ? x ? 在区间 ? 0,1? 内是增函数,求实数 a 的取值范围;

?b b ? 0 时, 函数 g ? x ? 的图象 C 上有两点 P ? b, e ? ,Q ? ?b, e ? , 过点 P ,Q 作图象 C 的切线分别记为 l1 ,

l2 ,设 l1 与 l2 的交点为 M ? x0 , y0 ? ,证明 x0 ? 0 .

数学(理科)试题 A

第 4 页 共 16 页

2015 年广州市普通高中毕业班综合测试(二) 数学(理科)试题参考答案及评分标准

说明:1.参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考 查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数. 2. 对解答题中的计算题, 当考生的解答在某一步出现错误时, 如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部 分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.

一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共 8 小题,每小题,满分 40 分.

题号 答案

1 C

2 D

3 A

4 A

5 B

6 B

7 C

8 C

二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算,体现选择性.共 7 小题,每小题,满分 30 分.其中 14~15 题是选 做题,考生只能选做一题.

题号 答案

9 1

10 32

11

12 30

13

14

15

7 2 10

?5

4 3

1

16. (本小题满分12分) 解: (1)因为 a : b : c 所以可设 a

? 7:5:3,

? 7 k , b ? 5k , c ? 3k ? k ? 0 ? ,…………………………………………………………2 分
2 2 2

由余弦定理得,

b2 ? c 2 ? a 2 ? 5k ? ? ? 3k ? ? ? 7k ? cos A ? …………………………………………………………3 分 ? 2bc 2 ? 5k ? 3k 1 ? ? .………………………………………………………………………………………………4 分 2
(2)由(1)知, cos A ? 因为

?

1 , 2

A 是△ ABC 的内角,

所以 sin A ?

1 ? cos2 A ?

3 .………………………………………………………………………6 分 2

由(1)知 b 因为△

? 5k , c ? 3k ,

1 ABC 的面积为 45 3 ,所以 bc sin A ? 45 3 ,……………………………………………8 分 2



1 3 ? 5k ? 3k ? ? 45 3 , 2 2

解得 k

? 2 3 .…………………………………………………………………………………………10 分
a 7k 14 3 ? 2 R ,即 2 R ? ,…………………………………………………11 分 ? sin A sin A 3

由正弦定理

2
解得 R 所以△

? 14 .

ABC 外接圆半径的大小为 14 .…………………………………………………………………12 分

17. (本小题满分12分) 解: (1)根据频率直方分布图,得 解得 c

?0.010 ? 0.025 ? c ? 0.035? ?10 ? 1 ,
? 10 ? 0.1 ? 100 .…………………………………………………2 分
? 28 ? 35 ? 0.8 .……………………………………………3 分

? 0.03 .……………………………………………………………………………………………1 分

第 3 组人数为 5 ? 0.5 ? 10 ,所以 n

第 1 组人数为 100 ? 0.35 ? 35 ,所以 b 第 4 组人数为 100 ? 0.25 ? 25 ,所以 a

? 25 ? 0.4 ? 10 .……………………………………………4 分

(2)因为第 3,4 组答对全卷的人的比为 5 :10 ? 1: 2 , 所以第 3,4 组应依次抽取 2 人,4 人.…………………………………………………………………5 分 依题意 X 的取值为 0,1,2.……………………………………………………………………………6 分

P ? X ? 0? ? P ? X ? 1? ? P ? X ? 2? ?

2 C0 2 2 C4 ? ,…………………………………………………………………………………7 分 2 C6 5 1 C1 8 2 C4 ? ,………………………………………………………………………………8 分 2 C6 15 0 C2 1 2 C4 ? ,………………………………………………………………………………9 分 2 C6 15

所以 X 的分布列为:

X
P
所以 EX

0

1

2

2 5

8 15

1 15

………………………………………10 分

2 8 1 2 ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? . 5 15 15 3

………………………………………………………………12 分

18. (本小题满分14分) 第(1)问用几何法,第(2)问用向量法: (1)证明:连接 在四边形

A1B , B1D1 , BD , A1E1 , B1D1 且 A1E1 =B1D1 , B1D1 且 BD=B1D1 ,
A1 F1

E1

D1 C1

A1B1D1E1 中, A1E1

在四边形 BB1D1D 中, BD 所以

A1E1 A1B

BD 且 A1E1 =BD , A1BDE1 是平行四边形. E1D .………………………………2分
F

B1 E D C

所以四边形 所以 在△

N M B

ABA1 中, AM ? AN ? 1 , AB ? AA1 ? 3 ,
AM AN ? AB AA1


A

所以

所以 MN 所以 MN

BA1 .…………………………………………………………………………………………4分
DE1 .

所以 M , N , E1 , D 四点共面.………………………………………………………………………6分 (2)解:以点 E 为坐标原点, EA , ED , EE1 所在的直线 分别为 x 轴,

z
E1 F1 D1 C1 A1 E F N M B

y 轴, z 轴,建立如图的空间直角坐标系,

?3 3 9 ? 则 B 3 3,3, 0 , C ? ? 2 , 2 ,0? ? , D ? 0,3,0? , ? ?

?

?

E1 ? 0,0,3? , M 3 3,1, 0

?

?

,…………………………8分

B1 D C

? 3 3 3 ? 则 BC ? ? ? ? 2 , 2 ,0? ? , DE1 ? ? 0, ?3,3? , ? ?

y

DM ? 3 3, ?2, 0
设n? 则?

?

A 10分 ? .…………………………………………………………………………………… x

? x, y, z ? 是平面 MNE1D 的法向量,

? ?n DE1 ? 0, ? ?n DM ? 0.

即? 取

? ? ?3 y ? 3 z ? 0, ? ?3 3 x ? 2 y ? 0.

y ? 3 3 ,则 x ? 2 , z ? 3 3 .

所以 n ?

? 2,3

3,3 3

? 是平面 MNE D 的一个法向量.………………………………………………12分
1

设直线 BC 与平面 MNE1D 所成的角为 ? ,

则 sin ?

?

n BC n BC
? 3 3? 3 2?? ? ? ? 3 3? ?3 3?0 2 ? 2 ? 22 ? 3 3

?

? ? ? ?3 3 ?
2

2

? 3 3? ?3? 2 ? ?? ? ?? ? ?0 ? 2 ? ?2?
2

2

?

174 116



故直线 BC 与平面 MNE1D 所成角的正弦值为 第(1) (2)问均用向量法:

174 116

.………………………………………………14分

(1)证明:以点 E 为坐标原点, EA , ED , EE1 所在的直线 分别为 x 轴, 则B

y 轴, z 轴,建立如图的空间直角坐标系,

z
E1 F1 D1 C1

?

3 3,3, 0

?

,C ?

?3 3 9 ? ? 2 , 2 ,0? ? , D ? 0,3,0? , ? ?

E1 ? 0,0,3? , M 3 3,1, 0
所以 DE1 因为 DE1 所以 DE1

?

? , N ?3

3, 0,1

? ,……………2分
………………3分 F

? ? 0, ?3,3? , MN ? ? 0, ?1,1? .
? 3MN ,且 MN 与 DE1 不重合,

A1 E N

B1 D C B

y

MN .…………………………………………5分

A M 所以 M , N , E1 , D 四点共面.……………………………………………………………………… 6分 x
(2)解:由(1)知 BC

? 3 3 3 ? ?? ? ? 2 , 2 ,0? ? , DE1 ? ? 0, ?3,3? , DM ? 3 3, ?2, 0 ? ?

?

? .………………10分

(特别说明:由于给分板(1)6分(2)8分,相当于把(1)中建系与写点坐标只给2分在此加2分) 设n? 则?

? x, y, z ? 是平面 MNE1D 的法向量,

? ?n DE1 ? 0, ? ?n DM ? 0.

即? 取

? ? ?3 y ? 3 z ? 0, ? ?3 3 x ? 2 y ? 0.

y ? 3 3 ,则 x ? 2 , z ? 3 3 .

所以 n ?

? 2,3
?

3,3 3

? 是平面 MNE D 的一个法向量.………………………………………………12分
1

设直线 BC1 与平面 MNE1D 所成的角为 ? , 则 sin ?

n BC n BC

?

? 3 3? 3 2?? ? ? ? 3 3? ?3 3?0 2 ? 2 ? 22 ? 3 3

? ? ? ?3 3 ?
2

2

? 3 3? ?3? 2 ? ?? ? ?? ? ?0 2 2 ? ? ? ?
2

2

?

174 116



故直线 BC 与平面 MNE1D 所成角的正弦值为 第(1) (2)问均用几何法: (1)证明:连接 在四边形

174 116

.………………………………………………14分

A1B , B1D1 , BD , A1E1 , B1D1 且 A1E1 =B1D1 , B1D1 且 BD=B1D1 ,

A1B1D1E1 中, A1E1

在四边形 BB1D1D 中, BD 所以

A1E1 A1B

BD 且 A1E1 =BD , A1BDE1 是平行四边形. E1D .………………………………2分
F1 E1 D1 C1 A1 E F

所以四边形 所以 在△

ABA1 中, AM ? AN ? 1 , AB ? AA1 ? 3 ,
AM AN ? AB AA1
, B1 D

所以

所以 MN 所以 MN

4分 BA1 .………………………………………………………………………………………… N

C B

DE1 .
AD ,

A M 所以 M , N , E1 , D 四点共面.………………………………………………………………………6分
(2)连接

AD ,因为 BC

所以直线

AD 与平面 MNE1D 所成的角即为直线 BC 与平面 MNE1D 所成的角.…………………7分

连接 DN ,设点 则 sin ?

A 到平面 DMN 的距离为 h ,直线 AD 与平面 MNE1D 所成的角为 ?



?

h .……………………………………………………………………………………………8分 AD 1 1 ? VD? AMN ,即 ? S ?DMN ? h ? ? S ?AMN ? DB .…………………………………………9分 3 3
ABCDEF 中, DB ? 3 3 , DA ? 6 ,
AM ? 1 , ?DAM ? 60


因为 VA? DMN

在边长为3的正六边形 在△

ADM

中, DA ? 6 ,

由余弦定理可得, DM

? 31 .
AN ? 1 ,所以 DN ? 37 .

在 Rt △ DAN 中, DA ? 6 , 在 Rt △

AMN 中, AM ? 1 , AN ? 1 ,所以 MN ? 2 .

在△ DMN 中, DM

? 31 , DN ? 37 , MN ? 2 ,

由余弦定理可得, cos ?DMN

??

2 29 ,所以 sin ?DMN ? . 31 31

所以 S?DMN 又 S ?AMN 所以 h ?

1 58 .…………………………………………………11分 ? ? MN ? DM ? sin ?DMN ? 2 2 1 ? ,……………………………………………………………………………………………12分 2

S?AMN ? DB 3 3 .…………………………………………………………………………13分 ? S?DMN 58
? h 174 . ? AD 116 174 116
.………………………………………………14分

所以 sin ?

故直线 BC 与平面 MNE1D 所成角的正弦值为

19. (本小题满分14分) (1)解:因为 P 1 所以 a1

? a1, b1 ? 是直线 l : y ? 3x ? 1 与 y 轴的交点 ? 0,1? ,

? 0 , b1 ? 1 .……………………………………………………………………………………2分

因为数列 所以 an

?an ? 是公差为1的等差数列,
? an , bn ? 在直线 l : y ? 3x ? 1 上,

? n ?1 .……………………………………………………………………………………………4分

因为点 P n 所以 bn

? 3an ? 1 ? 3n ? 2 .

所以数列

?an ? , ?bn ? 的通项公式分别为 an ? n ?1 , bn ? 3n ? 2 ? n ? N* ? .………………………6分
?0,1? , Pn ? n ?1,3n ? 2? ,所以 Pn?1 ? n,3n ?1? .
2 2

(2)证明:因为 P 1 所以 所以

P ? n 2 ? ? 3n ? ? 10n 2 .………………………………………………………………………7分 1P n ?1

1 PP 1 2
2

?

1 PP 1 3
2

?

?

1 PP 1 n ?1
2

?

1?1 1 ? ? ? 10 ? 12 22

?

1 ? ? .……………………………………8分 n2 ?

因为

1 1 4 4 1 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 2? ? ? ,……………………………10分 2 1 4n ? 1 ? 2n ? 1?? 2n ? 1? n ? 2n ? 1 2n ? 1 ? n2 ? 4
? 2 时,

所以,当 n

1 PP 1 2
?
2

?

1 PP 1 3
2

?

?

1 PP 1 n ?1
?
2

1 ? ?1 1 1? 2 ? ? ? ? 10 ? ?3 5

1 1 ?? ? ? ……………………………………………………………11分 2n ? 1 2n ? 1 ?? ?

?
?

1 ?5 1 ? ? ? ? ………………………………………………………………………………………12分 10 ? 3 2n ? 1 ?
1 . 6
? 1 时,

又当 n

1 PP 1 2 1 PP 1 3
2 2

? ?

1 1 ? .………………………………………………………………………13分 10 6 ? 1 PP 1 n +1
2

所以

1 PP 1 2
2

?

?

1 .……………………………………………………………14分 6
? y 2 ? r 2 ? r ? 0? ,………………………………………1 分

20. (本小题满分14分) 解: (1)方法一:设圆 C 的方程为: 因为圆 C 过点

? x ? a?

2

? 0, 0 ? 和 ? ?1,1? ,

2 2 ? ?a ? r , 所以 ? ………………………………………………………………………………3 分 2 2 2 ? 1 ? a ? 1 ? r . ? ? ? ? 解得 a ? ?1 , r ? 1 .

所以圆 C 的方程为 方法二:设 O

? x ? 1?

2

? y 2 ? 1 .…………………………………………………………………4 分

? 0,0? , A? ?1,1? ,
y? 1 1 ? x ? ,即 y ? x ? 1 ,……………………………………………………2 分 2 2

依题意得,圆 C 的圆心为线段 OA 的垂直平分线 l 与 x 轴的交点 C .………………………………1 分 因为直线 l 的方程为

所以圆心 C 的坐标为 所以圆 C 的方程为

? ?1,0? .…………………………………………………………………………3 分
2

? x ? 1?

? y 2 ? 1 .…………………………………………………………………4 分

(2)方法一:设圆 D 上的动点 P 的坐标为 则 即

? x0 , y0 ? ,

? x0 ? 4 ?

2

? y0 2 ? 4 ,
2

y0 2 ? 4 ? ? x0 ? 4 ? ? 0 ,

解得 2 ?

x0 ? 6 .…………………………………………………………………………………………5 分

由圆 C 与圆 D 的方程可知,过点 P 向圆 C 所作两条切线的斜率必存在, 设 PA 的方程为: 则点

y ? y0 ? k1 ? x ? x0 ? ,

A 的坐标为 ? 0, y0 ? k1x0 ? ,

同理可得点 B 的坐标为 所以

?0, y0 ? k2 x0 ? ,
?k ? y0 ? kx0 k 2 ?1 ? 1,

AB ? k1 ? k2 x0 ,

因为 PA , PB 是圆 C 的切线,所以 k1 , k2 满足

即 k1 , k2 是方程

?x

2

0

? 2 x0 ? k 2 ? 2 y0 ? x0 ? 1? k ? y0 2 ? 1 ? 0 的两根,………………………………7 分

? 2 y0 ? x0 ? 1? , ?k1 ? k2 ? x0 2 ? 2 x0 ? 即? 2 ?k k ? y0 ? 1 . ? 1 2 x0 2 ? 2 x0 ?
所以

AB ? k1 ? k2 x0 ? x0
y0 2 ? 4 ? ? x0 ? 4 ?
2

2 ? 2 y0 ? x0 ? 1? ? 4 ? y0 ? 1? ……………………………………………9 分 ? ? 2 ? 2 x ? 2 x x ? 2 x 0 ? 0 0 ? 0 2

因为 所以

, .…………………………………………………………………………10 分

AB ? 2 2

? x0 ? 2 ?
2

5 x0 ? 6
2



f ? x0 ? ? f ? ? x0 ? ?

? x0 ? 2?

5x0 ? 6





?5 x0 ? 22

? x0 ? 2?

3

.………………………………………………………………………………11 分

由2?

? 22 ? ? 22 ? x0 ? 6 ,可知 f ? x0 ? 在 ? 2, ? 上是增函数,在 ? , 6? 上是减函数,……………………12 分 ? 5 ? ? 5 ?

所以 ? ?f

? x0 ?? ? max ?

? 22 ? 25 , f ? ?? ? 5 ? 64

?1 3? 1 ? ? f ? x0 ? ? ? min ? min ? f ? 2 ? , f ? 6 ?? ? min ? 4 , 8 ? ? 4 , ? ?
所以

AB

的取值范围为 ?

? ?

2,

5 2? ? .…………………………………………………………………14 分 4 ?

方法二:设圆 D 上的动点 P 的坐标为 则 即

? x0 , y0 ? ,

? x0 ? 4 ?

2

? y0 2 ? 4 ,
2

y0 2 ? 4 ? ? x0 ? 4 ? ? 0 ,

解得 2 ? 设点

x0 ? 6 .…………………………………………………………………………………………5 分
y0 ? a x ,即 ? y0 ? a ? x ? x0 y ? ax0 ? 0 , x0
a ? y0 ? ax0

A? 0, a ? , B ? 0, b? ,
y?a ?

则直线 PA :

因为直线 PA 与圆 C 相切,所以

? y0 ? a ? ? x02
2

?1,


化简得

? x0 ? 2? a2 ? 2 y0a ? x0 ? 0 .

② ? x0 ? 2? b2 ? 2 y0b ? x0 ? 0 , 2 由①②知 a , b 为方程 ? x0 ? 2? x ? 2 y0 x ? x0 ? 0 的两根,…………………………………………7 分 同理得

2 y0 ? ?a ? b ? x ? 2 , ? 0 即? ?ab ? ? x0 . ? x0 ? 2 ?
所以

AB ? a ? b ?

?a ? b?
2

2

? 4ab

? 2 y0 ? 4 x0 ? ? ? ? ? x0 ? 2 ? x0 ? 2
?
因为 所以

4 y0 2 ? 4 x0 ? x0 ? 2 ?

? x0 ? 2 ?
2

2

.……………………………………………………………………9 分

y0 2 ? 4 ? ? x0 ? 4 ?

, ……………………………………………………………………………10 分

AB ? 2 2 ?2 2 ?

? x0 ? 2 ?
16

5 x0 ? 6
2

? x0 ? 2 ?

2

?

5 x0 ? 2

.………………………………………………………………11 分

令t

?

1 1 1 ,因为 2 ? x0 ? 6 ,所以 ? t ? . 8 4 x0 ? 2
2
2

所以

5 ? 25 ? AB ? 2 2 ?16t ? 5t ? 2 2 ?16 ? t ? ? ? ? 32 ? 64

,………………………………………12 分

5 5 2 ? 时, AB , max 32 4 1 当 t ? 时, AB ? 2. min 4
当t

?

所以

AB

的取值范围为 ?

? ?

2,

5 2? ? .…………………………………………………………………14 分 4 ?
x ?1 在区间 ? 0,1? 内是增函数, x ?1

21. (本小题满分 14 分) (1)解法一:因为函数

f ? x ? ? a ln x ?

所以

f ?? x? ?

a 2 ? ? 0 ? 0 ? x ? 1? .……………………………………………………………1 分 x ? x ? 1?2

即a

? x ? 1?

2

? 2 x ? 0 ? 0 ? x ? 1? ,

即a ?

2x

? x ? 1?

2

……………………………………………………………………………………………2 分

2 ? 0 ? x ? 1? , 1 x? ?2 x 2 1 因为 ? 在 x ? ? 0,1? 内恒成立, 1 x? ?2 2 x 1 所以 a ? . 2 ?
故实数 a 的取值范围为

?1 ? , ?? ? .……………………………………………………………………4 分 ? ?2 ?
x ?1 在区间 ? 0,1? 内是增函数, x ?1

解法二:因为函数

f ? x ? ? a ln x ?

所以

f ?? x? ?

a 2 ? ? 0 ? 0 ? x ? 1? .……………………………………………………………1 分 x ? x ? 1?2

即a

? x ? 1?
2

2

? 2 x ? 0 ? 0 ? x ? 1? ,

即 ax 设g 当a 当a

? 2 ? a ?1? x ? a ? 0 ? 0 ? x ? 1? ,…………………………………………………………………2 分

? x? ? ax2 ? 2 ? a ?1? x ? a ,
? 0 时,得 ?2 x ? 0 ,此时不合题意.

? 1 ?a ? 0, ? g ? 0 ? ? 0, ? ? 0 时,需满足 ? 即? 解得 a ? ,此时不合题意. 2 ? ?a ? 2 ? a ? 1? ? a ? 0, ? g ?1? ? 0, ?

? ? ? g ? 0 ? ? 0, ? g ? 0 ? ? 0, ? ? 2 2 2 a ? 1 ? 4 a ? 0 ? 当 a ? 0 时,需满足 ? 或 或 g 1 ? 0, ? ? ? ? ? ? g ?1? ? 0, ? ? ? a ?1 ? a ?1 ?? ? 0, ?? ? 1, ? a ? a
解得 a 所以 a

? ?

1 或 a ? 1, 2 1 . 2

综上所述,实数 a 的取值范围为 (2)证明:因为函数 g 过点 P
b

?1 ? , ?? ? .……………………………………………………………4 分 ? ?2 ?

? x? ? ex ,所以 g? ? x ? ? ex .
?b

? b, e ? , Q ? ?b, e ? 作曲线 C 的切线方程为:

l1 : y ? eb ? x ? b ? ? eb ,

l2 : y ? e?b ? x ? b? ? e?b ,
因为 l1 与 l2 的交点为 M

? x0 , y0 ? ,
………………………………………………………………………………6 分

b b ? ? y ? e ? x ? b? ? e , 由? ?b ?b ? ? y ? e ? x ? b? ? e ,

消去

y ,解得 x0 ?

b ? eb + e ? b ? ? ? e b ? e ? b ?

?e

b

? e?b ?



①…………………………………………7 分

下面给出判定 x0 方法一:设 e 因为 b
b

? 0 的两种方法:

? t ,………………………………………………………………………………………8 分

? 0 ,所以 t ? 1 ,且 b ? ln t .

所以 x0 设h

?t ?

2

+1? ln t ? ? t 2 ? 1? t 2 ?1

.…………………………………………………………………………9 分

? t ? ? ? t 2 +1? ln t ? ? t 2 ? 1? ?t ? 1? ,

则 h? 令u

? t ? ? 2t ln t ? t ? ?t ? 1? .………………………………………………………………………10 分
1 t

1 t

? t ? ? 2t ln t ? t ? ?t ? 1? , ? t ? ? 2 ln t ? 1 ?
1 t2


则 u? 当t

? 1 时, ln t ? 0 , 1 ?

1 1 ? 0 ,所以 u? ? t ? ? 2 ln t ? 1 ? 2 ? 0 ,………………………………11 分 2 t t

?t ? 在 ?1, ??? 上是增函数, 所以 u ? t ? ? u ?1? ? 0 ,即 h? ? t ? ? 0 ,…………………………………………………………………12 分 所以函数 h ? t ? 在 ?1, ?? ? 上是增函数, 所以 h ? t ? ? h ?1? ? 0 .…………………………………………………………………………………13 分
所以函数 u 因为当 t 所以 x0

? 1 时, t 2 ? 1 ? 0 ,

?t ?

2

+1? ln t ? ? t 2 ? 1? t 2 ?1 ? b ?1+ e?2b ? 1 ? e?2b

? 0 .…………………………………………………………………14 分 ?1.

方法二:由①得 x0 设e
?2 b

? t ,…………………………………………………………………………………………………8 分
? 0 ,所以 0 ? t ? 1 ,且 ln t ? ?2b .

因为 b

于是 ?1 ?

2b ,……………………………………………………………………………………………9 分 ln t

所以 x0

?

2b b ?1+ t ? ? 2 1? t ? ? ? b? ? ? .…………………………………………………………10 分 ln t 1? t ? ln t 1 ? t ?
? 1 1 x ?1 时, f ? x ? ? ln x ? 在区间 ? 0,1? 上是增函数,…………………………11 分 2 2 x ?1

由(1)知当 a

所以

f ?t ? ?

ln t t ? 1 ? ? f ?1? ? 0 , 2 t ?1
…………………………………………………………………………………………12 分



ln t t ? 1 ? . 2 t ?1

2 1? t ? ? 0 ,………………………………………………………………………………………13 分 ln t 1 ? t 已知 b ? 0 ,
即 所以 x0

? 2 1? t ? ? b? ? ? ? 0 .…………………………………………………………………………14 分 ? ln t 1 ? t ?


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