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复习课: 第三章 简单的三角恒等变换----陈腾


2015—2016 学年度高一数学导学案 使用时间 编制:陈腾 组长:王玉梅 年级:高一

复习课:
一、 【教学目标】

第三章 简单的三角恒等变换

重点:引导学生在已有的公式基础上进行简单的三角恒等变换,体会三角变换的特点. 难点:认识三角变换的特点,并能运用数学思想方法指导变换过程的设计,不断提高从整体

上把 握变换过程的能力. 二、 【知识梳理】 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ;

tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? . 1 ? tan ? tan ?

sin 2? ? 2sin ? cos ? , cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 2cos 2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ? , 2 tan ? ? k? ? tan 2? ? .(? ? ? , ? ? ? k? , k ? Z ) 2 1 ? tan ? 4 2 2
2.三角函数中常用的转化思想及方法技巧 ( 1 ) 常 见 角 的 变 换 : ? ? (? ? ? ) ? ? ; 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ; 2? ? ( ? ? ? ) ? ( ? ? ? ) ;

? ? ? ? 2?

? ??
2

; ? ? ? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ;
2 2 2

cos ? 知一求二; (2)方程思想: sin ? ? cos ? ,sin ? ? cos ? ,sin ? ?
(3) “1”的替换: 1 ? sin ? ? cos ? ? tan
2 2

?
4

? 2 cos 2 ? ? cos 2? 等;

(4)切弦互化; (5)公式变形

tan ? ? tan ? ? tan(? ? ? )(1 ? tan ? ? tan ? ),cos2 ? ?

1 ? cos 2? 1 ? cos 2? ,sin 2 ? ? 2 2

(6)辅助角公式:

? ? a b a sin x ? b cos x ? a2 ? b2 ? sin x ? cos x ? ? 2 ? 2 2 2 a ?b ? a ?b ?

? a2 ? b2 (sin x ? cos? ? cos x ? sin ?) ? a2 ? b2 ? sin(x ? ?)
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(其中辅助角 ? 所在象限由点 ( a, b) 所在的象限定, tan ? ? 常用结论 : sin x ? cos x ?

b ). a

2 sin( x ?

?
4

) , sin x ? cos x ? 2 sin( x ?

?
4

) .

3.三角函数式化简的目标与方法: 化为单角或同角,函数名称少,次数尽量低,尽量不含分母和 根号.口诀:大角化小角,负角化正角,异名化同名,切化弦,高次化低次. 4.三角函数式的求值的类型一般可分为: (1)“给角求值” :给出非特殊角求式子的值——化非特殊角为特殊角,再用公式计算; (2) “给值求值” :给出一些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数式的值——变换角, 找出已知角与所求角的联系; (3) “给式求值” :给出的三角函数式的值,求其他式子的值——化简已知式或所求式,再求; (4) “给值求角” :——先求角的某一三角函数值,结合角的范围求出角,要特别注意角的范围对 三角函数值的影响,有时需要讨论. 5.证明及其基本方法: (1)化繁为简法; (2)左右归一法 ; (3)变更命题法;

(4)条件等式的证明关键在于分析已知条件与求证结论之间的区别与联系.

三、 【范例导航】
例 1.求值:

1 ? cos 20? 1 ? sin10? ( ? tan 5? ) . ? ? 2sin 20 tan 5

例 2.证明: 3 ? cos 4? ? 4cos 2? ? 8sin ? .
4

例 3. 求函数 f ( x) ? sin4 x ? 2 3sin x cos x ? cos4 x 的最小正周期和最小值, 并写出该函数在 区间 [0, ? ] 上的单调增区间.

例 4. 在 ?ABC 中, sin A ?

5 3 , cos B ? ,求 cos C 的值. 13 5
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