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基本不等式及其应用


第七章 不等式

§7.4 基本不等式及其应用

1

知识梳理
a+b 1.基本不等式 ab≤ 2

(1)基本不等式成立的条件: a>0,b>0 .

(2)等号成立的条件:当且仅当 a=b时取等号.
2.几个重要的不等式 (1)a2+b2≥

2ab (a,b∈R). b a (2)a+b≥ 2 (a,b 同号).
答案

?a+b?2 ? ? (3)ab≤ ? 2 ? (a,b∈R).

?a+b?2 a +b ? ? (4) ≥? 2 ? (a,b∈R).
2 2

2

以上不等式等号成立的条件均为 a=b.

答案

3.算术平均数与几何平均数

a+b 设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为 2 ,几何平均数为 ab,基本 不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

4.利用基本不等式求最值问题 已知x>0,y>0,则 (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当 x=y 时,x+y有最小值2 p.(简记: 积定和最小)
2 p (2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当 x=y 时,xy有最大值 .(简记: 4 和定积最大)

答案

思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) 1 (1)函数 y=x+ 的最小值是 2.( × ) x 4 π (2)函数 f(x)=cos x+ ,x∈(0, )的最小值等于 4.( × ) cos x 2 x y (3)“x>0 且 y>0”是“ + ≥2”的充要条件.( × ) y x 1 (4)若 a>0,则 a + 2的最小值为 2 a.( × ) a
3

a+b (5)不等式 a +b ≥2ab 与 ≥ ab有相同的成立条件.( × ) 2
2 2
答案

2
A.80 解析

考点自测

1.(教材改编)设x>0,y>0,且x+y=18,则xy的最大值为( C ) B.77 ∵x>0,y>0, C.81 D.82

x+y ∴ 2 ≥ xy,

x+y 2 即 xy≤( 2 ) =81,
当且仅当x=y=9时,(xy)max=81.
1 2 3 4 5
解析答案

1 2.(教材改编)已知x,y∈R+,且x+4y=1,则xy的最大值为___ 16 .

解析

1=x+4y≥2 4xy=4 xy,

? ?x=1 2 ? 1 当且仅当 x=4y= ,即? 2 1 ? y=8 ? ?

12 1 ∴xy≤( ) = , 4 16

时,

1 (xy)max= . 16

1

2

3

4

5

解析答案

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题型一

利用基本不等式求最值

命题点1 配凑法求最值
5 1 例 1 (1)已知 x<4,则 f(x)=4x-2+ 的最大值为_____ . 1 4x-5 5 解析 因为 x< ,所以 5-4x>0, 4

1 1 则 f(x)=4x-2+ =-(5-4x+ )+3≤-2+3=1. 4x-5 5-4x
1 当且仅当 5-4x= , 5-4x

即 x=1 时,等号成立.

1 故 f(x)=4x-2+ 的最大值为 1. 4x-5
解析答案

x2+2 2 3+2 . (2)函数 y= (x>1)的最小值为________ x-1
x2+2 ?x2-2x+1?+?2x-2?+3 解析 y= = x-1 x-1 ?x-1?2+2?x-1?+3 = x-1 3 =(x-1)+ +2≥2 3+2. x-1
3 当且仅当(x-1)= , ?x-1?
即 x= 3+1 时,等号成立.
解析答案

1 3. 若函数 f(x)=x+ (x>2)在 x=a 处取最小值, 则 a 等于( C ) x-2 A.1+ 2 C.3 B.1+ 3 D.4

解析

当x>2时,x-2>0,
1 ?x-2?× +2=4, x-2

1 f(x)=(x-2)+ +2≥2 x-2

当且仅当x-2=(x>2), 即x=3时取等号 即当f(x)取得最小值时,x=3,即a=3,选C.
1 2 3 4 5
解析答案

(4)函数 y=

x ?1 的最大值为 x ? 3 ? x ?1

解析答案

易错警示系列

易错警示系列

10.忽视最值取得的条件致误

典例

1 2 (1)已知 x>0,y>0,且x+y=1,则 x+y 的最小值是________.

3 (2)函数 y=1-2x- (x<0)的最小值为________. x

1 易错分析 (1)多次使用基本不等式,忽略等号成立的条件.如:1=x+ 2 ≥2 y 2 ,∴ xy≥2 2,∴x+y≥2 xy≥4 2,得(x+y)min=4 2. xy

3 (2)没有注意到 x<0 这个条件误用基本不等式得 2x+x≥2 6.
易错分析 温馨提醒 解析答案 返回


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