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3.2立体几何中的向量方法(2)


3.2立体几何中的向量方法(二)
-----利用向量解决平行与垂直问题 z
D1 A1 F1 E1 B1 C1

D

O
B

C

y

A

x

用向量运算处理平行关系
? ? 设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b , 平面 ? , ? ? ? 的法向量分别为 u, v ,则

线线平行
线面平行

面面平行

? ? ? ? l ∥ m ? a ∥ b ? a ? kb ; ? ? ? ? l ∥? ? a ? u ? a ? u ? 0 ; ? ? ? ? ? ∥ ? ? u ∥ v ? u ? kv .

注意:1.这里的线线平行包括线线重合,线面平行包括线 在面内,面面平行包括面面重合。

用向量运算处理垂直问题

? ? 设直线 l , m 的方向向量分别为 a, b , 平面 ? ? ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则
线线垂直
线面垂直
面面垂直

? ? ? ? l ⊥m ? a ⊥b ? a?b ? 0; ? ? ? ? l ⊥ ? ? a ∥ u ? a ? ku ; ? ? ? ? ? ⊥ ? ? u ⊥ v ? u ? v ? 0.

典型例题
例1.如图,在正方形ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别 是C1C、B1C1的中点,求证:MN∥平面A1BD 分析:证明线面问题 ,可利用三种方法: ???? ? 一是证明 MN 与平面A1BD的法向量 垂直 ;二是在平面 A1BD 内找一向量 ???? ? ???? ? 与 MN 平行;三是证明 MN 可以用平 面A1BD中的两不共线向量线性表示.
D! N A! B!

C! M C

D A B

例1 如图,在正方形ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别 是C1C、B1C1的中点,求证:MN∥平面A1BD

法1:建立如图所示的空间直角坐标系.
设正方体的棱长为1,则可求得 M(0,1,1/2),N(1/2,1,1),D(0,0,0),
???? ? 1 1 A1(1,0,1),B(1,1,0).于是 MN ? ( ,0, ) 2 2 ?
A!

z D! N B! C! M C y A B

D

设平面A1BD的法向量是n ? ( x, y, z )

x ? ???? ? ? ??? ? 0 ?x ? z ? 则 n ? DA1 ? 0且n ? DB ? 0, 得 ?

???? ? ? ???? ? ? 1 1 又 MN ? n ? ( , 0, ) ? (1, ?1, ?1) ? 0,∴ MN ⊥ n 2 2 ∴ MN ∥ 平面A1 BD

? ?x ? y ? 0 取x=1,得y=-1,z=-1, ∴ n ? (1, ?1, ?1)

例1 如图,在正方形ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C、 B1C1的中点,求证:MN∥平面A1BD
???? ? ???? ? ????? 1 ????? 1 ???? ? 法2: ∵ MN ? C1 N ? C1 M ? C1 B1 ? C1C 2 2 ? 1 ???? ? 1 ????? ???? ? ( D1 A1 ? D1 D ) ? DA1 , 2 2 ???? ? ???? ? ∴ MN ∥ DA1 ,∴ MN ∥ 平面A1BD
D! N A! B! C! M C

???? ? ????? ????? 1 ????? 1 ???? ? 法3: ∵ MN ? C1 N ? C1 M ? 2 D1 A1 ? 2 D1 D A B ? ??? ? 1 ????? ???? ? 1 ??? ? ( DB ? BA) ? ( D1 A1 ? A1 D ) 2 2 ? 1 ???? ? 1 ??? ? ??? ? 1 ??? ? 1 ???? ? 1 ??? ? 1 ???? ? ??? ? 1 ??? ? DB ? DA1 ? ( BA ? DA) ? DB ? DA1 ? BD ? DA1 ? 0 ? BD 2 2 2 2 2 2 2

D

???? ? ??? ? ???? ? ???? ? ??? ? ???? ? 即 MN 可用DA1 与 DB 线性表示,故MN 与 DA1 , DB

是共面向量,

∴MN∥平面A1BD

当解空间图形问题几何法难进行时,可以尝试运用空间向 量(或坐标) 来处理( 三步曲):

(1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量

表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题
转化为向量问题(还常建立坐标系来辅助);

(化为向量问题或向量的坐标问题)
(2)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位
置关系以及它们之间距离和夹角等问题;

(进行向量运算)
(3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.

(回到图形)

变式 : 在正方体ABCD - A1 B1C1 D1中, 求证 : 平面A1 BD / / 平面CB1 D1
法一:证明A1 D / / 平面CB1 D1 同理证明A1 B / / 平面CB1 D1. 从而证明平面A1 BD / / 平面CB1 D1.
D A B z C

法二:求出两个平面的法向量, 再证明两个法向量平行即可.

D1 A1 x B1

C1

y

例 2. 如图所示,在四棱锥 PABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB ⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60° ,PA=AB=BC,E 是 PC 的中 点.证明: (1)AE⊥CD; (2)PD⊥平面 ABE.

证明 AB、AD、AP 两两垂直, 建立如图所示的空间直角坐标系,设 PA=AB=BC=1, 则 P(0,0,1). (1)∵∠ABC=60° , △ABC 为正三角形.
?1 ∴C? ?2, ? ?1 3 ? 3 1? ? ? ? ,0?,E? , , ?. 2 4 2? ? ?4

→ → 设 D(0,y,0),由 AC⊥CD,得AC· CD=0,
? 2 3 2 3 ? ? ? 即 y= ,则 D?0, , , 0 ? 3 3 ? ?

→ ? → ? 3 ? 3 1? ? 1 ? ?1 ∴CD=?- , ,0?.又AE=? , , ? ?, 2 6 4 4 2 ? ? ? ?

1 1 3 3 → → ∴AE· CD=- × + × =0, 2 4 6 4 → → ∴AE⊥CD,即 AE⊥CD.
? → ? 2 3 ? ? (2)法一 ∵P(0,0,1),∴PD=?0, ,-1?. 3 ? ?

3 2 3 1 → → 又AE· PD= × + ×(-1)=0, 4 3 2 → → → → → ∴PD⊥AE,即 PD⊥AE.AB=(1,0,0),∴PD· AB=0, ∴PD⊥AB,又 AB∩AE=A,∴PD⊥平面 AEB.

→ → ? 3 1? ?1 法二 AB=(1,0,0),AE=? , , ? , 4 2? ?4 ? 设平面 ABE 的一个法向量为 n=(x,y,z), ?x=0, ? 则?1 3 1 x+ y+ z=0, ? 4 2 ?4 令 y=2,则 z=- 3,∴n=(0,2,- 3).
? 3 → ? → 2 3 ? ? ∵PD=?0, ,-1?,显然PD= 3 n. 3 ? ?

→ → ∵PD∥n,∴PD⊥平面 ABE,即 PD⊥平面 ABE.

变式: 在三棱柱ABC ? A ' B ' C ' 中,

C’

z
A’

B’

底面是正三角形,AA ' ? 底面ABC , A ' C ? AB ', 求证:BC ' ? AB '
C By

A

x

点到平面的距离:

如图点P为平面外一点,点 A 为平面内的任一点, ? 平面的法向量为 n ,过点P作平面?的垂线PO,记 PA和平面?所成的角为?,则点P到平面的距离。 n ? P
??? ? d ?| PO | ??? ? ?| PA | sin ? ? ??? ? ??? ? | n ? PA | ? ?| PA | ? ??? | n || PA | ? ??? ? | n ? PA | ?? ? ? |n|

O

? A

例 3: 如图,已知正方形 ABCD 的边长为 4,E、F 分别 是 AB、AD 的中点,GC ⊥平面 ABCD ,且 GC =2,求 点 B 到平面 EFG 的距离.

z

解:如图,建立空间直角坐标系 C-xyz. 由题设 C(0,0,0),A(4,4,0),B(0,4,0), D(4,0,0),E(2,4,0),F(4,2,0),G(0,0,2).D
???? ???? EF ? (2, ?2, 0), EG ? ( ?2, ?4, 2), ??? ? BE ? (2, 0, 0)

G

x

C

F B E ? ???? y | n ? BE| 2 11 ?d ? ? ? n 11

? 1 1 ?2 x ? 2 y ? 0 ? n ? ( , ,1) ?? 3 3 ? ?2 x ? 4 y ? 2z ? 0

设平面 EFG 的一个法向量 A ? ? ??? ? ? ??? ? 为 n ? ( x , y , z ) n ? EF, n ? EG

练习 1.已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,
E、F分别是B1C1和C1D1 的中点,求点A1到平 面DBEF的距离。 z D1 F C

1

1

A1 D

B1

E C B y

2.书P112第5题
A

x

小结
1.用空间向量方法证明立体几何中的平行与垂直问 题,主要运用了直线的方向向量和平面的法向量,同 时也要借助空间中已有的一些关于平行、垂直的 定理. 2.用向量方法证明平行垂直问题的步骤: (1)建立空间图形与空间向量的关系(建系或不建系 都可),用空间向量表示问题中涉及的点、线、面; (2)通过向量运算处理平行、垂直问题; (3)根据运算结果解释相关问题.

补充作业: 如图, 直三棱柱ABC ? A1 B1C1中, ?ACB ? 900 , AC ? 1, CB ? 2, 侧棱AA1 ? 1, 侧面AA1 B1 B的 两条对角线交点为D, B1C1的中点为M . (1)求证:CD ? 平面BDM (2)求A点到平面BDM的距离.

z
A D C

A1

C1
M B1

y

x

B


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