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二次函数系列习题[1]


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宝塔区第五中学 二次函数练习题(1)
A卷
一、选择题(每题 5 分,共 30 分) 1.二次函数 y=x2+bx+c,若 b+c=0,则它的图象一定过点( ) )

A.(-1,-1) B.(1,-1) C.(-1,1) D.(1,1) 2.若直线 y=ax+b(ab≠0)不过第三象限,则抛物线 y=

ax2+bx 的顶点所在的象限是( A.一 B.二 C.三 D.四 2 3.函数 y=ax +bx+c 中,若 ac<0,则它的图象与 x 轴的位置关系为( ) A.无交点 B.有 1 个交点; C.有两个交点 D.不确定 4.抛物线与 x 轴交点的横坐标为-2 和 1,且过点(2,8),它的关系式为( )

A.y=2x2-2x-4; B.y=-2x2+2x-4; C.y=x2+x-2; D.y=2x2+2x-4 2 5.二次函数 y=ax +bx+c 的图象如图 1 所示,下列五个代数式 ab、ac、a-b+c、b2- 4ac、2a+b 中,值大于 0 的个 数为( ) 图1 A.5 B.4 C.3 D.2 6.二次函数 y=ax2+bx+c 与一次函数 y=ax+c 在同一坐标系内的图象可能是图 3 所示的( )

图3

二、填空题:(每题 5 分,共 30 分) 1.若抛物线 y=x2+(m-1)x+(m+3)顶点在 y 轴上,则 m=_______. 2.把抛物线 y=

1 2 x 向左平移三个单位, 再向下平移两个单位所得的关系式为________. 2
2

3.抛物线 y=ax2+12x-19 顶点横坐标是 3,则 a=____________. 4.若 y=(a-1) x3a
?1

是关于 x 的二次函数,则 a=____________.

5.二次函数 y=mx2-3x+2m-m2 的图象经过点(-1,-1),则 m=_________. 6.已知点(2,5),(4,5)是抛物线 y=ax2+bx+c 上的两点, 则这条抛物线的对称轴是______. 三、解答题(共 40 分) 1.已知二次函数的图象的对称轴为 x=2,函数的最小值为 3,且图象 经过点(- 1,5),求此二次函数图象的关系式.

1

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y
2.二次函数的图象与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,如图 2 所示, AC= ,BC= ∠ ACB=90° ,求二次函数图象的关系式.

A

O C
图2

B

x

3.已知关于 x 的二次函数 y ? x ? mx ?
2

m2 ? 1 m2 ? 2 2 与 y ? x ? mx ? , 2 2

这两个二次函数的图象中的一条与 x 轴交于 A, B 两个不同的点. (l)试判断哪个二次函数的图象经过 A, B 两点; (2)若 A 点坐标为(-1, 0),试求 B 点坐标; (3)在(2)的条件下,对于经过 A, B 两点的二次函数,当 x 取何值时,y 的值随 x 值的增大而减小?

2

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(B 卷)拓广提高(30 分)
时间:45 分钟 满分:30 分 一、选择题(每题 4 分,共 8 分) 1.把二次函数 y=3x2 的图象向左平移 2 个单位,再向上平移 1 个单位,所得到的图象对应的二次函数关系式为 ( ) A.y=3(x-2)2+1 B.y=3(x+2)2-1 C.y=3(x-2)2-1 D.y=3(x+2)2+1 2. 已知二次函数 y=x2-2mx+m-1 的图象经过原点,与 x 轴的另一个交点为 A, 抛物线的顶点为 B,则△ OAB 的面 积为( ) A.

3 2

B.2;

C.1;

D.

1 2

二、填空题:(每题 2 分,共 20 分) 1. 已知二次函数 y=2x2-mx-4 的图象与 x 轴的两个交点的横坐标的倒数和为 2,则 m=_________. 2.二次函数 y= ax2+ bx+ c 的图象如图 5 所示, 则这个二次函数 的关系式为_________,当______时,y=3,根据图象回答:当 x______时,y>0. 三、解答题 1.(1)请你画出函数 y=

y O
-1 1

2

x

1 2 x -4x+10 的图象, 由图象你能发现这个函数具有哪些性质? 2
2

图5

(2)通过配方变形,说出函数 y=-2x +8x-8 的图象的开口方向、对称轴、 顶点坐标,这个函 数有最大值还是最小值?这个值是多少?

2.根据下列条件,分别求出对应的二次函数关系式. (1)已知抛物线的顶点是(-1,-2),且过点(1,10); (2)已知抛物线过三点:(0,-2),(1,0),(2,3).

3

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(C 卷)新题推荐(20 分)
1.如图 6 所示,△ ABC 中,BC=4,∠ B=45° ,AB=3 2 ,M、N 分别是 AB、AC 上的点,MN∥ BC.设 MN=x,△ MNC 的面积为 S. (1)求出 S 与 x 之间的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围. (2)是否存在平行于 BC 的线段 MN,使△ MNC 的面积等于 2? 若存在,请求出 MN 的长; 若不存在,请说明理由. 2.如图 7,已知直线 y ? ?

A M N

B

图6

C

1 1 x 与抛物线 y ? ? x 2 ? 6 交于 A, B 两点. 2 4

(1)求 A, B 两点的坐标; (2)求线段 AB 的垂直平分线的解析式; (3) 如图 2, 取与线段 AB 等长的一根橡皮筋, 端点分别固定在 A, B 两处. 用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖 P AB P 在直线 上方的抛物线上移动,动点 将与 A, B 构成无数个三角形,这些三角形中是否存在一个面积最 大的三角形?如果存在,求出最大面积,并指出此时 P 点的坐标;如果不存在,请简要说明理由.

y

y

B B

P

参考答案: A卷
一、1.D ;2.A ;3.C 4.D 5.C ;6.D; 二、1.1 2.y=

O
A
图1

x

O
A

x

图7

图2

1 (x+3)2-2 ;3.-2 ;4.-1 5.4 或-1 ;6.直线 x=3 ; 2

三、1.解:∵ 二次函数图象的对称轴为 x=2,y 最小值=3, ∴ 顶点坐标(2,3).设所求关系式为 y=a(x-2)2+3. 把(-1,5)代入上式,得 5=a(-1-2)2+3,a=

2 . 9 2 2 8 35 ∴ y ? ( x ? 2)2 ? 3 ? x2 ? x ? . 9 9 9 9

2.解:∵ AC=2 5 ,BC= 5 ,∠ ACB=90° , ∴ AB= AC 2 ? BC 2 ? (2 5) 2 ? ( 5) 2 ? 5 . ∵ ∠ AOC=∠ ACB=90° ,∠ CAO=∠ BAC,△ AOC∽ △ ACB. ∴

2 5 AO AC AO ? , 即 . ? AB AC 5 2 5

∴ AO=4,∴ BO=1. ∴ A(-4,0),B(1,0).

4

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同理可证△ ACO∽ △ CBO,∴

AO CO 4 CO ,即 . ? ? CO BO CO 1

∴ CO2=4,∴ OC=2.∴ C(0,-2), 设二次函数关系式为 y=ax2+bx+c, 把 A(-4,0),B(1,0),C(0,-2)分别代入上式,得 1 ? ?a ? 2 ?16a ? 4b ? c ? 0 ? 3 ? ? , 解得 ?b ? ?a ? b ? c ? 0 2 ? ?c ? ?2 ? c ? ? 2 ? ? ? ∴ 所求二次函数图象的关系式为 y=

1 2 3 x ? x?2. 2 2

m2 ? 1 m2 ? 1 2 , 由于△=(-m ) -4?l? 3.解:(l)对于关于 x 的二次函数 y = x ? mx ? =-m2-2<0,所以此函数的 2 2
2

图 象 与 x 轴 没 有 交 点 , 对 于 关 于 x 的 二 次 函 数 y = x ? mx ?
2

m2 ? 2 . 由 于 △ = (-m ) 2-4 ? l ? 2

(

m2 ? 1 m2 ? 2 , ) =-m2-2<0, 所以此函数的图象与 x 轴没有交点,对于关于 x 的二次函数 y ? x 2 ? mx ? 2 2
2

m2 ? 2 ) ? 3m2 ? 4 ? 0, 所以此函数的图象与 x 轴有两个不同的交点,故图象经过 由于 ? ? (?m) ? 4 ?1? (? 2
A、B 两点的二次函数为 y ? x ? mx ?
2

m2 ? 2 , 2

(2 )将 A(-1,0)代入 y ? x ? mx ?
2

m2 ? 2 m2 ? 2 ,得 1 ? m ? =0. 2 2

整理,得 m2-2m = 0,解之,得 m=0,或 m = 2. 当 m =0 时,y=x2-1.令 y = 0,得 x2-1 = 0,解这个方程, 得 x1=-1,x2=1,此时,B 点的坐标是 B (l, 0). 当 m=2 时,y=x2-2x-3.令 y=0,得 x2-2x-3=0,解这个方程,得 x1=-1,x2=3 此时,B 点的坐标是 B(3,0) (3) 当 m =0 时,二次函数为 y=x2-1,此函数的图象开口向上,对称轴为 x=0,所以当 x<0 时,函数值 y 随: 的增大而减小. 当 m=2 时,二次函数为 y = x2-2 x-3 = (x-1)2-4, 此函数的图象开口向上,对称轴为 x = l,所 以当 x < l 时,函数值 y 随 x 的增大而减小.

B卷
一、1.D ;2.C; 二、1. -8;2.y=x2-2x;x=3 或 x=-1;x<0 或 x>2; 三、1.解:(1)函数图象如答图所示,性质有: ① 该函数图象的开口向上,对称轴为直线 x=4,顶点(4,2).
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② 当 x>4 时,y 随 x 的增大而增大; 当 x<4 时,y 随 x 的增大而减小. ③ 当 x=4 时,y 最小值=2. (2)y=-2x2+8x-8=-2(x-2)2. 该函数图象的开口向下,对称轴为直线 x=2,顶点(2,0); ∵ a=-2<0, ∴ y 有最大值,当 x=2 时,y 最大值=0. 2.解:(1)∵ 抛物线顶点(-1,-2), ∴ 设所求二次函数关系式为 y=a(x+1)2-2, 把(1,10)代入上式,得 10=a(1+1)2-2. ∴ a=3,∴ y=3(x+1)2-2,即 y=3x2+6x+1. (2)设所求二次函数关系为 y=ax2+bx+c, 把(0,-2),(1,0),(2,3)分别代入 y=ax2+bx+c,得 1 ? ?a ? 2 ?c ? ?2 ? 3 ? ? ?b ? ?a ? b ? c ? 0 , 2 ? ?4a ? 2b ? c ? 3 ? ? c ? ?2 ? ? ∴ x2 ?

y

x=4 y= 1 x2-4x+10 2 (4,2)

O

x

1 2

3 x?2 2

C卷
1.(1)过点 A 作 AD⊥ BC 于 D,则有 AD=3 2 ?sin450= 3 2 ? 设△ MNC 的 MN 边上的高为 h,

2 ? 3. 2

x 3? h 12 ? 3x 1 1 12 ? 3 x 3 3 .∴ h= ,∴ S= MN?h= x ? ? x2 ? x , 4 3 4 2 2 4 8 2 3 2 3 即 S= ? x ? x (0<x<4). 8 2 3 3 (2)若存在这样的线段 MN,使 S△ MNC=2,则方程 ? x 2 ? x =2 必有实根,即 3x2-12x+16=0 必有实根.但 8 2
∵ MN∥ BC,∴ ? △ =(-12)2-4× 3× 16=-48<0,说明此方程无实根,所以不存在这样的线段 MN.

1 ? y ? ? x2 ? 6 ? ? x1 ? 6 ? 4 2、(1)解:依题意得 ? 解之得 ? ? y1 ? ?3 ?y ? ? 1 x ? ? 2
? A( 6 , ? 3 , ) B ?( , 4 2)

? x2 ? ?4 ? ? y2 ? 2

(2)作 AB 的垂直平分线交 x 轴, y 轴于 C,D 两点,交 AB 于 M (如图 1) 由(1)可知: OA ? 3 5

OB ? 2 5 ,? AB ? 5 5 ? OM ?

1 5 AB ? OB ? 2 2 y
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6

B

C



O

x

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过 B 作 BE ⊥ x 轴, E 为垂足,由 △BEO ∽△OCM , 得:

OC OM 5 ? , ? OC ? , OB OE 4

同理: OD ? , ?C ? , 0 ?,D ? 0, ?

5 2

?5 ?4

? ?

? ?

5? ? 2?

设 CD 的解析式为 y ? kx ? b(k ? 0)

5 ? 0 ? k ?b ? ? 4 ?? ?? 5 ? b ? ? 2

?k ? 2 5 ? ?? 5 ? AB 的垂直平分线的解析式为: y ? 2 x ? . 2 b?? ? ? 2

( 3 )若存在点 P 使 △ APB 的面积最大,则 点 P 在与直线 AB 平行且和抛 物线只有一个交点的直 线

1 y ? ? x ? m 上,并设该直线与 x 轴, y 轴交于 G,H 两点(如图 2). 2

1 ? y ? ? x? m ? 1 1 ? 2 ? x 2 ? x ? m ? 6 ? 0 ,抛物线与直线只有一个交点, ?? 4 2 ? y ? ? 1 x2 ? 6 ? ? 4

25 1 ? 23 ? ? 1? ? P ?1 , ? ?? ? ? ? 4 ? (m ? 6) ? 0 ,? m ? 4 4 ? 4 ? ? 2?
在直线 GH:y ? ?

2

1 25 25 ? 25 ? ? 25 ? x? 5 设 O 到 GH 的距离为 d , 中,? G ? , 0 ?,H ? 0, ? ? GH ? 2 4 4 ? 2 ? ? 4 ? y
H P B G

1 1 ? GH d ? OG OH 2 2 1 25 5 1 25 25 ? ? d? ? ? 2 4 2 2 4 5 ?d ? 5 2 AB ∥ GH,
? P 到 AB 的距离等于 O 到 GH 的距离 d .
?

O
A

x

图2 第 26 题

S最大面积 ?

1 1 5 5 125 AB d ? ? 5 5 ? ? . 2 2 2 4

7

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二次函数练习题(2)
一、选择题: 1 . 二 次 函 数 y ? x 2 ? 4x ? 3 的 图 像 可 以 由 二 次 函 数 y ? x 2 的 图 像 平 移 而 得 到 , 下 列 平 移 正 确 的 是 ( )

(A)向左平移 2 个单位,向上平移 1 个单位(B)向左平移 2 个单位,向下平移 1 个单位 (C)向右平移 2 个单位,向上平移 1 个单位(D)向右平移 2 个单位,向下平移 1 个单位

2.二次函数 y ? 2( x ? 1) ? 3 的图象的顶点坐标是
2





(A)

(1 , 3 )

(B) ( ?1 , 3 )

(C) ( 1 , ? 3 ) (D) ( ?1 , ? 3 )

3.二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象如图所示,下列结论:
2
2 ① c ? 0 ;② b ? 0 ;③ 4a ? 2b ? c ? 0 ;④ b ? 4ac ? 0 .

其中正确的有 (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D)

( 4个



4.下图中阴影部分的面积与算式 ?

3 1 ? ( ) 2 ? 2 ?1 的结果相同的是 4 2
8




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(A)

(B)

(C)

(D)

5.二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象如图 4 所示,则下列说法不正确的是 (A)





b2 ? 4ac ? 0

(B)
2

a?0

(C)

c?0

(D)
3

y

?

b ?0 2a

6.如图,抛物线 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的对 称轴是直线 x ? 1 ,且经过点 P (A)
–1 O 1 (3,0),则 a ? b ? c 的值为

P
3

x





0

(B)

?1

(C)

1

2 (D) (第 6 题)

二、填空题: 7.已知二次函数 y1 ? ax ? bx ? c 与一次函数 y 2 ? kx ? b 的图象
2

相交于点 A( ? 2 , 4 ),B(8,2),如图所示,则能使 y1 ? y2 成立 的 x 的取值范围是_________; 三、解答题: 8.(07 贵阳)二次函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的图象如图所示,根据图象解答下列问题:
2

(1)写出方程 ax ? bx ? c ? 0 的两个根.(2 分)
2

(2)写出不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集.(2 分)
2

(3)写出 y 随 x 的增大而减小的自变量 x 的取值范围.(2 分) (4)若方程 ax ? bx ? c ? k 有两个不相等的实数根,求 k 的取值范围.(4 分)
2

y

3
2 1
?1 O ?1 ?2

1 2 3

4

x

9

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9.施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道,其高度为 6 米,宽度 OM 为 12 米,现在 O 点为原点,OM 所在直线为 x 轴建立直角坐标系(如图所示). (1)直接写出点 M 及抛物线顶点 P 的坐标; (2)求出这条抛物线的函数解析式; (3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD, 使 A、D 点在抛物线上,B、C 点在地面 OM 上.为了筹备材料,需求出“脚手架”三根木杆 AB、AD、DC 的 长度之和的最大值是多少?请你帮施工队计算一下.

二次函数练习题(2)
参考答案
一、 1.D;2.A;3.B;4.C;5.C;6.D;7.A;8.C;9.C;10.C; 二、 11. 12. 13.1; 14. x ? ?2 , x ? ?2 ; 15. x ? ?2 ; 16. x ? ?1 ;17. ? 5 或 1 , ? ?5 或 ? 1 , ? ?5 或 ? 0 ; 三、 8.(1) x1 ? 1 , x2 ? 3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 (2) 1 ? x ? 3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 (3) x ? 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 (4) k ? 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 9.解:(1)M(12,0),P(6,6). (2)设这条抛物线的函数解析式为:y=a(x-6)2+6, ∵ 抛物线过 O(0,0),∴ a(0-6)2+6=0,解得 a= ; ;

1 , 6
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∴ 这条抛物线的函数解析式为

1 1 y ? ? ( x ? 6) 2 ? 6 ,即 y ? ? x 2 ? 2 x . 6 6 1 2 (3)设点 A 的坐标为( m , ? m ? 2 m ), 6 1 2 ∴ OB= m ,AB=DC= ? m ? 2 m ,根据抛物线的轴对称,可得:OB=CM= m , 6
∴ BC= 12 ? 2 m ,即 AD= 12 ? 2 m , ∴ L=AB+AD+DC =?

1 2 1 1 1 m ? 2m ? 12 ? 2m ? m 2 ? 2m ? ? m 2 ? 2m ? 12 ? ? (m ? 3) 2 ? 15 6 6 3 3

∴ 当 m ? 3 ,即 OB=3 米时,三根木杆长度之和 L 的最大值为 15 米.

二次函数练习题(3)
一、选择题(每题 3 分,共 24 分) 1.已知点(a,8)在二次函数 y=a x2 的图象上,则 a 的值是( A.2 B.-2 C.±2 D.± 2 ) D.(-1,-3) ) )

2.抛物线 y=x2+2x-2 的图象最高点的坐标是( A.(2,-2) 3.若 y=(2-m) x m A. ? 5
2
2

B.(1,-2)

C.(1,-3)

?3

是二次函数,且开口向上,则 m 的值为( B.- 5 C. 5 D.0

4.二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象如图 1 所示,则下列结论正确的是( A. a ? 0,b ? 0,c ? 0 C. a ? 0,b ? 0,c ? 0
2



B. a ? 0,b ? 0,c ? 0 D. a ? 0,b ? 0,c ? 0 图1 )

5.如果二次函数 y ? ax ? bx ? c (a>0)的顶点在 x 轴上方,那么( A.b2-4ac≥0 B.b2-4ac<0 C.b2-4ac>0 D.b2-4ac=0

6.已知 h 关于 t 的函数关系式为 h=
h 0 t

1 2 gt (g 为正常数,t 为时间), 则如图 2 中函数的图像为( 2
h t

)

h 0 t
0

11

h 0 t

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A

B

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7.已知二次函数 y=-

1 2 5 x -3x- ,设自变量的值分别为 x1,x2,x3,且-3<x1<x2<x3, 则对应的函 2 2
) C.y2>y3>y1 D.y2<y3<y1 )

数值 y1,y2,y3 的大小关系是( A.y1>y2>y3

B.y1<y2<y3

8.关于二次函数 y=x2+4x-7 的最大(小)值,叙述正确的是( A.当 x=2 时,函数有最大值 C.当 x=-1 时,函数有最大值

B.x=2 时,函数有最小值 D.当 x=-2 时,函数有最小值

二、填空题(每题 3 分,共 24 分) 9.二次函数 y=-

1 2 2x +3 的开口方向是_________. 2

10.抛物线 y=x2+8x-4 与直线 x=4 的交点坐标是__________. 11.若二次函数 y=ax2 的图象经过点(-1,2),则二次函数 y=ax2 的解析式是___.
2 2 ? ) 和 (?a,y1 ) ,则 y1 的值是 12.已知抛物线 y ? x ? x ? b 经过点 (a,

1 4



13.已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A(1,0),B(3,0)两点,与 y 轴交于点 C(0,3),则二 次函数的解析式是 .

14.若函数 y=3x2 与直线 y=kx+3 的交点为(2,b),则 k=__,b=__. 15.函数 y=9-4x2,当 x=_________时有最大值________. 16.两数和为 10,则它们的乘积最大是_______,此时两数分别为________.

三、解答题(共 52 分) 17.求下列函数的图像的对称轴、顶点坐标及与 x 轴的交点坐标. (1)y=4x2+24x+35; (2)y=-3x2+6x+2; (3)y=x2-x+3; (4)y=2x2+12x+18.

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18.已知抛物线 C1 的解析式是 y ? 2 x 2 ? 4 x ? 5 ,抛物线 C2 与抛物线 C1 关于 x 轴对称,求抛物线 C2 的 解析式.

19.填表并解答下列问题: x y1=2 x+3 y2=x
2

… 1 …

0 1 2









(1)在同一坐标系中画出两个函数的图像. (2)当 x 从 1 开始增大时,预测哪一个函数的值先到达 16. (3)请你编出一个二次项系数是 1 的二次函数,使得当 x=4 时,函数值为 16.编出的函数解析式是什 么?

20.已知抛物线 y=x2-2x-8. (1)试说明该抛物线与 x 轴一定有两个交点. (2)若该抛物线与 x 轴的两个交点分别为 A、B(A 在 B 的左边),且它的顶点为 P, 求△ ABP 的面积.

21.已知:如图 3,在 Rt△ ABC 中,∠ C=90° ,BC=4,AC=8,点 D 在斜边 AB 上, 分别作 DE⊥ AC, DF⊥ BC,垂足分别为 E、F,得四边形 DECF,设 DE=x,DF=y. (1)用含 y 的代数式表示 AE. (2)求 y 与 x 之间的函数关系式,并求出 x 的取值范围. (3)设四边形 DECF 的面积为 S,求出 S 的最大值. A

D

E

B

F 图3

C
13

图4

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22. (2005 年浙江省丽水市中考试题)某校的围墙上端由一段段相同的凹曲拱形栅栏组成,如图 4 所示, 其拱形图形为抛物线的一部分, 栅栏的跨径 AB 间, 按相同的间距 0.2 米用 5 根立柱加固, 拱高 OC 为 0.6 米. (1) 以 O 为原点,OC 所在的直线为 y 轴建立平面直角坐标系,请根据以上的数据,求出抛物线 y=ax2 的 解析式; (2)计算一段栅栏所需立柱的总长度(精确到 0.1 米).

参考答案:
一、1,A;2,D;3,B;4,D;5,B;6,A;7,A;8,D. 二、9,下;10,(-4,-20);11,y=2x2;12, 16,25 5、5. 三、17,(1)对称轴是直线 x=-3,顶点坐标是(-3,-1),解方程 4x2+24x+35=0,得 x1= ? ,x2= ? .故它

9 3 ;13,y=x2-4x+3;14,k= ,b=12;15,0、9; 2 4
5 2 7 2

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与 x 轴交点坐标是( ? ,0),( ? ,0). (2)对称轴是直线 x=1,顶点坐标是(1,5),解方程-3x2+6x+2=0,得 x1 ? 1 ? 轴的交点坐标是 ?1 ?

5 2

7 2

15 5 ,x2 ? 1 ? ,故它与 x 3 3

? ? ?

15 ? ? 5 ? , 0? , 1 ? , 0? . ? ?? 3 3 ? ?? ?
1? 3 1 ? 13 1 ? 1 11 ? ,x2 ? ,顶点坐标是 ? , ? ,解方程 x2-x+3=0,得 x1 ? ,故它与 2 2 2 ?2 4 ?

(3)对称轴是直线 x=

x 轴的交点坐标是 ?

? 1 ? 13 ? ? 1 ? 3 ? . 0? , 0? ? ? 2 , ?, ? ? ? ?? 2 ?

(4)对称轴是直线 x=-3,顶点坐标是(-3,0),它与 x 轴的交点坐标是(-3,0); 18,经检验,点 A(0,5)、B(1,3)、C(-1,11)都在抛物线 C1 上.点 A、B、C 关于 x 轴的对 称点分别为 A′(0,-5)、B′(1,-3)、C′(-1,-11),它们都在抛物线 C2 上.设抛物线 C2 的解

?c ? ?5, ? a ? ?2, ? ? 析式为 y ? ax 2 ? bx ? c ,则 ? a ? b ? c ? ?3,解得 ?b ? 4, 所以抛物线的解析式是 y ? ?2 x 2 ? 4x ? 5 ; ?a ? b ? c ? ?11. ?c ? ?5. ? ?
19,(1)图略,(2)y2=x2 的函数值先到达 16,(3)如:y3=(x-4)2+16; 20,(1)解方程 x2-2x-8=0,得 x1=-2,x2=4.故抛物线 y=x2-2x-8 与 x 轴有两个交点. (2)由(1)得 A(-2,0),B(4,0),故 AB=6.由 y=x2-2x-8=x2-2x+1-9=(x-1)2-9. 故 P 点坐标为(1,-9),过 P 作 PC⊥ x 轴于 C,则 PC=9,∴ S△ ABP= 21,(1)由已知得 DECF 是矩形,故 EC=DF=y,AE=8-EC=8-y. (2)∵ DE∥ BC,∴ △ ADE∽ △ ABC,∴ 即

1 1 AB?PC= × 6× 9=27; 2 2

DE AE , ? BC AC

x 8? y .∴ y=8-2x(0<x<4). ? 4 8

(3)S=xy=x(8-2x)=-2(x-2)2+8.∴ 当 x=2 时,S 有最大值 8; 22,(1) 由 OC=0.6,AC=0.6,得点 A 的坐标为(0.6,0.6),代入 y=ax2,得 a= 式为 y=

5 ,∴抛物线的解析 3

5 2 x, 3 5 2 x ,得 3

(2)可设右边的两个立柱分别为 C1D1,C2D2,则点 D1,D2 的横坐标分别为 0.2,0.4,代入 y= 点 D1,D2 的纵坐标分别为:y1=

5 5 × 0.22≈0.07,y2= × 0.42≈0.27, 3 3

∴立柱 C1D1=0.6-0.07=0.53,C2D2=0.6-0.27=0.33,由于抛物线关于 y 轴对称,栅栏所需立柱的总长度

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为:2(C1D1+ C2D2)+OC=2(0.53+0.33)+0.6≈2.3 米.

二次函数练习题(4)
一、选择题:(30 分) 2 1、二次函数 y=x -(12-k)x+12,当 x>1 时,y 随着 x 的增大而增大,当 x<1 时,y 随着 x 的增大而减小,则 k 的值应取( ) (A)12 (B)11 (C)10 (D)9 2、下列四个函数中,y 的值随着 x 值的增大而减小的是( ) (A) y ? 2 x (B) y ?
2

1 ?x ? 0 ?(C) y ? x ? 1 (D) y ? x2 ?x ? 0? x

3、抛物线 y=ax +bx+c 的图象如图,OA=OC,则( ) y (A) ac+1=b (B) ab+1=c (C)bc+1=a (D)以上都不是 C 2 4、若二次函数 y=ax +bx+c 的顶点在第一象限,且经过点 A O (0,1),(-1,0),则 S=a+b+c 的变化范围是 ( ) (A) 0<S<2 (B) S>1 (C) 1<S<2 (D)-1<S<1 2 5、如果抛物线 y=x -6x+c-2 的顶点到 x 轴的距离是 3,那么 c 的值等于( (A)8 (B)14 (C)8 或 14 (D)-8 或-14
2

x )

6、把二次函数 y ? 3x 的图象向左平移 2 个单位,再向上平移 1 个单位,所得到的图象对应的二次函数关系 式是( ) (D) y ? 3?x ? 2? ? 1 2 7、(3)已知抛物线 y=ax +bx,当 a>0,b<0 时,它的图象经过( ) A.一、二、三象限 B.一、二、四象限 C.一、三、四象限 D.一、二、三、四象限
2

(A) y ? 3?x ? 2? ? 1 (B) y ? 3?x ? 2? ?1 (C) y ? 3?x ? 2? ?1
2 2 2

8、若 b ? 0 ,则二次函数 y ? x ? bx ? 1的图象的顶点在 (A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限
2



) ( )

9、已知二次函数 y ? 2 x ? 2(a ? b) x ? a ? b
2 2

2

, a , b 为常数,当 y 达到最小值时,x 的值为 (D)

(A) a ? b

(B)

a?b 2

(C) ? 2ab

a?b 2
2

10、当 a>0, b<0,c>0 时,下列图象有可能是抛物线 y=ax +bx+c 的是(



二、填空题:(30 分) 11、已知二次函数 y=ax2(a≥1)的图像上两点 A、B 的横坐标分别是-1、2,点 O 是坐标原点,如果△AOB 是直角三角形,则△OAB 的周长为 。 2m ? 4 12、已知二次函数 y=-4x2-2mx+m2 与反比例函数 y= 的图像在第二象限内的一个交点的横坐标是 x -2,则 m 的值是 。 13、 有一个抛物线形拱桥, 其最大高度为 16m, 跨度为 40m, 现把它的示意图放在平面直角坐标系中如 图 (4) , 求抛物线的解析式是_______________。

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14、如图(5)A. B. C.是二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图像上三点,根据图中给出的三点的位置,可得 a-.— 15、老师给出一个函数,甲,乙,丙,丁四位同学各指出这个函数 —0,c——0, 的一个性质: 甲:函数的图像不经过第三象限。乙:函数的图像经过第一象限。丙:当 x<2 时,y 随 x 的增大而减小。丁: 当 x<2 时,y>0,已知这四位同学叙述都正确,请构造出满足上述所有性质的一个函数___________________。 16、已知二次函数 y=x2+bx+c 的图像过点 A(c,0),且关于直线 x=2 对称,则这个二次函数的解析式可 能是———————————— (只要写出一个可能的解析式) 2 17、函数 y=mx +x-2m(m 是常数),图象与 x 轴的交点有_____个. 18.已知点 P (a,m)和 Q( b,m)是抛物线 y=2x2+4x-3 上的两个不同点,则 a+b=_______. 2 19.已知二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象与 x 轴交于点(-2,0),(x1,0)且 1<x1<2,与 y· 轴正半轴的交点 在点(0,2)的下方,下列结论:① a<b<0;② 2a+c>0;③ 4a+c< 0,④ 2a-b+l>0.其中的有正确的结论是 (填写序号)__________. 20..将进货单价为 70 元的某种商品按零售价 100 元售出时,每天能卖出 20 个.若这种商品的零售价在一定范 围内每降价 1 元,其日销售量就增加了 1 个,为了获得最大利润,则应降价______元,最大利润为______元. 三、解答题: 21.将进货单价为 40 元的商品按 50 元售出时,就能卖出 500 个,已知这个商品每个涨价 1 元,其销售量就 减少 10 个。(8 分) (1)问:为了赚得 8000 元的利润,售价应定为多少?这时进 货多少个? (2)当定价为多少元时,可获得最大利润?

22. 已 知 y 是 x 的 二 次 函 数 , 且 其 图 象 在 x 轴 上 截 得 的 线 段 AB 长 4 个 单 位 , 当 x=3 时 , y 取 得 最 小 值 - 2 。 ( 1 ) 求 这 个 二 次 函 数 的 解 析 式 ( 2 ) 若 此 函 数 图 象 上 有 一 点 P ,使 Δ P A B 的 面 积 等 于 1 2 个 平 方 单 位 , 求 P 点 坐 标 。 (8 分)

23 . 已 知 直 线 y ? ?2 x ? b?b ? 0? 与 x 轴 交 于 点 A , 与 y 轴 交 于 点 B ; 一 抛 物 线 的 解 析 式 为

y ? x 2 ? ?b ? 10?x ? c .

(1)若该抛物线过点 B,且它的顶点 P 在直线 y ? ?2 x ? b 上,试确定这条抛物线的解析式; (2)过点 B 作直线 BC⊥AB 交 x 轴交于点 C,若抛物线的对称轴恰好过 C 点,试确定直线 y ? ?2 x ? b 的 解析式. (8 分)

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24.已知抛物线 y ? ax ? ( ? 3a ) x ? 4 与 x 轴交于 A、 B 两点,与 y 轴交于点 C.是否存在实数 a,使得△
2

4 3

ABC 为直角三角形.若存在,请求出 a 的值;若不存在,请说明理由.(12 分)

25.如图,已知抛物线 y ? ? 的直线 y ? ?

3 2 x ? bx ? c 与坐标轴交于 A,B,C 三点,点 A 的横坐标为 ?1 ,过点 C (0, 3) 4

0 ? t ? 1 .(12 分) (1)确定 b,c 的值: (2)写出点 B,Q,P 的坐标(其中 Q,P 用含 t 的式子表示): (3)依点 P 的变化,是否存在 t 的值,使 △PQB 为等腰三角形?若存在,求出所有 t 的值;若不存在,说
明理由.(12 分)

3 x ? 3 与 x 轴交于点 Q ,点 P 是线段 BC 上的一个动点, PH ? OB 于点 H .若 PB ? 5t ,且 4t

y
C

P A
O

Q

H

B x
2

26.已知 P( m , a )是抛物线 y ? ax 上的点,且点 P 在第一象限. (12 分) (1)求 m 的值 (2)直线 y ? kx ? b 过点 P,交 x 轴的正半轴于点 A,交抛物线于另一点 M. ①当 b ? 2a 时,∠OPA=90° 是否成立?如果成立,请证明;如果不成立,举出一个反例说明; ②当 b ? 4 时,记△MOA 的面积为 S,求

1 的最大值 s

y
M P O . A

x

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二次函数练习题(4)
参考答案 一、CBAAC,DBDBA 二、11. 2 6 ? 2 3 12。-7 13。 y ? ?
1 2 40 x ? x 25 25

14. a ? 0, c ? 0

15。 y ? ( x ? 2) 2 不唯一

16. y ? x 2 ? 4 x ? 4

17。1125 米

18。-2 (2)70

19。①②③④

20.(1)60 元,400 个或 80 元 200 个

21.解 :( 1 ) ∵ 当 x = 3 时 y 取 得 最 小 值 - 2 . 即 抛 物 线 顶 点 为 ( 3 , - 2 ) . ∴ 设 二 次 函 数 解 析
式为 y=a(x-3) -2 又 ∵ 图 象 在 x 轴 上 截 得 线 段 AB 的 长 是 4, ∴ 图 象 与 x 轴 交 于 (1, 0)和 (5, 0)两 点
2

∴ a(1-3) -2=0 ∴ a=

2

∴ 所 求 二 次 函 数 解 析 式 为 y=

x -3x+

2

(2)∵ Δ PAB 的 面 积 为 12 个 平 方 单 位 , | AB| =4



?4?| Py| =12 ∴ | Py| =6 ∴ Pg=±6

但 抛 物 线 开 口 向 上 , 函 数 值 最 小 为 -2, ∴ Py=-6 应 舍 去 , ∴ Pg=6 又 点 P 在 抛 物 线 上 ,

∴ 6=

x -3x+

2

x1=-1,x2=7

即 点 P 的 坐 标 为 (-1, 6)或 (7, 6)
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22.解:(1) y ? x 2 ? 10 或 y ? x 2 ? 4 x ? 6 将 (0,b) 代 入 , 得 c ? b . 顶 点 坐 标 为 (

b ? 10 b 2 ? 16b ? 100 ,? ) , 由 题 意 得 2 4

b ? 10 b2 ? 16b ? 100 ?2 ? ?b ? ? ,解得 b1 ? ?10, b2 ? ?6 . 2 4
(2) y ? ?2 x ? 2 23. 由 ax ? ( ? 3a ) x ? 4 ? 0 ,解得
2

4 3

x1 ? ?3 , x2 ? ?

4 . 3a

∴ 点 A、B 的坐标分别为(-3,0),( ? ∴

4 ,0). 3a

AB ?| ?

4 ? 3 | , AC ? AO2 ? OC2 ? 5 , 3a

BC ? BO2 ? OC2 ? | ?

4 2 | ?4 2 . 3a


AB 2 ?| ?

4 16 4 16 8 ? 3 |2 ? 2 ? 2 ? 3 ? ? 9 ? 2 ? ? 9 , 3a 9a 3a 9a a 16 AC2 ? 25 , BC 2 ? 2 ? 16 . 9a
2 2 2

〈ⅰ〉当 AB ? AC ? BC 时,∠ACB=90°. 由 AB ? AC ? BC ,
2 2 2

16 8 16 ? ? 9 ? 25 ? ( 2 ? 16) . 2 9a a 9a 1 解得 a ? ? . 4 1 16 625 400 2 2 2 ∴ 当 a ? ? 时,点 B 的坐标为( ,0), AB ? , AC ? 25 , BC ? . 4 3 9 9
得 于是 AB ? AC ? BC .
2 2 2

∴ 当a ? ?
2

1 时,△ABC 为直角三角形. 4
2 2

〈ⅱ〉当 AC ? AB ? BC 时,∠ABC=90°. 24.[解] (1) b ?

9 4

c?3

0) (2) B(4,

Q(4t, 0)

P( 4 ? , 4 t 3 t )

(3)存在 t 的值,有以下三种情况 ①当 PQ ? PB 时

PH ? OB ,则 GH ? HB

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? 4 ? 4t ? 4t ? 4t ? t ?

1 3

C

②当 PB ? QB 得 4 ? 4t ? 5t

P D

?t ?

4 9

O C

Q

B

③当 PQ ? QB 时,如图 解法一:过 Q 作 QD ? BP ,又 PQ ? QB

P

BP ? 则 BD ? 2 5 t ?2 4

5 BD BQ t 又 △BDQ ∽△BOC ? ? 2 BO BC

E
O

Q

B

?

4 ? 4t 5

?t ?

32 57

解法二:作 Rt△OBC 斜边中线 OE 则 OE ? BE,BE ? 此时 △OEB ∽△PQB ?

BC 5 ? , 2 2

BE OB ? BQ PB

5 32 4 ? 2 ? ?t ? 57 4 ? 4t 5t
解法三:在 Rt△PHQ 中有 QH 2 ? PH 2 ? PQ2

C

P

?(8t ? 4)2 ? (3t )2 ? (4 ? 4t )2 ?57t 2 ? 32t ? 0
?t ? 32 ,t ? 0 (舍去) 又 0 ? t ? 1 57 1 4 32 ? 当 t ? 或 或 时, △PQB 为等腰三角形. 3 9 57
2 2

O

H Q

B

25.[解] (1) m a ? (a ? 0) m ? 1(m ? 0) ? m ? 1 (2)①b=2a, y ? kx ? 2a P 在直线上,则

a ? k ? 2a ? a ? ?k (k ? 0)

kx ? 2a ? 0 ? x ? ?

2a ?2k ?? ? 2 A(2,0) k k

?kx2 ? kx ? 2k ? x2 ? x ? 2 ? 0 ? ( x ? 2)( x ? 1) ? 0, x ? 2或x ? ?1
M(-1,a) ∠OPA=90° 即 a ? 1 , a ? 1
2

k ? ?1 , y ? ? x ? 2, y ? x2

P(1,1)

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故存在这样的点 P ② kx ? 4 ? 0 ? x ? ?

4 又k ?4 ? a ? k ? a?4 k

(a ? 4) x ? 4 ? ax2 ? ax2 ? (a ? 4) x ? 4 ? 0 ? (ax ? 4)( x ?1) ? 0
∴S=

4 16 1 32 ? 4 ? a a 2 4a ? a 2 1 1 1 1 1 ? a ? a 2 ? ? (a ? 2)2 ? S 8 32 32 8

∴当 a ? 2 时,

1 S max

?

1 8

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