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1.直线的倾斜角与斜率学案


(2)斜率公式:

第三章

直线与方程

经过两点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 )

( x1 ? x2 ) 的直线的斜率公式:

3.1 直线的倾斜角与斜率
3.1.1 倾斜角与斜率
【自主学习三阶导学】
【教材导

读】 一、情景导入 一个点能确定平面直角坐标系内一条直 线的位置吗?那么一条直线的位置又由哪 些条件确定呢?带着这些问题我们来学习 本节课的内容. 二、教材导读 1.倾斜角的定义 阅读教材 P82 的内容,尝试提炼出以下 知识要点. (1)倾斜角的定义 当直线 l 与 x 轴相交时,取 x 轴作为基 准, x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的 角 ? 叫做直线 l 的倾斜角. (2)倾斜角的范围: 0? ? ? ? 180 ? . (3)确定平面直角坐标系中直线位置的 几何要素是: 直线上的一个定点以及它的倾 斜角. 2.斜率的定义 阅读教材 P83 的内容可知: (1)斜率的定义 我们把一条直线的倾斜角 ? 的正切值 叫 做 这 条 直 线 的 斜 率 , 记 作 k ? tan ? ( ? ? 90? ). (2)斜率与倾斜角的关系

k?

y 2 ? y1 x2 ? x1

由公式可知: ①直线的斜率与两点坐标的顺序无关; ②当直线平行于 x 轴,或与 x 轴重合 时,即: y1 ? y 2 时, k ? 0 ; ③当直线平行于 y 轴,或与 y 轴重合 时,即: x1 ? x2 时,上述公式不适用,此 时斜率不存在. 三、学了就练 请完成自主评价 1

【课堂点金】
一、 重难点突破 1. 斜率公式的简单应用 【例1】 求经过以下两点的直线的斜率 与倾斜角: (1) A(2,7),B(3,6); (2) C(4,3),D(4,-5); (3) P(a,b),Q(c,b); 【分析】公式的应用. 【解析】

?
k

0

0

(0?,90?)
k ?0

90 ?
不存在

(90?,180?)

【评析】 (3)题中存在两点的横坐标相同的 情况,即过这两点的直线与 y 轴平行,此时 直线的斜率不存在, 但倾斜角存在, 为 90 ? . 所以要进行讨论. 【变式 1】求经过下列两点直线的倾斜角: (1)A( ? 1,3 ),B( 0,3 ?

0

k?0

3.斜率公式 (1)阅读 P84 的内容,掌握教材中通过 对倾斜角 ? 范围的讨论, 在直角坐标系中用 代数的方法推导斜率公式.

3)

(2)C( 0 , c ),D( 3b , c ? b )

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【解析】

【例 3】 已知经过 A(m, 2), B(?m, 2m ? 1) 的 直线的倾斜角为 ? , 且 45 ? ? ? 135 , 试
0 0

求实数 m 的取值范围。 【分析】只需建立斜率 k 关于 m 的函数, 再 由倾斜角 ? 的范围得出斜率 k 的范围,从而 求出参数 m 的取值范围. 2.倾斜角与斜率之间的关系转化 【例 2】△ ABC 为正三角形,顶点 A 在 x 轴上,A 在边 BC 的右侧,∠BAC 的平分线 在 x 轴上,求边 AB 与 AC 所在直线的斜率. 【分析】 要求直线的斜率转化为求直线的倾 斜角. 【解析】 【解析】

【评析】 (1)注意体验并理解本题蕴含的函 数与方程思想 .根据正切函数在 [0, ? ) 上的 单 【评析】倾斜角与斜率两者之间联系紧密, 做题时经常互相转化. 【变式 2】若经过点 P(1-a,1+a)和 Q (3,2 a)的直线的倾斜角为钝角,求实数 a 的取值范围. 【解析】 调 性 , 要 分
y

? ? (450 ,900 ) ; ? ? 900
, ? ? (90 ,135 ) 三种情
0 0

况 讨 论 , 特 别 注 意
O

x

?
2

?

? ? 90 时容易遗漏.
0

(2) 直线的斜率 k 是其倾 斜 角 ? 的 函 数 : k ? tan ? ( 0 ? ? ? ? ) ,我们一般将正切 函数在 [0, ? ) 部分截取出来,并将之称为斜 率函数, 以之为工具可以解决很多倾斜角与 斜率之间关系问题.
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【变式3】(1)若直线 k 的斜率满足 – 3<k < 是

3 ,求该直线的倾斜角α的范围 3
.

唯 一 , 可 表 示 为 a ? ? (1, a ? ? (1, k ), (? ? 0) .

y 2 ? y1 ) ,即 x2 ? x1

3 (2)斜率为 ? cos? 直线的倾斜角的取 3
值范围是_________. 【解析】

【例 4 】已知直线 l 上的一个方向向量为 a ? ( 3,?3) ,求直线 l 的倾斜角 ? 和斜率. 【分析】利用直线的方向向量公式计算. 【解析】 . 【变式4】 (1) 求过两点 M (3,2) 和 N (?1,4) 的直线 l 的斜率, 并写出它的一个方向向量. (2) 请利用直线的方向向量重新认识例1— —例3及其变式. 【解析】

教材挖掘 直线的斜率与方向向量 我们知道平面上直线的位置可以由一 个定点及直线的斜率确定, 即任意一条直线 的位置可由直线上一定点及一个定方向确 定.结合向量的知识我们知道, 可以用向量来 表示方向. 直线的方向向量:与直线 l 共线的非零 向量 m 称为直线 l 的方向向量. 设直线 l 上有任意两点 P 1 ( x1 , y1 ),

三、总结提升 1.本课知识结构框图
直 线 倾斜角 斜 率

三角函数 (1)掌握确定一条直线位置的条件. (2)掌握确定直线方向的三种方式及其内 在联系:倾斜角、斜率、方向向量. (3)对给定图形能刻画其中相关直线的倾 斜角、斜率、方向向量. 2.拓展性知识 (1)1637 年,法国的哲学家和数学家笛卡 尔发表了他的著作《方法论》 ,这本书的后 面有三篇附录,一篇叫《折光学》 ,一篇叫 《流星学》 ,一篇叫《几何学》.其中, 《几何 学》共分三卷,第一卷讨论尺规作图;第二

P2 ( x2 , y2 ) ,则直线 l 的一个方向向量可以
是 a ? ( x2 ? x1 , y 2 ? y1 ) ,而直线 l 的斜率 为k ?

y 2 ? y1 ( x1 ? x2 ) ,所以当直线的方 x2 ? x1
n (其 m

向向量为 a= (m, n) 时,其斜率 k ?

中 m ? 0 ).由定义知,直线的方向向量不

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卷是曲线的性质;第三卷是立体和“超立体” 的作图, 但实际笛卡尔是把它们当做是代数 问题: 探讨方程的根的性质.笛卡尔的中心思 想是建立起一种“普遍”的数学,把算术、代 数、 几何统一起来.他设想, 把任何数学问题 化为一个代数问题, 再把任何代数问题归结 到去解一个方程式 .后世的数学家和数学史 学家都把笛卡尔的《几何学》作为解析几何 的起点. 解析几何学的创立,开始了用代数方法 解决几何问题的新时代. (2)用斜率刻画函数的单调性 我们可以结合函 y 数的图象、应用数 B 形结合的思想整 y=f (x) 合单调性的定义、 A 斜率及其几何意 O x 义与单调性之间 的关系.以增函数 为例(如图所示) : y ? f ( x) 在区间 (a, b) 上 单调递增 ? 对任意 x1 , x 2 ? (a, b) , 当 x1 ? x 2 时 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 对 (a, b) 内任意两点 A( x1 , f ( x1 )), B( x 2 , f ( x 2 )) ,恒有
k AB ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ?0 x1 ? x 2

【解析】对于条件 ?? ( x2 ? x1 ) ? f ( x2 ) ?

f ( x1 ) ? ? ( x2 ? x1 ) ,可转化为: f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?? ? ?? , x2 ? x1 f ( x2 ) ? f ( x1 ) 令 ? k ,有 ?? ? k ? ? , x2 ? x1 不妨设 f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 , 即有 ??1 ? k f ? ?1 , ??2 ? kg ? ?2 ,
因此有 ??1 ? ?2 ? k f ? kg ? ?1 ? ?2 , 因此有 f ( x) ? g ( x) ? M?1?? 2 . 故选 C. 3.问鼎高考 若直线 x ?1 的 倾斜角为 ? ,则 ? 等 于 ( ). A.0 B.45° C.90° D.不存在 【解析】

【自主评价】
【自主评价 1】 1.下列命题正确的是 ( ) A、若直线的斜率存在,则必有倾斜角 α 与 它对应; B、若直线的倾斜角存在,则必有斜率与它 对应; C、直线的斜率为 0,则这条直线与 x 轴平 行,且倾斜角为 180 ? ; D、直线的倾斜角为 α,则这条直线的斜率 为 tanα; 【答案】 2.设光线入射 x 轴后反射,若入射光线的 倾斜角为 ? , 斜率为 k1 , 反射光线的倾斜角 为? , 斜率为 k2 , 则 ? 与 ? 的关系是_____,

你能指出减函数对应结论吗?这提示我们 在学习过程中要充分注重构建知识系统, 揭 示知识之间的内在联系. 例. (2009 浙江理)对于正实数 ? ,记 M ? 为满足下述条件的函数 f ( x ) 构成的集合: 对 任 意 x1 , x2 ? R 且 x2 ? x1 , 有

?? ( x2 ? x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ? ( x2 ? x1 ) . 那么下列结论中正确的是 ( ) A.若 f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 ,
则 f ( x) ? g ( x) ? M? 1?? 2 B.若 f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 ,

f ( x) ? M ?1 g ( x) ?2 C.若 f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 , 则 f ( x) ? g ( x) ? M?1?? 2 21 世纪教育网
且 g ( x) ? 0 ,则 D.若 f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 , 且 ?1 ? ?2 ,则 f ( x) ? g ( x) ? M?1?? 2

k1 ? k2 ? _____.
【答案】

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【自主评价 2】 一、选择题 1. 若 两 条 直 线 l1 , l 2 的 倾 斜 角 分 别 为

7. 已知过两点 A(m2 ? 2, m2 ? 3) ,
B(3 ? m2 ? m, 2m) 的直线 l 的倾斜角为 45°, 则实数 m 的值为 .

? 1 , ? 2 ,斜率分别 k1 , k2 ,以下四个命题
中正确的是 A.若 ? 1 ? ? 2 ,则 k1 ? k 2 B.若 ? 1 ? ? 2 ,则 k1 ? k 2 C. 若 k1 ? k 2 ,则 ? 1 ? ? 2 D. 若 k1 ? k 2 ,则 ? 1 ? ? 2 2.过点 P(2, 3)与 Q(1, 4)的直线 PQ 的倾斜 角为 ( ) A.45° B. 30° C. 60° D.135° 3.过点 A(2, b)和点 B(3, –2)的直线的倾斜角 为 ( )

8.若 ? 是直线的倾斜角,则 sin(

?

4

??) 的

值的范围为 . 三、解答题 8. 如图 3.1-4 所示菱形 ABCD 中∠BAD= 60°, 求菱形 ABCD 各边和两条对角线所在 直线的倾斜角和斜率.

图 3.1-4
答案:

3? ,则 b 的值是 4
B.1 C.–5

( D.5

)

A.–1

4、如图 3.1-3,若图中直线 l1, l2, l3 的斜率分 别为 k1, k2, k3,则 A.k1<k2<k3 C.k3<k2<k1 B.k3<k1<k2 D.k1<k3<k2 9.已知两点 A(?1,?5) , B(3,?2) ,直线 l 的 倾斜角是直线 AB 倾斜角的一半,求直线 l 的斜率. 答案 图 3.1-3 是直线 l 的倾斜角,且满足:

5.设 ?

s i n? ? co s? ? 3 4 4 C. 3
A.

1 , 则直线的斜率为( 5 3 4 B. ? 或 ? 4 3 4 D. ? 3

)

二、填空题 6. 已知两点 A(2,3),B(a,3),则直线 AB 的斜 率为 .
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【自主评价 3】 1. 已 知 直 线 l 过 点 P(-1,2) 且 与 以 A(-2,-3),B(3,0)为端点的线段相交, 则直线 l 的斜率的取值范围是 . 【解析】

y P B x O Q A

2.魔术大师把一块长和宽都是 13 dm 的地毯

按图 1 裁好, 再按图 2 拼成矩形. 计算两个 图形的面积,分 别 得 到 169 dm 2 与 168 dm 2 .魔术 师得意洋洋的 说,他证明了 169=168. 你 能 揭穿魔术师的奥 秘吗? 【解析】

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