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2015-2016学年广东省深圳市高级中学高二下学期期中考试数学理试卷


2015-2016 学年广东省深圳市高级中学高二下学期期中考试数学理试卷

本试卷由二部分组成。第一部分:本学期以前所学内容基础知识和能力考查(共 96 分) ;第二部分: 本学期知识内容考查(共 54 分) 。 全卷共计 150 分,考试时间为 120 分钟。 注意事项: 1、答题前,考生务必将自己的姓名、考号、座位号涂写在答题卡上。 2、选择题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动用橡皮擦干净后,再涂 其它答案,不能答在试题卷上。 3、考试结束,监考人员将答题卡收回。 第一部分 一.选择题:共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的一项。 1.若复数 z 满足 A.1

z ? i 2015 ? i 2016 i 为虚数单位) ,则复数 z=( B ) 1? i
B.2 C.i D.2i

2.

D 2 sin 47? ? 3 sin 17? ? ( ) cos17? B.-1 C. 3 D.1

A. ? 3

3.给出下列三个命题: (1)“若 x ? 2 x ? 3 ? 0 ,则 x ? 1 ”为假命题;
2

(2)命题 P : ?x ? R,2 ? 0 : ,则 ?P : ?x? ? R,2 ? ? 0 ;
x x

(3)“ ? ?

?
2

? k? (k ? Z ) ”是“函数 y ? sin(2 x ? ? ) 为偶函数”的充要条件;

其中正确的个数是( C ) A. 0 4.双曲线 M: B. 1 C. 2 D. 3

x2 y 2 ? 2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点为 F1,F2,抛物线 N:y2=2px( p>0)的 2 a b

焦点为 F2,点 P 为双曲线 M 与抛物线 N 的一个交点,若线段 PF1 的中点在 y 轴上,则 该双曲线的离心率为(B ) A. 3 +1 B. 2 +1 C.

3 ?1 2
-1-

D.

2 ?1 2

5.《九章算术》商功章有题:一圆柱形谷仓,高 1 丈 3 尺 3

=10 尺,l 尺=10 寸,斛为容积单位,l 斛≈1.62 立方尺, ? ≈3),则圆柱底圆周长约 为( B ) A. l 丈 3 尺 B. 5 丈 4 尺 C. 9 丈 2 尺 D. 48 丈 6 尺 6.已知函数 f ? x ? ? ? sin ?? x ? ? ? ( ? ? 0 , ? ? 0 , ? ? 如图所示,则 f ? x ? 的递增区间为( B ) A.? ?

1 寸,容纳米 2000 斛(1 丈 3

?
2

)的部分图象

5? ? ? ? ? 2 k? , ? 2k? ? ,k ? ? 12 ? 12 ? 5? ? ? ? ? 2 k? , ? 2 k? ? , k ? ? 6 ? 6 ?

B.? ?

5? ? ? ? ? k? , ? k? ? ,k ? ? 12 ? 12 ? 5? ? ? ? ? k? , ? k? ? , k ? ? 6 ? 6 ?
? ?

C. ? ?

D. ? ?

7. ?ABC 的三内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,其中 b=3,c=2.O 为 ?ABC 的外心,则 AO? BC =( C) A.

13 2

B. ?

5 2

C.

5 2

D.6

8. ( x 2 ? x ? 1) 5 的展开式中, x 3 的系数为( A ) A.-30 B.-24 C.-20 D.20

9.棱长为 2 的正方体被一平面截成两个几何体,其中一个几何体的三视 图如图所示,那么该几何体的体积是( D ) A. C.
14 3 10 3

B.3 D.4

10.定义在区间(0, +∞)上的函数 f(x)使不等式 2 f ( x) ? xf ?( x) ? 3 f ( x) 恒 成立,其中 f ?( x ) 为 f(x)的导数,则( B )

A.8<

f (2) <16 f (1)

B.4<

f (2) <8 f (1)

C.3<

f (2) <4 f (1)

D.2<

f (2) <3 f (1)

二.填空题:共4小题,每小题5分,共20分。 11.已知定义在 R 上的函数 f(x)=2|x b,c 的大小关系为 c<a<b 12. 直 线 A x ?
-m|

-1(m 为实数)为偶函数, 记 a=f(log0.53), b=f(log25), c=f(2m), 则 a,

B? y

C ? 0 与 圆 x2 ? y2 ? 4 相 交 于 M 、 N 两 点 , 若 C 2 ? A2? B2, 则
-2-

???? ? ???? (其中 O 为坐标原点) OM ? ON ? ____-2_____.
?x ? 2 y ? 4 ? 0 x? y?3 ? x?2 13.已知变量 x, y 满足 ? ,则 的取值范围是 x ? 2 ? x? y?2?0 ?
14.在 ?ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知 8b=5c,C=2B,则 cosc = 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分 10 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 2 S n ? 1 ? an ? n ? N *? . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)记 bn ?

7 25

1 , cn ? log 1 an
3

bn bn ?1 n ?1 ? n

,求数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn .

(1)当 n = 1 时,由 2 S n = 1 - an ,得: a1 = . 由 2 S n = 1 - an ① ② ①-②,得: an ? 所 以 数 列 ??2 分

1 3

??1 分

1 an ?1 (n ? 2) 3
是 以 首 项 为

??4 分

{an }

1 3

, 公 比 为

1 3

的 等 比 数 列 , 得 :

an ?

1 (n ? N *) 3n

??5 分 ??6 分

(2)

cn =

n +1 -

n

n ( n +1)

=

1 n

1 , n +1

???8 分

? ? 10 分

16.(本小题满分 6 分)如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,底面△ABC 是边长为 2 的等边三角形,过 A1C 作 平面 ACD 平行于 BC1 ,交 AB 于 D 点, 1 (Ⅰ)求证: CD ? AB
D C C1 A A1

-3B B1

(I)证:连结 AC1,设 AC1 与 A1C 相交于点 E,连接 DE, 则 E 为 AC1 中点,-------------------------------2 分 ∵BC1∥平面 A1CD, DE ? 平面ACD ? 平面ABC1 1 ∴DE∥BC1,------------------4 分 ∴ D 为 AB 的中点, 又∵ ?ABC为正? ,∴ CD ? AB --------------------------6 分
2 2

A

A1 E C C1 B1

D

17. 已知圆心为 H 的圆 x + y +2x -15=0 和定点 A(1,0),B 是圆上任意一点,线段 AB 的中垂线 l 和直线 BH 相交于点 M,当点 B 在圆上运动时,点 M 的轨迹记为曲线 C. (I)求 C 的方程;

B

18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 点(0,1).

c ? a, b ? R ? 满足 f ? x ? 的图象与直线 x ? y ? 1 ? 0 相切于 ax ? b

(1)求 f ? x ? 的解析式,并写出其单调区间;

c ? 1 。故 c ? 0 且 b ? c b ac ac a 又 f ?( x) ? ? ,由 f ?(0) ? ?1 ,即 ? 2 ? ?1 ,? ? 1 ? a ? c ② 2 c c (ax ? c) 1 由①②可得 f ( x) ? ???4 分 x ?1
解(1)因为 y ? f ( x) 的图像过 (0,1) 点,即 f (0) ? 1 ,所以 。 。 。 。 。5 分 f ? x ? 的单调减区间为 (??,?1)和(?1,??) 。 第二部分



一.选择题:共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的一项。 19.如图,是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体,现用红、蓝两种颜色为其涂色,每个图形 只能涂一种颜色,则三个形状颜色不全相同的概率为( A) A.

3 4

B.

3 8

C.

1 4

D.

1 8

-4-

20.如图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的 T 是( C )

A.1 B.2 C.3 D.4 21.在如图所示的正方形中随机投掷 10 000 个点,则落入阴 影部分(曲线 C 为正态分布 N(-1,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( B ) A.1 193 B.1 359 C.2 718 D.3 413

附:若X ? (? , ? 2 ),则P(? -? ? X ? ? ? ? )=0.6826 P(? -2? ? X ? ? ? 2? )=0.9544
二.填空题:共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。 22.采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查,为此将他们随机编号为 1,2,?,960,分组后 在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9.抽到的 32 人中,编号落 区间 ?1, 450? 的人做问卷 A ,编号落入区间 ? 451, 750? 的人做问卷 B ,其余 人做问卷 C ,则抽到的人中,做问卷 B 的人数为 10 影 入 的

23.如图所示,在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P,则点 P 恰好取自阴 部分的概率为

1 6

24.不等式|2x+1|-2|x-1|>0 的解集为_______. ? ,?? ? 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 25.(本小题满分 12 分)PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.我国 PM2.5 标准采用世卫组织设定的最宽限值,即 PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质量为一级;在 35 微克/立方米~75 微克/立方米之间空气质量为二级;在 75 微克/立方米以上空气质量为超标. 某试点城市环保局从该市市区 2011 年全年每天的 PM2.5 监测数据中随机的抽取 15 天的数据作为样本,监 测值如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶) (Ⅰ)从这 15 天的 PM2.5 日均监测数据中,随机抽出三天,求恰有一天空气质量达到一级的概率; (Ⅱ)从这 15 天的数据中任取三天数据,记ξ 表示抽到 PM2.5 监测数据超标的天数,求ξ 的分布列; (Ⅲ)以这 15 天的 PM2.5 日均值来估计一年的空气质量情况,则一年(按 360 天计算)中平均有多少天的 空气质量达到一级或二级.

?1 ?4

? ?

-5-

解: (Ⅰ) 记 “从 15 天的 PM2.5 日均监测数据中, 随机抽出三天, 恰有一天空气质量达到一级” 为事件 A, ? (1 分) .?(4 分)

(Ⅱ)依据条件,ξ 服从超几何分布:其中 N=15,M=5,n=3,ξ 的可能值为 0,1,2,3,其分布列为: .?(6 分) ξ P 0 1 2 3

?(8 分) (Ⅲ)依题意可知,一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为 一年中空气质量达到一级或二级的天数为η ,则η ~ ∴ , .?(10 分)

,∴一年中平均有 240 天的空气质量达到一级或二级.?(12 分)

26.(本小题满分 12 分)噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质 m 的严重问题,为了了解强度 D(单 位:分贝)与声音能量 I(单位: W/cm2)之间的关系,将测量得到的声音强度 Di 和声音能量 Ii(i=1.2.?, 10)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.

-6-

(Ii﹣ ) 1.04× 10
﹣11

2

(Wi﹣ ) 0.51

2

(Ii﹣ ) (Di﹣ ) (Wi﹣ ) (Di﹣ ) 6.88× 10
﹣11

45.7

﹣11.5

1.56× 10

﹣21

5.1

表中 Wi=lgIi, =

Wi

(I)根据表中数据,求声音强度 D 关于声音能量 I 的回归方程 D=a+blgI; (Ⅱ)当声音强度大于 60 分贝时属于噪音,会产生噪声污染,城市中某点 P 共受到两个 声源的影响,这两个声源的声音能量分别是 I1 和 I2,且

1 1 ? ? 1010 .已知点 P 的声音 I1 I 2

能量等于声音能量 Il 与 I2 之和.请根据(I)中的回归方程,判断 P 点是否受到噪声污染的干扰,并说明 理由. 附:对于一组数据( x1 , y1 ) , ( x2 , y 2 ) ,??( xn , yn ) ,其回归直线 y ? bx ? a 的斜率和截距的最小二 乘估计分别为:

?x ? ? y ?b a

【 解 析 】 ( Ⅰ ) 令 wi ? lg I i , 先 建 立

D 关 于 W 的 线 性 回 归 方 程 , 由 于

-7-

?? b

? (w ? w)( D ? D)
i ?1 i i

10

? (w ? w)
i ?1 i

10

?

2

5.1 ? = D ? bw ? ? 160.7 , ? 10, ?a 0.51

∴ D 关于 W 的线性回归方程是: D=10w ? 160.7 ∴ D 关于 I 的回归方程是: D=10lg I ? 160.7 . (Ⅱ)点 P 的声音能量 I ? I1 ? I 2 ,? 1 ? 4 ? 1010 , I1 I 2

?

??5 分 ??6 分

?

? I ? I1 ? I 2 ? 10?10 (

I 4I 1 4 ? )( I1 ? I 2 ) ? 10?10 (5 ? 2 ? 1 ) ? 9 ?10?10 ,??10 分 I1 I 2 I1 I 2

根据(Ⅰ)中的回归方程,点 P 的声音强度 D 的预报值:

? =10lg(9 ?10?10 ) ?160.7 ? 10lg9 ? 60.7 ? 60 D ,
∴点 P 会受到噪声污染的干扰. ??12 分

-8-


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