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人教版第二学期期中考试题高二数学(理科)-含答案


XX 学校 2013~2014 学年度第二学期中考试试卷 高二 数学(理)
一.选择题(每小题 5 分,共 60 分): 1.设 A、B、C、D 是空间不共面的四个点,且满足 AB · AC =0, AD · AC =0, AD · AB =0, 则△BCD 的形状是( A.钝角三角形 C.锐角三角形 ) B.直角三角形 D.无法确定 ) 座位号

A.-9

B.-12

C.9
2

D.12

9.一个物体的运动方程为 s ? 1 ? t ? t 其中 s 的单位是米, t 的单位是秒,那么物体在 3 秒末的瞬时 速度是( ) A. 7 米/秒 B. 6 米/秒 C. 5 米/秒 D. 8 米/秒 )

10.函数 f(x)的定义域为 R,f(-1)=2,对任意 x∈R,f′(x)>2,则 f(x)>2x+4 的解集为( A.(-1,1) B.(-1,+∞) C.(-∞,-1) D.(-∞,+∞)

11.一物体作变速直线运动,在时刻 t(单位:秒)的速度满足 v (速度单位:米/秒),当 t=3 时距离初始位置 A. 8米 B. 12 米. ) C. e
2

? 2t ? t 2
) D . 18 米

,

( C .15 米

1 2 2.设函数 f(x)= x -9ln x 在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数 a 的取值范围是( 2 A.1<a≤2 C.a≤2 B.a≥4 D.0<a≤3

12.函数 y ?

ln x 的最大值为( x
B. e

3.过双曲线的一个焦点 F2 作垂直于实轴的弦 PQ , F1 是另一焦点,若∠ PF1Q ? 心率 e 等于( A. 2 ? 1
2

?
2

A. e ,则双曲线的离

?1

D.

不存在

选择题答题处 序号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

) B. 2 C. 2 ? 1 D. 2 ? 2

4.抛物线 y ? 2 x 上两点 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y 2 ) 关于直线 且 x1 ? x 2 ? ? A. 2

y ? x ? m 对称,

1 ,则 m 等于( 2
B.

) C.

二.填空题(每小题 5 分,共 20 分)

3 2

5 2

D. 3

13. 曲 线 y ? ln x 在 点 M (e,1) 处的切线的方__________________________________; 14. 设 f ( x) ? x ?
3

5.平面α 的一个法向量 n =(1,-1,0),则 y 轴与平面α 所成的角的大小为( ) π 3π π π A. B. C. D. 6 4 3 4 6.已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=1,AA1=2,E 是侧棱 BB1 的中点,则直线 AE 与平面 A1ED1 所 成角的大小为( ) A.60° B.90° C.45° D.以上都不正确 7.平面α ,β 的法向量分别是 m =(1,1,1), n =(-1,0,-1),则平面α ,β 所成角的余弦值是 ( ) 3 3 6 6 A. B.- C. D.- 3 3 3 3 8.若 f ( x0 ) ? ?3 ,则 lim
'
h ?0

1 2 x ? 2 x ? 5 ,当 x ? [?1,2] 时, f ( x) ? m 恒 成立,则实 数 m 的取值范围为 2

________。 15. 若曲线

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则 k 的取值范围是 4 ? k 1? k



16.已知正三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧棱长与底面边长相等,则 AB1 与侧面 ACC1A1 所成角的正弦等于 ________. 三.解答题(第 17 小题 10 分,其余每小题均 12 分,共 70 分) 17.如图,一矩形铁皮的长为 8cm,宽为 5cm,在四个角上 截去四个相同的小正方形,制成一个无盖的小盒子,问小

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? 3h) ?( h



正方形的边长为多少时,盒子容积最大?

20. 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 在 x ? ? (1)求 a , b 的值与函数 f ( x ) 的单调区间

2 与 x ? 1 时都取得极值 3

(2)若对 x ? [?1, 2] ,不等式 f ( x) ? c2 恒成立,求 c 的取值范围

18.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是菱形,AB=2,∠BAD=60°.

21. 已知顶点在原点,焦点在 x 轴上的抛物线被直线 y ? 2 x ? 1 截得的弦长为 15 ,求抛物线的方 程。 (1)求证:BD⊥平面 PAC; (2)若 PA=AB,求 PB 与 AC 所成角的余弦值; (3)当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时,求 PA 的长.

a 22. 已知函数 f(x)=lnx- . x (1)求函数 f(x)的单调增区间; 19. 已知向量 m1 =(0,x) , n1 =(1,1) , m 2 =(x,0) , n2 =(y ,1) (其中 x,y 是实数) ,又设
2

向量 m = m1 + 2 n2 , n = m 2 - 2 n1 ,且 m ∥ n ,点 P(x,y)的轨迹为曲线 C. (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l : y ? kx ? 1 与曲线 C 交于 M、N 两点,当|MN|=

3 (2)若函数 f(x)在[1,e]上的最小值为 ,求实数 a 的值. 2

4 2 时,求直线 l 的方程. 3

高二数学第二学期(理)期中考试参考答案 一.选择题 题号 答案 1 C 2 A 3 C 4 B 5 D 6 B 7 C 8 B 9 C 10 B 11 D 12 A 则 P(0,- 3,2), A(0,- 3,0),B(1,0,0), C(0, 3,0). 所以

二.填空题 13. x-ey=0 14. (7, ?? ) 6 4

PB =(1, 3,-2),

15.

(??, ?4) (1, ??)

16.

AC =(0,2 3,0),
6 6 设 PB 与 AC 所成角为θ ,则 cosθ == = . 4 2 2×2 3 (3)由(2)知 BC =(-1, 3,0). 设 P(0,- 3,t),(t>0),则 BP =(-1,- 3,t). 设平面 PBC 的法向量 m =(x,y,z),则

三,解答题 17(本题 10 分) 解:设小正方形的边长为 x 厘米,则盒子底面长为 8 ? 2 x ,宽为 5 ? 2 x

BC · m =0, BP · m =0,
?-x+ 3y=0, 所以? ?-x- 3y+tz=0.

V ? (8 ? 2x)(5 ? 2x) x ? 4x3 ? 26x2 ? 40x
V ' ? 12 x 2 ? 52 x ? 40, 令V ' ? 0, 得x ? 1, 或x ? 10 10 ,x? (舍去) 3 3

6 6 令 y= 3,则 x=3,z= .所以 m =(3, 3, ).

t

t

6 同理,平面 PDC 的法向量 n =(-3, 3, ).

t

V极大值 ? V (1) ? 18 ,在定义域内仅有一个极大值,

因为平面 PBC⊥平面 PDC. 36 所以 m · n =0,即-6+ 2 =0.解得 t= 6.

t

?V最大值 ? 18
18.(本题 12 分) (1)因为四边形 ABCD 是菱形, 所以 AC⊥BD. 又因为 PA⊥平面 ABCD.所以 PA⊥BD. 因为 PA∩AC=A,所以 BD⊥平面 PAC. (2)设 AC∩BD=O.因为∠BAD=60°,PA=AB=2, 所以 BO=1,AO=CO= 3. 如图,以 O 为坐标原点,建立空间直角坐标系 O-xyz,

所以 PA= 6. 19(本题 12 分)

(I)由已知, m

? (0, x) ? ( 2 y2 , 2), ? ( 2 y2 , x ? 2),

n ? ( x,0) ? ( 2, 2) ? ( x ? 2, ? 2).

2 m // n, ? 2 y (? 2) ? ( x ? 2)( x ? 2) ? 0

即所求曲线的方程是:

x2 ? y 2 ? 1. 2

? y 2 ? 2 px , 消去 y 得 解:设抛物线的方程为 y ? 2 px ,则 ? ? y ? 2x ?1
2

? x2 ? y 2 ? 1, (Ⅱ)由 ? 消去y得 : (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kx ? 0. ?2 ? y ? kx ? 1. ?
解得 x1=0, x2=

4 x 2 ? (2 p ? 4) x ? 1 ? 0, x1 ? x2 ?

p?2 1 , x1 x2 ? 2 4

? 4k ( x1 , x 2 分别为 M,N 的横坐标). 1 ? 2k 2 4k 4 |? 2, 2 3 1 ? 2k

AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 5 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 5 (

p?2 2 1 ) ? 4 ? ? 15 , 2 4

2 2 由 | MN |? 1 ? k | x1 ? x 2 |? 1 ? k |



p2 ? p ? 3, p 2 ? 4 p ? 12 ? 0, p ? ?2, 或6 4

解得 : k ? ?1.
所以直线 l 的方程 x-y+1=0 或 x+y-1=0. 20.(本题 12 分) 解: (1) f ( x) ? x ? ax ? bx ? c, f ( x) ? 3x ? 2ax ? b
3 2 ' 2

? y 2 ? ?4x,或y 2 ? 12x
22.(本题 12 分) 1 a x+a 【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),且 f′(x)= + 2= 2 . x x x a≥0 时,f′(x)>0,∴f(x)的单调增区间为(0,+∞), a<0 时,令 f′(x)>0,得 x>-a,∴f(x)的单调增区间为(-a,+∞). x+a (2)由(1)可知,f′(x)= 2 , x ①若 a≥-1,则 x+a≥0,即 f′(x)≥0 在[1,e]上恒成立,f(x)在[1,e]上为增函数,∴f(x)min= 3 3 f(1)=-a= ,∴a=- (舍去). 2 2 ②若 a≤-e,则 x+a≤0,即 f′(x)≤0 在[1,e]上恒成立,f(x)在[1,e]上为减函数,∴f(x)min= a 3 e f(e)=1- = ,∴a=- (舍去). e 2 2 ③若-e<a<-1,当 1<x<-a 时,f′(x)<0,

2 12 4 1 ? a ? b ? 0 , f ' (1) ? 3 ? 2a ? b ? 0 得 a ? ? , b ? ?2 由 f (? ) ? 3 9 3 2
'

f ' ( x) ? 3x2 ? x ? 2 ? (3x ? 2)( x ?1) ,函数 f ( x) 的单调区间如下表:

x

2 (??, ? ) 3

?
0

2 3

2 ( ? ,1) 3

1

(1, ??)

f ' ( x)
f ( x)
?

?

?

0
极小值

?
?

极大值 ?

2 2 所以函数 f ( x ) 的递增区间是 (??, ? ) 与 (1, ??) ,递减区间是 ( ? ,1) ; 3 3
(2) f ( x) ? x ?
3

∴f(x)在(1,-a)上为减函数, 当-a<x<e 时,f′(x)>0, ∴f(x)在(-a,e)上为增函数. 3 ∴f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1= ,∴a=- e, 2 综上所述,a=- e.

1 2 2 2 22 x ? 2 x ? c, x ? [?1, 2] ,当 x ? ? 时, f ( ? ) ? ?c 2 3 3 27

2 为极大值,而 f (2) ? 2 ? c ,则 f (2) ? 2 ? c 为最大值,要使 f ( x) ? c , x ?[?1, 2]

恒成立,则只需要 c ? f (2) ? 2 ? c ,得 c ? ?1, 或c ? 2 。
2

21.(本题 10 分)


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