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高二数学文科期末考试试题及答案


渭滨中学 2010-2011-1 高二期末考试数学(文科)
班级: 姓名: 座位号:

一、选择题(每小题 4 分,共 48 分) . 1.命题“若 a ? b ,则 a ? c ? b ? c ”的逆否命题为 A.若 a ? b ,则 a ? c ? b ? c . B.若 a ? b ,则 a ? c ? b ? c . C.若 a ? c ?

b ? c ,则 a ? b . D.若 a ? c ? b ? c ,则 a ? b . 2.已知物体运动的方程是 s ? ?4t ? 16t ( s 的单位: m ; t 的单位: s ) ,则该物体在 t ? 2 s 时的速度为( ) m / s 。 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2

x2 y 2 ? ? 1 上一点 P 到焦点 F1 的距离等于 6 ,则点 P 到另一个焦点 F2 的距离是 100 36 A. 4 B. 194 C. 94 D. 14 2 2 2 4.设 k ? 1 ,则关于 x, y 的方程 (1 ? k ) x ? y ? k ? 1 所表示的曲线是
3.若椭圆 A.长轴在 y 轴上的椭圆 C.实轴在 y 轴上的双曲线 5.抛物线 x ? y 的焦点坐标是
2

B.长轴在 x 轴上的椭圆 D.实轴在 x 轴上的双曲线

1 B. ( 1 ,0) C. (0, 1 ) D. (0, ) 4 4 8 3 6.函数 f ( x) ? x ? 3x ? 1 在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是
A. (1,0) 7. 顶点在原点,坐标轴为对称轴的抛物线过点 ? ?2,3? ,则它的方程是 A. x ? ?
2

A. 1 , ? 17

B. 3 , ? 17

C. 1 , ? 1

D. 9 , ? 19

9 4 y 或 y2 ? x 2 3

B. y ? ?
2

4 y 3 8.已知函数 y ? f ? x ? 的导函数的图象如图甲所示,则
C. x ?
2

9 4 x 或 x2 ? y 2 3 9 2 D. y ? ? x y 2
O x y x C O D
a

y ? f ? x ? 的图象可能是
y O A 9. 命题甲: “双曲线 C 的方程为 那么,甲是乙的 A.充分不必要条件; x y O B x y O



x

x a

2 2

?

y b

2 2

b ? 1” ; 命题乙: “双曲线 C 的渐近线方程为 y ? ? x ” 。

B.必要不充分条件;
1

C.充要条件; 10.函数 y ? ?2 x ? x 的单调递减区间是
3

D.既不充分也不必要条件
6 ,??) 3 6 6 )?( ,??) 3 3 6 6 , ) 3 3

A. (??,?

6 ) 3

B. (

C. (??,?

D. (?

11.命题 p : “0 是自然数” ;命题 q : “ 10 是无理数” 。则在命题① p且q ;② p或q ;③ ?p ; ④ ?q 中真命题的个数是 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 12.已知 a ? b ? 0 ,e1、 e2 分别为圆锥曲线 的值 A.一定是正数 B.一定是负数

x2 y 2 x2 y2 ? ? 1 ? ? 1 的离心率,则 lg e1 ? lg e2 和 a 2 b2 a 2 b2
C.一定是零 D.以上答案均不正确

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13.曲线 y ? 2 x ? x 在点(1,1)处的切线方程为___
3

_______。

14.焦点在 x 轴上,且一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,焦距为 6 的椭圆方程为 。 1 15.函数 f ( x) ? ln x ? x 2 的单调递增区间是 。 2 2 2 16. 过双曲线 x ? y ? 8 的右焦点 F2 有一条弦 PQ , PQ ? 7 , F1 是左焦点,那么 ?F1 PQ 的周长 为___ _______。 三、解答题(共 36 分) 。 2 2 y x 17.求以椭圆 (8 分) ? ? 1 的焦点为焦点,离心率为 2 的双曲线的标准方程。 25 9 3 18.设函数 f ( x) ? 4 x 3 ? ax2 ? bx ? 5 在 x ? 与 x ? ?1 时有极值。 (10 分) 2 (1)写出函数的解析式; (2)指出函数的单调区间; (3)求 f ( x) 在[ ? 1, 2 ]上的最值。 19.在平面直角坐标系中 xOy 中,点 P 到两点 (0,? 3 ) 、 (0, 3 ) 的距离之和等于 4。设点 P 的 轨迹为 C 。 (10) (1)写出 C 的方程; (2)设直线 y ? kx ? 1 与 C 交于 A、B 两点,问 k 为何值时 OA ⊥ OB ?此时 AB 的值是多 少?
20 .一段双行道隧道的横截面边界由椭圆的上半部分和矩形的三
2m

边组成,如图所示.一辆卡车运载一个长方形的集装箱,此箱 平放在车上与车同宽,车与箱的高度共计 4.2 米,箱宽 3 米, 若要求通过隧道时, 车体不得超过中线.试问这辆卡车是否能 通过此隧道,请说明理由.(8 分)
10m 3m

2

渭滨中学 2010-2011-1 高二期末考试数学(文科)答案
一、选择题:DADCD BBDAD BB 二、填空题 13、 x ? y ? 2 ? 0 14、

x2 y2 ? ?0 18 9

15、 (0, 1)

16、 8 2 ? 14

三、解答题: x2 y2 17.椭圆 ( 4,0) ? ? 1 的焦点坐标为 (?4,0) , 25 9 故,所求双曲线的半焦距 c ? 4 ,因为离心率 e ?

c ? 2 ,所以 a ? 2 a

? a 2 ? 4 , b 2 ? c 2 ? a 2 ? 12 x2 y2 故,所求双曲线的方程为 ? ?1 4 12
18. (1) f ( x) ? 12 x ? 2ax ? b ,由题意设函数 f ( x) 在 x ?
` 2

3 与 x ? ?1 时有极值 2

3 ? b ? 0 且 f ` (1) ? 12 ? 2 ? b ? 0 2 联立上面两个方程并解之得: a ? ?3 , b ? ?18 3 2 即函数 f ( x) 的解析式为 f ( x) ? 4 x ? 3x ? 18 x ? 5
所以 f ( ) ? 12 ? ( ) ? 2a ?
` 2

3 2

3 2

(2)由(1)可知 f ( x) ? 12 x ? 6 x ? 18 ? 6(2 x ? 3)( x ? 1)
` 2

3 3 ` ;再令 f ( x) ? 0 ,解得 ? 1 ? x ? 2 2 3 3 2 所以函数 f ( x) ? 4 x ? 3x ? 18 x ? 5 的递增区间为 (??,?1) 和 ( ,?? ) ; 2 3 递减区间为 (?1, ) 2 3 (3)因为 f ( ) ? f (1) ? f (?1) ? f (2) ? 2 3 61 所以 f ( x) max ? f (?1) ? 16 , f ( x) min ? f ( ) ? ? 2 4 ? 3),, (0 3) 为焦点, 19. (Ⅰ)设 P(x,y) ,由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以 (0,
令 f ( x) ? 0 解得 x ? ?1 或 x ?
`

长半轴为 2 的椭圆.它的短半轴 b ?

22 ? ( 3) 2 ? 1 ,

y2 ? 1. 故曲线 C 的方程为 x ? 4
2

? 2 y2 ? 1, ?x ? (Ⅱ)设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) ,其坐标满足 ? 4 ? y ? kx ? 1. ?
3

消去 y 并整理得 (k ? 4) x ? 2kx ? 3 ? 0 ,
2 2

2k 3 ,x1 x2 ? ? 2 k ?4 k ?4 ??? ? ??? ? 由于 OA ? OB ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .
故 x1 ? x2 ? ?
2

而 y1 y2 ? k x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 ,
2

3 3k 2 2k 2 ?4k 2 ? 1 . ? ? ? 1 ? k2 ? 4 k2 ? 4 k2 ? 4 k2 ? 4 ??? ? ??? ? 1 所以 k ? ? 时, x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,故 OA ? OB . 2 1 4 12 当 k ? ? 时, x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? ? . 2 17 17 ???? ? AB ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 ) 2 ,
于是 x1 x2 ? y1 y2 ? ? 而 ( x2 ? x1 ) ? ( x2 ? x1 ) ? 4 x1 x2
2 2

42 4 ? 3 43 ?13 ? 4 ? ? , 172 17 172 ???? ? 4 65 所以 AB ? . 17 ?
20.可以通过 解:建立如图所示坐标系,坐 标原点 O 在椭圆的中心, 焦点 在 x 轴上。 由题意可知,椭圆长轴长 2a ? 10 ,短半轴长 b ? 2 所以, a ? 25 , b ? 4 。
2 2

y

G H

x2 y2 ? ?1 所以椭圆方程为 25 4

A

O

B

x

因为车辆通过隧道时,车体不 得超过中线,即通过隧道时, D 车体最多压着隧道中线,如图 所示阴影部分。 图中 EH 为车辆通过隧道时 的竖直高度。 由题意可知, E (3,?3) , H (3,1.2) 则有, EG ? yG ? y E ? 4.6 , EH ? y H ? y E ? 4.2

E

C

取与 EH 在同一竖直面上隧道顶部的点 G ,则, xG ? 3 ,代入椭圆方程计算得 y G ? 1.6 因为 EG ? EH ,即车辆通过隧道时,车顶高度低于隧道顶部,因此车辆可以通过。
4


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