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2011届数学高考复习名师精品教案:第05课时:第一章 集合与简易逻辑-简易逻辑


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第 05 课时:第一章 一.课题:简易逻辑

集合与简易逻辑——简易逻辑

二. 教学目标: 了解命题的概念和命题的构成; 理解逻辑联结词 “或” “且” “非” 的含义;理解四种命题及其互相关系;反证法在证明过程中的应用. 三.教学重点:复合命题的构成及其真假的判断,四

种命题的关系. 四.教学过程: (一)主要知识: 1.理解由“或”“且”“非”将简单命题构成的复合命题; 2.由真值表判断复合命题的真假; 3.四种命题间的关系. (二)主要方法: 1.逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的并集、交集、补集有着密切的关 系,解题时注意类比; 2.通常复合命题“ p 或 q ”的否定为“ ? p 且 ? q ”、“ p 且 q ”的否定为“ ? p 或 ? q ”、“全为”的否定是“不全为”、“都是”的否定为“不都是”等等; 3. 有时一个命题的叙述方式比较的简略, 此时应先分清条件和结论, 该写成 “若 p , 则 q ”的形式; 4.反证法中出现怎样的矛盾,要在解题的过程中随时审视推出的结论是否与题 设、定义、定理、公理、公式、法则等矛盾,甚至自相矛盾. (三)例题分析: 例 1.指出下列命题的构成形式及构成它的简单命题,并判断复合命题的真假: (1)菱形对角线相互垂直平分. (2)“ 2 ? 3 ” 解:(1)这个命题是“ p 且 q ”形式, p : 菱形的对角线相互垂直; q : 菱形的对角 线相互平分, ∵ p 为真命题, q 也是真命题 ∴ p 且 q 为真命题.
2?3

(2)这个命题是“ p 或 q ”形式, p : ∵ p 为真命题, q 是假命题

;q : 2

?3



∴ p 或 q 为真命题.

注: 判断复合命题的真假首先应看清该复合命题的构成形式,然后判断构成它的 简单命题的真假,再由真值表判断复合命题的真假. 例 2.分别写出命题“若 x 2
? y ? 0
2

,则 x , y 全为零”的逆命题、否命题和逆否

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命题. 解:否命题为:若 x 2
? y ? 0
2

,则 x , y 不全为零
? y ? 0
2

逆命题:若 x , y 全为零,则 x 2

逆否命题:若 x , y 不全为零,则 x 2

? y ? 0
2

注:写四种命题时应先分清题设和结论. 例 3.命题“若 m
? 0 ,则 x ? x ? m ? 0
2

有实根”的逆否命题是真命题吗?证明你

的结论. 解:方法一:原命题是真命题, ∵ m ? 0 ,∴ ? ? 1 ? 4 m ? 0 , 因而方程 x 2 真命题; 又因原命题与它的逆否命题是等价的,故命题“若 m 根”的逆否命题是真命题. 方法二: 原命题 “若 m 无实根,则 m ∴?
?0 ?0

? x?m ? 0

有实根,故原命题“若 m

? 0 ,则 x ? x ? m ? 0
2

有实根”是

,则 x 2

? x?m ?0

有实

m ? 0 , x ?x ? ? 则
2

0

有实根” 的逆否命题是 “若 x 2

? x?m ? 0

”.∵ x 2
1 4

? x?m ? 0

无实根

? 1 ? 4m ? 0 即 m ? ?

? 0

,故原命题的逆否命题是真命题.
? m x ? 1 ? 0 有两个不相等

例 4.(考点 6 智能训练 14 题)已知命题 p :方程 x 2 的实负根,命题 q :方程 4 x 2 假,求实数 m 的取值范围.
? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0

无实根;若 p 或 q 为真, p 且 q 为

分析:先分别求满足条件 p 和 q 的 m 的取值范围,再利用复合命题的真假进行转 化与讨论. 解:由命题
?? ? m ? 4 ? 0 p 可以得到: ? ?m ? 0
2

∴m

? 2

由命题 q 可以得到: ?

? [ 4 ( m ? 2 )] ? 1 6 ? 0
2

∴ ?2 ?

m ? 6

∵ p 或 q 为真, p 且 q 为假 当 p 为真, q 为假时, ?
?m ? 2

p, q

有且仅有一个为真
? m ? 6

? m ? ? 2, orm ? 6

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当 p 为假, q 为真时, ?

?m ? 2 ??2 ? m ? 6
|m ? 6

? ?2 ? m ? 2

所以, m 的取值范围为 { m

或 ?2 ?

m ? 2} .

例 5.(《高考 A 计划》考点 5 智能训练第 14 题)已知函数 的任意两个数 a , b ,当 a 根. 解:假设
f (x) ? 0

f ( x)

对其定义域内 至多有一个实

? b

时,都有

f ( a ) ? f ( b ) ,证明: f ( x ) ? 0

至少有两个不同的实数根 x1 , x 2 ,不妨假设 x1
f ( x1 ) ? 0, f ( x 2 ) ? 0

? x2 ,

由方程的定义可知: 即
f ( x1 ) ? f ( x 2 )

由已知 x1

? x 2 时,有 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 这与式①矛盾

因此假设不能成立 故原命题成立. 注:反证法时对结论进行的否定要正确,注意区别命题的否定与否命题. 例 6.(《高考 A 计划》考点 5 智能训练第 5 题)用反证法证明命题:若整数系 数一元二次方程: a x 2
? b x ? c ? 0 ( a ? 0 ) 有有理根,那么 a , b , c

中至少有一个是偶

数,下列假设中正确的是( A.假设 a , b , c 都是偶数 C.假设 a , b , c 至多有一个是偶数 (四)巩固练习:

) B.假设 a , b , c 都不是偶数 D.假设 a , b , c 至多有两个是偶数

1.命题“若 p 不正确,则 q 不正确”的逆命题的等价命题是 A.若 q 不正确,则 p 不正确 C 若 p 正确,则 q 不正确 2.“若 b 2
? 4ac ? 0





B. 若 q 不正确,则 p 正确 D. 若 p 正确,则 q 正确
? b x ? c ? 0 没有实根”,其否命题是

,则 a x 2





A 若 b 2 ? 4 a c ? 0 ,则 a x 2 B 若b2
? 4ac ? 0

? b x ? c ? 0 没有实根 ? b x ? c ? 0 有实根
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,则 a x 2

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C 若 b 2 ? 4 a c ? 0 ,则 a x 2 D 若b2
? 4ac ? 0

? b x ? c ? 0 有实根 ? b x ? c ? 0 没有实根

,则 a x 2

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