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2014江苏数学模拟卷四


2014 江苏数学模拟卷(四) (时间:120 分钟 满分:160 分)

一、填空题(本题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.过定点 P(1,2)的直线在 x 轴与 y 轴正半轴上的截距分别为 a、b,则 4a2+b2 的最小值为________. 2.设圆 x2+y2=1 的一条切线与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B,则线段 AB 长度的 最小值为________. 3.已知圆 C:(x-2)2+(y+1)2=2,过原点的直线 l 与圆 C 相切,则所有切线的 斜率之和为________. π 1 4.若 0≤θ≤2,当点(1,cos θ)到直线 xsin θ+ycos θ-1=0 的距离是4时,这条 直线的斜率为________. x2 y2 5.P 为双曲线 9 -16=1 的右支上一点,M、N 分别是圆(x+5)2+y2=4 和(x-5)2 +y2=1 上的点,则 PM-PN 的最大值为________. 6.双曲线 C:x2-y2=1,若双曲线 C 的右顶点为 A,过 A 的直线 l 与双曲线 C → → 的两条渐近线交于 P,Q 两点,且PA=2AQ,则直线 l 的斜率为________. 7.已知圆 O 的方程为 x2+y2=2,圆 M 的方程为(x-1)2+(y-3)2=1,过圆 M 上 任一点 P 作圆 O 的切线 PA,若直线 PA 与圆 M 的另一个交点为 Q,则当弦 PQ 的长度最大时,直线 PA 的斜率是________. 8. (2012· 南通模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0, B(-2,0), 2), C(1,0), 分别以△ABC 的边 AB、AC 向外作正方形 ABEF 与 ACGH,则直线 FH 的一 般式方程为________.

9.(2012· 南通模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,过点 A1(x1,0)、A2(x2,0)分别作 x 轴

′ ′ 的垂线与抛物线 x2=2y 分别交于点 A′、 ′, 1 A2 直线 A1 A2 与 x 轴交于点 A3(x3,0),

这样就称 x1、x2 确定了 x3.同样,可由 x2、x3 确定 x4,?,若 x1=2,x2=3, 则 x5=________. 10.(2012· 无锡模拟)如图所示,直线 x=2 与双曲线 x2 2 → C∶ 4 -y =1 的渐近线交于 E1,E2 两点,记OE1=e1, → OE2=e2,任取双曲线 C 上的点 P,若OP=ae1+be2, 则实数 a 和 b 满足的一个等式是________. y2 → → 11. F1、 2 分别是双曲线 x - 9 =1 的左、 设 F 右焦点, 若点 P 在双曲线上, 且PF1· 2 PF
2

→ → =0,则|PF1+PF2|等于________. b x2 y2 12.设 P 为直线 y=3ax 与双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)左支的交点,F1 是左焦 点,PF1 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率 e=________. 13.已知双曲线 x2-y2=1,点 F1,F2 为其两个焦点,点 P 为双曲线上一点,若 PF1⊥PF2,则|PF1|+|PF2|的值为________. x2 y2 14.已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的左右两焦点分别为 F1,F2,P 是椭圆 C → FF → PF → 上的一点,且在 x 轴的上方,H 是 PF1 上一点,若PF2·→ 2=0,OH· 1=0, 1 ?1 1? → → |OH|=λ|OF|,λ∈?3,2?(其中 O 为坐标原点).则椭圆 C 离心率 e 的最大值为 ? ? ________. 二、解答题(本题共 6 小题,共 90 分) 15.(本小题满分 14 分)(2012· 南通模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,设 A、B 是双 y2 曲线 x - 2 =1 上的两点,M(1,2)是线段 AB 的中点,线段 AB 的垂直平分线
2

与双曲线相交于 C、D 两点. (1)求直线 AB 与 CD 的方程; (2)判断 A、B、C、D 四点是否共圆?若共圆,请求出圆的方程;若不共圆, 请说明理由. x2 16.(本小题满分 14 分)已知椭圆 C:m2+y2=1(常数 m>1),P 是曲线 C 上的动

点,M 是曲线 C 的右顶点,定点 A 的坐标为(2,0). (1)若 M 与 A 重合,求曲线 C 的焦点坐标; (2)若 m=3,求 PA 的最大值与最小值; (3)若 PA 的最小值为 MA,求实数 m 的取值范围. x2 y2 17.(本小题满分 14 分)(2012· 淮阴、海门、天一中学联考)已知椭圆 C∶a2+b2= 2 1(a>b>0)的离心率为 2 ,一条准线 l∶x=2. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 O 为坐标原点,M 是 l 上的点,F 为椭圆 C 的右焦点,过点 F 作 OM 的 垂线与以 OM 为直径的圆 D 交于 P,Q 两点. ①若 PQ= 6,求圆 D 的方程; ②若 M 是 l 上的动点,求证点 P 在定圆上,并求该定圆的方程. 18.(本小题满分 16 分)(2011· 南京模拟)在直角坐标系 xOy 中,中心在原点 O, 焦点在 x 轴上的椭圆 C 上的点(2 2,1)到两焦点的距离之和为 4 3. (1)求椭圆 C 的方程; (2)过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 与椭圆 C 分别交于 A,B 两点,其中点 A 在 → → x 轴下方,且AF=3FB.求过 O,A,B 三点的圆的方程. x2 y2 19.(本小题满分 16 分)(2012· 南通、泰州、扬州调研)已知椭圆a2+b2=1(a>b> 0)的右焦点为 F1(2,0),离心率为 e. 2 (1)若 e= 2 ,求椭圆的方程; (2)设 A, 为椭圆上关于原点对称的两点, 1 的中点为 M, 1 的中点为 N, B AF BF 若原点 O 在以线段 MN 为直径的圆上. ①证明点 A 在定圆上; ②设直线 AB 的斜率为 k,若 k≥ 3,求离心率 e 的取值范围. 20.(本小题满分 16 分)(2011· 苏州调研)如图, x2 y2 椭圆 4 + 3 =1 的左焦点为 F,上顶点为 A, 过点 A 作直线 AF 的垂线分别交椭圆、x 轴

于 B、C 两点. → → (1)若AB=λBC,求实数 λ 的值; (2)设点 P 为△ACF 的外接圆上的任意一点,当△PAB 的面积最大时,求点 P 的坐标.

参考答案 2014 江苏数学模拟卷(四)
1. 解析 x y 1 2 由题意设a+b=1(a>0, b>0), 过定点 P(1,2), a+b=1, ab≥8(当 则 得 且仅当“2a=b”时取“=”), 所以 4a2+b2≥4ab≥32(当且仅当“2a=b”时 取“=”). 答案 32 2 2 x y |ab| 2 2 2 2 ?a +b ? ? 2.解析 设切线方程为a+b=1,则 2 =1,于是有 a +b =a b ≤? ? 2 ? a +b2 ,得 a2+b2≥4,从而线段 AB 长度为 a2+b2≥2,其最小值为 2. 答案 2 3.解析 依题意,知切线 l 的斜率存在,设为 k, 则 l 的方程为 y=kx. |2k+1| 由 2 = 2,得 2k2+4k-1=0, k +1 6 6 解得 k1=-1- 2 ,k2=-1+ 2 , ? 6? ? 6? 于是,k1+k2=?-1- ?+?-1+ ?=-2. 2? ? 2? ? 答案 -2 |sin θ+cos2θ-1| |sin θ-sin2θ| 4.解析 d= = 1 sin2θ+cos2θ 1 =sin θ-sin2θ=4. 1 2 即 4sin2θ-4sin θ+1=0,∴sin θ=2.又 0≤θ≤2, 3 ∴cos θ= 2 ,∴直线方程为 x+ 3y-2=0. 3 ∴k=- 3 . 3 答案 - 3 5.解析 设双曲线的两个焦点分别是 F1(-5,0)与 F2(5,0),则这两点正好是两圆 的圆心,当且仅当点 P 与 M、F1 三点共线以及 P 与 N、F2 三点共线时所求的 值最大,此时 PM-PN=(PF1+2)-(PF2-1)=6+3=9 答案 9 6.解析 双曲线 C:x2-y2=1 的渐近线方程为 y=± x,即 x± y=0.
2

可以求得 A(1,0),设直线 l 的斜率为 k,∴直线 l 的方程为 y=k(x-1),分别 k ? k ? ? k ? k 与渐近线方程联立方程组,可以求得 P ?k-1,k-1? ,Q ?k+1,-k+1? 或 ? ? ? ? k ? k ? ? k ? k → → P?k+1,-k+1?,Q?k-1,k-1?,利用条件PA=2AQ,可以求得 k=± 3. ? ? ? ? 答案 ± 3 7.解析 由题意知本题等价于求过圆 M:(x-1)2+(y-3)2=1 的圆心 M(1,3)与 圆 O:x2+y2=2 相切的切线的斜率 k. |3-k| 设切线 l:y-3=k(x-1),l:kx-y+3-k=0,由题意知 2= ,k=- 1+k2 7 或 k=1. 答案 -7 或 1 8.解析 易得 F(-2,4),H(2,3),则直线 FH 的方程为 x+4y-14=0. 答案 x+4y-14=0 1 ? 1 1 2 ? ? ? 9.解析 设 A′?xn,2x2?、A′+1?xn+1,2x2+1?,则割线 A′A′+1的方程为:y-2xn= n n n n n n ? ? ? ? 1 2 1 2 2xn+1-2xn (x-xn), xn+1-xn xn+1xn 1 1 1 1 5 1 7 1 令 y=0 得 xn+2= ,即 = +x ,不难得到x =6,x =6,x =2. xn+1+xn xn+2 xn+1 n 3 4 5 1 所以 x5=2. 1 答案 2 x ? 2 ?a+b= 0 2 , [2?a+b?] 10. 解析 可求出 e1=(2,1),2=(2, e -1), P(x0,0), ? 设 y 则 ∴ 4 ?a-b=y0 ? 1 -(a-b)2=1,∴ab=4. 1 答案 ab=4 → PF → → → 11.解析 如图,由PF · =0,可得PF ⊥PF ,
1 2 1 2

又由向量加法的平行四边形法则可知?PF1QF2 为矩形,因为矩形的对角线相等,故有 → → → |PF +PF |=|PQ|=2c=2 10.
1 2

答案

2 10 b ?y=3ax ? 由? 2 x y2 ? ?a2-b2=1

12.解析

?x=-3 4 2a ? 得? ?y=- 42b ?

3 2 ,又 PF1 垂直于 x 轴,所以 4 a

c 3 2 =c,即离心率为 e=a= 4 .

3 2 4 13.解析 由双曲线的方程可知 a=1,c= 2, ∴||PF1|-|PF2||=2a=2, ∴|PF1|2-2|PF1||PF2|+|PF2|2=4. ∵PF1⊥PF2,∴|PF1|2+|PF2|2=(2c)2=8, ∴2|PF1||PF2|=4, ∴(|PF1|+|PF2|)2=8+4=12,∴|PF1|+|PF2|=2 3. 答案 2 3 14.解析 由题意知 PF2⊥F1F2,OH⊥PF1,则有△F1OH 与△F1PF2 相似, |OH| |PF2| 所以|OF |=|F P|=λ,设 F1(-c,0),F2(c,0),c>0, 1 1 P(c,y1), c2 y2 b2 b2 1 则有a2+b2=1,解得 y1= a ,所以|PF2|=y1= a . b2 根据椭圆的定义得:|F1P|=2a-|PF2|=2a- a , b2 b2 2λ ∴λ= 2 ,即a2= , 2a -b2 1+λ c2 b2 2 2 ?1 1? 2 所以 e =a2=1-a2= -1,显然 e2= -1 在?3,2?上是单调减函数, ? ? 1+λ 1+λ 1 1 2 当 λ=3时,e2 取最大值2,故 e 的最大值为 2 . 2 答案 2 y2 2 15 . (1) 解 设 A(x1 , y1) , 则 B(2 - x1,4 - y1) , 代 入 双 曲 线 x - 2 = 1 得 2 2 y1 ?x1- 2 =1, ? ?x1=-1, ?x1=3, 解得? 或? 即 A、B 的坐标为 ? ?4-y1?2 ?y1=0 ?y1=4, 2 ??2-x1? - 2 =1, ? 答案 (-1,0)、(3,4), 所以 AB:y=x+1,CD:y=-x+3; (2)A、B、C、D 四点共圆,证明如下: y2 2 证明 由 y=-x+3 与 x - =1 联立方程组可得 2 C、D 的坐标分别为(-3-2 5,6+2 5)、(-3+2 5,6-2 5), 由三点 A、B、C 可先确定一个圆(x+3)2+(y-6)2=40①, 经检验 D(-3+2 5,6-2 5)适合①式,所以 A、B、C、D 四点共圆. x2 16.解 (1)由题意知 m=2,椭圆方程为 4 +y2=1,c= 4-1= 3, ∴左、右焦点坐标分别为(- 3,0),( 3,0). x2 2 (2)m=3,椭圆方程为 9 +y =1,设 P(x,y),则

x2 8? 9? 1 ? PA2=(x-2)2+y2=(x-2)2+1- 9 =9?x-4?2+2(-3≤x≤3) ? 9 2 ∴当 x=4时,PAmin= 2 ;当 x=-3 时,PAmax=5. (3)设动点 P(x,y),则 x2 PA2=(x-2)2+y2=(x-2)2+1-m2 2m2 ? m2-1? 4m2 x- 2 ?2- 2 = m2 ? m -1 +5(-m≤x≤m). ? ? m -1 m2-1 ∵当 x=m 时,PA 取最小值,且 m2 >0, 2m2 ∴ 2 ≥m 且 m>1,解得 1<m≤1+ 2. m -1 c ?a= 22 ? (1)由题设:? 2 a ? c =2 ? ?a= 2 ,∴? ,∴b2=a2-c2=1, ?c=1

17.解

x2 ∴椭圆 C 的方程为: 2 +y2=1. (2)①由(1)知:F(1,0),设 M(2,t), t? t2 ? 则圆 D 的方程:(x-1)2+?y-2?2=1+ 4 , ? ? 直线 PQ 的方程:2x+ty-2=0, 2 ?? ?? t 2 t ? ??2+ 2 -2??2 ? ? ? = 6, ?1+ 4 ?-? ∵PQ= 6,∴2 ? ? 2 ? 4+t ? ? 2 ∴t =4,∴t=± 2. ∴圆 D 的方程:(x-1)2+(y-1)2=2 或(x-1)2+(y+1)2=2. ②设 P(x0,y0), t t2 ? ??x0-1?2+?y0- ?2=1+ ? ? 2? 4 , ? 由①知:? ?2x +ty -2=0 ?
0 0

即:? , ?2x0+ty0-2=0 2 消去 t 得:x2+y0=2, 0 ∴点 P 在定圆 x2+y2=2 上. x2 y2 18.解 (1)由题意,设椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0),则 2a=4 3,a=2 3. x2 y2 8 1 因为点(2 2,1)在椭圆a2+b2=1 上,所以12+b2=1,解得 b= 3. x2 y2 所以所求椭圆的方程为12+ 3 =1. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2)(y1<0,y2>0). 点 F 的坐标为 F(3,0).

2 2 ?x0+y0-2x0-ty0=0

?3-x1=3?x2-3?, → → 则AF=3FB,得? ?-y1=3y2, ?x1=-3x2+12, 即? ① ?y1=-3y2. 又点 A,B 在椭圆 C 上,
2+12? ??-3x12 +?-3y2? =1, ? 3 所以? 2 x2 y2 ?12+ 32=1, ? 2 2

?x2=10, ? 3 解得? 2 ?y2= 3 . ?
?10 2? 所以 B? , ?,代入①,得点 A 的坐标为(2,- 2). 3? ?3 → AB → 因为OA· =0,所以 OA⊥AB. 所以过 O,A,B 三点的圆就是以 OB 为直径的圆. 10 2 其方程为 x2+y2- 3 x- 3 y=0. 2 19.解 (1)由 e= 2 ,c=2,得 a=2 2,b=2. x2 y2 所求椭圆方程为 8 + 4 =1. (2)设 A(x0,y0),则 B(-x0,-y0), y0? ?x0+2 y0? ?2-x0 故 M? , 2 ?,N? 2 ,- 2 ?. ? 2 ? ? ? → ON → ①由题意,得OM· =0. 化简,得 x2+y2=4,所以点 A 在以原点为圆心,2 为半径的圆上. 0 0

?y0=kx0, 2 ?x2 y0 0 ②设 A(x0,y0),则?a2+b2=1, ?x2+y2=4 ?0 0
k2(2e2-1)=e4-2e2+1.

2 2 2 ?x0 k x0 ? 2+ 2 =1, b ??a 2 2 ?x0+k2x0=4 ?

1 k2 1 ?a2+b2=4(1+k2).

c 2 4 将 e=a=a,b2=a2-c2=e2-4,代入上式整理,得 2 因为 e4-2e2+1>0,k2>0,所以 2e2-1>0,e> 2 . 4 2 4 2 ?e -8e +4≥0, 2 e -2e +1 所以 k = ≥3.化简,得? 2 2e2-1 ?2e -1>0. 1 2 解之,得2<e2≤4-2 3, 2 <e≤ 3-1.

? 2 ? 故离心率的取值范围是? , 3-1?. 2 ? ? 20.解 (1)由条件,得 F(-1,0),A(0, 3),直线 AF 的斜率 k1= 3.因为 AB⊥ AF, 3 所以直线 AB 的斜率为- 3 . 3 则直线 AB 的方程为 y=- 3 x+ 3. 令 y=0,得 x=3. 所以点 C 的坐标为(3,0).

?y=- 33x+ ? 由? 2 2 x y ? 4 + 3 =1, ?

3, 得 13x2-24x=0,

24 解得 x1=0(舍),x2=13. ?24 5 3? ?. 所以点 B 的坐标为? , ?13 13 ? → → 因为AB=λBC, AB 所以 λ>0,且 λ=BC. 24 13 8 所以 λ= = . 24 5 3-13 (2)因为△ACF 是直角三角形, 所以△ACF 外接圆的圆心为 D(1,0),半径为 2. 所以圆 D 的方程为(x-1)2+y2=4. 因为 AB 是定值, 所以当△PAB 的面积最大时,点 P 到直线 AC 的距离最大. 过点 D 作直线 AC 的垂线 m,则点 P 为直线 m 与圆 D 的交点, 如图所以直线 m 的方程为 y= 3(x-1). 代入圆 D 的方程,得(x-1)2+ 3(x-1)2=4. 所以 x=0,或 x=2(舍). 则点 P 的坐标为(0,- 3).


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