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【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题:单元评估检测(十)计数原理与概率


单元评估检测(十)
第十章 (120 分钟 150 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的 四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学 参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概 率为 ( A. ) B. C. D.

【解析】选 A.记 3 个兴趣小组分别为 1,2,3,甲参加兴趣小组 1,2,3 分 别记为?甲 1? 、 ?甲 2? 、 ?甲 3?,乙参加兴趣小组 1,2,3 分别记为?乙 1? 、 ?乙 2? 、 ?乙 3?,则基本事件为?(甲 1,乙 1);(甲 1,乙 2);(甲 1, 乙 3);(甲 2,乙 1);(甲 2,乙 2);(甲 2,乙 3);(甲 3,乙 1);(甲 3,乙 2);(甲 3,乙 3)?,共 9 个,记事件 A 为?甲、乙两位同学参加同一个兴 趣小组?,其中事件 A 有?(甲 1,乙 1);(甲 2,乙 2);(甲 3,乙 3)?,共 3 个.因此 P(A)= = . 2.(2015·芜湖模拟)一名同学先后投掷一枚骰子两次,第一次向上的点 数记为 x,第二次向上的点数记为 y,在直角坐标系 xOy 中,以(x,y)为坐 标的点落在直线 2x+y=8 上的概率为 ( A. B. C. ) D.

【解析】 选 B.依题意,以(x,y)为坐标的点共 6×6=36 个,其中落在直线 2x+y=8 上的点有(1,6),(2,4),(3,2),共 3 个,故所求事件的概率

-1-

P= = . 3.(2015·西安模拟)已知随机变量 X+Y=8,若 X~B(10,0.6),则 EY,DY 分别是 ( A.6 和 2.4 C.2 和 5.6 B.2 和 2.4 D.6 和 5.6 )

【解析】选 B.因为 X~B(10,0.6), 所以 EX=10×0.6=6,DX=10×0.6×0.4=2.4, 因为 X+Y=8, 所以 EY=E(8-X)=2,DY=D(8-X)=2.4. 4.在线段 AB 上任取一点 P,以 P 为顶点,B 为焦点作抛物线,则该抛物线 的准线与线段 AB 有交点的概率是 ( A. B. C. ) D.

【解析】 选 B.由题意,要使该抛物线的准线与线段 AB 有交点,则需使点 P 在线段 AB 的中点与 B 之间,故由几何概型得,所求概率为 P= . 5.若(x+2+m)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+?+a9(x+1)9,且(a0+a2+? +a8)2-(a1+a3+?+a9)2=39,则实数 m 的值为 ( A.1 或-3 B.-1 或 3 C.1 ) D.-3

【解析】选 A.令 x=0,得到 a0+a1+a2+…+a9=(2+m)9,令 x=-2,得到 a0-a1+a2-a3+…-a9=m9,所以有(2+m)9m9=39,即 m2+2m=3,解得 m=1 或-3. 6.(2015· 武汉模拟)如图,矩形 OABC 内的阴影部分由曲线 f(x)=sinx(x ∈(0,π ))及直线 x=a(a∈(0,π ))与 x 轴围成,向矩形 OABC 内随机投掷

-2-

一点,若落在阴影部分的概率为 ,则 a 的值为 (

)

A.

B.

C.

D.

【解析】选 B.依题意,阴影部分的面积为 =-cosa+cos0=1-cosa, 由几何概型知 = ,整理得 cosa=- ,而 a∈(0,π),故 a= .

7.(2015·延安模拟)某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品 在货架上排成一排,其中甲、乙两种必须排在一起,而丙、丁两种不能 排在一起,不同的排法共有 ( A.32 种 B.12 种 ) C.24 种 D.36 种

【解析】 选 C.甲、 乙排在一起,用捆绑法,丙、 丁不排在一起,用插空法, 不同的排法共有 2 · =24(种).

8.(2015·南昌模拟)若直线 3x+(a+1)y-1=0 与直线 ax-2y+1=0 互相垂 直,则 A.40 展开式中 x 的系数为 ( B.-10 C.10 ) D.-40 =-1,解得 a=2. ·25-r·(-1)rx10-3r,

【解析】选 D.由题意可得 · 则 =

的通项公式为 Tr+1=

令 10-3r=1,求得 r=3,故

展开式中 x 的系数为-10×4=-40.

9.盒子中放着编号为 1,2,3,4,5 的形状和大小完全相同的 5 个白球和 5 个黑球,从中任意取出 3 个,则取出球的编号互不相同的概率为
-3-

( A.

) B. C. D.

【解析】选 D.根据题意,盒子中共有 10 个球,从中任意取出 3 个,有 =120 种取法,若取出的 3 个球编号互不相同,可先从 5 个编号中选取 3 个编号,有 种选法.

对于每一个编号,再选择球,有两种颜色可供挑选,共有 23 种选法,取出 的球的编号互不相同的取法有 的概率 P= = ,故选 D. ·23=80 种,则取出球的编号互不相同

10.(2015·宁波模拟)某校数学复习考有 400 位同学参加,评分后校方 将此 400 位同学依总分由高到低排序如下﹕前 100 人为 A 组,次 100 人 为 B 组,再次 100 人为 C 组,最后 100 人为 D 组. 校方进一步逐题分析同学答题情形,将各组在填充第一题(考排列组合) 和填充第二题(考空间概念)的答对率列表如下: A组 第一题答对率 第二题答对率 则下列选项正确的是 ( ) 100% 100% B组 80% 80% C组 70% 30% D组 20% 0%

A.第一题答错的同学,不可能属于 B 组 B.从第二题答错的同学中随机抽出一人,此人属于 B 组的概率大于 0.5 C.全体同学第一题的答对率比全体同学第二题的答对率低 15% D.从 C 组同学中随机抽出一人,此人第一﹑二题都答对的概率不可能大 于 0.3
-4-

【解析】选 D.因为 B 组第一题答对率不是 100%,所以第一题答错的同 学有可能属于 B 组,故 A 错误;因为 A,B,C,D 四组答错第二题的人数分 别是 0,20,70,100,所以随机抽出一人,此人属于 B 组的概率为 = <0.5,故 B 错误; 因为全体第一题与第二题答对率分别为 P1= P2= = = = , = ,

所以 P1-P2= - = =15%,故 C 错误; 因为在 C 组中,两题都答对的最大值为 30%,即 30 人,所以从 C 组中随机 抽出一人,此人两题都答对的概率不可能大于 =0.3.故 D 正确.

二、 填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请把正确答案填在 题中横线上) 11.(2015·长春模拟)在某项测量中,测量结果 X 服从正态分布 N(1,σ
2

)(σ >0).若 X 在(0,1)内取值的概率为 0.4,则 X 在(0,2)内取值的概率 .



【解析】因为 X 服从正态分布 N(1,σ2),X 在(0,1)内的概率为 0.4,由 正态分布的对称性可知 X 在(1,2)内的取值概率也为 0.4,所以 P(0<X<2)=P(0<X<1)+P(1<X<2)=0.4+0.4=0.8. 答案:0.8 12.袋中有 20 个大小相同的球,其中记上 0 号的有 10 个,记上 n 号的有 n 个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球,X 表示所取球的标号.若 Y=aX-2,EY=1,则 a 的值为 .

-5-

【解析】由题意知 X 的可能取值为 0,1,2,3,4, X 的分布列为: X P 所以 EX=0× +1× +2× +3× +4× = , 因为 Y=aX-2,EY=1, 所以 aEX-2=1,所以 a-2=1,解得 a=2. 答案:2 13.若 m∈(0,3),则直线(m+2)x+(3-m)y-3=0 与 x 轴、 y 轴围成的三角形 的面积小于 的概率为 【解析】令 x=0 得 y= S= · · = . ,令 y=0 得 x= ,由题意,得 ,由于 m∈(0,3),所以 < ,解得-1<m<2,由于 0 1 2 3 4

m∈(0,3),所以 m∈(0,2),故所求的概率为 P= . 答案: 14.如图所示,一个等腰直角三角形的直角边长为 2,分别以三个顶点为 圆心,1 为半径在三角形内作圆弧,三段圆弧与斜边围成区域 M(图中白 色部分).若在此三角形内随机取一点 P,则点 P 落在区域 M 内的概率 为 .

【解析】因为 S 扇形=2× ×12×π+ ×π×12= ,
-6-

所以 SM= ×2×2-S 扇形=2- , 所以所求概率为 P= 答案:115.四面体的顶点和各棱中点共 10 个点,在其中取 4 个不共面的点,则 不同的取法共有 种(用数字作答). 种,其中,所取 =1- .

【解析】从 10 个点中,任意取 4 个点的不同取法共有

4 个点共面的可分为两类.第一类,四个点同在四面体的一个面上,共有 4 种取法.第二类,四个点不同在四面体的一个面上,又可分为两种情

形:①4 个点分布在不共面的两条棱上,这只能是恰有 1 个点是某棱的 中点,另 3 点在对棱上,因为共有 6 条棱,所以有 6 种取法;②4 个点所在 的不共面的棱不止两条,这时,4 个点必然都是棱的中点,它们所在的 4 条棱必然是空间四边形的四条边,故有 3 种不同取法.所以符合题意的 不同取法种数为 答案:141 三、 解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答时应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤) 16.(12 分)(2015·湛江模拟)一个布袋里有 3 个红球,2 个白球共 5 个 球.现抽取 3 次,每次任意抽取 2 个,并待放回后再抽下一次,求: (1)3 次抽取中,每次取出的 2 个球都是 1 个白球和 1 个红球的概率. (2)3 次抽取中,有 2 次取出的 2 个球是 1 个白球和 1 个红球,还有 1 次 取出的 2 个球同色的概率. 【解析】记事件 A:?1 次取出 2 个球是 1 个白球和 1 个红球?,事件 B: -(4 +6+3)=141.

-7-

?1 次取出的 2 个球都是白球?,事件 C:?1 次取出的 2 个球都是红 球?,A,B,C 互相独立. (1)因为 P(A)= 所以所求概率为 =0.6, ×0.63×(1-0.6)0=0.216. ×0.62×(1-0.6)=0.432.

(2)因为 B+C= ,所以所求事件的概率为

17.(12 分)为了了解青少年视力情况,某市从高考体检中随机抽取 16 名学生的视力进行调查,经医生用视力表检查得到每个学生的视力状 况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶) 如图:

(1)若视力测试结果不低于 5.0,则称为“好视力”,求医生从这 16 人 中随机选取 3 人,至多有 1 人是“好视力”的概率. (2)以这 16 人的样本数据来估计该市所有参加高考学生的总体数据,若 从该市参加高考的学生中任选 3 人,记 X 表示抽到“好视力”学生的人 数,求 X 的分布列及数学期望. 【解析】(1)设 Ai 表示所取 3 人中有 i 个人是?好视力?,至多有 1 人 是?好视力?记为事件 A, 则 P(A)=P(A0)+P(A1)= + = .

(2)X 的可能取值为 0,1,2,3, P(X=0)= = ;

-8-

P(X=1)= P(X=2)= P(X=3)= 分布列为

= ; = ; = .

X P EX= .

0

1

2

3

18.(12 分)(2015·咸阳模拟)设 m,n∈N,f(x)=(1+x)m+(1+x)n, (1)当 m=n=7 时,f(x)=a7x7+a6x6+?+a1x+a0,求 a0+a2+a4+a6. (2)当 m=n 时,f(x)展开式中 x2 的系数是 20,求 n 的值. (3)f(x)展开式中 x 的系数是 19,当 m,n 变化时,求 x2 系数的最小值. 【解析】(1)赋值法:分别令 x=1,x=-1, 得 a0+a2+a4+a6=128. (2)T3=2 x2=20x2,所以 n=5,

(3)m+n=19,x2 的系数为: + = m(m-1)+ n(n-1) + .

= [(m+n)2-2mn-(m+n)]=171-mn=171-(19-n)n=

所以,当 n=10 或 n=9 时,f(x)展开式中 x2 的系数最小值为 81. 19.(12 分)有一种密码,明文是由三个字符组成,密码是由明文对应的 五个数字组成,编码规则如表:明文由表中每一排取一个字符组成且第 一排取的字符放在第一位,第二排取的字符放在第二位,第三排取的字

-9-

符放在第三位,对应的密码由明文对应的数字按相同的次序排列组成. 明文字符 第一排 密码字符 明文字符 第二排 密码字符 明文字符 第三排 密码字符 1 2 3 4 设随机变量 X 表示密码中不同数字的个数. (1)求 P(X=2). (2)求随机变量 X 的分布列和数学期望. 【解析】 (1)密码中不同数字的个数为 2 的事件为密码中只有两个数字, 注意到密码的第 1,2 列分别总是 1,2,即只能取表格第 1,2 列中的数字 作为密码. 所以 P(X=2)= = . (2)由题意可知 X 的取值为 2,3,4 三种情形. 若 X=3,注意表格的第一排总含有数字 1,第二排总含有数字 2,则密码 中只可能取数字 1,2,3 或 1,2,4. 所以 P(X=3)= = , 21 M 22 N 23 P 24 Q 11 E 12 F 13 G 14 H A B C D

若 X=4,则 P(X=4)=1- - = , 所以 X 的分布列为: X 2 3 4

- 10 -

P 所以 EX=2× +3× +4× = .

20.(13 分)某大学一个专业团队为某专业大学生研究了多款学习软件, 其中有 A,B,C 三种软件投入使用,经一学年使用后,团队调查了这个专 业大一四个班的使用情况,从各班抽取的样本人数如表: 班级 人数 一 3 二 2 三 3 四 4

(1)从这 12 人中随机抽取 2 人,求这 2 人恰好来自同一班级的概率. (2)从这 12 名学生中,指定甲、乙、丙三人为代表,已知他们下午自习 时间每人选择一款软件,其中选 A,B 两个软件学习的概率都是 ,且他们 选择 A,B,C 任一款软件都是相互独立的.设这三名学生中下午自习时间 选软件 C 的人数为 X,求 X 的分布列和数学期望. 【解析】 (1)设 ?从这 12 人中随机抽取 2 人,这 2 人恰好来自同一班级? 的事件为 M. 则 P(M)= = .

因此从这 12 人中随机抽取 2 人,这 2 人恰好来自同一班级的概率是 . (2)X=0,1,2,3.由题设知,每个人选软件 C 的概率均为 . 所以:P(X=0)= P(X=1)= P(X=2)= × = , × = , = ,P(X=3)= = .

X 的分布列如下:

- 11 -

X P

0

1

2

3

X 的期望是 EX=0× +1× +2× +3× =2. 【加固训练】 某学校为市运动会招募了 8 名男志愿者和 12 名女志愿者. 将这 20 名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图(单位:cm):

若身高在 180cm 以上(包括 180cm)定义为“高个子”,身高在 180cm 以 下(不包括 180cm)定义为“非高个子”,且只有“女高个子”才能担任 “礼仪小姐”. (1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取 5 人, 再从这 5 人中选 2 人,那么至少有一人是“高个子”的概率是多少? (2)若从所有“高个子”中选 3 名志愿者,用 X 表示所选志愿者中能担 任“礼仪小姐”的人数,试写出 X 的分布列. 【解析】(1)根据茎叶图可知,这 20 名志愿者中有?高个子?8 人,?非 高个子?12 人, 用分层抽样的方法从中抽取 5 人,则每个人被抽中的概率是 = ,所以 应从?高个子?中抽 8× =2(人),从?非高个子?中抽 12× =3(人). 用事件 A 表示?至少有一名‘高个子’被选中?,则它的对立事件 表
- 12 -

示?没 有‘高个子’被选中?,则 P(A)=1-P( )=1- =1- = . 因此至少有一人是?高个子?的概率是 . (2)依题意知 X 的所有可能取值为 0,1,2,3. P(X=0)= = ,P(X=1)= P(X=2)= = ,

= ,P(X=3)= = .

所以 X 的分布列为 X P 21.(14 分)从天气网查询到衡水历史天气统计(2011-01-01 到 2014-03-01)资料如下: 0 1 2 3

自 2011-01-01 到 2014-03-01,衡水共出现:多云 507 天,晴 356 天,雨 194 天,雪 36 天,阴 33 天,其他 2 天,合计天数为:1 128 天. 本市朱先生在雨雪天的情况下,分别以 的概率用乘公交或打出租的方 式上班(每天一次,且交通方式仅选一种),每天交通费用相应为 2 元或 40 元;在非雨雪天的情况下,他以 90%的概率骑自行车上班,每天交通费 用 0 元;另外以 10%的概率打出租上班,每天交通费用 20 元.(以频率代

- 13 -

替概率,保留两位小数.参考数据: (1)求他某天打出租上班的概率.

≈0.20)

(2)将他每天上班所需的费用记为 X(单位:元),求 X 的分布列及数学期 望. 【解析】(1)设 A 表示事件?雨雪天?,B 表示事件?非雨雪天?,C 表 示事件?打出租上班?, P(C)=P(AC)+P(BC) = × + ×10%≈0.20×0.5+0.8×0.1=0.18.

(2)X 的可能取值为 0,2,20,40 P(X=0)= P(X=2)= P(X=20)= P(X=40)= ×90%≈0.8×0.9=0.72, × ≈0.20×0.5=0.10, ×10%≈0.8×0.1=0.08, × ≈0.20×0.5=0.10,

所以 X 的分布列为 X P 0 0.72 2 0.10 20 0.08 40 0.10

EX=0×0.72+2×0.10+20×0.08+40×0.10=5.80(元).

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