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2013年广东各地二模(理科)数学试题及答案(打包整理版)


广州、深圳、佛山(江门)、茂名、惠州二调、韶 关、湛江、肇庆、揭阳、汕头 (资源也是到处搜的,粗糙之处请海涵) 广州市 2013 届普通高中毕业班综合测试(二)
数学(理科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1. 答卷前,考生务必用 2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹的钢笔或签 字 笔将自己所在

的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写 在答题卡 上。用 2B 铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。 2. 选择题每小题选出答案后:用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区 域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使 用铅笔 和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4. 作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。漏涂、 错 涂、多涂的,答案无效。 5. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 参考公式: 锥体的体积公式 V =

1 Sh 油,其中 S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 3

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. 对于任意向量 a、b、c,下列命题中正确的是 A. |a.b| = |a| |b| C. (a.b)c =a (b-c) B. |a+b|=|a|+丨 b 丨 D. a.a =|a|2

2. 直线 y=kx +1 与圆 x2+y2-2y=0 的位置关系是 A.相交 B.相切 C.相离
2

D.取决于 k 的值

3. 若 1-i(i 是虚数单位)是关于 x 的方程 x +2px +q=0(p、q∈R)的一个解,则 p+q= A. -3 B. -1 C. 1 D. 3

4. 已知函数 y=f(x)的图象如图 l 所示,则其导函数 y=f'(x)的图象可能是

5. 若函数 y ? cos( ?x ? A.1

?
6

)(? ? N *) 的一个对称中心是(
C. 4

? ,0) ,则ω 的最小值为 6
D. 8

B. 2

6. 一个圆锥的正(主)视图及其尺寸如图 2 所示.若一个平 行于圆 锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为 l:7 的上、下两部分,则截面的 面积为 A.

1 ? 4 9 ? 4

B.

?

C

B 4?

7. 某辆汽车购买时的费用是 15 万元,每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为 1.5 万 元.年维修保养费用第一年 3000 元,以后逐年递增 3000 元,则这辆汽车报废的最佳年限(即 使用多少年的年平均费用最少)是 A. 8 年 B. IO 年 C. 12 年 D. 15 年

8. 记实数 x1,x2,?,xn 中的最大数为 max{x1,x2,?,xn} ,最小数为 min{x1,x2,?,xn} 则 max{min{x+1,x2 - x + 1, -x +6}}= A.

3 4

B. 1

C. 3 D.

7 2

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (-)必做题(9-13 题) 9.某商场销售甲、乙、丙三种不同型号的钢笔,甲、乙、丙三种型号钢笔数量之比依次 为 2:3:4. 现用分层抽样的方法抽出一个容量为 n 的样本, 其中甲型钢笔有 12 支, 则此样 本 容量 n =____ 10.已知 a 为锐角,且 cos( a ?

?
4

)?

3 ,则 sina=_____. 5

11.用 0,1,2,3,4,5 这六个数字,可以组成____个没有重复数字且能被 5 整除的五位 数(结果用数值表示). 12.已知函数 f(x) =x2 - 2x,点集 M = {(X,Y)| f(x) +f(y)≤2},N = {(X, Y)| f{x)-f{y) 0},则 M ? N 所构成平面区域的面积为______

13.数列{an}的项是由 l 或 2 构成, 且首项为 1, 在第 k 个 l 和第 k+ 1 个 l 之间有 2k-1 个 2,即数列{an} 为:1, 2,1, 2,2,2,1,2,2,2,2,2, 1, ?,记数列 {an}的前 n 项 和为 Sn,则 S20=________; S2013 =_____. (二)选做题(14-15 题,考生只能从中选做一题) 14.(几何证明选讲选做题) 在Δ BC 中,D 是边 AC 的中点,点 E 在线段 BD 上,且满足 BE=

1 BD,延长 AE 交 BC 于点 F, 3



BF 的值为_______. FC
15.(坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中,已知点 A(1,

? 2 ),点 P 是曲线 ? sin θ =4cosθ 上任意一点,设点 P 到直 2

线 ? cosθ + 1 = 0 的距离为 d,则丨 PA 丨+ d 的最小值为_______.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 某单位有 A、B、C 三个工作点,需要建立一个公共无线网络发射点 0,使得发射点到 三 个工作点的距离相等.已知这三个工作点之间的距离分别为 AB=80m, BC = 70m, CA=50m.假定 A、B、C、O 四点在同一平面内. (1)求 ?BAC 的大小; (2)求点 O 到直线 BC 的距离

17.(本小题满分 12 分) 已知正方形 ABCD 的边长为 2,E、F、G、H 分别是边 AB、BC、CD、DA 的中点. (1) 在正方形 ABCD 内部随机取一点 P,求满足|PH|< 2 的概率; (2) 从 A、B、C、D、E、F、G、H 这八个点中,随机选取两个点,记这两个点之间的 距 离为 ? ,求随机变量 f 的分布列与数学期望 E? .

18.(本小题满分 14 分) 等边三角形 ABC 的边长为 3, D、 分别是边 AB、 上的点, 点 E AC 且满足

AD CE 1 ? ? (如 DB EA 2

图 3).将Δ ADE 沿 DE 折起到Δ A1DE 的位置, 使二面角 A1-DE-B 成直二面角, 连结 A1B、 1C (如 A 图 4). (1) 求证:A1D 丄平面 BCED;

(2) 在线段 BC 上是否存在点 P,使直线 PA1 与平面 A1BD 所成的角为 60 ?若存在,求出 PB 的长;若不存在,请说明理由

0

19.(本小题满分 W 分) 巳知 a>0,设命题 p:函数 f(x)=x2-2ax+ 1-2a 在区间[0,1]上与 x 轴有两个不同 的交点; 命题 q: g(x) =|x-a|-ax 在区间(0, + ∞ )上有最小值.若 (?p) ? q 是真命题,求实数 a 的 取值范围.

20.(本小题满分 14 分) 经过点 F (0,1)且与直线 y= -1 相切的动圆的圆心轨迹为 M 点 A、D 在轨迹 M 上, 且关 于 y 轴对称,过线段 AD (两端点除外)上的任意一点作直线 l,使直线 l 与轨迹 M 在点 D 处 的切线平行,设直线 l 与轨迹 M 交于点 B、 C. (1) 求轨迹 M 的方程; (2) 证明: ?BAD ? ?CAD ; (3) 若点 D 到直线 AB 的距离等于

2 | AD | ,且Δ ABC 的面积为 20,求直线 BC 的方程. 2

21.(本小题满分 14 分) 设 an 是函数 f ( x) ? x 3 ? n 2 x ? 1(n ? N*)的零点. (1)证明:0<an<1; (2)证明:

n 3 ? a1 ? a 2 ? ... ? a n ? n ?1 2

广州市 2013 届普通高中毕业班综合测试(二)
数学(理科)答案
一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 题号 答案 二、填空题: 9.54 10. 1 D 2 A 3 C 4 A 5 B 6 C 7 B 8 D

2 10

11.216

12.2?

13.36 ;3981

14.

1 4

15. 2

7、分析:设使用了 n 年,则年平均费用为

15 ? (1.5 ? 0.3) ? (1.5 ? 2 ? 0.3) ? (1.5 ? 3 ? 0.3) ? ? ? (1.5 ? n ? 0.3) n n(n ? 1) 15 ? 1.5n ? 0.3(1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) 15 ? 1.5n ? 0.3 ? 2 ? ? n n 15 0.3n 15 0.3n ? 1.65 ? ? … 1.65 ? 2 ? n 2 n 2 15 0.3n 2 ? 当且仅当 时,即 n ? 100 , n ? 10 取到最小值 n 2 2 8、分析: min{x ? 1, x ? x ? 1, ? x ? 6} 的图象如下图中的
红色部分, 其最大值 max{min{x ? 1, x ? x ? 1, ? x ? 6}}在
2

两直线 ?

? y ? x ?1 5 7 7 的交点处取到,解得交点坐标为 ( , ) ,即最大值为 2 2 2 ? y ? ?x ? 6

12、分析:

M ? {( x, y) | f ( x) ? f ( y)剟 ? {( x, y) | x2 ? 2 x ? y 2 ? 2 y 2} ? {( x, y) | ( x ?1) 2 ? ( y ?1) 2 4} 2} M 表示以 (1,1) 为圆心,半径 r ? 2 的圆及其内部;

N ? {( x, y) | f ( x) ? f ( y)厖 ? {( x, y) | x 2 ? 2 x ? y 2 ? 2 y 0} ? {( x, y) | ( x ?1) 2 ( y ?1) 2} 0} ? {( x, y) | x ? 1| …| y ? 1|}
N 表示两条相交直线构成的两个部分; 在同一坐标系中画出上述两个图形,其公共部分如图中阴影部分所示,其面积

1 S ? ? ? 22 ? 2? 2

13、分析: S20 ? 36 ;

截至第

2k ? 1 个 2 时,共有 k ? [1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2k ? 1)] ? k ?

k (1 ? 2k ? 1) ? k 2 ? k 项, 2

2 2 估计 k ? k 的值,当 k ? 44 时,共 k ? k ? 1980 项,要达到2013项,只需从其后续的取1 个1,32个 2,

44(1 ? 87) ? 2 ? 64 ? 3981 2 14、分析:如图,作 DH / / BC ,交 AF 于 G ,交 AB 于 H ,设 HG ? x , 因为 D 是 AC 中点,所以 G 、 H 分别是 AF 、 AB 中点, 1 所以 BF ? 2 x ,又 ?BEF ∽ ?DEG ,又 BE ? BD , 3 所以 GD ? 2 BF ? 4 x , HD ? HG ? GD ? 5 x , 由中位线知 BC ? 10 x , FC ? BC ? BF ? 10 x ? 2 x ? 8 x , BF 2 x 1 ? ? 所以 FC 8 x 4
故 S2013 ? 45 ?1 ? (1 ? 3 ? 5 ? ? ? 87) ? 2 ? 32 ? 2 ? 45 ? 15 、 分 析 : 点 A(1,

?

2

) 的 平 面 直 角 坐 标 为 A(0,1) , 由 ? sin 2? ? 4cos? 得

,由 ? 2 sin 2? ? 4? cos? ,即其平面直角坐标方程为 y 2 ? 4x (抛物线) ? cos ? ? 1 ? 0 得

x ?1 ? 0 , (恰是抛物线的准线) ,作图如下: 由抛物线定义知 | PA | ?d ? | PA | ? | PF | , F 为抛物线的焦点 (1, 0) ) ( 由两点之间线段最短知,当 P 移动到直线 AF 与抛物线的交点 P ' 时 | PA | ? | PF | 最 小 , 此 时

| PA | ?d ?| PA | ? | PF |?| P ' A | ? | P ' F |?| AF |? 2

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题主要考查解三角形等基础知识,考查正弦定理与余弦定理的应用,本小题满分12 分) 解:(1)在△ ABC 中,因为 AB ? 80 m , BC ? 70 m , CA ? 50 m ,

AB 2 ? AC 2 ? BC 2 由余弦定理得 cos ?BAC ? ???????????2 分 2 ? AB ? AC 802 ? 502 ? 702 1 ? ? . ?????????3 分 2 ? 80 ? 50 2 ? 因为 ?BAC 为△ ABC 的内角,所以 ?BAC ? .??4 分 3 (2)方法 1:因为发射点 O 到 A 、 B 、 C 三个工作点的距离相等, 所以点 O 为△ ABC 外接圆的圆心.???????5 分 设外接圆的半径为 R , BC ? 2 R , ??????7 分 在△ ABC 中,由正弦定理得 sin A ? 3 因为 BC ? 70 ,由(1)知 A ? ,所以 sin A ? . 3 2 70 3 70 140 3 所以 2 R ? ,即 R ? .???????8 分 ? 3 3 3 2 过点 O 作边 BC 的垂线,垂足为 D ,??????????9 分 BC 70 70 3 ? ? 35 , 在△ OBD 中, OB ? R ? , BD ? 2 2 3

A

O C

? 70 3 ? 2 所以 OD ? OB 2 ? BD2 ? ? ?????????11 分 ? 3 ? ? 35 ? ? ?
? 35 3 . 3

2

B

D

35 3 m .???????????12 分 3 方法 2:因为发射点 O 到 A 、 B 、 C 三个工作点的距离相等, 所以点 O 为△ ABC 外接圆的圆心.????????5 分 连结 OB , OC , 过点 O 作边 BC 的垂线,垂足为 D , ???????6 分 ? 由(1)知 ?BAC ? , 3 O ?? 所以 ?BOC ? . 3 B D ? 所以 ?BOD ? .???????????????9 分 3 BC 70 ? ? 35 , 在 Rt △ BOD 中, BD ? 2 2 BD 35 35 3 ? ? 所以 OD ? .????????????????11 分 ? tan ?BOD tan 60 3
所以点 O 到直线 BC 的距离为

A

C

所以点 O 到直线 BC 的距离为

35 3 m .???????????????????????12 分 3
17. (本小题主要考查几何概型、随机变量的分布列与数学期望等基础知识,考查运算求解能 力与数据处理能力等,本小题满分12分) 解: (1)这是一个几何概型.所有点 P 构成的平面区域是正方形 ABCD 的内部,其面积是

2? 2 ? 4 .
满足 | PH | ?

???????????1 分

2 的点 P 构成的平面区域是以 H 为圆心, 2 为半径的圆的内部与正方
G C

D 形 ABCD 内部的公共部分,它可以看作是由一个以 H 为圆心、 2 为半径、 圆心角为

? 的扇形 HEG 的内部(即四分之一个圆)与两个 2
H F

直角边为 1 的等腰直角三角形(△ AEH 和△ DGH )内部 构成. ???????????????????????2 分 其面积是

1 ? ?? 4

? 2?

2

1 ? ? 2 ? ? 1? 1 ? ? 1 .??????3 分 2 2

A

E

B

? ?1 ? 1 所以满足 | PH | ? 2 的概率为 2 ? ? .????????4 分 4 8 4
C D E F G 、 (2)从 A、B 、 、 、 、 、 H
2 这八个点中,任意选取两个点,共可构成 C8 ? 28 条

不同的线段. ??????????????????????5 分 其中长度为 1 的线段有 8 条,长度为 2 的线段有 4 条,长度为 2 的线段有 6 条,长度 为 5 的线段有 8 条,长度为 2 2 的线段有 2 条. 所以 ? 所有可能的取值为 1 , 2,2, 5,2 2 .????????7 分 且

P ?? ? 1? ?

8 2 ? 28 7



P ?? 2 ?

?

?

4 1 ? 28 7



P ?? ? 2 ? ?

6 3 ? , 28 14 8 2 P ?? 5 ? ? , 28 7 所以随机变量 ? 的分布列为:

?

?

P ? ?2 2 ?

?

?

2 1 ? . ????9 分 28 14

?

1
2 7

2
1 7

2
3 14

5
2 7

2 2
??10 分

P

1 14

随机变量 ? 的数学期望为

2 1 3 2 1 5? 2 2 ? 2 5 E? ? 1? ? 2 ? ? 2 ? ? 5 ? ? 2 2 ? ? .???12 分 7 7 14 7 14 7
18. (本小题主要考查空间直线与平面垂直、直线与平面所成角等基础知识,考查空间想象 能力和运算求解能力等,本小题满分 14 分) 证明: (1)因为等边△ ABC 的边长为 3,且

AD CE 1 ? , ? DB EA 2
D

A

所以 AD ? 1 , AE ? 2 . 在△ ADE 中, ?DAE ? 60 ,
?

由余弦定理得 DE ? 12 ? 22 ? 2 ?1? 2 ? cos60? ? 3 . 因为 AD ? DE ? AE , 所以 AD ? DE . 折叠后有 A1D ? DE .??????????????????2 分
2 2 2

因为二面角 A1 ? DE ? B 是直二面角,所以平面 A DE ? 平面 1

BCED . ??????????3 分 又平面 A DE ? 平面 BCED ? DE , A1D ? 平面 A DE , A1D ? DE , 1 1
所以 A1D ? 平面 BCED . ????????????????4 分 (2)解法 1:假设在线段 BC 上存在点 P ,使直线 PA1 与平面 A1 BD 所 成的角为 60 . 如图,作 PH ? BD 于点 H ,连结 A1H 、 A1 P .??????5 分 由(1)有 A1D ? 平面 BCED ,而 PH ? 平面 BCED , 所以 A1D ? PH .???????????????????6 分 又 A D ? BD ? D , 1 所以 PH ? 平面 A1BD .???????????????????7 分 设 PB ? x ? 0 ? x ? 3? ,则 BH ? H B P C
?

A1

D E

所以 ?PA H 是直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角. ????????8 分 1

x 3 , PH ? x .???????9 分 2 2 1 在 Rt △ PA H 中, ?PA H ? 60? ,所以 A1 H ? x .??????10 分 1 1 2 1 在 Rt △ A1DH 中, A D ? 1 , DH ? 2 ? x .?????????11 分 1 2 2 2 2 由 A D ? DH ? A H , 1 1

1 ? ?1 ? ? 得 1 ? ? 2 ? x ? ? ? x ? .?????????????????12 分 2 ? ?2 ? ? 5 解得 x ? ,满足 0 ? x ? 3 ,符合题意.????????????13 分 2 ? 所 以 在 线 段 BC 上 存 在 点 P , 使 直 线 PA1 与 平 面 A1 B D 所 成 的 角 为 60 , 此 时 5 PB ? .???14 分 2
2

2

2

解法 2:由(1)的证明,可知 ED ? DB , A1D ? 平面 BCED . 以 D 为坐标原点,以射线 DB 、 DE 、 DA1 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正半轴,建立空 间直角坐标系 D ? xyz 如图. ??????????????????????5 分 设 PB ? 2a ? 0 ? 2a ? 3? , 则 BH ? a , PH ? 3a , DH ? 2 ? a . ????????6 分 所以 A ? 0,0,1? , P 2 ? a, 3a, 0 , E 0, 3, 0 .????7 分 1

A1

z

???? 所以 PA1 ? a ? 2, ? 3a,1 .???????????????????8 分

?

?

?

?

?

?

D E H P C y

因为 ED ? 平面 A1 BD ,

B x

所以平面 A1 BD 的一个法向量为 DE ? 0, 3, 0 .??????????9 分 因为直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角为 60 ,
?

????

?

?

???? ???? PA1 ?DE 所以 sin 60? ? ???? ???? ?????????????????????10 分 PA1 DE
4a ? 4a ? 5 ? 3 5 解得 a ? . ??????????????????????????12 分 4 5 即 PB ? 2a ? ,满足 0 ? 2a ? 3 ,符合题意. ???????????13 分 2 ? 所 以 在 线 段 BC 上 存 在 点 P , 使 直 线 PA1 与 平 面 A1 B D 所 成 的 角 为 60 , 此 时 5 PB ? .???14 分 2
2

?

3a

?

3 ,??????????????11 分 2

19. (本小题主要考查二次函数的交点与分段函数的最值、常用逻辑用语等基础知识,考查数 形结合思想、分类讨论思想和运算求解能力、抽象概括能力等,本小题满分14分) 解:要使函数 f ? x ? ? x ? 2ax ? 1 ? 2a 在 ?0,1? 上与 x 轴有两个不同的交点,
2

? f ? 0 ?≥0, ? ? f ?1?≥0, 必须 ? ???????????????????????2分 0 ? a ? 1, ? ? ? ? 0. ?

?1 ? 2a≥0, ?2 ? 4a≥0, ? 即? ??????????????????4分 0 ? a ? 1, ? ?? ?2a ?2 ? 4 ?1 ? 2a ? ? 0. ?
解得 2 ? 1 ? a≤ .
2 所以当 2 ? 1 ? a≤ 时, 函数 f ? x ? ? x ? 2ax ? 1 ? 2a 在 ?0,1? 上与 x 轴有两个不同的

1 2

1 2

交点.?5分

下面求 g ? x ? ? x ? a ? ax 在 ? 0, ?? ? 上有最小值时 a 的取值范围: 方法1因为

x≥a, ??1 ? a ? x ? a, ? g ? x? ? ? ??????????????????????6分 ?? ?1 ? a ? x ? a, x ? a. ? ①当 a ? 1 时, g ? x ? 在 ? 0, a ? 和 ? a, ?? ? 上单调递减, g ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上无最小值;7
分 ②当 a ? 1 时, g ? x ? ? ?

③当 0 ? a ? 1 时, g ? x ? 在 ? 0, a ? 上单调递减,在 ? a, ?? ? 上单调递增,

??1, ??2 x ? 1,

x≥1, g ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上有最小值 ?1;???8分 x ? 1.

g ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上有最小值 g ? a ? ? ?a2 .?????????????9分
所以当 0 ? a≤1 时,函数 g ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上有最小值.?????????10分

方法2:因为

x≥a, ??1 ? a ? x ? a, ? ????????????????????6分 g ? x? ? ? ?? ?1 ? a ? x ? a, x ? a. ? 因为 a ? 0 ,所以 ? ?1 ? a ? ? 0 .
所以函数 y1 ? ? ?1 ? a ? x ? a ? 0 ? x ? a ? 是单调递减 的.??????????????????7分 要使 g ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上有最小值,必须使 y2 ? ?1 ? a ? x ? a 在 ? a, ?? ? 上单调递增或为

常数.??8分 即 1 ? a≥0 ,即 a≤1 .???????????????????????9分

所以当 0 ? a≤1 时,函数 g ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上有最小值. ????????10分 若 ? ?p ? ? q 是真命题,则 ?p 是真命题且 q 是真命题,即 p 是假命题且 q 是真命

题.????11分

1 ? ?0 ? a≤ 2 ? 1, 或a ? , 所以 ? 2 ????????????????12分 ?0 ? a≤1. ? 1 解得 0 ? a≤ 2 ? 1 或 ? a≤1 . ???????????????13分 2 ?1 ? 故实数 a 的取值范围为 0, 2 ? 1? ? ? ,1? .???????????14分 ? ?2 ?

?

20.本小题主要考查动点的轨迹和直线与圆锥曲线的位置关系、 ( 导数的几何意义等基础知识, 考查运算求解能力和推理论证能力等,本小题满分14分) 解: (1)方法 1:设动圆圆心为 ? x, y ? ,依题意得, x ? ? y ? 1? ? y ? 1 .??1 分
2 2

整理,得 x ? 4 y .所以轨迹 M 的方程为 x ? 4 y .????????2 分
2 2

方法 2:设动圆圆心为 P ,依题意得点 P 到定点 F ? 0,1? 的距离和点 P 到定直线 y ? ?1 的距离相等, 根据抛物线的定义可知,动点 P 的轨迹是抛物线.?????????1 分 且其中定点 F ? 0,1? 为焦点,定直线 y ? ?1 为准线.
2

所以动圆圆心 P 的轨迹 M 的方程为 x ? 4 y .?????2 分 (2)由(1)得 x ? 4 y ,即 y ?
2

1 2 1 x ,则 y? ? x . 4 2

k AB

1 1 2? x0 ? ,由导数的几何意义知,直线 l 的斜率为 k BC ? x0 .??3 分 2 4 ? 1 2? ? ? 1 2? ? 1 2? y 由题意知点 A ? ? x0 , x0 ? .设点 C ? x1 , x1 ? , B ? x2 , x2 ? , 4 ? ? ? 4 ? ? 4 ? 1 2 1 2 x1 ? x2 x ?x 1 4 k BC ? 4 ? 1 2 ? x0 ,即 x1 ? x2 ? 2 x0 .4 分 则 E x1 ? x2 4 2 1 2 1 2 x1 ? x0 A x ?x 4 k AC ? 4 ? 1 0, 因为 BO x1 ? x0 4 l 1 2 1 2 x2 ? x0 x ?x 4 ?4 ? 2 0 .???????????5 分 x2 ? x0 4
设点 D ? x0 ,

? ?

C

D x

x1 ? x0 x2 ? x0 ? x1 ? x2 ? ? 2 x0 ? ? ? 0 ,即 k AC ? ?k AB .??6 分 4 4 4 所以 ?BAD ? ?CAD .??????????????????????7 分 2 AD ,可知 ? BAD ? 45? .????8 分 (3)方法 1:由点 D 到 AB 的距离等于 2 1 2 不妨设点 C 在 AD 上方 (如图) 即 x2 ? x1 , , 直线 AB 的方程为:y ? x0 ? ? ? x ? x0 ? . 4 1 2 ? ? y ? x0 ? ? ? x ? x0 ? , 由? 4 2 ? x ? 4 y. ?
由于 k AC ? k AB ?

1 2 ? ? x0 ? 4 ? ? .??????10 分 ? 4 ? ? 所以 AB ? 2 ? x0 ? 4 ? ? ? ? x0 ? ? 2 2 x0 ? 2 .
解得点 B 的坐标为 ? x0 ? 4, 由(2)知 ?CAD ? ?BAD ? 45 ,同理可得 AC ? 2 2 x0 ? 2 .?11 分
?

所以△ ABC 的面积 S ?

1 ? 2 2 x0 ? 2 ? 2 2 x0 ? 2 ? 4 x0 2 ? 4 ? 20 , 2

解得 x0 ? ?3 .?????????????????12 分

3 ? 1? , 2 4? ? 1 3 直线 BC 的方程为 y ? ? ? x ? 1? ,即 6 x ? 4 y ? 7 ? 0 .????13 分 4 2 3 49 ? ? 当 x0 ? ?3 时,点 B 的坐标为 ? ?7, ? , k BC ? ? 2 , 4 ? ? 49 3 ? ? ? x ? 7 ? ,即 6 x ? 4 y ? 7 ? 0 . ???14 分 直线 BC 的方程为 y ? 4 2 2 AD ,可知 ? BAD ? 45? .???8 分 方法 2:由点 D 到 AB 的距离等于 2 ? ? 由(2)知 ?CAD ? ?BAD ? 45 ,所以 ?CAB ? 90 ,即 AC ? AB . x ? x0 x ? x0 由(2)知 k AC ? 1 , k AB ? 2 . 4 4 x ? x0 x2 ? x0 ? ? ?1. 所以 k AC k AB ? 1 4 4 即 ? x1 ? x0 ?? x2 ? x0 ? ? ?16 . ①
当 x0 ? 3 时,点 B 的坐标为 ? ?1, ? , k BC ? 由(2)知 x1 ? x2 ? 2 x0 . ② 不妨设点 C 在 AD 上方(如图) ,即 x2 ? x1 ,由①、②解得

? x1 ? x0 ? 4, ??????????10分 ? ? x2 ? x0 ? 4.
因为 AB ?

? x2 ? x0 ?

2

1 ?1 ? ? ? x2 2 ? x0 2 ? ? 2 2 x0 ? 2 , 4 ?4 ?

2

同理 AC ? 2 2 x0 ? 2 . ???????????????11分 以下同方法1. 21. (本小题主要考查函数的零点、函数的导数和不等式的证明等基础知识,考查运算求解能 力和推理论证能力等,本小题满分14分)

证明: (1)因为 f ? 0? ? ?1 ? 0 , f ?1? ? n2 ? 0 ,且 f ? x ? 在 R 上的图像是一条连续曲线, 所以函数 f ? x ? 在 ? 0, 内有零点.?????????????1分 1? 因为 f ? ? x ? ? 3x2 ? n2 ? 0 , 所以函数 f ? x ? 在 R 上单调递增.??????????????2分 所以函数 f ? x ? 在 R 上只有一个零点,且零点在区间 ? 0, 内. 1? 而 an 是函数 f ? x ? 的零点, 所以 0 ? an ? 1 .??????????????????????3分 (2)先证明左边的不等式: 因为 an3 ? n2an ?1 ? 0 , 由(1)知 0 ? an ? 1 , 所以 an3 ? an .????????????????????????4 分 即 1 ? n2 an ? an3 ? an .

1 .??????????????????????5 分 n ?1 1 1 1 ? 2 ??? 2 所以 a1 ? a2 ? ? ? an ? 2 .???????6 分 1 ?1 2 ?1 n ?1 1 1 1 n ? 2 ?? ? 2 ? 以下证明 2 . ① 1 ?1 2 ?1 n ?1 n ?1
所以 an ?
2

方法 1(放缩法) :因为

an ?

1 1 1 1 ,????????????????7 分 ? ? ? n ? 1 n ? n ? 1? n n ? 1
2

1? ?1 1? ?1 1? 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? 2? ? 2 3? ? 3 4? ? n n ?1 ? 1 n ? 1? ? .?????????????9 分 n ?1 n ?1 1 1 ? 方法 2(数学归纳法) :1)当 n ? 1 时, 2 ,不等式①成立. 1 ?1 1?1 * 2)假设当 n ? k ( k ? N )时不等式①成立,即 1 1 1 k ? 2 ?? ? 2 ? . 2 1 ?1 2 ?1 k ?1 k ?1
所以 a1 ? a2 ? ? ? an ? ?1 ? 那么

? ?

1 1 1 1 k 1 ? 2 ??? 2 ? ? ? 2 1 ?1 2 ?1 k ? 1 ? k ? 1? ? 1 k ? 1 ? k ? 1?2 ? 1
2

以下证明

? k ? 1? k 1 ? ? . 2 k ? 1 ? k ? 1? ? 1 ? k ? 1? ? 1
1
2





即证 即证

? k ? 1?
2

?1

?

? k ? 1? ? k . ? k ? 1? ? 1 k ? 1

1 1 ? 2 . k ? 2k ? 2 k ? 3k ? 2

由于上式显然成立,所以不等式②成立. 即当 n ? k ? 1 时不等式①也成立. 根据 1)和 2) ,可知不等式①对任何 n ? N 都成立.
*

所以 a1 ? a2 ? ? ? an ? 再证明右边的不等式:

n .???????????????????9 分 n ?1

当 n ? 1 时, f ? x ? ? x3 ? x ?1 .

3 11 ?1? ?1? 1 ?3? ?3? 3 由于 f ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? 0 , f ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? 0, 8 64 ? 2? ? 2? 2 ?4? ?4? 4 1 3 所以 ? a1 ? .????????????????????????10分 2 4 由(1)知 0 ? an ? 1 ,且 an3 ? n2an ?1 ? 0 ,所以
an ?
3 1 ? an 1 ? 2 . ???????????11分 n2 n 因为当 n≥2 时, 1 1 1 1 ? ? ? ,??????????????????????12分 2 n ? n ? 1? n n ? 1 n 所以当 n≥2 时, 3 1 ?1 1? ?1 1? 1? ? 1 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ? ? an ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 2 ? 2 3? ?3 4? ? n ?1 n ? 1 1 3 ? 1? ? ? . 2 n 2 3 * 所以当 n ? N 时,都有 a1 ? a2 ? ? ? an ? . 2

3

3

综上所述,

n 3 ? a1 ? a2 ? ? ? an ? .???????????????????????14分 n ?1 2

绝密★启用前

试卷类型:A

2013 年深圳市高三年级第二次调研考 试 数学(理科)
本试卷共6页,21小题,满分150分.考试用时120分钟. 注意事项:

2013.4

1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名和考生号填写 在答题卡指定位置上. 2B 铅笔将试卷类型 用 (A) 填涂在答题卡相应位置上, 条 将 形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处” . 2. 选择题每小题选出答案后, 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑, 如 用 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区 域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使 用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4. 作答选做题时, 请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点, 再作答. 漏涂、 错 涂、多涂的答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡交回. 参考公式:锥体体积公式 V ?

1 Sh ,其中S 为锥体的底面积,h 为锥体的高. 3 如果在事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率记为P(B | A) ,那么 P( AB) ? P( A)P(B | A) .

一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.i 为虚数单位,则i ???i等于 A.0 B.2i C. 1 ? i

D.?1? i

2.已知集合A ? {0 , 1} ,则满足条件A ? B ? {2 , 0 , 1 , 3} 的集合B 共有

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

3.下列四个函数中,既是定义域上的奇函数又在区间0, ( 1 内单调递增的是 ) A. y ??

x

B. y ? e

x

? e? x

C. y ? x sin x

D. y ? lg

1? x 1? x

4.一支田径队有男运动员56人,女运动员42人,若用分层抽样的方法从全体运动员中 抽出一个容量为28的样本,则样本中女运动员的人数为 A.9 B.10 C.11
?

D.12

x 2 y 2 ? 1 的渐近线方程为 y ? ?? 3x ,则以它的顶点为焦点,焦点为 5.已知双曲线 2 ?? 2 a b
顶点的椭圆的离心率等于 A.

1 2

B.

2 2

C.

3 2
y y ? cos x O

D.1

6.已知x ? R ,则x ? 1 是 | x ?1| ? | x ?1|? 2 | x | 的 A.充分非必要条件 C.充要条件 B.必要非充分条件 D.既非充分也非必要条件

y ? sin x π 2 x

7.由曲线 y ? sin x , y ? cos x 与直线x ? 0 ,x ?

π 2

所围成的平面图形(图1 中的阴影部分)的面积是 A.1 8. 1 ? (1 ? x) ? (1 ? x) 在 A.10
2

图1

B.

π 4

C.

2 3

2

D.2 2 ? 2

? (1 ? x) 3 ? (1 ? x) 4 ? (1 ? x) 5 的展开式中, x 2 项的系数是 含
B.15 C.20 D.25

二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题, 每小题5分,满分30分. (一)必做题:第9、10、11、12、13题为必做题. 9. 某简单组合体的三视图如图2, 其中正视图与 侧 视图相同(尺寸如图,单位:cm)则该组 , 合体的体积是 cm3(结果保留? ) .
俯视图 图2 正视图 侧视图 1 2
1 1

10.若直线 y ? kx 与曲线 y ? ln x 相切,则k ? ? 11.执行图3 中程序框图表示的算法,其输出的结果

s ? 0, t ? 1, n ? 0 s ? s ? t ? 2n

s为



(注:框图中的“=”即为“←”或为“:” , =) 12.已知向量a ? (1 , ? 2) , M 是平面区域

t ? 1? t n ? n ?1


n ? 8?


?x ? 0 , y ? 0 ?? ?x ? y ? 1 ? 0 ?? ? y ? 4 ? 0 ?2x
内的动点,O 是坐标原点,则a ? OM 的最小值是 .

输出s 结束

图3

13.在n ? n 的方格中进行跳棋游戏.规定每跳一步只能向左,或向右,或向上,不能向 下,且一次连续行走的路径中不能重复经过同一小方格. 设 f (n) 表示从左下角“○”位置开始,连续跳到右上角 “☆”位置结束的所有不同路径的条数.如图4,给出了



n ? 3 时的一条路径.则 f (3) ? ?
; f (n) ? ? .


图4

(二)选做题:第14、15题为选做题,考生只能从中选做一题. 14.坐标系与参数方程选做题) ( 在极坐标系中,? ? 3cos ? 上的点到直线? cos(? ? 圆 15.几何证明选讲选做题) ( 如图5,P 是圆O 外一点,PT 为切线, T 为切点, 割线PAB 经过圆心O ,PT ? 2 3 ,PB ? 6 , 则?PTA ? ? .
图5

?

) ? 1 的距离的最大值是 3
T



P

A

??

O

B

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.本小题满分12 分) ( ? 已知△ABC 中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、 C 的对边, 且a
2
?

?

? b2 ? c2 .
(1)求角C 的大小; (2)求

的取值范围. 17.本小题满分12 分) ( 一个箱中原来装有大小相同的5 个球, 其中3 个红球, 个白球. 2 规定: 进行一次操 作 是指“从箱中随机取出一个球,如果取出的是红球,则把它放回箱中;如果取出的是白 球, 则该球不放回,并另补一个红球放到箱中. ” (1)求进行第二次操作后,箱中红球个数为4 的概率; (2)求进行第二次操作后,箱中红球个数的分布列和数学期望.

2013年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科)试题

第4页 共6页

18.本小题满分14 分) ( 如图 6,已知四边形ABCD 是矩形,AB ? 2BC ? 2 ,三角形PAB 是正三角形,且 平面ABCD ? 平 面PCD . (1)若O 是CD 的中点,证明:BO ? PA ; (2)求二面角B ? PA ? D 的余弦值.

19.本小题满分14 分) ( 已知数列 {an } , {bn } 满足:a1 ? 0 , b1 ? 2013 ,且对任意的正整数n ,a n ,an ?1 ,

bn 和an ?1 ,bn ?1 ,bn 均成等差数列.
(1)求a 2 ,b2 的值; (2)证明: {a n ? bn } 和 {a n ? 2bn } 均成等比数列; (3)是否存在唯一的正整数c ,使得a n ? c ? bn 恒成立?证明你的结论.

20.本小题满分14 分) ( 已知动点M 到点F( , 1的距离与到直线 y ? 4 的距离之和为5. 0 ) (1)求动点M 的轨迹E 的方程,并画出图形; (2)若直线l :y ? x ? m 与轨迹E 有两个不同的公共点A 、B ,求m 的取值范围; (3)在(2)的条件下,求弦长 | AB | 的最大值.
y 8 7 6 5 4 3 2 1 F (0 , 1) ?5 ?4 ?3 2 ? ?1 O ?1 ?2 1 2 3 4 5 x y?4

图7

21.本小题满分14 分) ( 定义? (x , y)=|e
x

? y | ? y | x ? ln y | ,其中x ? R , y ? R ? .

(1)设a ? 0 ,函数 f (x) ? ? (x , a) ,试判断 f ( x) 在定义域内零点的个数; (2)设0 ? a ? b ,函数F (x) ? ? (x , a) ? ? (x , b) ,求F ( x) 的最小值; (3)记(2)中的最小值为 T (a , b) ,若 {an } 是各项均为正数的单调递增数列, 证明:

? T (a , a
i i ?1

n

i ?1

) ? (a n?1 ? a1 ) ln 2 .

2013 年江门佛山两市普通高中高三教学质量检测

数 学 (理科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项:2013.4.18 1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后,用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.

2013.4

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域 内;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以 上要求作答的答案无效. 4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回. 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 已知 M ? x ?2 ? x ? 4, x ? Z , N ? x ?1 ? x ? 3 ,则 M ? N ? A. ? ?1,3? D. ??2, ?1, 0? 2.已知复数 z 的实部为,且 z ? 2 ,则复数 z 的虚部是 A.? 3 B. 3i C.? 3i D.? 3 B. [?2,1) C .

?

?

?

?

?0,1, 2?

3.已知数列 {a n } 是等差数列,若 a3 ? a11 ? 24, a 4 ? 3 ,则数列 {a n } 的公差等于 A.1 B.3 C.5 D.6

4. 为了解一片速生林的生长情况,随机测量了其中 100 株树木的底部周长(单位:cm) .根 据所得数据画出了样本的频率分布直方图(如右) ,那么在这 100 株树木中,底部周长小于 110cm 的株数是 A.30 C.70 5.函数 f ( x) ? sin ? ? x ? B.60 D.80
0.04 0.02 0.01 80 90 100 110 120 130 周长(cm) 频率/组距

? ?

??

1] ? , x ? [?1, ,则 2?

A. f ( x) 为偶函数,且在 [0, 上单调递减; 1] B. f ( x) 为偶函数,且在 [0, 上 单调递增; 1]

第 4 题图

C. f ( x) 为奇函数,且在 [?1,] 上单调递增; 0 D. f ( x) 为奇函数,且在 [?1,] 上单调递减. 0 6.下列命题中假命题是 ... A.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行; B.垂直于同一条直线的两条直线相互垂直; C.若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; D.若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的相交直线分别平行,那么这两个平面 相互平行.

? x?0 ? y?0 ? 7.直线 2 x ? y ? 10 ? 0 与不等式组 ? 表示的平面区域的公共点有 ? x ? y ? ?2 ?4 x ? 3 y ? 20 ?
A. 0 个 B. 个 C. 2 个 D.无数个

8.将边长为 2 的等边三角形 PAB 沿 x 轴滚动,某时刻 P 与坐标原点重合(如图) ,设顶点

P ( x, y ) 的轨迹方程是 y ? f ( x) ,关于函数 y ? f ( x) 的有下列说法:
① f ( x) 的值域为 [0, 2] ; ② f ( x) 是周期函数; ③ f (?1.9) ? f (? ) ? f (2013) ; ④ y B

?

6

0

9 f ( x)dx ? ? . 2

OP A 第 8 题图

x

其中正确的说法个数为: A.0
[来源:Zxxk.Com]

B.

C. 2

D. 3

二、填空题:本大共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.命题“ ? x0 ? R, e x0 ? 0 ”的否定是 10. 已知向量 a , b 满足 a ? 1, b ?
n

. . .

2 , ? a ? b ? ? a , 向量 a 与 b 的夹角为

11.若二项式 ?1 ? 2 x ? 展开式中 x 3 的系数等于 x 2 的系数的 4 倍,则 n 等于

12 . 已 知 圆 C 经 过 点 A(0,3) 和 B(3,2) , 且 圆 心 C 在 直 线 y ? x 上 , 则 圆 C 的 方 程 为 .

13.将集合{ 2 s ? 2t | 0 ? s ? t 且 s, t ? Z }中的元素按上小下大, 左小右大的顺序排成如图的三角形数表,将数表中位于第行第 j 列 的数记为 bi j ( i ? j ? 0 ),则 b65 = .

3 5 9 ? ? 10 ?
第 13 题图

6 12 ?

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题)

B 14. (坐标系与参数方程)在极坐标系中,设曲线 C1 : ? ? 2sin ? 与 C2 : ? ? 2 cos ?
的交点分别为 A、B ,则线段 AB 的垂直平分线的 极坐标方程为 .

O

15. (几何证明选讲)如图,圆 O 的直径 AB ? 9 ,直线 CE 与圆 O

A E C D 第 15 题图

相切于点 C , AD ? CE 于 D ,若 AD ? 1 ,设 ?ABC ? ? , 则 sin ? ? ______.

三、解答题: 本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出 文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, Ox 为始边, ? 的终边与单位圆 O 的交点 B 在第一象限, 以 角 已知 A(?1,3) . (1)若 OA ? OB ,求 tan ? 的值; (2)若 B 点横坐标为

4 ,求 S ?AOB . 5


A B

D


E



17. (本题满分 12 分)

第 17 题图 市民李生居住在甲地,工作在乙地,他的小孩就读的小学在丙地,三地之间的道路情况如 图所示.假设工作日不走其它道路,只在图示的道路中往返,每次在路口选择道路是随机的.同 一条道路去程与回程是否堵车相互独立. 假设李生早上需要先开车送小孩去丙地小学, 再返回 经甲地赶去乙地上班.假设道路 A 、 B 、 D 上下班时间往返出现拥堵的概率都是

C

1 ,道路 C 、 10

1 E 上下班时间往返出现拥堵的概率都是 ,只要遇到拥堵上学和上班的都会迟到. 5
(1)求李生小孩按时到校的概率; (2)李生是否有七成把握能够按时上班? (3)设 ? 表示李生下班时从单位乙到达小学丙遇到 拥堵的次数,求 ? 的均值.

18. (本题满分 14 分) 如 图 甲 , 设 正 方 形 ABCD 的 边 长 为 3 , 点 E、F 分 别 在 AB、CD 上 , 并 且 满 足

AE ? 2 EB,CF ? 2 FD ,如图乙,将直角梯形 AEFD 沿 EF 折到 A1 EFD1 的位置,使点 A1 在
平面 EBCF 上的射影 G 恰好在 BC 上. (1)证明: A1 E // 平面 CD1 F ; (2)求平面 BEFC 与平面 A1 EFD1 所成二面角的余弦值.

A1

A

D F

D1

E B
图甲

E

F
B

C
第 18 题图

G
图乙

C

19. (本题满分 14 分) 在平面直角坐标系内,动圆 C 过定点 F ?1, 0 ? ,且与定直线 x ? ?1 相切. (1)求动圆圆心 C 的轨迹 C2 的方程; (2)中心在 O 的椭圆 C1 的一个焦点为 F ,直线过点 M (4, 0) .若坐标原点 O 关于直线的对 称点 P 在曲线 C2 上,且直线与椭圆 C1 有公共点,求椭圆 C1 的长轴长取得最小值时的椭圆方 程.

20. (本题满分 1 4 分) 某水域一艘装载浓硫酸的货船发生侧翻,导致浓硫酸泄漏,对河水造成了污染.为减少对 环境的影响,环保部门迅速反应,及时向污染河道投入固体碱,个单位的固体碱在水中逐渐溶 化 , 水 中 的 碱 浓 度 f ( x) 与 时 间 x ( 小 时 ) 的 关 系 可 近 似 地 表 示 为 :

x 6 ? ? 2? 6 ? x?3 ? f ( x) ? ? ?1 ? x ? 6 ?
产生有效的抑制作用.

0? x?3
,只有当污染河道水中碱的浓度不低于

3? x ?6

1 时,才能对污染 3

(1)如果只投放 1 个单位的固体碱,则能够维持有效的抑制作用的时间有多长? (2)第一次投放 1 单位固体碱后,当污染河道水中的碱浓度减少到

[来源:Zxxk.Com]

1 时,马上再投放 1 个单 3

位的固体碱,设第二次投放后水中碱浓度为 g ( x) ,求 g ( x) 的函数式及水中碱浓度的最大值. ...... (此时水中碱浓度为两次投放的浓度的累加) ..

21. (本题满分 14 分) 设 函 数 f 0 ( x) ? x ? e
2 1 ? x 2

, 记 f 0 ( x) 的 导 函 数 f 0?( x) ? f1 ( x) , f1 ( x) 的 导 函 数

f1?( x) ? f 2 ( x) , f 2 ( x) 的导函数 f 2?( x) ? f 3 ( x) ,?, f n ?1 ( x) 的导函数 f n??1 ( x) ? f n ( x) , n ? 1, 2,? .
(1)求 f 3 (0) ; (2)用 n 表示 f n (0) ; (3)设 S n ? f 2 (0) ? f 3 (0) ? ? ? f n ?1 (0) ,是否存在 n ? N * 使 S n 最大?证明你的结论.

2013 年江门佛山两市普通高中高三教学质量检测

数 学(理科)
一、填空题 二、填空题 9. ? x ? R, e x ? 0 13. 80 10. CDBCABBC

评分参考

?
4

11. 8

12. ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 5
2 2

?? 2 ? 14. ? sin ? ? ? ? ? (或 ? sin ? ? ? cos ? ? 1 ) 4? 2 ?

15.

1 3

三、解答题 16.⑴解法 1、 由题可知: A(?1,3) , B(cos ? ,sin ? ) , ??1 分 ??? ? ??? ? ??2 分 OA ? (?1,3) , OB ? (cos ? ,sin ? ) ??? ??? ? ? OA ? OB ,得 OA ? OB ? 0 ??3 分 1 ∴ ? cos ? ? 3sin ? ? 0 , tan ? ? ??4 分 3 解法 2、 由题可知: A(?1,3) , B(cos ? ,sin ? ) ??1 分 ??2 分 kOA ? ?3 , kOB ? tan ? ∵ OA ? OB ,∴ K OA ? K OB ? ?1 ??3 分 1 ?3 tan ? ? ?1 , 得 tan ? ? ??4 分 3 解法 3、 设 B( x , y ) , (列关于 x、y 的方程组 2 分,解方程组求得 x、y 的值 1 分,求 正切 1 分) ⑵解法 1、 由⑴ OA ? (?1) 2 ? (3) 2 ? 10 , 记 ?AOx ? ? , ? ? ( , ? ) 2 3 3 10 ?1 10 ∴ sin ? ? , cos ? ? (每式 1 分) ??6 分 ? ?? 10 10 10 10 4 3 ∵ OB ? 1 cos ? ? ,得 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? (列式计算各 1 分?8 分 5 5 3 10 4 10 3 3 10 sin ?AOB ? sin( ? ? ? ) ? ? ? ? ? (列式计算各 1 分) 10 分 10 5 10 5 10 ∴ S ?AOB ?

?

[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

1 1 3 10 3 AO BO sin ?AOB ? ? 10 ? 1? ? (列式计算各 1 2 2 2 10 分) ??12 分 解法 2、 由题意得: AO 的直线方程为 3 x ? y ? 0 ??6 分

4 3 即 B( , ) (列式计算各 1 分) ??8 分 5 5 4 3 3 ? ? 3 5 5 5 则点 B 到直线 AO 的距离为 d ? ? 10 (列式计算各 1 分)?10 分 10 10

则 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ?

3 5

又 OA ? (?1) 2 ? (3) 2 ? 10 ,∴ S ?AOB ?
分)?12 分

1 1 3 10 3 AO ? d ? ? 10 ? ? (每式 1 2 2 10 2

解法 3、
3 4 3 即 B( , ) (每式 1 分) 5 5 5 ??? ? 4 3 ??? ? 即: OA ? (?1,3) , OB ? ( , ) , 5 5 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ?

??6 分 ??7 分

OA ? (?1) 2 ? (3) 2 ? 10 , OB ? 1 ,
??? ??? ?1? 4 ? 3 ? 3 ? ? OA ? OB 5 5 ? 10 ??9 分 cos ?AOB ? ??? ??? ? ? ? 10 10 ?1 OA OB
(模长、角的余弦各 1 分)

3 10 ??10 分 10 1 1 3 10 3 则 S ?AOB ? AO BO sin ?AOB ? ? 10 ?1? ? (列式计算各 1 2 2 10 2 分) ??12 分 解法 4、 根据坐标的几何意义求面积 (求 B 点的坐标 2 分, 求三角形边长 2 分, 求某个内角的余弦与正弦各 1 分,面积表达式 1 分,结果 1 分)
∴ sin ?AOB ? 1 ? cos 2 ?AOB ? 17.⑴因为道路 D、E 上班时间往返出现拥堵的概率分别是 因此从甲到丙遇到拥堵的概率是
1 1 和 , 10 5

1 1 1 1 3 ? ? ? ? ? 0.15 ( 列 式 计 算 各 1 2 10 2 5 20

分) ??2 分 所以李生小孩能够按时到校的概率是 1 ? 0.15 ? 85% ; ??3 分 17 ⑵甲到丙没有遇到拥堵的概率是 , ??4 分 20 17 丙到甲没有遇到拥堵的概率也是 , ??5 分 20 1 1 1 1 1 1 2 甲到乙遇到拥堵的概率是 ? ? ? ? ? ? , ??6 分 3 10 3 10 3 5 15 2 13 甲到乙没有遇到拥堵的概率是 1 ? ? ,李生上班途中均没有遇到拥堵的概 15 15 17 17 13 3757 ? 0.8 ,所以李生没有八成把握能够按时上班(计算结论各 1 率是 ? ? ? 20 20 15 6000 分)??8 分

⑶依题意 ? 可以取 0,1, 2 . ??9 分 13 17 221 2 17 13 3 73 , P(? ? 1) = , P(? ? 2) = ? ? ? ? ? ? P(? ? 0) = 15 20 300 15 20 15 20 300 2 3 6 ,?11 分 ? ? 15 20 300 分布列是: ? 0 1 2 221 73 6 p 300 300 300
E? ? 221 73 6 85 17 . ? 0+ ?1+ ? 2= ? 300 300 300 300 60

??12 分

18.⑴证明:在图甲中,易知 AE / / DF ,从而在图乙中有 A1 E // D1 F , 分)??4 分 ⑵解法 1、 如图,在图乙中作 GH ? EF ,垂足为 H ,连接 A1 H , 由于 A1G ? 平面 EBCF ,则 A1G ? EF , 所以 EF ? 平面 A1GH ,则 EF ? A1 H ,
学科网]

??1 分

因为 A1 E ? 平面 CD1 F , D1 F ? 平面 CD1 F ,所以 A1 E // 平面 CD1 F (条件 2

??5 分 ??6 分
[来源:

所以 ?A1 HG 平面 BEFC 与平面 A1 EFD1 所成二面角的平面角,

??8 分

图甲中有 EF ? AH ,又 GH ? EF ,则 A、G、H 三点共线, ??9 分 设 CF 的中点为 M ,则 MF ? 1 ,易证 ?ABG ? ?EMF ,所以, BG ? MF ? 1 , AG ? 10 ;??11 分(三角形全等 1 分) AB?AE 6 又由 ?ABG ? ?AHE ,得 A1 H ? AH ? , ?12 分 ? AG 10 4 于是, HG ? AG ? AH ? , ??13 分 10 在 Rt ?A1GH 中, A1 HG 2 cos ?A1GH ? ? ,即所求二 D A D1 A1 H 3 F 2 面 角的余弦值为 .??14 分 H 3 H F E M E B C G C G B
图甲 图乙

解法 2、 如图,在图乙中作 GH ? EF ,垂足为 H ,连接 A1 H ,由于 A1G ? 平面 EBCF , 则 A1G ? EF , ??5 分 所以 EF ? 平面 A1GH ,则 EF ? A1 H ,图甲中有 EF ? AH ,又 GH ? EF ,则

A、G、H 三点共线, ??6 分 设 CF 的中点为 M ,则 MF ? 1 ,易证 ?ABG ? ?EMF ,所以 BG ? MF ? 1 ,则 AG ? 10 ; AB?AE 6 又由 ?ABG ? ?AHE ,得 A1 H ? AH ? , ?7 分 ? AG 10 4 于是, HG ? AG ? AH ? , 10
? 6 ? ? 4 ? 在 Rt ?A1GH 中, A1G ? A1 H ? HG ? ? ?8 分 ? ?? ? ? 2 ? 10 ? ? 10 ? 作 GT / / BE 交 EF 于点 T , TG ? GC , 则 以点 G 为原点, 分别以 GC、GT、GA1
2 2 2 2

所在直线为 x、y、z 轴,建立如图丙所示的空间直角坐标系,则 G (0, 0, 0) 、 ??? ? ???? EA E (1, ?1, 0) 、 F (2, 2, 0) 、 A1 (0, 0, 2) ,则 EF ? (1,3, 0), 1 ? (?1,1, 2) (坐标系、坐 标、向量各 1 分) ??11 分 ???? 显然, GA1 ? (0, 0, 2) 是平面 BEFC 的一个法向量, ??12 分 ? ??? ? ? ?n?EF ? x ? 3 y ? 0, ? 设 n ? ( x, y, z ) 是平面 A1 EFD1 的一个法向量,则 ? ? ???? ,即 ?n?EA1 ? ? x ? y ? 2 z ? 0 ?
? x ? ?3 y, ? ,不妨取 y ? ?1 ,则 ? ? z ? ?2 2 y ? ? ??13 分 n ? (3, ?1, 2 2) , 设平面 BEFC 与平面 A1 EFD1 所成二面角为 ? ,可以看出, ? 为锐角,所以, ???? ? GA1 ?n | 0 ? 3 ? 0 ? (?1) ? 2 ? 2 2 | 2 cos ? ? ???? ? ? ? , 所以, 平面 BEFC 与平面 A1 EFD1 3 | GA1 |? n | | 2 ? 32 ? (?1) 2 ? (2 2) 2

所成二面角的余弦值为

2 . 3

??14 分

19.⑴由题可知,圆心 C 到定点 F ?1, 0 ? 的距离与到定直线 x ? ?1 的距离相 等 ??2 分 由抛物线定义知, C 的轨迹 C2 是以 F ?1, 0 ? 为焦点,直线 x ? ?1 为准线的抛物

线 ??4 分 (确定“曲线是抛物线”1 分,说明抛物线特征 1 分) 所以动圆圆心 C 的轨迹 C2 的方程为 y 2 ? 4 x . ⑵解法 1、
m n 2 2

??5 分

设 P(m, n) ,则 OP 中点为 ( , ) , 因为 O、P 两点关于直线 y ? k ( x ? 4) 对称,所
? m 8k 2 ?n ?m? ? 2 ? k ( 2 ? 4) ?km ? n ? 8k ? ? 1 ? k 2 (中点 1 分,方程组 2 分,化简 1 以? ,即 ? ,解之得 ? ? m ? nk ? 0 ?n ? ? 8k ? n ? k ? ?1 ? m ? ? 1? k2 ?

分) ??8 分

将其代入抛物线方程,得: (? 联立 ? x 2

8k 2 8k 2 ) ? 4? ,所以 k 2 ? 1 . 1? k2 1? k2

??9 分

? y ? k ( x ? 4) ? ,消去 y ,得: y2 ? 2 ? 2 ?1 b ?a
2 2 2 2 2 2 2

(b 2 ? a 2 ) x 2 ? 8a 2 x ? 16a 2 ? a 2b 2 ? 0

??11 分 由 ? ? (?8a ) ? 4(b ? a )(16a ? a b ) ? 0 ,得 a 2 ? b 2 ? 16 , 注意到 b 2 ? a 2 ? 1 ,即 2a 2 ? 17 ,所以 a ?
34 ,即 2a ? 34 , 2

??12 分

[来源:Zxxk.Com]

??13 分

因此,椭圆 C1 长轴长的最小值为 34 .此时椭圆的方程为

x2 y 2 + ? 1 . ?14 分 17 15 2 2

解法 2、 ? m2 ? , m ? ,因为 O、P 两点关于直线对称,则 OM ? MP =4 , ??6 分 设 P? ? 4 ?

? m2 ? ? 4 ? ? m 2 ? 4 ,解之得 m ? ?4 即 ? ??7 分 ? 4 ? 即 P(4, ?4) ,根据对称性,不妨设点 P 在第四象限,且直线与抛物线交于 A, B . 1 则 k AB ? ? ??9 分 ? 1 ,于是直线方程为 y ? x ? 4 (斜率 1 分,方程 1 分) kOP
? y ? x?4 ? 联立 ? x 2 y 2 ,消去 y ,得: (b 2 ? a 2 ) x 2 ? 8a 2 x ? 16a 2 ? a 2b 2 ? 0 ? 2 ? 2 ?1 b ?a

2

?11 分 ??12 分 ??13 分

由 ? ? (?8a 2 )2 ? 4(b2 ? a 2 )(16a 2 ? a 2b 2 ) ? 0 ,得 a 2 ? b 2 ? 16 , 注意到 b 2 ? a 2 ? 1 ,即 2a 2 ? 17 ,所以 a ?
34 ,即 2a ? 34 , 2

因此,椭圆 C1 长轴长的最小值为 34 . 此时椭圆的方程为

x2 y 2 + ? 1 .?14 分 17 15 2 2

0? x?3 ? ? 3? x ?6 ? ? 20.⑴由题意知 ? ??2 分 x 6 1 或? x 1 ?2 ? 6 ? x ? 3 ? 3 ?1 ? 6 ? 3 ? ? 解得 1 ? x ? 3 或 3 ? x ? 4 ,即 1 ? x ? 4 ??3 分 能够维持有效的抑制作用的时间: 4 ? 1 ? 3 小时. ??4 分 ⑵ 由 ⑴ 知 , x ? 4 时 第 二 次 投 入 1 单 位 固 体 碱 , 显 然 g ( x) 的 定 义 域 为 4 ? x ? 10 ??5 分 当 4 ? x ? 6 时,第一次投放 1 单位固体碱还有残留,故 ? 11 x 6 6 ? x ? ? ( x ? 4) g ? x ? = ?1 ? ? + ? 2 ? ? ??6 分 ? = 3 ? 3 ? x ?1 ; 6 ( x ? 4) ? 3 ? ? 6 ? ? 当 6 ? x ? 10 时,第一次投放 1 单位固体碱已无残留,故

8 x 6 ( x ? 4) 6 = ? ? ; ??7 分 ? 6 ( x ? 4) ? 3 3 6 x ? 1 x?4 5 x 当 7 ? x ? 10 时, g ( x) ? 1 ? ; ??8 分 ? ? 6 3 6 所以 6 ?11 x 4? x?6 ? 3 ? 3 ? x ?1 ? 6 ?8 x g ( x) ? ? ? ? 6? x?7 ??9 分 ? 3 6 x ?1 ?5 x 7 ? x ? 10 ?3 ? 6 ? 当 4 ? x ? 6 时, 6 10 x ?1 6 11 x 6 10 x ? 1 10 ? )? ?2 ? = ?( = ?2 2 ; g ( x) ? ? ? 3 x ?1 3 3 x ?1 3 3 3 x ?1 3 x ?1 6 当且仅当 时取 “=” x ? 1 ? 3 2 ? [4, 6] ,即 (函数值与自变量值各 1 分) ?? ? 3 x ?1 11 分 当 6 ? x ? 10 时,第一次投放 1 单位固体碱已无残留, 6 1 ( x ? 5)(7 ? x) 当 6 ? x ? 7 时, g ?( x) ? ? ? ? 0 ,所以 g ( x) 为增函数; 2 ( x ? 1) 6 6( x ? 1) 2 1 当 7 ? x ? 10 时, g ( x) 为减函数;故 g ( x) max = g (7) ? , ??12 分 2 10 1 17 ? 12 2 289 ? 288 又 ( ? 2 2) ? ? = ? 0 ,所以当 x ? 1 ? 3 2 时,水中碱 3 2 6 6 10 浓度的最大值为 ? 2 2 . ??13 分 3 答:第一次投放 1 单位固体碱能够维持有效的抑制作用的时间为 3 小时;第 10 一次投放 1 ? 3 2 小时后, 水中碱浓度的达到最大值为 ? 2 2 . ??14 分 3 1 ? 1 2 ? ?2x 21.⑴易得, f1 ? x ? ? ? ? x ? 2 x ? e , ??1 分 ? 2 ? 1 ?1 2 ? ?2x ??2 分 f2 ? x ? ? ? x ? 2x ? 2 ? e ?4 ? 1 3 ? 1 ? ? x ??3 分 f3 ? x ? ? ? ? x 2 ? x ? 3 ? e 2 ,所以 f3 (0) ? ?3 2 ? 8 ? ⑵不失一般性,设函数 f n ?1 ( x) ? ? an ?1 x 2 ? bn ?1 x ? cn ?1 ? ? e ? x 的导函数为

当 6 ? x ? 7 时, g ( x) ? 2 ?

f n ( x) ? ? an x 2 ? bn x ? cn ? ? e ? x ,其中 n ? 1, 2,? ,常数 ? ? 0 , a0 ? 1, b0 ? c0 ? 0 .

对 f n ?1 ( x) 求导得:
f n??1 ( x) ? [? ? an ?1 x 2 ? (2an ?1 ? ? ? bn ?1 ) x ? (bn ?1 ? ? ? cn ?1 )] ? e ? x 故由 f n??1 ( x) ? f n ( x) 得: an ? ? ? an ?1 ①, ? ? ?bn ? 2an ?1 ? ? ? bn ?1 ②, ? ?

??4 分 ??5 分

cn ? bn ?1 ? ? ? cn ?1
由①得: an ? ? , n ? N ,
n

③ ??6 分
2 bn ?1

代入②得: bn ? 2 ? ? n ?1 ? ? ? bn ?1 ,即 故得: bn ? 2n ? ? n ?1 , n ? N .

?

bn
n

?

?
?

?

? n ?1
?

,其中 n ? 1, 2,? ??7 分

代入③得: cn ? 2n ? ? n ? 2 ? ? ? cn ?1 ,即 故得: cn ? n(n ? 1) ? ? n ? 2 , n ? N ,

?

cn
n

2n

?

2

? n ?1

cn ?1

,其中 n ? 1, 2,? . ??8 分

因此 f n (0) ? cn ? n(n ? 1) ? ? n ? 2 , n ? N . 1 1 将 ? ? ? 代入得: f n (0) ? n(n ? 1)(? ) n ? 2 ,其中 n ? N . 2 2 1 n ?1 (2)由(1)知 f n ?1 (0) ? n(n ? 1)(? ) , 2

??9 分

1 当 n ? 2k (k ? 1, 2,?) 时, S 2 k ? S 2 k ?1 ? f 2 k ?1 (0) ? 2k (2k ? 1) ? (? ) 2 k ?1 ? 0 , 2 ??10 分 ? S 2 k ? S 2 k ?1 ? 0, S 2 k ? S 2 k ?1 ,故当 S n 最大时, n 为奇数.

当 n ? 2k ? 1(k ? 2) 时, S 2 k ?1 ? S 2 k ?1 ? f 2 k ? 2 (0) ? f 2 k ?1 (0) ?11 分 1 1 又 f 2 k ? 2 (0) ? (2k ? 1)(2k ? 2)(? ) 2 k , f 2 k ?1 (0) ? 2k (2k ? 1)(? ) 2 k ?1 2 2 1 2k 1 2 k ?1 ? f 2 k ? 2 (0) ? f 2 k ?1 (0) ? (2k ? 1)(2k ? 2)( ? ) ? 2k (2k ? 1)( ? ) 2 2 1 2 k ?1 ? (2k ? 1)(k ? 1)(? ) ? 0, 2 ??12 分 ? S 2 k ?1 ? S 2 k ?1 ,因此数列 ?S 2 k ?1? (k ? 1, 2,?) 是递减数列 又 S1 ? f 2 (0) ? 2 , S3 ? f 2 (0) ? f3 (0) ? f 4 (0) ? 2 , 故当 n ? 1 或 n ? 3 时, S n 取最大值 S1 ? S3 ? 2 . ??13 分 ??14 分

茂名市 2013 年第二次高考模拟考试

数学试卷(理科)
本试卷共 4 页,21 小题, 满分 1 50 分。考试用时 120 分钟。 参考公式: 锥体的体积公式是 V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

一、选择题。 (本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求 的) 1、 已知全集 U ? R, 则正确表示集合 M={0, 2}和 N={ x | x2 ? 2 x ? 0 }关系的韦恩 1, (Venn) 是( )

2.函数 f ( x) ? A. [2, ??)

x?2 ?

1 的定义域是( x ?3

) D. [2,3) ? ? 3, ?? ?

B. [2,3)

C. (??,3) ? (3, ??) )
[来源:学&科&网 Z&X&X&K]

3、曲线 f(x)=xlnx 在点 x=1 处的切线方程为( A、y=2x+2 B、y=2x-2 C、y=x-1

C、y=x+1 )

4、如图所示的算法流程图 中,第 3 个输出的数是( A、1 B、

3 2

C、2

D、

5 2

[来源:学科网]

5、 “|x-1|<2 成立”是“x(x-3)<0 成立”的( ) A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件 6、已知等差数列共有 10 项,其中奇数项之和为 15,偶数项之和为 30, 则其公差是( ) A、5 B、4 C、3 D、2 7、向量 a ? (2,0), b ? ( x, y) ,若 b 与 b ? a 的夹角等于 最大值为( A、4 ) B、2 3 C、2 D、

?

?

?

? ?

? ? ,则| b |的 6

4 3 3

8、方程

x| x| y| y| ? =-1 的曲线即为函数 y=f(x)的图象,对于函数 y=f(x) ,有如下 16 9

结论:①f(x)在 R 上单调递减;②函数 F(x)=4f(x)+3x 不存在零点;③函数 y=f(x) 的值域是 R;④f(x)的图象不经过第一象限,其中正确的个 数是( ) A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个

二、填空题。 (每小题 5 分,满分 30 分) (一)必做题(9~13 题) 9、已知复数 z 满足(1+i)z=1-i,则复数 z 的共轭复数为____ 10、某项测量中,测量结果 ? 服从正态分布 N(1, ? 2) ? >0) ( ,若 ? 在(0,1)内取值的概 率为 0.4, 则 ? 学科网 在(0,2)内取值的概率为____ 11、若 则 (数字作答) 12、一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为___

13、 若对任意 x ? A, y ? B,( A ? R, B ? R)有唯一确定的f ( x, y)与之对应, 则称f ( x, y) 为 关于 x、y 的二元函数。现定义满足下列性质的二元函数 f ( x, y) 为关于实数 x、y 的广义 “距离” ; (1)非负性: f ( x, y) ? 0,当且仅当x ? y 时取等号; (2)对称 性: f ( x, y) ? f ( y, x) ; (3)三角形不等式: f ( x, y) ? f ( x, z ) ? f ( z, y) 对任意的实数 z 均成立。 今给出三个二元函数,请选出所有能够成为关于 x、y 的广义“距离”的序号:
2 ① f ( x, y) ?| x ? y | ;② f ( x, y) ? ( x ? y) ;③ f ( x, y) ?

x ? y.


能够成为关于的 x、y 的广义“距离”的函数的序号是 (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题)
[来源:学科网]

14. (坐标系与参数方程)在极坐标系 ( ? , ? ) (0 ? ? ? 2? ) 中,曲线 ? (cos ? ? sin ? ) ? 1 与

? (cos ? ? sin ? ) ? ?1 的交点的极坐标为
15. (几何证明选讲)如图所示,AB 是半径等 于 3 的圆 O 的直径, C D 是圆 O 的弦,BA,DC 的延长线交于点 P 若 PA=4,PC=5,则∠CBD



三、解答题。 (本大题共6小题,满分80分.解答须写出 文字说明、证明过程和演算步骤) 16. (本小题满分 12 分) 如图,A是单位圆与x轴正半轴的交点,点B,P在单位圆上, 且B( ( ? , ) , ?AOB ? ? ,

3 4 5 5

???? ??? ??? ? ? ?AOP ? ? ( 0 ? ? ? ? ), OQ ? OA ? OP .
设四边形OAQP的面积为S, (1) 求 cos(? ?

); 6 ??? ???? ? (2) 求 f (? ) = OA ? OQ ? S 的单调递增区间。

?

17. (本小题满分12分) 某校高一级数学必修 I 模块考试的成绩分为四个等级,85 分-100 分为 A 等,70 分-84 分为 B 等,55 分-69 分为 C 等,54 分以下为 D 等.右边的茎叶图(十位为茎,个位为叶)记录了 某班某小组 10 名学生的数学必修 I 模块考试成绩。 (1) 写出茎叶图中这 10 个数据的中位数; (2) 从这 10 个成绩数据中任取 3 个数据,记 ? 表示取到的成绩数据达到 A 等或 B 等的个 数,求 ? 的分布列和数学期望。

18. (本小题满分14分) 如图, 在边长为4的菱形ABCD中,?DAB ? 60? , 点E,F分别在边CD,CB 上, 点E与点C,点D不重合, EF ? AC , EF ? AC ? O , 沿EF将 ?CEF 折起到 ?PEF 的位置, 使得平面 PEF ? 平面 ABFED (1 )求证: BD ? 平面 POA (2)设AO ? BD=H,当O为CH中点时,若点Q满足 AQ QP ,求直线OQ与平面PBD所成角的 = 正弦值。

???? ??? ?

19. (本小题满分14分)已知曲线C:xy=1,过C上一点 An ( xn , yn ) 作一斜率 kn ? ?

1 的 xn ? 2
11 。 7

直线交曲线C于另一点 An?1 ( xn?1 , yn?1 ) ,点列{ An }的横坐标构成数列{ xn },其中 x1 ? (1)求 xn学科网 与 xn ?1 的关系式; (2)求证:数列 (3)求证: 是等比数列;

x2 ? y 2 ? 1上, 动点Q是 20. (本小题满分14分)在平面直角坐标系xoy中,动点在椭圆C1: 2
动圆C2: x ? y ? r (1 ? r ? 2) 上一点。
2 2 2

(1)求证:动点P到椭圆C1的右焦点的距离与到直线x=2的距离之比等于椭圆的 离心率; (2)设椭圆C1上的三点 A( x1 , y1 ), B(1,

2 ), C ( x2 , y2学科网 ) 与点F(1,0)的距离成等差数列, 2

线段AC的垂直平分线是否经过一个定点为?请说明理由。 (3)若直线PQ与椭圆C1和动圆C2均只有一个公共点,求P、Q两点的距离|PQ|的最大值。

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ? x ? x ? bx, g ( x) ? a ln x, (a ? 0) 。
3 2

(1)若 f ( x) 存在极值点,求实数 b 的取值范围; (3)当 b=0 时,令 F ( x) ? ?

? f ( x), x ? 1 。P( x1 , F ( x1 ) ),Q( x2 , F ( x2 ) )为曲线 y= F ( x) 上的 ? g ( x), x ? 1

两动点,O 为坐标原点,请完成下面两个问题: ①能否使得 ? POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形,且斜边中点在 y 轴上?请说明理由。 ②当 1< x1 ? x2 时,若存在 x0 ? ( x1 , x2 ) ,使得曲线 y=F(x)在 x=x0 处的切线 l∥PQ, 求证: x0 ?

x1 ? x2 2

[来源:学科网 ZXXK]

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参考答案

惠州市 2013 届高三第二次调研考试
数 学 (理科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填 写在答题卡上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。 不按以上要求作答的答案无效。 参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 为锥体的高. 3

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一 项符合题目要求. 1. 已知复数 z ? i (1 ? i ) ( i 为虚数单位) ,则复数 z 在复平面上所对应的点位于 ( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ) )

2.集合 M ? ?4,5, ?3m?, N ? ??9, ,若 M ? N ? ? ,则实数 m 的值为( 3? A. 3 或 ?1 B. 3 C. 3 或 ?3 D. ?1 )

3. 等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 S3 ? 6 , a1 ? 4 ,则公差 d 等于(

5 C. ?2 D. 3 3 ? ? ? ? ? 4. 已知向量 a ? ? cos a, ?2 ? , b ? ? sin a,1? ,且 a // b ,则 tan(a ? ) 等于( 4 1 1 A. 3 B. ? 3 C. D. ? 3 3
A.1 B.
a b 5. “ 2 ? 2 ”是“ log 2 a ? log 2 b ”的(



) B.既不充分也不必要条件 D. 必要不充分条件 )

A.充分不必要条件 C.充要条件
2

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为( 6.若抛物线 y ? 2 px 的焦点与椭圆 6 2
A.-2 B.2 C.-4 D.4

7.某工厂从 2004 年开始,近八年以来生产某种产品的情况是:前四年年产量的增长速度越 来越慢,后四年年产量的增长速度保持不变,则该厂这种产品的产量 y 与时间 t 的函数图 像可能是( )

y

y

y

y

t

t

t

t

o

4

8

o

4

8

o

4

8

o

4

8 )

A B D x 2 8. 已知函数 f ( x) ? e ?1, g ( x) ? ? x ? 4 x ? 3 , 若有 f (a) ? g (b) , b 的取值范围为 则 (
A. 2 ? 2, 2 ? 2

C

?

?

B. ? 2 ? 2, 2 ? 2 ?

?

?

C. ?1,3?

D. ?1,3?

二、填空题(本大题共 7 小题,分为必做题和选做题两部分.每小题 5 分,满分 30 分) (一)必做题:第 9 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 9.函数 f ( x) ? 1 ? 2log 6 x 的定义域为 .
开始

2? ? 10. ? x 2 ? ? 的展开式中的常数项为 x? ?

3


输入x 是 f(x)>g(x) 否

11.已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 、 F 分别为 BB1 、CC1 的 中 点 , 那 么 异 面 直 线 AE 与 D1F 所 成 角 的 余 弦 值 为 ________.

h(x)=f(x)

h(x)=g(x)

输出h(x)

12.如图所示的算法流程图中, 若 f ( x) ? 2 , g( x) ? x 则 h(3) 的
x 2

结束

值等于

.

? x ? y ? 2, ? 13. 已知变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 2, 若目标函数 z ? y ? ax 仅在点 ? 5, 3? 处取得最小 ?0 ? y ? 3, ?
值, 则实数 a 的取值范围为 .

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只选做其中一题,两题全答的,只计前一题的得 分。 14. (坐标系与参数方程选做题)以直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,并在两 种坐标系中取相同的长度单位。已知直线的极坐标方程为 ? ?

?
4

( ? ? R ) ,它与曲线

? x ? 1 ? 2cos a ( a 为参数)相交于两点 A 和 B ,则 AB =_______. ? ? y ? 2 ? 2sin a
15. (几何证明选讲选做题) 如图, 从圆 O 外一点 A 引圆的切线 AD 和割线 ABC , 已知 AD ? 2 3 , AC ? 6 ,圆 O 的半径为 3 ,则圆心 O 到 AC 的距离 为 .
A B

C

O

D

三、解答题: (本大题共6小题,满分80分.须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤. ) 16. (本小题满分12分) 已知向量 m ? ? sin A,cos A? , n ? (1)求角 A 的大小; (2)求函数 f ( x) ? cos 2 x ? 4cos A sin x( x ? R) 的值域.

??

?

?

?? ? 3, ?1 ,且 m ? n ? 1 , A 为锐角.

?

17. (本题满分 12 分) 某商场准备在节日期间举行促销活动,根据市场调查,该商场决定从 3 种服装商品、2 种 家电商品、4 种日用商品中,选出 3 种商品进行促销活动。 (1)试求选出的 3 种商品中至少有一种日用商品的概率; (2)商场对选出的商品采用有奖促销,即在该商品现价的基础上价格提高 180 元,同时 允许顾客每购买 1 件促销商品有 3 次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都可获得奖 金 100 元,假设顾客每次抽奖时中奖与否是等可能的,试分析此种有奖促销方案对 商场是否有利。

18.(本小题满分 14 分) 如图, 在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, 侧棱 AA1 ? 底面 ABC , AB ? BC ,D 为 AC 的中点,
A1 A

AA1 ? AB ? 2 .
(1) 求证: AB1 // 平面 BC1 D ; (2) 若四棱锥 B ? AAC1D 的体积为 3 , 1 求二面角 C ? BC1 ? D 的正切值.
C1 C B1 D

B

19. (本小题满分14分)

已知直线 x ? y ? 1 ? 0 与椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A 、 B 两点, M 是线段 AB a 2 b2
1 x 上. 2

上的一点, AM ? ? BM ,且点 M 在直线 l : y ? (1)求椭圆的离心率;

???? ?

???? ?

(2)若椭圆的焦点关于直线 l 的对称点在单位圆 x 2 ? y 2 ? 1上,求椭圆的方程.

20. (本小题满分 14 分) 设 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和, 对任意的 n ? N ? , 都有 Sn ? (m ? 1) ? man ( m 为正常数). (1)求证:数列 ?an ? 是等比数列; (2)数列 ?bn ? 满足 b1 ? 2a1 , bn ?

bn?1 ,(n ? 2, n ? N ? ) ,求数列 ?bn ? 的通项公式; 1 ? bn?1

(3)在满足(2)的条件下,求数列 ?

? 2n ?1 ? ? 的前 n 项和 Tn . ? bn ?

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? x ln x ? b 是奇函数,且图像在点 (e, f (e)) 处的切线斜率为 3 ( e 为自然对数的底数) . (1)求实数 a 、 b 的值; (2)若 k ? Z ,且 k ?

f ( x) 对任意 x ? 1 恒成立,求 k 的最大值; x ?1

(3)当 m ? n ? 1 (m, n ? Z ) 时,证明: nm

?

m n

? ? ? mn ?

n m



惠州市 2013 届高三第二次调研考试
数学(理科)参考答案与评分标准
一.选择题:共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8

B

A

C

B

D

D

B

A

1. 【解析】 1.提示:因为 z ? i(1 ? i) ? ?1 ? i ,所以 z ? i (1 ? i) ? ?1 ? i 对应的点在复平面的第二 象限. 故选 B . 2. 【解析】由 M ? N ? ? 可知 ?3m ? ?9 或 ?3m ? 3 ,故选 A .

3 (a1 ? a3 ) 且 a3 ? a1 ? 2d , a1 ? 4 ,? d ? 2 .故选 C 2 ? ? 1 ? 4. 【解析】由 a // b ,得 cos ? ? 2sin ? ? 0 ,即 tan ? ? ? ,所以 tan(? ? ) ? ?3 , 2 4 故选 B
3. 【解析】 s3 ? 6 ? 5. 【解析】注意 a , b 的正负号.故选 D . 6.【解析】椭圆的右焦点为 F (2, 0) ,?

p ? 2 ,即 p ? 4 ,故选 D 2

7. 【解析】前四年年产量的增长速度越来越慢, 知图象的斜率随 x 的变大而变小, 后四年年产量的增长速度保持不变,知图象的斜率不变,,故选 B . 8. 【 解 析 】 由 题 可 知 f ( x) ? e x ? 1 ? ?1 , g ( x) ? ? x2 ? 4 x ? 3 ? ?( x ? 2)2 ? 1 ? 1 , 若 有

f (a) ? g (b) ,则 g (b) ? (?1,1] ,即 ?b2 ? 4b ? 3 ? ?1 ,解得 2 ? 2 ? b ? 2 ? 2 。故选 A .
二.填空题:共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只选做一题. 9. 0, 6 ?

?

?

10. 12 15. 5

11.

3 5

12. 9

13. ?1, ? ? ?

14.

14

9. 【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件,得

? x?0 ? x?0 x?0 ? ? ? ?? ?0? x? 6 。 1 ? 1?? x x ?1 ? 2 log 6 ? 0 ?log 6 ? ?x ? 62 ? 6 ? 2 ?
2 3 2 2 2 3? 2 (? )2 。 x x 11. 【解析】连接 DF , D1F ,则 DF // AE ,所以 DF 与 D1F 所成的角即为异面直线所成的角,
10. 【解析】 ( x ? ) 的展开式中的常数项即 T2?1 ? C3 ( x )
2

设边长为 2 ,则 DF ? D1F ? 5 ,在三角形 DD1F 中 cos D1 FD ?

5?5?4 3 ? . 2? 5 ? 5 5

12. 【解析】 ( x) ? ? h

?2 x , 2 x ? x 2 , 由数形结合可知, 2 ? x ? 4 时, h ? x ? ? x2 所以有 h(3) ? 9 当 2 x 2 ?x , 2 ? x

13. 【解析】目标函数 z ? y ? ax 可变为直线 y ? ax ? z ,斜率为 a ,仅在点 ?5, 3? 处取得 最小值,只须 a ? 1
2 14. 【解析】直线的普通方程为 y ? x ,曲线的普通方程 ( x ? 1) ? ? y ? 2 ? ? 4 2

? AB ? 2 22 ? (

1? 2 1?1

) 2 ? 14

15. 【解析】先用切割线定理求出 BC 的长度,然后距离 d ?

1 r 2 ? ( BC )2 ? 5 2

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 解: (1)由题意得 m? ? 3 sin A ? cos A ? 1 ???2 分 n

?? ?

? ? 1 2sin( A ? ) ? 1 , sin( A ? ) ? 6 6 2
由 A 为锐角 , 得 A ?

???4 分

?

6

? (? 1 2

? ?

, ) , A? ? , A ? 6 3 6 6 3
???7 分
2

?

?

?

???6 分

(2)由(1)可得 cos A ?

所以 f ( x) ? cos 2x ? 2 sinx ? 1 ? 2sin x ? 2sin x 分 因为 x ? R ,则 sin x ?[?1,1] ,

1 3 ? ?2(sin x ? ) 2 ? 2 2

???9

1 3 时, f ( x ) 有最大值 . 当 sin x ? ?1 时, f ( x ) 有最小值 ?3 , ???11 分 2 2 3 故所求函数 f ( x ) 的值域是 [ ?3, ] . ???12 分 2
当 sin x ?

17. (本小题满分 12 分) 解: (1)从 3 种服装商品、2 种家电商品、4 种日用商品中,选出 3 种商品,一共有
3 3 C9 种不同的选法,选出的 3 种商品中,没有日用商品的选法有 C5 种,??2 分

所以选出的 3 种商品中至少有一种日用商品的概率为 P ? 1 ?

3 C5 5 37 ??4 分 ? 1? ? 3 C9 42 42

(2) 顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量 ? , 其所有可能的取值为 0, 100, 200, 300。 (单元:元) ??6 分

? ? 0 表示顾客在三次抽奖中都没有获奖,所以 P (? ? 0) ? ( )3 ? ,??7 分
同理可得 P(? ? 100) ? C3 ( ) ? ( ) ?
1 2

1 2

1 8

1 2

1 2

3 1 1 3 , P(? ? 200) ? C32 ( ) 2 ? ( ) ? 8 2 2 8,
??9 分

1 1 P(? ? 300) ? ( )3 ? 2 8
于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是

1 3 3 1 E (? ) ? 0 ? ? 100 ? ? 200 ? ? 300 ? ? 150 ? 180 ????11 分 8 8 8 8
故促销方案对商场有利。 ????12 分

18. (本小题满分 14 分) (1)证明: 连接 B1C ,设 B1C 与 BC1 相交于点 O ,连接 OD , ∵ 四边形 BCC1B1 是平行四边形,∴点 O 为 B1C 的中点. ∵ D 为 AC 的中点,∴ OD 为 ?AB1C 的中位线, ∴ OD // AB1 . ?? 2 分
D A1 A

E

∵ OD ? 平面BC1D, AB1 ? 平面BC1D , ∴ AB1 // 平面BC1D . (2)解: 依题意知, AB ? BB1 ? 2 , ∵ AA ? 平面ABC, AA ? 平面AAC1C , 1 1 1
C1

?? 4 分

B1

B

G
O C

F

∴ 平面ABC ? 平面AAC1C, 且平面ABC ? 平面AAC1C ? AC 1 1 作 BE ? AC ,垂足为 E ,则 BE ? 平面AAC1C , 1 设 BC ? a , 在 Rt ?ABC 中, AC ? ??6 分

AB2 ? BC2 ? 4 ? a2 , BE ?

AB?BC 2a ? , AC 4 ? a2

∴四棱锥 B ? AAC1D 的体积 V ? 1

1 1 ? ( A1C1 ? AD)?AA1 ?BE 3 2
?? 8 分

1 3 2a ? ? 4 ? a2 ? 2 ? ?a。 6 2 4 ? a2
依题意得, a ? 3 ,即 BC ? 3 . (以下求二面角 C ? BC1 ? D 的正切值提供两种解法) 解法 1:∵ AB ? BC, AB ? BB1 , BC ? BB1 ? B ,

?? 9 分

BC ? 平面BB1C1C , BB1 ? 平面BB1C1C ,∴ AB ? 平面BB1C1C .?? 10 分
取 BC 的中点 F ,连接 DF ,则 DF // AB ,且 DF ? ∴ DF ? 平面BB1C1C . 作 FG ? BC1 ,垂足为 G ,连接 DG ,由于 DF ? BC1 ,且 DF ? FG ? F , ∴ BC1 ? 平面DFG . 又∵ DG ? 平面DFG ,∴ BC1 ? DG . ∴ ?DGF为二面角C ? BC1 ? D的平面角. ?? 12 分

1 AB ? 1 . 2



3 ?2 BF ? 1 2 CC 3 13 GF BF ? ? ,得 GF ? , ? Rt ?BGF ? Rt ?BCC1 ,得 BC1 13 CC1 BC1 13

在 Rt ?DFG 中, tan ?DGF ?

DF 13 ? . GF 3
13 . 3
?? 14 分

∴二面角 C ? BC1 ? D 的正切值为

解 法 2: ∵ AB ? BC, AB ? BB1 , BC ? BB1 ? B , BC ? 平面BB1C1C ,

BB1 ? 平 面

BB1C1C ,
z

∴ AB ? 平面BB1C1C .

?? 10 分

A1

A

以点 B1 为坐标原点,分别以 B1C1 , B1B, B1 A1 所在直线为 x 轴,

y 轴和 z 轴,建立空间直角坐标系 B1 ? xyz .
则 B(0, 2, 0) , C1 (3,0,0) , A(0, 2, 2) , D ( , 2,1) .

D

3 2

B1 B y

O C

C1 x

∴ BC1 ? (3, ?2,0) , BD ? ( , 0,1) 设平面 BC1D 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,

???? ?

??? ?

?

3 2

?3 x ? 2 y ? 0 ? ??? ? ? ???? ? ? 由 n ? BC1 ? 0 及 n ? BD ? 0 ,得 ? 3 ? 2 x?z ?0 ?
令 x ? 2 ,得 y ? 3, z ? ?3 . 故平面 BC1D 的一个法向量为 n ? (2,3, ?3) , 又平面 BC1C 的一个法向量为 AB ? (0,0, ?2) ,

?

?? 11 分

??? ?

? ??? ? ? ??? ? n ? AB 2 ? 0 ? 0 ? 3 ? (?2) ? (?3) 3 ∴ cos ? n, AB ?? ? ??? . ? ? 2 ? 22 22 n AB
∴ sin ? n, AB ?? 1 ? (

?? 12 分

? ??? ?

3 2 13 . ) ? 22 22

?? 13 分

∴ tan ? n, AB ??

? ??? ?

13 . 3
13 . 3
?? 14 分

∴二面角 C ? BC1 ? D 的正切值为 19. (本小题满分 14 分)

解:设 A 、 B 两点的坐标分别为 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) (1)由 AM ? ? BM 知 M 是 AB 的中点,

???? ?

???? ?

??????1 分

?x ? y ?1 ? 0 ? 2 2 2 2 2 2 2 由 ? x2 y 2 得: (a ? b ) x ? 2a x ? a ? a b ? 0 ???????4 分 ? 2 ? 2 ?1 b ?a
x1 ? x2 ? 2a 2 2b 2 , y1 ? y2 ? ?( x1 ? x2 ) ? 2 ? 2 a 2 ? b2 a ? b2
????5 分

a2 b2 ? M 点的坐标为 ( 2 , ) a ? b2 a 2 ? b2
又 M 点在直线上:?

a2 2b 2 ? 2 ?0 a 2 ? b2 a ? b2

?6 分

? a2 ? 2b2 ? 2(a2 ? c2 )
?e ? c 2 ? a 2

? a 2 ? 2c 2
??7 分

(2)由(1)知 b ? c ,不妨设椭圆的一个焦点坐标为 F (b, 0) , 设 F (b, 0) 关于直线 l : y ?

1 x 的对称点为 ( x0 , y0 ) ,??????8 分 2

? y0 ? 0 1 3 ? ? x ? b ?2 ? ?1 ? x0 ? 5 b ? ? 0 则有 ? 解得: ? ?y ? 4 b ? x0 ? b ? 2 ? y0 ? 0 ? 0 5 ? 2 ? ? 2
由已知 x02 ? y02 ? 1 , 所求的椭圆的方程为

?????11 分

3 4 ( b) 2 ? ( b) 2 ? 1 , ? b2 ? 1 . 5 5
?????14 分

???13 分

x2 ? y2 ? 1 2

20. (本小题满分 14 分) (1)证明:当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? (m ? 1) ? ma1 ,解得 a1 ? 1 .???????1 分 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? man?1 ? man .即 (1 ? m)an ? man?1 .???????2 分 又 m 为常数,且 m ? 0 ,∴

an m ? (n ? 2) .?????????3 分 an?1 1 ? m
m 的等比数列.????????4 分 1? m

∴数列 {an } 是首项为 1,公比为

(2)解: b1 ? 2a1 ? 2 . ?????????5 分 ∵ bn ?

bn ?1 1 1 1 1 ,∴ ? ? 1 ,即 ? ? 1(n ? 2) .??????7 分 bn bn ?1 bn bn?1 1 ? bn ?1

∴?

?1? 1 ? 是首项为 ,公差为 1 的等差数列.???????????????8 分 2 ? bn ?
2 1 1 2n ? 1 ,即 bn ? ? ? (n ? 1) ?1 ? 2n ? 1 bn 2 2 (n ? N ? ) .???????????9 分



(3)解:由(2)知 bn ?

2 2n?1 ,则 ? 2n (2n ? 1) . 2n ? 1 bn
?10 分

所以 Tn ?

22 23 24 2n 2n?1 , ? ? ??? ? b1 b2 b3 bn?1 bn

即 Tn ? 21 ?1 ? 22 ? 3 ? 23 ? 5 ? ?? 2n?1 ? (2n ? 3) ? 2n ? (2n ?1) , 则 2Tn ? 22 ?1 ? 23 ? 3 ? 24 ? 5 ? ?? 2n ? (2n ? 3) ? 2n?1 ? (2n ?1) ,

① ??11 分 ②???12 分

②-①得 Tn ? 2n?1 ? (2n ?1) ? 2 ? 23 ? 24 ??? 2n?1 ,????????13 分 故 Tn ? 2
n ?1

? (2n ? 1) ? 2 ?

23 (1 ? 2n?1 ) ? 2n?1 ? (2n ? 3) ? 6 .????????14 分 1? 2

21. (本小题满分 14 分) 解: (1) f (x) 是奇函数,所以 f (? x) ? ? f ( x) ,即

a(? x) ? (? x) ln | ? x ? b |? ?(ax ? x ln | x ? b |)
所以 ln | ? x ? b |? ln | x ? b | ,从而 b ? 0
/ 此时 f ( x) ? ax ? x ln | x | , f ( x) ? a ? 1 ? ln | x |

??1 分, ??2 分, ??3 分, ??4 分

依题意 f / (e) ? a ? 2 ? 3 ,所以 a ? 1 (2)当 x ? 1 时,设 g ( x ) ? 则 g ( x) ?
/

f ( x) x ? x ln x ? , x ?1 x ?1
??5 分

x ? 2 ? ln x ( x ? 1) 2
/

设 h( x) ? x ? 2 ? ln x ,则 h ( x) ? 1 ?

1 ? 0 , h(x) 在 (1 , ? ?) 上是增函数 x

因为 h(3) ? 1 ? ln 3 ? 0 , h(4) ? 2 ? ln 4 ? 0 , 所以 ?x0 ? (3 , 4) ,使 h( x0 ) ? 0 ??7 分

x ? (1 , x0 ) 时, h( x) ? 0 , g / ( x) ? 0 ,即 g (x) 在 (1 , x0 ) 上为减函数;
同理 g (x) 在 ( x0 , ? ?) 上为增函数 从而 g (x) 的最小值为 g ( x0 ) ?

x0 ? x0 ln x0 ? x0 x0 ? 1
??9 分。

所以 k ? x0 ? (3 , 4) , k 的最大值为 3
m n n m

(3)要证 (nm ) ? (mn ) ,即要证 n ln n ? mn ln m ? m ln m ? mn ln n ??10 分, 即证 n(1 ? m) ln n ? m(1 ? n) ln m , n ? 1 ? m ? 1 设 ? ( x) ?
/

n ln n

m ln m

??11 分,

x ln x ,x ?1 x ?1

??12 分,

则 ? ( x) ?

x ? 1 ? ln x ( x ? 1) 2

设 g ( x) ? x ? 1 ? ln x ,则 g ( x ) ? 1 ? x ? 0 , g (x) 在 (1 , ? ? 0 ) 上为增函数,
/

1

?x ? 1 , g ( x) ? g (1) ? 1 ? 1 ? ln1 ? 0 ,
从而 ? / ( x) ? 0 , ? (x) 在 (1 , ? ?) 上为增函数 因为 m ? n ? 1 ,所以 ? (n) ? ? (m) , 所以 (nmm ) n ? (mnn ) m

n ln n m ln m ? , n ?1 m ?1
??14 分

广东省韶关市 2013 届高三 4 月第二次调研测试

数学试题(理科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟.

注意事项:
1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后,用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域 内;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上 要求作答的答案无效. 4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷和答题卡交回. 参考公式:

1 Sh ,其中 S 为锥体的底面面积, h 为锥体的高. 3 2. 柱体的体积公式 V ? Sh ,其中 S 为柱体的底面面积, h 为柱体的高.
1.锥体的体积公式 V ? 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.设全集 U=R, M ? {x | x( x ? 3) ? 0}, N ? {x | x ? ?1} ,则右图中阴影 部分表示的集合为( A. {x | x ? ?1} C. {x | x ? ?3} ). B. {x | ?3 ? x ? 0} D. {x | ?1 ? x ? 0}

2. 若 a, b ? R ,为虚数单位,且 (a ? i )i ? b ?

5 ,则 a ? b ? ( 2?i
D. 2



A . ?2 .

B .0

C. 1

3. 已知 f ( x) ? 3 cos 2 x ? 2sin x cos x, 则 f (

13? )? 6
D.?





A. 3

B .? 3

3 C. 2

3 2

8 5 4.一空间几何体的三视图如右图所示, 该几何体的体积为 12π+ , 则 3 正视图与侧视图中 x 的值为( )

A.5
2 2

B .4
2

C .3

D.2

5.已知, 圆 x ? y ? ? 内的曲线 y ? ? sin x, x ? [?? , ? ] 与 x 轴围成的阴影部分区域记为 ? (如图) ,随机往圆内投掷一个 点 A ,则点 A 落在区域 ? 的概率为( )

4
A. ?
3

3
B. ?
3

2
.C ?
3

1
D ?
3

6. 给出如下四个命题: ①若“ p 且 q ”为假命题,则 p 、 q 均为假命题; ②命题“若 a ? b ,则 2a ? 2b ? 1 ”的否命题为“若 a ? b ,则 2a ? 2b ? 1 ” ; ③“ ?x ? R, x 2 ? 1 ? 1 ”的否定是“ ?x ? R, x 2 ? 1 ? 1 ” ; ④等比数列 ?an ? 中,首项 a1 ? 0 ,则数列 ?an ? 是递减数列的充要条件是公比 q ? 1 ; 其中不正确的命题个数是 ... A.4 B.3 C.2 D.1

7. 已 知 函 数 f ? x ? 是 R 上 的 奇 函 数 , 若 对 于 x ? 0 , 都 有 f ? x ? 2 ? ? f ( x) ,

当x ? ? 0, 2 ? 时, f ? x ? ? log 2 ? x ? 1? 时, f ? ?2013? ? f ? 2012 ? 的值为
A. ?2 B. ?1 C.1 D.2 8. .将高一(6)班 52 名学生分成 A,B 两组参加学校组织的义务植树活动,A 组种植 150 棵大 叶榕树苗,B 组种植 200 棵红枫树苗.假定 A, B学科网两组同时开始种植.每名学生种 植一棵大叶榕树苗用时 2 小时,种植一棵枫树苗用时 1 小时.完成这次植树任务需要最短时 2 5 间为( A. ) B.

10 3

60 19

C.

25 8

D.

23 8

开始 输入 p

二、填空题:本大共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9. 已知平面向量 a , b , a ? 1 , b ? 2 , a ? (a ? b) ;则 cos ? a, b ? 的值是 . .

n ? 0, S ? 0

n? p




10. 执行右边的程序框图,若 p ? 4 ,则输出的 S ?

n ? n ?1

输出 S 结束

11、 设点 P 是双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 与圆 x 2 ? y 2 ? a 2 ? b 2 在第 2 a b

S?S?

1 2n

一象限的交点,其中 F1 , F2 分别是双曲线的左、右焦点,若 tan ?PF2 F1 ? 3 ,则双曲线的离心 率为______________. 12. 已知 ?x ? R ,使不等式 log 2 (4 ? a ) ? 3 ? x ? 3 ? x ? 1 成立,则实数 a 的取值范围 是 .

13. .下面给出四种说法: ①设 a 、 b 、 c 分别表示数据 15 、 17 、 14 、 10 、 15 、 17 、 17 、 16 、 14 、 12 的平均数、 中位数、众数,则 a ? b ? c ; ②在线性回归模型中, 相关指数 R 表示解释变量对于预报变量变化的贡献率,R 越接近于 1, 表示回归的效果越好 ③绘制频率分布直方图时,各小长方形的面积等于相应各组的组距; ④设随机变量 ? 服从正态分布 N (4, 2 ) ,则 P (? ? 4) ?
2

2

2

1 . 2

其中正确的说法有 (请将你认为正确的说法的序号全部填写在横线上) (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,过点 A ?1 , ? 的一条切线,则切线长为 .

? ?

π? ? 引圆 ? ? 8sin ? 2?

15. (几何证明选讲选做题)如图, AB 为圆 O 的直径, C 为圆 O 上一点,

AP 和过 C 的切线互相垂直,垂足为 P ,过 B 的切线交过 C 的切线于 T , PB 交圆 O 于 Q ,若 ?BTC ? 120? , AB ? 4 ,则 PQ ? PB =
.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. (本题满分12分)

?ABC 的三个内角 A,B,C 对应的三条边长分别是 a, b, c ,且满足 c sin A ? 3a cos C ? 0
(1)求 C 的值; (2)若 cos A ?

3 , c ? 5 3 ,求 sin B 和 b学科网 的值. 5

17. . (本题满分12分)
甲、乙两人在罚球线互不影响地投球,命中的概率分别为

2 3 与 ,投中得 1 分,投不中得 0 分. 3 4

(1)甲、乙两人在罚球线各投球一次,求两人得分之和 ? 的数学期望; (2)甲、乙两人在罚球线各投球二次,求甲恰好比乙多得分的概率.

18. (本题满分14分)如图甲,在平面四边形 ABCD 中,已知

?A ? 45? , ?C ? 90? , ?ADC ? 105? , AB ? BD ,现将四边形 ABCD 沿 BD 折起,使平面
A

ABD ? 平面 BDC(如图乙) ,设点 E、F 分别为棱 AC、AD 的中点. (1)求证:DC ? 平面 ABC; (2)求 BF 与平面 ABC 所成角的正弦值; (3)求二面角 B-EF-A 的余弦值.

19. (本题满分14分) 如图,过点 P(1,0)作曲线 C: y ? x ( x ? (0,??)) 的切线,切点为 Q1 ,设点 Q1 在 x
2

y

轴上的投影是点 P ;又过点 P 作曲线 C 的切线,切点为 Q2 ,设 Q2 1 1 在 x 轴 上 的 投 影 是 P2 ; ??? ; 依 此 下 去 , 得 到 一 系 列 点

Q2

Q1

Q1 ,Q2, Q3 ??? Qn ,设点 Qn 的横坐标为 an .
o
P (1,0)

(1)求直线 PQ1 的方程; (2)求数列 ?an ? 的通项公式; (3)记 Qn 到直线 Pn Qn ?1 的距离为 d n ,求证: n ? 2 时, 20. (本题满分14分) 已知椭圆

P 1

P2

x

1 ? 1 ? ....... ? 1 ? 3 d1 d2 dn

x2 y2 ? 2 ? 1  ?1 的左右焦点为 F1 , F2 ,抛物线 C: y 2 ? 2 px 以 F2 为焦点且与 (a ) a2 a ?1

椭圆相交于点 M ? x1 , y1 ? 、 N

? x2 , y2 ? ,点 M 在 x 轴上方,直线 F1M 与抛物线 C 相切.

(1)求抛物线 C 的方程和点 M 、 N 的坐标; (2)设 A,B 是抛物线 C 上两动点,如果直线 MA , MB 与 y 轴分别交于点 P, Q . ?MPQ 是以

MP , MQ 为腰的等腰三角形,探究直线 AB 的斜率是否为定值?若是求出这个定值,若不是
说明理由. 21. (本题满分14分) 设函数 f ( x) ? ax ? (a ? b) x ? bx ? c 其中 a ? 0, b, c ? R
3 2

1 (1)若 f ?( ) =0,求 f ( x) 的单调区间; 3

(2)设 M 表示 f '(0) 与 f '(1) 两个数中的最大值,求证:当 0≤x≤1 时,| f ?( x) |≤ M .

数学试题(理科)参考答案与评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种

解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能 力比照评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现 Z*X!X!K 错误时,如果后继 部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所 给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的 错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.

DAACA CBC
二、填空题: 填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 9、

1 ; 2

10、

15 ; 16

11、

10 ; 2

12、 [2, 4) ;

13、①②④ 14、 3 ; 15、 3 ; 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 16. (本题满分12分)

?ABC 的三个内角 A,B,C 对应的三条边长分别是 a, b, c ,且满足 c sin A ? 3a cos C ? 0
(1) 求角 C 的值; (2) 若 cos A ?

3 , c ? 5 3 ,求 sin B 和 b 的值. 5

解: (1)因为 c sin A ? 3a cos C ? 0 由正弦定理得:

2 R sin C sin A ? 2 R 3 sin A sin C ? 0 ????2 分
由 sin A ? 0 ????3 分 所以 tan C ? ? 3 , C ? (0, ? ) ;?C ? (2)由 cos A ?

2? ????6 分 3

3 ? 4 , A ? (0, ) 则 sin A ? 1 ? cos 2 A ? ,????8 分 5 2 5

sin B ? sin(? ? A ? C ) ? sin( A ? C ) ? sin A cos C ? cos A sin C

?


4 1 3 3 3 3?4 ????10 分 ? (? ) ? ? ? 5 2 5 2 10

b c c sin B ,b ? ? ? 3 3 ? 4 ????12 分 sin B sin C sin C

17. (本题满分12分)

甲、乙两人在罚球线互不影响地投球,命中的概率分别为

2 3 与 ,投中得 1 分,投不中得 0 分. 3 4

(1)甲、乙两人在罚球线各投球一次,求两人得分之和 ? 的数学期望; (2)甲、乙两人在罚球线各投球二次,求甲恰好比乙多得分的概率. 本小题主要考查概率的基本知识,运用数学知识解决问题的能力,以及推理和运算能力. 解: (1)依题意,记“甲投一次命中”为事件 A, “乙投一次命中”为事件 B,则 A 与 B 相 互独立,且 P(A)=

2 3 1 1 ,P(B)= ,P( A )= ,P( B )= .????1 分 3 4 3 4

甲、乙两人得分之和 ? 的可能取值为 0、1、2,????2 分

1 1 1 P(? ? 0) ? P( AB) ? P( A) P( B) ? ? ? 3 4 12 1 3 2 1 5 P(? ? 1) ? P( AB ? AB) ? P( A) P( B) ? P( A) P( B) ? ? ? ? ? 3 4 3 4 12 2 3 1 P(? ? 0) ? P( AB) ? P( A) P( B) ? ? ? ????4 分 3 4 2
则 ? 概率分布为:

?

0

1

2

P

1 12

5 12

1 2
????5 分

E? =0×

1 5 1 17 +1× +2× = .????6 分 12 12 2 12 17 .????7 分 12

答:每人在罚球线各投球一次,两人得分之和 ? 的数学期望为

(2)设甲恰好比乙多得分为事件 C ,甲得分且乙得 0 分为事件 C1 ,甲得 2 分且乙得分为事 件 C2 ,则 C = C1 + C2 ,且 C1 与 C2 为互斥事件. ????8 分

2 1 1 1 2 2 3 1 7 1 1 P(C ) ? P(C1 ) ? P(C2 ) ? C2 ? ? ? ? ? ? ? C2 ? ? ? ????11 分 3 3 4 4 3 3 4 4 36
答:甲、乙两人在罚球线各投球二次,甲恰好比乙多得分的概率为

7 。????12 分 36

18. (本题满分14 分) 如图甲,在平面四边形 ABCD 中,已知 ?A ? 45 , ?C ? 90 , ?ADC ? 105? , AB ? BD ,现将
? ?

四边形 ABCD 沿 BD 折起,使平面 ABD ? 平面 BDC(如图乙) ,设点 E、F 分别为棱 AC、 A AD 的中点. A (1)求证:DC ? 平面 ABC; (2)求 BF 与平面 ABC 所成角的正弦; F E (3)求二面角 B-EF-A 的余弦. (1) 证明:在图甲中∵ AB ? BD 且 ?A ? 45 (2) ∴ ?ADB ? 45? , ?ABC ? 90?
D B

D C 乙

B

?

C



即 AB ? BD --------------------------------------------------------------------------------------2 分 在图乙中,∵平面 ABD ? 平面 BDC , 且平面 ABD ? 平面 BDC=BD ∴AB⊥底面 BDC,∴AB⊥C D.------------------------------------------4 分 又 ?DCB ? 90? ,∴DC⊥BC,且 AB ? BC ? B ∴DC ? 平面 ABC.-----------------------------------------------------5 分 (2)解法 1:∵E、F 分别为 AC、AD 的中点 ∴EF//CD,又由(1)知,DC ? 平面 ABC, ∴EF⊥平面 ABC,垂足为点 E ∴∠FBE 是 BF 与平面 ABC 所成的角-------------------------------------7 分 在图甲中,∵ ?ADC ? 105? , ∴ ?BDC ? 60? , ?DBC ? 30?

设 CD ? a 则 BD ? 2a, BC ? 3a , BF ?

1 1 2 BD ? 2 2a , EF ? CD ? a -9 分 2 2

1 a EF 2 ? 2 ? ∴在 Rt△FEB 中, sin ?FBE ? FB 4 2a
即 BF 与平面 ABC 所成角的正弦值为

2 .---------------------------------10 分 4

解法 2:如图,以 B 为坐标原点,BD 所在的直线为 x 轴建立空间直角坐标系如下图示, 设 CD ? a ,则 BD ? AB ? 2a, BC ? 3a , AD ? 2 2a ----------------6 分 可得 B (0, 0, 0), D(2a, 0, 0) , A(0, 0, 2a ) ,

3 3 C ( a, a, 0) , F (a, 0, a ) , 2 2
F E

Z A

X

B D C y

∴ CD ? ( a, ?

??? ?

1 2

??? ? 3 a, 0) , BF ? (a, 0, a) -------------8 分 2

设 BF 与平面 ABC 所成的角为 ? 由(1)知 DC ? 平面 ABC

1 2 ??? ??? ? ? a CD ? BF 2 ? ???? ? 2 ? ∴ cos( ? ? ) ? ??? ? 2 4 | CD | ? | BF | a ? 2a

?

∴ sin ? ?

2 ------------------------------------------------------10 分 4

(3)由(2)知 FE⊥平面 ABC, 又∵BE ? 平面 ABC,AE ? 平面 ABC,∴FE⊥BE,FE⊥AE, ∴∠AEB 为二面角 B-EF-A 的平面角----------------------------------------------12 分 在△AEB 中, AE ? BE ?

1 1 7 AC ? AB 2 ? BC 2 ? a 2 2 2

AE 2 ? BE 2 ? AB 2 1 ∴ cos ?AEB ? ?? 2 AE ? BE 7
即所求二面角 B-EF-A 的余弦为 ? 19. (本题满分14 分) 如图,过点 P(1,0)作曲线 C: y ? x ( x ? (0,??)) 的切线,切点为 Q1 ,设点 Q1 在 x
2

1 .-------------------14 分 7

轴上的投影是点 P ;又过点 P 作曲线 C 的切线,切点为 Q2 ,设 Q2 在 x 轴上的投影是 1 1

P2 ;???;依此下去,得到一系列点 Q1 ,Q2 , Qn ..... ,设点 Qn 的横坐标为 an . ......
(1)求直线 P Q1 的方程; (2)求数列 an 的通项公式; (3)记 Qn 到直线 P Qn+1 的距离为 dn ,求证: 1 ? 1 ? ....... ? 1 ? 4 n
Q1
y

Q2

? ?

d1 d2

dn

解: (1)令 Q1 (a1 , a12 ) ,由 y' ? 2 x 得 k PQ1 ? 2 x1 ?????1 分 即

o

P (1,0)

P 1

P 2

x

a12 ? 0 ? 2a1 故 a1 ? 2 ?????2 分 a1 ? 1

? k PQ1 ? 4 ,则切线 l1 的方程为: 4 x ? y ? 4 ? 0 ??????4 分

2 (2)令 Qn (an , an ) ,则 Qn ?1 (an ?1 , an ?1 ), Pn ?1 (an ?1 , 0), ? k Pn?1Qn ?

2

2 an ? 0 ? 2an ??5 分 an ? an ?1

化简得

an ? 2, (n ? 2) ,????6 分 an ?1

故数列 ?an ? 是以 2 为首项 2 为公比的等比数列????7 分 所以 an ? 2n ????9 分 (3)由(2)知 Pn (2 n ,0) , Qn ?1 (2 n ?1 ,2 2 n ? 2 ) 故 k PnQn?1 ? ,

Qn (2 n ,2 2n )

22 n ? 2 ? 0 ? 2n ? 2 , ? lPnQn?1 : 2n ? 2 x ? y ? 22 n ? 2 ? 0 ????10 分 n ?1 n 2 ?2
(2n ? 2 ) 2 ? 1 4n 2n ? ? ? ????11 分 n 4 16 ? 4n ? 1 4 ? 2 4n

? dn ?
?

2n ? 2 ? 2n ? 22 n ? 22 n ? 2

1 4 ? n ?????12 dn 2

1 [1 ? ( 1 )n ] 1 ? 1 ? ....... ? 1 ? 4[ 1 ? ( 1 ) ??? ( 1 ) ] ? 4? 2 2 ? 4[1? ( 1 )n ]? 4 dn 2 2 2 2 故 d1 d2 1? 1 2 ??14 分
2 n

20. 已知椭圆

x2 y2 ? 2 ? 1  ?1 的左右焦点为 F1 , F2 ,抛物线 C: y 2 ? 2 px 以 F2 为焦点 (a ) 2 a a ?1

且与椭圆相交于点 M ? x1 , y1 ? 、 N

? x2 , y2 ? ,点 M 在 x 轴上方,直线 F1M 与抛物线 C 相切.

(1)求抛物线 C 的方程和点 M 、 N 的坐标; (2)设 A,B 是抛物线 C 上两动点,如果直线 MA , MB 与 y 轴分别交于点 P, Q . ?MPQ 是以

MP , MQ 为腰的等腰三角形,探究直线 AB 的斜率是否为定值?若是求出这个定值,若不是
说明理由.

解: (1)由椭圆方程得半焦距 c= a 2 ? (a 2 ? 1) ? 1

????1 分

0 ( 0) 所以椭圆焦点为 F1 (?1,)   F2 1,
又抛物线 C 的焦点为 (

p ,0) 2

?

p ? 1  p ? 2, ? C:y 2 ? 4 x ,    2

??3 分

∵ M ( x1 , y1 ) 在抛物线 C 上,

∴ y1 ? 4x1 ,直线 F1 M 的方程为 y ?
2

y1 ( x ? 1) x1 ? 1

??????4 分

代入抛物线 C 得 y12 ( x ? 1) 2 ? 4 x( x1 ? 1) 2 ,

即4 x1 ( x ? 1) 2 ? 4 x( x1 ? 1) 2 ? x1 x 2 ? ( x12 ? 1) x ? x1 ? 0,   
∵ F1M 与抛物线 C 相切, ???????????????5 分

? ?=(x1 ? 1) 2 ? 4 x1 ? 0 ,
2 2

?????????????6 分 ???7 分

? x1 ? 1,  

∴ M、N 的坐标分别为(1,2)(1,-2) 、 。

(2)直线 AB 的斜率为定值—1. 证 明 如 下 : 设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) , ? M (1, 2) , A 、 B 在 抛 物 线 y ? 4 x 上 ,
2

? y12 ? 4 x1 ? 2 ? ? y2 ? 4 x2 ? 2 ?2 ? 4 ?1

① ② ③
y1 ? 2 4 ? x1 ? 1 y1 ? 2 y2 ? 2 4 ? x2 ? 1 y2 ? 2 ④

由①-③得, k MA ?

由②-③得, k MB ?

④ ……………………………………..10分

因为 ?MPQ 是以 MP,MQ 为腰的等腰三角形,所以 k MA ? ? k MB …………..10分

由 k MA

4 ? y1 ? 2 ? x ?1 ? ? y ? 2 ? 2 化简整理, ? ?kMB 得 ? 1 y2 ? 2 4 ? ?? ? x2 ? 1 y1 ? 2 ?

得?

? y1 y2 ? 2 y2 ? 2 y1 ? 4 ? ?4 x1 ? 4 ⑥ ? y1 y2 ? 2 y1 ? 2 y2 ? 4 ? ?4 x2 ? 4 ⑦

由 ⑥ - ⑦ 得: 4( y1 ? y2 ) ? ?4( x1 ? x2 )

?k ?

y1 ? y2 ?4 ? ? ?1 为定值…………………………….14 分 x1 ? x2 4

解法二:设 A(

y12 y2 , y1 ) , B( 2 , y2 ) ……………………………6 分 4 4

则 k AM ?

y1 ? 2 4 4 , k BM ? ……………………………8 分 ? 2 y1 y1 ? 2 y2 ? 2 ?1 4

因为 ?MPQ 是以 MP,MQ 为腰的等腰三角形,所以 k MA ? ? k MB …………………10 分 即

4 4 ? ?0 y1 ? 2 y2 ? 2
y1 ? y2 ? 4 ?0 ( y1 ? 2)( y2 ? 2)

所以

所以,由 y1 ? y2 ? 4 ? 0 得 y1 ? y2 ? ?4 ……………………………12 分 所以, k AB ?

y2 ? y1 4( y2 ? y1 ) 4 4 ? ?1. ? ? 2 2 ? 2 2 y2 y1 y2 ? y1 y1 ? y2 ?4 ? 4 4
3 2

所以,直线 AB 的斜率为定值,这个定值为 ?1. ……………………………14 分 21. 设函数 f ( x) ? ax ? (a ? b) x ? bx ? c 其中 a ? 0, b, c ? R
1 (1)若 f ?( ) =0,求 f ( x) 的单调区间 3

(2)设 M 表示 f '(0) 与 f '(1) 两个数中的最大值,求证:当 0≤x≤1 时,| f ?( x) |≤ M .
1 解:(1)由 f ?( ) =0,得 a=b. 3

当 a ? 0 时,则 b ? 0 , f ( x) ? c 不具备单调性………………………………..2 分 故 f(x)= ax3-2ax2+ax+c.
1 由 f ?( x) =a(3x2-4x+1)=0,得 x1= ,x2=1.????????3 分 3

列表: x
f ?( x)
1 (-∞, ) 3

1 3

1 ( ,1) 3

1 0 极小值

(1,+∞) + 增

+ 增

0 极大值



f(x)

1 1 由表可得,函数 f(x)的单调增区间是(-∞, )及(1,+∞) .单调减区间是 [ ,1] ?5 分 3 3

(2)当 a ? 0 时, f ?( x) = ?2bx ? b 若b ? 0
f ?( x) ? 0 ,

若 b ? 0 ,或 b ? 0 , f ?( x) 在 [0,1] 是单调函数, ? f ' (0) ? f ?(1) ≤ f ?( x) ≤ f ?(0) ,或

? f ' (1) ? f ?(0) ≤ f ?( x) ≤ f ?(1) ???????????????7 分
所以, f ?( x) ≤ M 当 a ? 0 时, f ?( x) =3ax2-2(a+b)x+b=3 a( x ? ①当

a ? b 2 a 2 ? b 2 ? ab ) ? . 3a 3a

a?b a?b ≥ 1, 或 ≤ 0 时,则 f ?( x) 在 [0,1] 上是单调函数, 3a 3a

所以 f ?(1) ≤ f ?( x) ≤ f ?(0) ,或 f ?(0) ≤ f ?( x) ≤ f ?(1) ,且 f ?(0) + f ?(1) =a>0. 所以 ? M ? f ?( x) ? M .?????????????????????9 分 ②当 0< a ? b <1 ,即-a<b<2a,则 ?
3a

a 2 ? b 2 ? ab ≤ f ?( x) ≤ M . 3a

(i) 当-a<b≤ 所以
f ?(1) ?

a 3a 时,则 0<a+b≤ . 2 2

a 2 ? b 2 ? ab 2a 2 ? b 2 ? 2ab 3a 2 ? (a ? b)2 1 = = ≥ a 2 >0. 3a 3a 3a 4

所以 ? M ? f ?( x) ? M . ????????????????????11 分 (ii) 当
a a 5 <b<2a 时,则 (b ? )(b ? 2a) <0,即 a2+b2- ab <0. 2 2 2

5 ab ? a 2 ? b 2 a 2 ? b 2 ? ab 4ab ? a 2 ? b 2 a 2 ? b 2 ? ab 2 所以 b ? = > >0,即 f ?(0) > . 3a 3a 3a 3a

所以 ? M ? f ?( x) ? M .????????????????????13 分 综上所述:当 0≤x≤1 时,| f ?( x) |≤ M .???????????14 分

试卷类型:A

湛江市 2013 年普通高考测试题(二) 数学(理科)
本试卷共 4 页,共 21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1. 答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上。 用 2B 铅笔将答题卡试卷类型(A)填涂在答题卡上。在答题卡右上角的“试室号”和“座位 号”栏填写试室号、座位号,将相应的试室号、座位号信息点涂黑。 2. 选择题每小题选出答案后, 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑; 用 如需改 动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,不能答在试卷上。 3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内 相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。 不按以上要求作答的答案无效。 4. 考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 参考公式: 锥体的体积公式: V ? Sh ,其中 S 是底面面积,h 是高. 参考数据:
1 3

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一 项是符合题目要求的. 1.已知集合 A= {x|x〉1},B={x|x <4},则 A∩B = A. {X | x < 2} 2. 复数 A. 1 B. {x|-2<x<2} C. {X | x > 1} D. {X| 1 < x < 2}
2

2 的虚部是 1? i
B

2

C.-1

D.- 2

3. 如果命题“ ?( p ? q) ”是真命题,则 A.命题 p、q 均为假命题 B.命题 p、q 均为真命题

C.命题 p、q 中至少有一个是真命题

D.命题 p、q 中至多有一个是真命题

4. 下列函数中既是奇函数,又在(0,+ ? )上单调递增的是 A. y = x
2

B. y = x

3

C. y = -x

D. y = tanx

5. 运行如图的程序框图,输出的结果是

A. 510

B. 1022
2

C. 254

D. 256

6.函数 f(x)= (x-1)cosx 在区间[0,4]上的零点个数是 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

7. 设 F1,F2 是椭圆:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点,若直线 x = wa ( m > 1 )上存在一 a2 b2

点尸,使 Δ F2PF1 是底角为 300 的等腰三角形,则 m 的取值范围是 A. 1 < m < 2 B. m > 2 C. 1 < m <

3 2

D. m >

3 2

8. 某几何体的一条棱长为 7 , 在该几何体的正视图中, 这条棱的投影是长为 6 的线段, 在该几何体的侧视图与俯视图中, 这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段, a + b 的最大 值 则 为 A. 2 2 B. 2 3 C. 4 D. 2 5

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9?13 题) 9.曲线 y= x3-x + 3 在点(1,3)处的切线方程为_______

?2 x ( x ? 0) 1 10.已知函数 f ( x) ? ? ,那么 f [ f ( )] =_______ 3 ?log3 x( x ? 0)
11.不等式|x2-3x+ 1|<1 的解集为______. 12.已知{an}的前 n 项之和为 Sn,a1 =1, Sn = 2an+1,则 Sn =______ 13.四位学生,坐在一排有 7 个位置的座位上,有且只有两个空位是相邻的不同坐法有 ______种.(用数字作答)

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14.(坐标系与参数方程选做题) 在直角坐标系 x 吵中,曲线 C 的参数方程是 ?

? x ? 2 ? 2 cos? ( ? ? [0,2? ],? 为参数), ? y ? 2 sin ?

若以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴,则曲线 C 的极坐标方程是________.

15.(几何证明选讲选做题) 如图,点 A、B、 都在 O 上,过点 C 的切线 交 AB 的延长线于 C 点 D,若 AB = 5, BC = 3,CD = 6,则线段 AC 的长为_______

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 某市甲、乙两校高二级学生分别有 1100 人和 1000 人,为了解两校全体高二级学生期 末 统考的数学成绩情况,采用分层抽样方法从这两所学校共抽取 105 名高二学生的数学 成绩, 并得到成绩频数分布表如下,规定考试成绩在[120,150]为优秀. 甲校:

乙校:

(1) 求表中 x 与 y 的值; (2) 由以上统计数据完成下面 2x2 列联表, 问是否有 99%的把握认为学生数学成绩优秀 与 所在学校有关? (3) 若以样本的频率作为概率, 现从乙校总体中任取 3 人 (每次抽取看作是独立重复的) ,

求优秀学生人数 ? 的分布列和数学期望.(注:概率值可 用分数表示)

17.(本小题满分 12 分) 如图,已知平面上直线 l1//l2,A、B 分别是 l1、l2 上的动点,C 是 l1,l2 之间一 定点,C 到 l1 的距离 CM = 1, C 到 l2 的距离 CN= 3 ,Δ ABC 内角 A、B、C 所对 边分别为 a、b、c,a > b ,且 b.cosB = a.cosA (1) 判断三角形 Δ ABC 的形状; (2)记 ?ACM ? ? , f (? ) ? 大值.

1 1 ? ,求 f(θ )的最 AC BC

18.(本小题满分 14 分) 如图,在长方体 ABCD 一 A1B1C1D1 中,AA1=2, AD = 3, E 为 CD 中点,三棱 锥 A1-AB1E 的体积是 6. (1) 设 P 是棱 BB1 的中点,证明:CP//平面 AEB1; (2) 求 AB 的长; (3)求二面角 B—AB1-E 的余弦值.

19.( 本小题满分 1 4 分) 已知 a < 2 ,

f ( x) ? x ? a ln x ?

a ?1 1 , g ( x) ? x 2 ? e x ? xe x .(注:e 是自然对数的底) x 2

(1) 求 f(x)的单调区间; (2)若存在 x1∈[e,e2],使得对任意的 x2∈[—2,0],f(x1)<g(x2)恒成立,求实数 a 的取值 范围.

20.(本小题满分 14 分) 已知抛物线 C:y2=4x, F 是抛物线的焦点,设 A(x1,y1),B(x2 ,y2)是 C 上异于 原点 O 的两 个不重合点,OA 丄 OB,且 AB 与 x 轴交于点 T (1) 求 x1x2 的值; (2) 求 T 的坐标; (3) 当点 A 在 C 上运动时,动点 R 满足: FA ? FB ? FR ,求点 R 的轨迹方程.

21.( 本小题满分 1 4 分) 已知 x 轴上有一列点 P 1 ,P2 P 3 , ?,P n ,?,当 n ? 2 时,点 P n 是把线段 P n - 1 P n + 1 作 n 等分的分点中最靠近 P n + 1 的点,设线段 P 1 P 2 , P2P3 , P3P4,?,P n P n + 1 的长度分别 为 A1,
A2,A3,?,AN,其中
n

a1=1.

(1)求 a 关于 n 的解析式; (2 )证明:a1 + A2 + a3 + ? + an < 3 (3) 设点 P(n,AN) { n ? 3 ),在这些点中是否存在两个点同时在函数 y ? 的图象上?如果存在,求出点的坐标;如果不存在,说明理由.

k (k ? 0) ( x ? 1) 2

肇庆市中小学教学质量评估 2013 届高中毕业班第二次模拟试题 数 学(理科)
注意事项:1. 答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写 在答题 卡的密封线内. 2. 选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑; 如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能写在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在另发的答题卷各 题目指定区域内相应的位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新 的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh 其中 S 为锥体的底面积, h 为锥体的高 3

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.若 a ? bi ? (1 ? i )(2 ? i) ( i 是虚数单位, a , b 是实数) ,则 z ? a ? bi 在复平面内对应的点 是( ) B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

A.第一象限

2 2.已知集合 M ? {x | 0 ? x ? 3}, N ? {x | x ? 5x ? 4 ? 0} ,则 M ? N ?

A. {x | 0 ? x ? 1} C. {x | 0 ? x ? 4}

B. {x |1 ? x ? 3} D. {x | x ? 0 或 x ? 4}

3.在 ?ABC 中,已知 | AB |?| BC |?| CA |? 2 ,则向量 AB?BC ? A. 2 B. ?2 C. 2 3 )
x ?x

??? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

D. ?2 3

4. 下列函数为奇函数的是( A. y ?| sin x |

B. y ? 2 ? 2

C. y ? ln | x |

D. y ? ln

?? x ?? x

? y?3 ? 5.已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则 z ? 2 x ? y 的最优解是 ?x ? y ? 1 ?
A. 5 B. ?7 C. (4,3) 或 (?2,3) D. 5 或 ?7

6.已知集合 A ? {1, 2}, B ? {6}, C ? {2, 4,7} ,从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐

标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为( A.33 B.34 C.35 7.已知函数 f ? x ? ? A sin ? ? x ?

) D.36

? ?

??

? ( A ? 0, ? ? 0 , x? ? ??, ??? )的最小正周期为 ? , 6? ? ? ?? 上的最小值是 , ? 4 4? ?
C. ?3 D. 2 3

且 f ? 0? ? 3 ,则函数 y ? f ( x) 在 ? ? A. ? 6 B. ?2 3

8.定义全集 U 的子集 M 的特征函数为 f M ( x) ? ?

?1, x ? M ,这里 CU M 表示集合 M 在全 ?0, x ? CU M

集 U 中的补集,已 M ? U , N ? U ,给出以下结论:①若 M ? N ,则对于任意 x ? U ,都 有 f M ( x) ? f N ( x) ;②对于任意 x ? U 都有 fCU M ( x) ? 1? f M ( x) ;③对于任意 x ? U ,都有

f M ? N ( x) ? f M ( x) ? f N ( x) ;④对于任意 x ?U ,都有 f M ? N ( x) ? f M ( x) ? f N ( x) .
则结论正确的是 A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9. | 2 x ? 1|?| 5 ? x | 的解集是 10.

?

?

2 0

(3 x ? sin x)dx ?

.

11.某程序框图如图1所示,该程序运行后输出的结果 k 的值是

12.图 2 是一个组合体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积等于(几何体的接触 面积可忽略不计)

13.与圆 x2 ? y 2 ? x ? 2 y ? 0 关于直线 l : x ? y ? 1 ? 0 对称的圆的方程是







14.(坐标系与参数方程选做题)已知曲线 l1 的极坐标系方程为 ? sin ? ? ?

? ?

??

2 ( ? ? 0, ?? 4? 2

0 ? ? ? 2? ) ,直线 l2 的参数方程为 x ? 1 ? 2t ( t 为参数) ,若以直角坐标系的 x 轴的非负半 y ? 2t ? 2
轴为极轴,则 l1 与 l2 的交点 A 的直角坐标是 ▲

?

15. (几何证明选讲选做题)如图 3,在 Rt ?ABC 中,斜边 AB ? 12 ,直角边 AC ? 6 ,如果以 C 为圆心的圆与 AB 相切于 D ,则 ? C 的半径长为 ▲

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 在 △ ABC 中,内角 A,B,C 所对边的边长分别是 a,b,c .

? 且 △ ABC 的面积等于 3 ,求 cos( A ? B) 和 a, b 的值; 3 3 12 (2)若 B 是钝角,且 cos A ? ,sin B ? ,求 sin C 的值. 5 13
(1)若 c ? 2 , C ? 17.(本小题满分 13 分)
PM2. 5 是指大气中直径小于或等于 2. 5 微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物. 虽然 PM2.5 只

是地球大气成分中含量很少的组分,但它对空气质量和能见度等有重要的影响。 我国 PM2. 5 标准如表 1 所示.我市环保局从市区四个监测点 2012 年全年每天的 PM2.5 监测数据中随机抽取 15
天的数据作为样本,监测值如茎叶图如图 4 所示。

(1)求这 15 天数据的平均值(结果保留整数). (2)从这 15 天的数据中任取 3 天的数据,记表示其中空气质量达到一级的天数 ? ,求 ? 的分布列
和数学期望;

(3) 以这 15 天的 PM2.

5 日均值来估计一年的空气质量情况,则一年(按 360 天计算)中大约有多

少天的空气质量达到一级.

18. (本题满分 13 分) 如 图 5 ? 1 , 在 直 角 梯 形 ABCD 中 , 已 知 AD // BC , AD ? AB ? 1 , ,记折起后 ?BAD ? 90o , ?BCD ? 45o , AE ? BD .将 ?ABD 沿对角线 BD 折起(图 5 ? 2 ) 点 A 的位置为 P 且使平面 PBD ? 平面 BCD . (1)求三棱锥 P ? BCD 的体积; (2)求平面 PBC 与平面 PCD 所成二面角的平面角的大小.

19.(本小题满分 14 分) 已 知 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 S n , 对 一 切 正 整 数 n , 点 Pn (n, S n ) 都 在 函 数

f ( x) ? x 2 ? 2x 的图像上,且过点 Pn (n, S n ) 的切线的斜率为 k n .
(1)求数列 {an } 的通项公式. (2)若 bn

? 2 kn an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

? ? ( 3 ) 设 Q ? {x x ? k n , n ? N }, R ? {x x ? 2a n , n ? N } , 等 差 数 列 {cn } 的 任 一 项

,其中 c1 是 Q ? R 中的最小数, 110 ? c10 ? 115,求 {cn } 的通项公式. cn ? Q? R 20. (本小题满分 14 分)

设椭圆

1 1 2 x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的离心率为 , 其左焦点 E 与抛物线 C : x ? ? y 的焦 2 2 4 b a

点相同.(Ⅰ)求此椭圆的方程;(Ⅱ)若过此椭圆的右焦点 F 的直线 l 与曲线 C 只有一个交点

P ,则
(1)求直线 l 的方程; (2)椭圆上是否存在点 M ( x, y ) ,使得 S ?MPF ? 一共有几个点;若不存在,请说明理由. 21. (本小题满分 14 分)

1 ,若存在,请说明 2

?? x3 ? ax 2 ? bx, ( x ? 1) 2 ? 已知函数 f ( x) ? ? 在 x ? 0, x ? 处存在极值. x ?1 3 ?c(e ? 1), ( x ? 1) ?
(1)求实数 a, b 的值; (2)函数 y ? f (x) 的图像上存在两点 A, B 使得 ?AOB 是以坐标原点 O 为直角顶点的直角三 角形,且斜边 AB 的中点在 y 轴上,求实数 c 的取值范围; (3)当 c ? e 时,讨论关于 x 的方程 f ( x) ? kx ( k ? R ) 的实根的个数.

肇庆市中小学教学质量评估 2012 届高中毕业班第二次模拟试题 数
一、选择题: 题号 答案 1 D 2 A 3 B 4 D 5 C 6 A 7 C 8 A

学(理科)参考答案

解析:
1D 解析: a ? bi ? (1 ? i)(2 ? i) ? a ? bi ? 3 ? i ? z ? 3 ? i 2A 解析: N ? {x | x2 ? 5x ? 4 ? 0} ? {x | x ? 1 or x ? 4} ? M ? N ? {x | 0 ? x ? 1} 3B 解析: AB?BC ? AB ? BC cos ? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

? ?

??

? 1? ? ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? ?2 3? ? 2?

x ? 4D 解析: y ? cos x 是偶函数,, y ? 2 和 y ? x ?? 是非奇非偶函数,故选 D.

5C 解 析 : 约 束 条 件 对 应 的 三 个 “ 角 点 ” 坐 标 分 别 为 : A(1,0), B(4,3), C (?2,3) ,

zA ? 2, zB ? 5, zC ? ?7 ,所以 z ? 2 x ? y 的最优解为 (4,3) 或 (?2,3)
3 6A 解析:若从三个集合中选出的是不同的三个数,则可以组成 5 A3 =30 个不同的点,若 A、C

选取的元素相同都是 1,则可以确定 3 个不同的点,故共有 33 个不同的点. 7C 解析: A ? 2 3, ? ? 2 ? f ( x) ? 2 3 sin ? 2 x ?

? ?

??
? 6?

由?

?
4

?x?

?
4

??

?
3

? 2x ?

?
6

?

2? ? ?? 得 f min ( x) ? 2 3 sin ? ? ? ? ?3 3 ? 3?

8A 解析:利用特殊值法进行求解.设 U ? {1, 2,3}, M ? {1}, N ? {1, 2} 对于① f M (1) ? 1 ? f N (1), f M (2) ? 0 ? f N (2) ? 1, f M (3) ? f N (3) ? 0 可知① 有 正确; 对于②有 f M (1) ? 1, f M (2) ? 0, f M (3) ? 0 , fCU M (1) ? 0, fCU M (2) ? 1, fCU M (3) ? 1 可知②正 确; 对于③ f M (1) ? 1, f M (2) ? 0, f M (3) ? 0 , f N (1) ? 1, f N (2) ? 1, f N (3) ? 0 , 有

f M ?N (1) ? 1, f M ?N (2) ? 0, f M ?N (3) ? 0 可知③正确;
二、填空题: 9. (??, ?6) ? ( , ??) .
2

4 3

10.

3? 2 ?1 8

11. 7

12.

40?

3? 5 ? 13. ? x ? 2 ? ? ? y ? ? ? (或填: x2 ? y 2 ? 4 x ? 3 y ? 5 ? 0 ) 14. (1, 2) 2? 4 ?
2

15. 3 3

9 解析: | 2 x ? 1|?| 5 ? x | , (2x ? 1)2 ? (5 ? x)2 , 3x ? 14 x ? 24 ? 0 , x ? ?6 或 x ? ∵ ∴ ∴ ∴
2

4 . 3

10 解析:

?

?

2 0

? 3 3? 2 2 (3x ? sin x)dx ? ( x 2 ? cos x) |0 ? ?1 . 2 8

11 解: 程序执行的过程如下:

k ? 0, s ? 0 ,符合 s ? 100 , s ? 0 ? 20 ? 1, k ? 1 ;符合 s ? 100 , s ? 1 ? 21 ? 3, k ? 2 ;
符合 s ? 100 , s ? 3 ? 22 ? 7, k ? 3 ;符合 s ? 100 , s ? 7 ? 23 ? 15, k ? 4 ; 符合 s ? 100 , s ? 15 ? 24 ? 31, k ? 5 ;符合 s ? 100 , s ? 31 ? 25 ? 63, k ? 6 ;
6 符合 s ? 100 , s ? 63 ? 2 ? 100, k ? 7 ;不符合 s ? 100 ,故输出 k ? 7 .

12 解析:从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的,其表面及为

S ? 4? ? 22 ? 2 ? ? ? 22 ? 2? ? 2 ? 6 ? 48? .

1? 5 2 ?1 ? ?1 ? ? 13 解:圆 C 的标准方程为 ? x ? ? ? ? y ? 1? ? . 圆心坐标是 ? , ?1? .设与圆心 ? , ?1? 关 2? 4 ?2 ? ?2 ? ?
? y0 ? 1 ? ?1, ? 1 ? x0 ? ? 2 于直线 l 对称的点的坐标是 ? x0 , y0 ? ,则有 ? 解此方程组,得 ?x ? 1 ? 0 2 ? y0 ? 1 ? 1 ? 0. ? 2 ? 2
3 x0 ? ?2, y0 ? . 所以,与圆 C 关于直线 l : x ? y ? 1 ? 0 对称的圆的方程是 2

2

3 5 2 ? x ? 2? ? ? y ? ? ? . ? ? 2? 4 ?

2

14 解析: ? sin ?? ?

? ?

??

2 ? ? 2 ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ? y ? x ?1 ?? 4? 2 4 4 2
,由 ?

? xy ??12?t ?2t2 ? x ? y ? 3
∴CD=AC· sinA=6× 三、解答题

?x ? y ? 3 ?x ? 1 ? A(1, 2) ?? ?y ? x ?1 ?y ? 2
1 AB,∴∠B=30° ,∠A=90° -∠B=60° . 2

15 解析:在 Rt△ABC 中,∵AB=12,AC=6,即 AC=

3 ?3 3. 2
? , 3
∴A ? B ? ? ? C

16 解:(1)∵A ? B ? C ? ? , C ?

∴cos( A ? B) ? cos(? ? C ) ? ? cos C ? ? cos 由余弦定理及已知条件得, a ? b ? ab ? 4 ,
2 2

?
3

??

1 2

(2 分) (4 分) (5 分)

1 又因为 △ ABC 的面积等于 3 ,所以 ab sin C ? 3 ,得 ab ? 4 . 2 2 2 ?a ? b ? ab ? 4, 联立方程组 ? ?ab ? 4, 解得 a ? 2 , b ? 2 . 3 12 (2) ∵B 是钝角,且 cos A ? ,sin B ? 5 13

(7 分)

4 ?3? ∴sin A ? 1 ? cos A ? 1 ? ? ? ? 5 ?5?
2

2

(8 分)

5 ? 1 2? c o s ? ? ? s i B ? ? ? ?1 ? ? ? B 1 n 13 ? 1 3? ∴sin C ? sin ?? ? ( A ? B)? ? sin( A ? B)
2

2

(9 分) (10 分) (12 分)

? sin A cos B ? cos A sin B ?

4 ? 5 ? 3 12 16 ?? ? ? ? ? ? 5 ? 13 ? 5 13 65

17 解: (1)随机抽取 15 天的数据的平均数为:

x?

1 (25 ? 28 ? 31 ?? ? 92) ? 55 15

(3 分)

(2)依据条件, ? 的可能值为 0,1, 2,3 ,
0 3 C5 C10 24 当 ? ? 0 时, P(? ? 0) ? ? , 3 C15 91

(4 分)

1 2 C5C10 45 当 ? ? 1 时, P(? ? 1) ? ? 3 C15 91

(5 分)

当 ? ? 2 时, P(? ? 2) ?

1 C52C10 20 , ? 3 C15 91

(6 分)

3 0 C5 C10 2 当 ? ? 3 时, P(? ? 0) ? ? 3 C15 91

(7 分)

所以其分布列为:

?
P

0 24 91

1

45 91

2 20 91

3 2 91
(8 分)

数学期望为: E? ?

45 20 2 ? 2 ? ? 3? ? 1 91 91 91

(10 分)

(Ⅱ)依题意可知,一年中每天空气质量达到一级的概率为 P ?

5 1 ? , (11 分) 15 3

一年中空气质量达到一级的天数为? ,则? ? B (360, ) ,

1 3

∴ E? ? 360 ?

1 ? 120 (天) 3
(13 分)

所以一年中平均有 120 天的空气质量达到一级. 18 解: (1)∵平面 PBD ? 平面 BCD , PE ? BD ,

PE ? 平面 PBD ,平面 PBD ? 平面 BCD ? BD ,
∴PE ? 平面 BCD , 分) 即 PE 是三棱锥 P ? BCD 的高,
o o 又∵ AD // BC , AD ? AB ? 1 , ?BAD ? 90 , ?BCD ? 45 ,

(2

∴?ABD ? ?CBD ? 45 , ?BDC ? 90 ,
o o

CD ? BD ? AB2 ? AD2 ? 2 ,

∴PE ? AE ? AB sin 45 ?
o

2 , 2

(4

分)

S?BCD ?

1 1 BD ? CD ? ? 2 ? 2 ? 1 , 2 2

∴ 三棱锥 P ? BCD 的体积 V ? 分) (2)方法一:

1 1 2 2 . S?BCD ? PE ? ?1? ? 3 3 2 6

(6

∵PE ? 平面 BCD , CD ? 平面 BCD ,∴CD ? PE 又∵CD ? BD , PE ? PD ? P ,∴CD ? 平面 PBD , 分) ∵PD ? 平面 PBD ,∴CD ? PD ∴PC ? CD ? PD ? 3
2 2 2

(8

∵BD ? 2, CD ? 2, ?BDC ? 900 ,∴BC ? BD ? CD ? 4
2 2 2

∴ BC ? PB ? PC
2 2 0

2

∴?BPC ? 90 ,即 PB ? PC 分) 由已知可知 PB ? PD , ∵PD ? PC ? P ,∴PB ? 平面 PBC 分) ∵PB ? 平面 PBC ,∴ 平面 PBC ? 平面 PBC 分)

(10

(11

(12

o 所 以 平 面 PBC 与 平 面 PCD 所 成 二 面 角 的 平 面 角 的 大 小 为 90 .

(13 分) 方法二: 过 E 作直线 EG // DC ,交 BC 于 G,则 EG ? BD , EG ? PE

如图建立空间直角坐标系, P ? 0, 0, 则

? ? ?

? ? ? ? ? 2? ? 2 2 2 ?, B? ? ? 2 , 0, 0 ? , C ? ? 2 , 2, 0 ? ,D ? ? 2 , 0, 0 ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ?
(8 分)

??? ? 2 ? ? ? 2 ? ??? ? 2 2 ? ??? ? 2 2? PB ? ? , 0, ? , 2, ? , 0, ? ? , PC ? ? ? ? ,PD ? ? ? ? ? 2 ? 2 ? 2 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? ? ?
设平面 PBC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,

? 2 2 ??? ? x? z?0 ? ?n?PB ? 0 ?z ? x ? ? 2 2 则 ? ??? ,即 ? 化简得 ? ? ?x ? 2 y ? z ? 0 ?n?PC ? 0 ?? 2 x ? 2 y ? 2 z ? 0 ? ? 2 ? 2
令 x ? 1 ,得 z ? 1, y ? 1 ,所以 n ? (1,1,1) 是平面 PBC 的一个法向量. 同理可得平面 PCD 的一个法向量为 m ? (1,0, ?1) 设向量 n 和 m 所成角为 ? ,则 cos ? ? (10 分) (11 分)

n?m 0 ? ?0 n m 3? 2
o

(12 分)

∴平面 PBC 与平面 PCD 所成二面角的平面角的大小为 90 .

(13 分)

19 解: (1)? 点 Pn (n, S n ) 都在函数 f ( x) ? x ? 2 x 的图像上,? Sn ? n2 ? 2n(n ? N * ) ,
2

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 1. 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 3 满足上式,所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n ? 1.
2 (2)由 f ( x) ? x ? 2 x 求导可得 f ?( x) ? 2 x ? 2

(3 分)

? ? 过点 Pn (n, S n ) 的切线的斜率为 k n , kn ? 2n ? 2 .
?bn ? 2kn an ? 4 ? (2n ? 1) ? 4n .

(4 分) (5

分)

?Tn ? 4 ? 3? 41 ? 4 ? 5 ? 42 ? 4 ? 7 ? 43 ????+4 ? 2n ? 1) ? 4n (
分)
3 4 由①× 4,得 4Tn ? 4? 3? 42 ? 4? 5? 4 ? 4? 7? 4 ????+4 ? 2 ? 1) 4? 1 (n ? n



(6



(7

分) ①-②得:

?3Tn ? 4 ?3 ? 4 ? 2 ? ? 42 ? 43 ? ??? ? 4n ? (2n ? 1) ? 4n ?1 ? ? ?
2 ? ? 4( ? 4n?1) 1 ? 4 ?3 ? 4 ? 2 ? (2n ? 1) ? 4n?1 ? 1? 4 ? ?

? Tn ?
分)

6n ? 1 n ? 2 16 ?4 ? 9 9

(9

? ? ? (3) Q ? {x x ? 2n ? 2, n ? N }, R ? {x x ? 4n ? 2, n ? N } ,? Q ? R ? R .

(10

分) 又? cn ? Q ? R , 其中 c1 是 Q ? R 中的最小数, c1 ? 6 . ? 分) (11

??cn ? 是公差是 4 的倍数,?c10 ? 4m ? 6(m ? N * ) .
又?110 ? c10 ? 115 , ? ? 分) 设等差数列的公差为 d ,则 d ?

?110 ? 4m ? 6 ? 115 ?m ? N
*

,解得 m ? 27 ,所以 c10 ? 114 ,

(12

c10 ? c1 114 ? 6 ? ? 12, 10 ? 1 9
(14

所以 ?cn ? 的通项公式为 cn ? 12n ? 6 ? cn ? 6 ? (n ? 1) ?12 ? 12n ? 6 , 分) 20 解: (Ⅰ)抛物线 C 的焦点为 E (?1, 0) ,它是题设椭圆的左焦点.离心率为 所以, b ? 2 .由 b ? a ? 1 求得 a ? 3 .
2 2 2

1 1 ? , b 2

x2 y 2 ? ?1 因此,所求椭圆的方程为 4 3

(*)

(Ⅱ) (1)椭圆的右焦点为 F (1, 0) ,过点 F 与 y 轴平行的直线显然与曲线 C 没有交点. 设直线 l 的斜率为 k ,

① 若 k ? 0 ,则直线 y ? 0 过点 F (1, 0) 且与曲线 C 只有一个交点 (0, 0) ,此时直线 l 的方程为 y ? 0 ; ② 若 k ? 0 ,因直线 l 过点 F (1, 0) ,故可设其方程为 y ? k ( x ? 1) ,将其代入

y 2 ? ?4 x 消去 y ,得 k 2x2 ? 2k 2 ?2 x ?k 2 ?0 .因为直线 l 与曲线 C 只有一个交点 P ,所以 ( )
判别式 4(k 2 ? 2)2 ? 4k 2 ? k 2 ? 0 ,于是 k ? ?1 ,从而直线 l 的方程为 y ? x ? 1 或 y ? ? x ? 1 . 因此,所求的直线 l 的方程为 y ? 0 或 y ? x ? 1 或 y ? ? x ? 1 . (2)由(1)可求出点 P 的坐标是 (0, 0) 或 (?1, 2) 或 (?1, ? 2) . ①若点 P 的坐标是 (0, 0) , PF ? 1 .于是 S ?MPF ? 则 式联立:

1 1 = ? 1? y , 从而 y ? ?1 , (*) 代入 2 2

? x2 y 2 ? x2 y 2 ? ?1 ? ? ?1 2 6 ? 或? 4 ,求得 x ? ? ,此时满足条件的点 M 有 4 个: 3 3 ?4 3 ?y ?1 ? y ? ?1 ? ?
?2 6 ? ? 2 6 ? ?2 6 ? ? 2 6 ? , 1? , ? ? , 1? , ? , ? 1? , ? ? , ? 1? . ? ? 3 ? ? ? ? 3 ? ? ? 3 3 ? ? ? ? ? ? ? ?
② 若 点 P 的 坐 标 是 (? 1, 2), 则 PF ? 2 2 , 点 M 到 直 线 l : y ? ? x ? 1 的 距 离 是

x ? y ?1 2
于是有



x ? y ?1 1 1 1 ? S?MPF ? ? 2 2 ? ? x ? y ? 1 ,从而 x ? y ? 1 ? ? , 2 2 2 2

? x2 y2 ? x2 y2 ? ?1 ?4 ? 4 ? 3 ?1 ? ? 3 与(*)式联立: ? 或? 解之,可求出满足条件的点 M 有 4 ?x ? y ?1 ? 1 ?x ? y ?1 ? ? 1 ? ? ? 2 ? 2
个: ?

? 6 ? 57 9 ? 2 57 ? , ?, ? ? 7 14 ? ?

? 6 ? 57 9 ? 2 57 ? ? 11 15 ? ? 3? , ? ? , ? , ? ? , ? ?1, ? . ? ? ? 7 14 ? ? 7 14 2? ? ?

③ 若点 P 的坐标是 (?1, ? 2) ,则 PF ? 2 2 ,点 M ( x, y ) 到直线 l : y ? x ? 1 的距离是

x ? y ?1 2

, 于 是 有

x ? y ?1 1 1 ? S?MPF ? ? 2 2 ? ? x ? y ?1 , 从 而 2 2 2

1 x ? y ?1 ? ? , 2

? x2 y2 ? x2 y2 ? ?1 ?4 ? 4 ? 3 ?1 ? ? 3 与(*)式联立: ? 或? ,解之,可求出满足条件的点 M 有 ?x ? y ?1 ? 1 ?x ? y ?1 ? ? 1 ? ? ? 2 ? 2
4 个:

? 6 ? 57 ?9 ? 2 57 ? , ? ?, ? ? 7 14 ? ?

? 6 ? 57 ?9 ? 2 57 ? ? 11 15 ? ? 3? , ? ? , ? , ? , ? ?1, ? ? . ? ? ? 7 14 ? ? 7 14 2? ? ?

综合①②③,以上 12 个点各不相同且均在该椭圆上,因此,满足条件的点 M 共有 12 个.图上椭圆上的 12 个点即为所求.

2 21. 解 ( 1 ) 当 x ? 1 时 , f ?( x) ? 3x ? 2a x . b ? ?

(1 分)

? f ?(0) ? 0, 2 ? 因为函数 f(x)在 x ? 0, x ? 处存在极值,所以 ? 2 3 ? f ?( 3 ) ? 0, ?
解得 a ? 1, b ? 0 . (3 分)

?? x3 ? x 2 , ( x ? 1), ? (2) 由(1)得 f ( x) ? ? x ?1 ?c(e ? 1), ( x ? 1), ?
根据条件知 A,B 的横坐标互为相反数,不妨设 A(?t , t ? t ), B(t , f (t )),(t ? 0) .
3 2

若 t ? 1 ,则 f (t ) ? ?t ? t ,
3 2

由 ?AOB 是直角得, OA ? OB ? 0 ,即 ?t ? (t ? t )(?t ? t ) ? 0 ,
2 3 2 3 2

??? ??? ? ?

即 t ? t ? 1 ? 0 .此时无解;
4 2

(5

分) 若 t ≥ 1 ,则 f (t ) ?c(e
t ?1

?) . 由于 AB 的中点在 y 轴上,且 ?AOB 是直角,所以 B 点不 1
??? ??? ? ?

t 可 能 在 x 轴 上 , 即 t ? 1 . 由 OA ? OB ? 0 , 即 ?t 2 ? t 3 ? t 2 ? c? e 1 ?=0 , 即 ( ) ( 1)

c?

1 (t ? 1?)et ?1 ?

.. ?1

t ?1 因为函数 y ? (t ? 1) e ? 1 在 t ? 1 上的值域是 (0, ??) ,

?

?

所以实数 c 的取值范围是 (0, ??) . 分)

(7

?? x3 ? x 2 , ( x ? 1) ? (3)由方程 f ( x) ? kx ,知 kx ? ? x ,可知 0 一定是方程的根, ?e ? e, ( x ? 1) ?
分)

(8

?? x 2 ? x, ( x ? 1且x ? 0), ? 所以仅就 x ? 0 时进行研究:方程等价于 k ? ? e x ? e , ( x ? 1). ? ? x ?? x 2 ? x, ( x ? 1且x ? 0), ? 构造函数 g ( x) ? ? e x ? e , ( x ? 1), ? ? x
对于 x ? 1且x ? 0 部分,函数 g ( x) ? ? x ? x 的图像是开口向下的抛物线的一部分,
2

当x?

1 1 1 时取得最大值 ,其值域是 (??, 0) ? (0, ] ; 2 4 4
对于 x ≥ 1 部分,函数 g ( x) ?

ex ? e e x ( x ? 1) ? e ?( x) ? ? 0 ,知函数 g ( x) 在 ,由 g x x2

?1, ??? 上单调递增.
所以,①当 k ? ②当 k ?

1 或 k ? 0 时,方程 f ( x) ? kx 有两个实根; 4
1 时,方程 f ( x) ? kx 有三个实根; 4 1 时,方程 f ( x) ? kx 有四个实根. 4
(14 分)

③当 0 ? k ?

绝密★启用前

揭阳市 2013 年高中毕业班第二次高考模拟考试 数学(理科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位 号填写在答题卡上.2013.4.28 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑, 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须填写在答题卡各题目指定区域 内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改 液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 参考公式:棱锥的体积公式: V ?

1 Sh .其中 S 表示棱锥的底面积,h 表示棱锥的高. 3

一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知全集 U ? R , A ? {x | y ? 2x ? 1} ,则 CU A ? A. [0, ?? ) B. (??, 0) C. (0, ??) D. (??, 0]

2.若 (1 ? 2ai)i ? 1 ? bi ,其中 a、b∈R,i 是虚数单位,则 | a ? bi | =

A.

1 ?i 2

B. 5

C.

5 2

D.

5 4

3.已知点 A (?1,5) 和向量 a =(2,3) ,若 AB ? 3a ,则点 B 的坐标为 A.(7,4) B.(7,14) C.(5,4) D.(5,14) 4.在等差数列 ?an ? 中,首项 a1 ? 0, 公差 d ? 0 ,若 am ? a1 ? a2 ? ?? a9 , 则 m 的值为 A.37 B.36 C.20 D.19 5.一个棱长为 2 的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图 如图(1)示,则该几何体的体积为 A.7 (1)
俯视图

?

??? ?

?

正视图

侧视图

B.

22 3

C.

47 6

D.

23 3



6.已知函数 f ( x) ?

1 ,则 y ? f ( x) 的图象大致为 x ? ln( x ? 1)

7.某市教育局人事部门打算将甲、乙、丙、丁四名应届大学毕业生安排到该市三所不同的学 校任教,每所学校至少安排一名,其中甲、乙因属同一学科,不能安排在同一所学校,则不 同的安排方法种数为 A.18 B.24 C.30 D.36

8.设 f ( x ) 是定义在(0,1)上的函数,对任意的 y ? x ? 1 都有 f (

y?x 1 1 ) ? f ( ) ? f ( ) ,记 xy ? 1 x y

an ? f (

8 1 )( n ? N ?) ,则 ? ai = n 2 ? 5n ? 5 i ?1

A. f ( )

1 2

B. f ( )

1 3

C. f ( )

1 4

D. f ( )

1 5

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9-13 题) 9.若点 (a, ?1) 在函数 y ? log 1 x 的图象上,则 tan
3

4? 的值为 a



x2 y 2 = 1 的右焦点,且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程 10.过双曲线 9 16
元件1



.
元件2

11.某个部件由两个电子元件按图(2)方式连接而成,元件 1 或元件 2 正常工作,则部件正常工作,设两个电子元件的使 用寿命(单位:小时)均服从正态分布 N (1000,502 ) ,且各个

图(2) .

元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为

12.已知函数 f ( x) ? 4 | a | x ? 2a ? 1 .若命题: ?x0 ? (0,1) ,使 f ( x0 ) ? 0 ”是真命题,则 “ 实数 a 的取值范围为 13.已知点 P( x, y) 满足 ? .

?0 ? x ? 1, 则点 Q( x ? y, y) 构成的图形的面积为 ?0 ? x ? y ? 2.



(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题)

? 14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中, 为极点, O 直线 l 过圆 C: ? 2 2 cos(? ?
的圆心 C,且与直线 OC 垂直,则直线 l 的极坐标方程为 .
D

?
4

)

15.(几何证明选讲选做题) 如图(3)所示, C , D 是半圆周上的两个 三等分点,直径 AB ? 4 , CE ? AB ,垂足为 E , BD 与 CE 相交于 点 F ,则 BF 的长为 .

C

F A o 图3 E B

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)

1 ? 2 sin(2 x ? ) 4 , 已知函数 f ( x) ? cos x
(1)求函数 f ( x ) 的定义域; (2)设 ? 是第四象限的角,且 tan ? ? ? 17. (本小题满分 12 分) 某批产品成箱包装,每箱 5 件.一用户在购进该批产品前先取出 3 箱,设取出的 3 箱中, 第一、二、三箱中分别有 0 件、1 件、2 件二等品,其余为一等品. (1)在取出的 3 箱中,若该用户从第三箱中有放回的抽取 3 次(每次一件),求恰有两次抽 到二等品的概率; (2)在取出的 3 箱中,若该用户再从每箱中任意抽取 2 件产品进行检验,用ξ 表示抽检的 6 件产品中二等品的件数,求ξ 的分布列及数学期望. 18. (本小题满分 14 分)

?

4 ,求 f (? ) 的值. 3

, 3, ,且 a1,a2,a3 成公比 数列 ?an ? 中, a1 ? 3 , an?1 ? an ? cn ( c 是常数, n ? 1 2, ? )
不为 1 的等比数列. (1)求 c 的值; (2)求 ?an ? 的通项公式; (3)求最小的自然数 n ,使 an ? 2013 . 19. (本小题满分 14 分) 在图(4)所示的长方形 ABCD 中, AD=2AB=2,E、F 分别为 AD、BC 的中点, M 、 N 两点分别在 AF 和 CE 上运动,且 AM=EN= a (0 ? a ? 2). 把长方形 ABCD 沿 EF 折成大小为 ? 的二面角 A-EF-C, 如图(5)所示,其中 ? ? (0,
0

C

F

B 图 (4) A

N D C E

M

?
2

]

(1)当 ? ? 45 时,求三棱柱 BCF-ADE 的体积; (2)求证:不论 ? 怎么变化,直线 MN 总与平面 BCF 平行;
D

N

F M

B 图 (5)

E

A

(3)当 ? ? 90 且 a ?
0

2 . 时,求异面直线 MN 与 AC 所成角 2

的余弦值. 20. (本小题满分 14 分) 如图(6)已知抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线为 l ,焦点为 F,l 圆 M 的圆心在 x 轴的正半轴上,且与 y 轴相切.过原点作倾斜角 为
y t

? 的直线 t,交 l 于点 A,交圆 M 于点 B,且 | AO |?| OB |? 2 . 3
(1)求圆 M 和抛物线 C 的方程; (2)设 G , H 是抛物线 C 上异于原点 O 的两个不同点,且

B X
O F

M

A

???? ???? OG ? OH ? 0 ,求 ?GOH 面积的最小值;
(6)



(3)在抛物线 C 上是否存在两点 P, Q 关于直线 m : y ? k ? x ?1?? k ? 0? 对称?若存在, 求出直线 m 的方程,若不存在,说明理由.

21. (本小题满分 14 分) 设函数 f n ( x) ? xn (1 ? x)2 在 [ ,1] 上的最大值为 an ( n ? 1, 2,? ) . (1)求 a1 , a2 的值; (2)求数列 {an } 的通项公式; (3)证明:对任意 n ? N ( n ? 2 ),都有 an ?
*

1 2

1 成立. (n ? 2)2

揭阳市 2013 年高中毕业班高考第二次模拟考 数学(理科)参考答案及评分说明
一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主 要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和 难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部 分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数. 一.选择题:BCDA
x

DACC

解析:1.由 2 ? 1 ? 0 得 x ? 0 ,? A ? [0, ??) ,故选 B. 2.由 (1 ? 2ai)i ? 1 ? bi 得 ? a ? ?

1 5 , b ? ?1 ?| a ? bi |? a 2 ? b 2 ? ,选 C. 2 2

3.设 B( x, y) ,由 AB ? 3a 得 ?

??? ?

?

?x ?1 ? 6 ,所以选 D. ?y ?5 ? 9

4.由 am ? a1 ? a2 ? ?? a9 得 (m ?1)d ? 9a5 ? 36d ? m ? 37 ,选 A. 5.依题意可知该几何体的直观图如右上图,其体积为. 2 ? 2 ? ?
3

1 1 23 ? 1? 1? 1 ? ,故选 D. 3 2 3 1 x , 6. g ( x) ? x ? ln( x ? 1) , g(' ) 1 ? 令 则 , g( ) 0 由 ' x ? 得 x ? 0, 即函数 g ( x) x ? ? x? 1 ? x ? 1 ? x 0 ,即函数 g ( x) 在 (?1, 0) 上单调递减,所 ?1 在 (0, ??) 上单调递增,由 g '( x) ? 0 得 以当 x ? 0 时,函数 g ( x) 有最小值, g ( x)min ? g (0) ? 0 ,于是对任意的 x ? (?1,0) ? (0, ??) ,有 g ( x) ? 0 ,故排除 B、D,因函数 g ( x) 在 (?1, 0) 上单调递减,则 函数 f ( x ) 在 (?1, 0) 上递增,故排除 C,所以答案选 A.

2 3 7.四名学生中有两名分在一所学校的种数是 C4 ,顺序有 A3 种,而甲乙被分在同一所学校的 3 2 3 3 有 A3 种,所以不同的安排方法种数是 C4 A3 ? A3 ? 30 .故选 C.

8. 因 an ? f (
8

? (n ? 3) ? (n ? 2) ? 1 1 1 )? f ? ? ? f ( n ? 2 ) ? f ( n ? 3 ) ,故 n ? 5n ? 5 ? (n ? 3)(n ? 2) ? 1 ?
2

?a
i ?1

i

1 1 1 1 1 1 ? a1 ? a2 ? ? ? a8 ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( ) ? f ( ) 3 4 4 5 10 11

1 1 11 ? 3 1 ? f ( )? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ,故选 C. 3 11 11? 3 ? 1 4
二.填空题:9.

3 1 1 ;13.2; 3 ;10. 4 x - 3 y - 20 = 0 ;11. ;12. a ? (或 a ? ( , ??) ) 4 2 2

14. ? cos ? ? ? sin ? ? 2 ? 0 (或 ? cos(? ? ? ) ? 2 ) ;15. 4 解析:9.依题意得 a ? 3 ,则 tan

2 3 . 3

4? 4? ? 3. = tan a 3

2 2 4 10.双曲线 x - y = 1 的右焦点为 (5, 0) ,渐近线的方程为 y ? ? x ,所以所求直线方程为 3 9 16

y=

4 ( x - 5), 即 4 x - 3 y - 20 = 0 . 3

11.两个电子元件的使用寿命均服从正态分布 N (1000,502 ) 得:两个电子元件的使用寿命超 过 1000 小 时 的 概 率 均 为 p ?

1 , 则 该 部 件 使 用 寿 命 超 过 1000 小 时 的 概 率 为 : 2

P ? 1 ? (1 ? p ) 2 ? 1

3 4

12.由“ ? x0 ? (0,1) ,使得 f ( x0 ) ? 0 ”是真命题,得 f (0) ? f (1) ? 0 ?

(1 ? 2a)(4 | a | ?2a ? 1) ? 0 ? ?a ? 0 ?

1 a?0 或? ?a ? . ? 2 ?(2a ? 1)(2a ? 1) ? 0 ?(6a ? 1)(2a ? 1) ? 0
2

v

v=u v=u-1

13.令 x ? y ? u, y ? v ,则点 Q (u , v) 满足 ?

?0 ? u ? v ? 1, ,在 uov 平面内画 ?0 ? u ? 2.

o 1 -1 2 u=2

u

出点 Q (u , v) 所构成的平面区域如图,易得其面积为 2. 14. ? ? 2 2cs 把 o(

?) ?

? 化为直角坐标系的方程为 x2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y , 圆心 C 的坐标为 (1, , 1)
4

与直线 OC 垂直的直线方程为 x ? y ? 2 ? 0, 化为极坐标系的方程为 ? cos ? ? ? sin ? ? 2 ? 0 或 ? cos(? ? ? ) ? 2 4
? 15. 依 题意 知 ?DBA ? 30 , 则 AD=2,过 点 D 作 DG ? AB 于 G ,则 AG=BE=1 ,所 以

BF ?

2 3 . 3

三.解答题: 16.解: (1)函数 f ( x ) 要有意义,需满足: cos x ? 0 ,

解得 x ?

?
2

? k? , k ? Z ,------------2 分

即 f ( x ) 的定义域为 {x | x ?

?
2

? k? , k ? Z } -------------------------------------4 分
2 2

1 ? 2 sin(2 x ? ) 1 ? 2( sin 2 x ? cos 2 x) 1 ? cos 2 x ? sin 2 x 4 ? 2 2 ? (2)∵ f ( x) ? --------6 分 cos x cos x cos x

?

?

2cos 2 x ? 2sin x cos x ? 2(cos x ? sin x) -------------------------------------------------8 分 cos x

4 4 2 2 ,得 sin ? ? ? cos ? , 又 sin ? ? cos ? ? 1 3 3 9 3 4 2 ∴ cos ? ? ,∵ ? 是第四象限的角∴ cos ? ? , sin ? ? ? ---------------------10 分 25 5 5 14 ∴ f (? ) ? 2(cos ? ? sin ? ) ? .-----------------------------------------------------------12 分 5 17. 解: (1)设 A 表示事件“从第三箱中有放回地抽取 3 次(每次一件) ,恰有两次取到二等
由 tan ? ? ? 品” , 依题意知,每次抽到二等品的概率为 故 P ( A) ? C3 ( ) ?
2 2

2 5

,------------------------------2 分

2 5

3 36 ? . 5 125

------------------------------------------5 分

(2)ξ 可能的取值为 0,1,2,3.----------------------------------6 分 C4 C3 18 9 P(ξ =0)= 2· 2= = , C5 C5 100 50
1 1 1 2 2 2 2

C4 C3 C4 C3· 2 12 C P(ξ =1)= 2· 2+ 2· 2 = , 25 C5 C5 C5 C5
1 2

1

2

2

1

1

C4 C3· 2 C4 C2 15 C C4 C2 1 P(ξ =2)= 2· 2 + 2· 2= , P(ξ =3)= 2· 2= .-----------------------------10 分 C5 C5 C5 C5 50 C5 C5 25 ξ 的分布列为 0 1 2 3 ξ 9 12 15 1 P 50 25 50 25 --------------------------------11 分 12 15 1 数学期望为 Eξ =1× +2× +3× =1.2.-------------------------------------------------------12 分 25 50 25 18.解: (1) a1 ? 3 , a2 ? 3 ? c , a3 ? 3 ? 3c ,
2

--------------------------------1 分

∵ a1 , a2 , a3 成等比数列,∴ (3 ? c) ? 3(3 ? 3c) , --------------------------------2 分 解得 c ? 0 或 c ? 3 . --------------------------------3 分

当 c ? 0 时, a1 ? a2 ? a3 ,不符合题意舍去,故 c ? 3 .-------------------------------4 分 (2)当 n ≥ 2 时,由 a2 ? a1 ? c , a3 ? a2 ? 2c ,?? an ? an?1 ? (n ?1)c ,

n(n ? 1) c .--------------------------------6 分 2 3 3 2 3, 又 a1 ? 3 , c ? 3 ,∴ an ? 3 ? n(n ? 1) ? (n ? n ? 2)(n ? 2, ?) .-------------------------8 2 2
得 an ? a1 ? [1 ? 2 ? ? ? (n ? 1)]c ? 分 当 n ? 1 时,上式也成立,∴ an ? (3)由 an ? 2013 得 ∵ n ? N ? ,∴ n ?

3 2 (n ? n ? 2)(n ? N ? ) .--------------------------------9 分 2

3 2 (n ? n ? 2) ? 2013 ,即 n2 ? n ? 1340 ? 0 --------------------------10 分 2

1 1 ? 4 335 1 ? 4 ? 18 ? ? 36 --------------------------------11 分 2 2 2

令 n ? 37 ,得 a37 ? 2001 ? 2013 ,令 n ? 38 得 a38 ? 2112 ? 2013 ----------------------13 分 ∴使 an ? 2013 成立的最小自然数 n ? 38 .--------------------------------14 分 19.解: (1)依题意得 EF ? DE, EF ? AE,? EF ? 平面 ADE , ? DEA = ? -------2 分 由 ? ? 45 得, S?ADE ?
?

∴ VBCF ? ADE

1 2 , DE ? EA sin 45? ? 2 4 2 ----------------------------------------------------------------------4 分 ? S?ADE ? EF ? 4 C
N1 D N F M M1 B

(2)证法一:过点 M 作 MM1 ? BF 交 BF 于 M 1 , 过点 N 作 NN1 ? CF 交 BF 于 N1 ,连结 M1 N1 ,------------5 分 ∵ MM1 / / AB, NN1 / / EF ∴ MM1 / / NN1

E

A

MM 1 FM CN NN1 ? ? ? 又∵ AB FA CE EF

∴ MM1 ? NN1 --------------------------------7 分

∴四边形 MNN1M1 为平行四边形,--------------------------------------------------------8 分

? MN / / N1M1, 又MN ? 面BCF , N1M1 ? 面BCF , ? MN / /面BCF . --------------------10 分
C

【法二:过点 M 作 MG ? EF 交 EF 于 G,连结 NG,则

CN FM FG ? ? , NE MA GE
D

? NG / / CF --------------------------------------------------------------6 分

N

F M

B

又NG ? 面BCF , CF ? 面BCF ,? NG / /面BCF ,------------7 分
E

G A

同理可证得 MG // 面BCF ,又 MG ? NG ? G , ∴平面 MNG//平面 BCF-------------9 分 ? MN // 面BCF .----------------------------------------------------10 分】 ∵MN ? 平面 MNG, (3)法一:取 CF 的中点为 Q,连结 MQ、NQ,则 MQ//AC, ∴ ?NMQ 或其补角为异面直线 MN 与 AC 所成的角,--------11 分
D N C Q F M E A

B

∵ ? ? 90 且 a ?
0

1 2 1 2 3 . ∴ NQ ? , MQ ? ( )2 ? ( )2 ? 2 2 2 2 2

? MN ?

2 , ---------------------------------------------------------------------12 分 2

? cos ?NMQ ?

QM 2 ? MN 2 ? NQ2 6 ? . 2MN ? QM 3
6 .--------------------------------14 分 3

即 MN 与 AC 所成角的余弦值为

【法二:∵ ? ? 90 且 a ?
0

2 . 2
1 2 1 2 ???? ???? ? 1 1 2 2

分别以 FE、FB、FC 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系. --------------11 分 则 A(1,1, 0), C (0, 0,1), M ( , , 0), N ( , 0, ), 得 AC ? ( ?1, ?1,1), MN ? (0, ? , ), ----12 分

1 1 2 2

???? ???? ? ? cos ? AC , MN ??

1 3? 2 2

?

6 ,……………………………………………13 分 3

所以与 AC 所成角的余弦值为 20. 解:(1)∵

6 .…………………………………………………14 分】 3

p 1 ? OA cos 60? ? 2 ? ? 1 ,即 p ? 2 , 2 2
2

∴所求抛物线的方程为 y ? 4 x

--------------------------------2 分

∴设圆的半径为 r,则 r ? OB ? 1 ? ? 2 ,∴圆的方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 .--------------4 分 2 cos 60 (2) 设 G ? x1, y1 ? , H ? x2 , y2 ? ,由 OG ? OH ? 0 得 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0
2 2 ∵ y1 ? 4 x1 , y2 ? 4 x2 ,∴ x1 x2 ? 16 ,

???? ????

--------------------------------6 分

∵S?GOH ? =

1 ???? 2 ???? 2 1 1 ???? ???? 1 2 2 2 2 OG OH ,∴ S?GOH ? OG OH ? ? x12 ? y12 ?? x2 ? y2 ? = ? x12 ? 4 x1 ?? x2 ? 4 x2 ? 4 4 2 4

1? 1 2 2 x x ? 4 x1 x2 ? x1 ? x2 ? ? 16 x1 x2 ? ? ?? x1 x2 ? ? 4 x1 x2 ? 2 x1 x2 ? 16 x1 x2 ? =256 ?? 1 2 ? ? 4? ? 4

∴ S?GOH ? 16 ,当且仅当 x1 ? x2 ? 2 时取等号, ∴ ?GOH 面积最小值为 16 .-------------------------------------------9 分 (3) 设 P?x3 , y3 ?, Q?x4 , y4 ? 关于直线 m 对称,且 PQ 中点 D?x0 , y0 ?

∵ P?x3 , y3 ?, Q?x4 , y4 ? 在抛物线 C 上,∴

2 2 y3 ? 4x3 , y4 ? 4x4

两式相减得: ? y3 ? y4 ?? y3 ? y4 ? ? 4 ? x3 ? x4 ? --------------------------------11 分 ∴ y3 ? y4 ? 4 ?

x3 ? x4 4 ? ? ?4k ,∴ y0 ? ?2k y3 ? y4 kPQ

∵D?x0 , y0 ? 在 m : y ? k ? x ?1?? k ? 0? 上 ∴ x0 ? ?1 ? 0 ,点 D?x0 , y0 ? 在抛物线外--------------------------------13 分 ∴在抛物线 C 上不存在两点 P, Q 关于直线 m 对称. --------------------------14 分 21.解: (1)解法 1:∵ fn '( x) ? nxn?1 (1 ? x)2 ? 2xn (1 ? x) ? xn?1 (1 ? x)[n(1 ? x) ? 2x] -------1 分 当 n ? 1 时, f1 '( x) ? (1 ? x)(1 ? 3x) 当 x ? [ ,1] 时, f1 '( x) ? 0 ,即函数 f1 ( x) 在 [ ,1] 上单调递减,

1 2

1 2

1 , --------------------------------------------------3 分 8 当 n ? 2 时, f 2 '( x) ? 2 x(1 ? x)(1 ? 2 x) 1 1 当 x ? [ ,1] 时, f 2 '( x) ? 0 ,即函数 f 2 ( x) 在 [ ,1] 上单调递减, 2 2 1 1 ∴ a2 ? f 2 ( ) ? ---------------------------------------------------5 分 2 16 【解法 2:当 n ? 1 时, f1 ( x) ? x(1 ? x) 2 ,则 f1 '( x) ? (1 ? x) 2 ?2 x(1 ? x) ?(1 ? x ? x )(1 3 ) 1 1 1 1 当 x ? [ ,1] 时, f1 '( x) ? 0 ,即函数 f1 ( x) 在 [ ,1] 上单调递减,∴ a1 ? f1 ( ) ? , 2 2 8 2 2 2 2 2 x 1 ? ( ) 当 n ? 2 时,f 2 ( x) ? x (1 ? x) , f 2 '( x) ? 2 x(1 ? x) ? 2 x (1 ? x) ? 21 ?(x2 ) x 则 1 1 1 1 当 x ? [ ,1] 时, f 2 '( x) ? 0 ,即函数 f 2 ( x) 在 [ ,1] 上单调递减,∴ a2 ? f 2 ( ) ? 】 2 2 16 2 n n 1 1 n ? [ ,1] 且当 x ? [ , ) (2)令 f n '( x) ?0 得 x ? 1 或 x ? ,∵当 n ? 3 时, n?2 n?2 2 2 n?2 n ,1] 时 f n '( x) ? 0 ,-----------------------7 分 时 f n '( x) ? 0 ,当 x ? ( n?2 n 故 f n ( x) 在 x ? 处取得最大值,即当 n ? 3 时, n?2 n n n 2 2 4n n an ? f n ( )?( ) ( ) ? ,------( ? )------------------9 分 n?2 n?2 n?2 (n ? 2)n? 2 当 n ? 2 时( ? )仍然成立,
∴ a1 ? f1 ( ) ?

1 2

?1 ?8 , ? 综上得 an ? ? n ? 4n . ? (n ? 2) n ? 2 ?
(3)当 n ? 2 时,要证

n ?1
-------------------------------------10 分

n?2
-------------------11 分

4nn 1 ,只需证明 (1 ? 2 ) n ? 4 ? n?2 n (n ? 2) (n ? 2)2
1

∵ (1 ? ) ? Cn ? Cn ( ) ? ? ? Cn ( ) ? 1 ? 2 ?
n 0 n n

2 n

2 n

2 n

n(n ? 1) 4 ? 2 ? 1? 2 ?1 ? 4 2 n

∴对任意 n ? N ( n ? 2 ),都有 an ?
*

1 成立.--------------------------------14 分 (n ? 2)2

2013 年汕头理科数学二模参考答案

一、选择题: (1-5 题)BCDCD 二、填空题:9、 0.08, 12、 1 、

(6-8 题)ACC 10、 4 2 、 14、 5 11、 60 or120 、
0 0

25、

13、 [?3,5] 、



15、

54 cm 2 25

三、解答题: 16、 (1)依题意 A=6,周期 T= ? ,从而 T ? 由 6 sin(2 ? 0 ? ? ) ? 3 2 及 | ? |?

2?

?
2

得? ?

?
4

?

? ? ,所以 ? ? 2

…………………(3 分)

…………………………………(4 分)

? f ( x) ? 6 sin( 2 x ?


?
4

) …………………………………………………………(5 分)

6 s i n2m ? (

?
?
4

) ? 6 ,且点 ?m,6 ?为 y 轴右侧的第一个最高点,
,解得 m ?

所以 2m ?

?
4

?

?
8

2

……………………………………………………(7 分)

(2)方法一: 由 tan? ? 2 2 ? ? (0,

?
2

)

? sin ? ?

2 2 1 ? cos ? ? , ………………(9 分) 3 3

4 4 2 ? 6 2 sin ? cos? ? 3 2 (2 cos ? ? 1)
?6 2?

f (? ) ? 6 sin(2? ?

?

) ? 6 sin 2? cos

?

? 6 cos 2? sin

?
4
…………(11 分)

2 2 1 1 8?7 2 ? ? 3 2[2 ? ( ) 2 ? 1] ? ……………(12 分) 3 3 3 3

方法二:因为由 tan? ? 2 2 ? ? (0,

?
2

)

所以:

f (? ) ? 6 sin(2? ?

?

4 4 2 ? 3 2 (2 sin ? cos? ? cos ? ? sin 2 ? )

) ? 6 sin 2? cos

?

? 6 cos 2? sin

?
4 ………………(9 分)

3 2 (2 sin ? cos? ? cos2 ? ? sin 2 ? ) sin 2 ? ? cos2 ? ………………(12 分) 2 tan? ? 1 ? tan2 ? 8 ? 7 2 ?3 2? ? 3 tan2 ? ? 1 ?
2 17、解: (Ⅰ)参加单打的队员有 A3 种方法,参加双打的队员有 C 2 种方法.
1

2 1 所以,高三(1)班出场阵容共有 A3 ? C2 ? 12(种) ……………………………(3 分) 种).

(Ⅱ)高三(1)班代表队连胜两盘,可分为第一盘、第二盘胜或第一盘负,其余两盘胜. 所以,连胜两盘的概率为

1 1 1 1 1 3 ? ? ? ? ? . 2 2 2 2 2 8

…………………………………(7 分)

(Ⅲ) ? 的取值可能为 0,1,2.

1 1 1 ? ? .…………………………………(8 分) 2 2 4 1 1 1 1 1 1 1 P ?? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? .…………………………………(9 分) 2 2 2 2 2 2 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 P ?? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . ………………………………(10 分) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 P ?? ? 0 ? ?
所以 ? 的分布列为

?
p
∴ E? ? 0 ?

0

1

2

1 4

1 4

1 2

1 1 1 5 ? 1? ? 2 ? ? . …………………………………(12 分) 4 4 2 4

18、解、 (Ⅰ)由题设可知; PM, PN 的斜率存在且不为 0,

y y y2 ? ? ? ,即 x 2 ? ? 1( y ? 0) ……………………………………(3 分) 所以 x ?1 x ?1 ?
(Ⅱ)讨论如下: (1)当 ? ? 0 时,轨迹 C 为中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线(除去顶点) (2)当 ? 1 ? ? ? 0 时,轨迹 C 为中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆(除去长轴两个端点) (3)当 ? ? ?1 时,轨迹 C 为以原点为圆心,1 为半径的圆(除去点(-1,0)(1,0) , ) ( 4 )当 ? ? ?1 时 , 轨迹 C 为中 心在 原点 ,焦 点在 y 轴 上的 椭圆 (除 去短 轴两 个端 点)……………………………………………………………………………(7 分)
2 (Ⅲ) 、当 ? ? 2 时,轨迹 C 的方程为 x ?

y2 ? 1( y ? 0) ,显然定点 E、F 为其左右焦点。 2

0 假设存在这样的点 P,使得 ?EPF ? 120 ,记 ?EPF ? ? , PE ? m, PF ? n, EF ? 2 3 ,

? m ? n ? 2 ? m 2 ? n 2 ? 2m n ? 4 ? 1 ? 那么在 ?EPF 中: ?S ?EPF ? m nsin ? …………………………(9 分) 2 ? ?(2 3 ) 2 ? m 2 ? n 2 ? 2m ncos? ?
整理可得: 2mn(1 ? cos? ) ? 8 ,所以 mn ? 所以 S ?EPF ?

4 4 8 ? ? ………(10 分) 0 1 ? cos ? 1 ? cos 120 3

1 1 8 3 2 3 …………………………(11 分) m nsin 1200 ? ? ? ? 2 2 3 2 3 1 1 2 3 ………………(12 分) ? EF ? y P ? ? 2 3 ? y P ? 2 2 3

又因为 S ?EPF ?

所以 y P ?

2 2 2 , 故 y P ? ? , 代入椭圆的方程可得: x P 3 3

? 2? ?? ? 3? ?? ? 1( y ? 0) 2

2

所以 x P ? ?

11 ,所以满足题意的点 P 有四个,坐标分别为 3

(

11 2 11 2 11 2 11 2 ,? ) ………………(14 分) , ) , (? , ) ,( ,? ) , ( ? 3 3 3 3 3 3 3 3
z

19、证明: (Ⅰ)在梯形 ABCD 中,∵ AB ? CD, AD ? DC ? CB ? a, ?ABC ? 60? , ∴四边形 ABCD 是等腰梯形,………………(1 分) 且 ?DCA ? ?DAC ? 30?, ?DCB ? 120?, ∴ ?ACB ? ?DCB ??DCA ? 90? ,∴ AC ? BC. ………………(2 分) 又∵平面 ACFE ? 平面 ABCD,交线为 AC,∴ BC ? 平面 ACFE. ……(4 分) (Ⅱ)当 EM ?
3 a 时, AM ? 平面 BDF. 现在证明如下: 3

y x

在梯形 ABCD 中,设 AC ? BD ? N ,连结 FN,则C :N ?1:2. N A ∵ EM ?
3 a 而 EF ? AC ? 3a ,∴ EM : FM ? 1: 2, ∴MF ? ? 3

AN,

∴四边形 ANFM 是平行四边形. ∴ AM ? NF . 又∵ NF ? 平面 BDF, AM ? 平面 BDF. ∴ AM ? 平面 BDF. ……(8 分) (Ⅲ)方法一;(几何法)取 EF 中点 G,EB 中点 H,连结 DG、GH、DH,

∵容易证得 DE=DF,∴ DG ? EF. ∵ BC ? 平面 ACFE,∴ BC ? EF. 又∵ GH ? FB ,∴ EF ? GH. ∴ ?DGH 是二面角 B—EF—D 的平面角. ……(11 分) 在△BDE 中 DE ? 2a, DB ? 3a, BE ? AE 2 ? AB2 ? 5a. ∴ BE2 ? DE2 ? DB2 ∴ ?EDB ? 90? , ∴ DH ?
5 5 2 a. 又 DG ? a, GH ? a. ∴在△DGH 中, 2 2 2 10 , 即二面角 B—EF—D 的平面角余弦值为 10

又∵ EF ? FC ,∴ EF ? FB.

由余弦定理得 cos ?DGH ?

10 ……(14 分) 10

方法二;(向量法)以 C 为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系:

C (0,0,0) , B(0, a,0) , F (0,0, a) , D(

3a a ,? ,0) , E( 3a,0, a) 2 2 3a a , , a) ……(10 分) 2 2

所以 EF ? (? 3a,0,0) , BF ? (0,?a, a) , DF ? (?

分别设平面 BEF 与平面 DEF 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) , n2 ? ( x2 , y 2 , z 2 ) 所以 ?

?n1 ? EF ? ? 3ax1 ? 0 ? ?n1 ? BF ? ?ay1 ? az1 ? 0 ?

,令 y1 ? 1 ,则 x1 ? 0, z1 ? 1……(11 分)

?n2 ? EF ? ? 3ax2 ? 0 1 ? 又? 显然 x2 ? 0 ,令 y 2 ? 1, 则z 2 ? - ……(12 分) 3a a 2 x 2 ? y 2 ? az2 ? 0 ?n2 ? DF ? ? 2 2 ? 1 所以 n1 ? (0,1,1) , n 2 ? (0,1,? ) ,设二面角的平面角为 ? ,? 为锐角 2
所以 cos? ?

n1 ? n2 n1 ? n2

1 (0,1,1) ? (0,1,? ) 2 ? 10 ……(14 分) ? 10 5 2? 2
?

20、证明: (Ⅰ)因为 a1 ? 0 ,且 ?k ? N , a2 k ?1 , a 2 k , a2 k ?1 成等差数列,其公差为 2 k 。 即 2a2k ? a2k ?1 ? a2k ?1 , a2k ? a2k ?1 ? a2k ?1 ? a2k ? 2k ………………(1 分) 所以,分别取 k ? 1,2,3 代入解得 a4 ? 8, a5 ? 12, a6 ? 18 ,………………(2 分)

显然满足 a5 ? a4 a6 ,即 a4 , a5 , a6 成等比数列;………………(3 分)
2

(Ⅱ)由题意可知: a 所以 a
2 k ?1

2k ?1

? a2k ?1 ? 4k , 对 ?k ? N ? 恒成立

? a1 ? (a3 ? a1 ) ? (a5 ? a3 ) ? (a7 ? a5 ) ? .....? (a2k ?1 ? a2k ?1 ) (k ? 1)( 0 ? 4k ) ? 0 ? 4 ? 8 ? 12 ? ......? 4k = ? ? 2k (k ? 1) ……………(5 分) 2

又a

2 k ?1

? a2k ? 2k ,所以 a2k ? a2k ?1 ? 2k = 2k (k ? 1) ? 2k ? 2k 2 ………………(6 分)

?n2 ?1 , (n ? 2k ? 1) ? 所以数列 ?a ? 的通项公式为 a n ? ? 2 , k ? N? ? 2 n ? n , ( n ? 2k ) ?2 ? 2 n n (?1) ? 1 或写为 a n ? ? , n ? N ? (注意:以上三种写法都给全分)…………(7 分) 2 4 (Ⅲ)先证右边: (1)当 n ? 2 时, T ? 2 , 2n ? T ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 显然满足结论。 n n
n2 ?1 , 2 2 2 2 n 2 1 ? ? 1 所以 n ? 2n ? 2 ,且 2 ? ?? 2 ? ?? ? ? 2 an an n ? 1 n ?1 ? n ?1 n ? 1?
(2)当 n ? 2 时,因为 n 为奇数时, a n ? 当 n 为偶数时, a n ? 综上可知 T ? n

n2 , n2 n2 ? 2,2 ? ?0 2 an an

2 2 32 n2 ? ? ........? ? 2(n ? 1) ,当 n ? 2 时取等号 a 2 a3 an

所以 2n ? Tn ? 2n ? 2(n ? 1) ? 2 对任意的 n ? 2, n ? N ? 成立。………………(9 分) 再证左边: 因为 2n ? T ? 2n ? ( n

2 2 32 n2 22 32 n2 ? ? ........? ) ? 2 ? (2 ? ) ? (2 ? ) ? ... ? (2 ? ) a 2 a3 an a2 a3 an

所以(1)当 n ? 2k ? 1, k ? N ? 时

2n ? Tn ? 2 ? 0 ?

2 2 2 2 ?0? 2 ?0? 2 ? .... ? 0 ? 3 ?1 5 ?1 7 ?1 (2k ? 1) 2 ? 1
2

1 1 1 1 ? 1 ? ? 1 1 ?1 ? 2 ? ?( ? ) ? ( ? ) ? .... ? ( ? )? ? 2 ? ? ? ? 4 6 2k 2k ? 2 ? ? 2 4 ? 2 2k ? 2 ? 3 1 3 ? ? ? 2 2k ? 2 2
(2)当 n ? 2k , k ? N ? 时

………(11 分)

2n ? Tn ? 2 ? 0 ?

2 2 2 2 ?0? 2 ?0? 2 ? .... ? 0 ? ?0 3 ?1 5 ?1 7 ?1 (2k ? 1) 2 ? 1
2

1 1 1 1 ? ? 1 1 ?1 1 ? …(13 分) ? 2 ? ?( ? ) ? ( ? ) ? .... ? ( ? )? ? 2 ? ? ? ? 4 6 2k ? 2 2k ? ? 2 4 ? 2 2k ? 3 1 3 ? ? ? 2 2k 2 3 综上可知对 ?n ? N ? , n ? 2 , ? 2n ? Tn ? 2 成立。 ………………(14 分) 2
21、解析: (Ⅰ)由题意: f ( x) ? g ( x) ? x 2 ? ax ? ln x , ( x ? 0) 分离参数 a 可得: a ? x ? 设 ? ( x) ? x ?

ln x x

( x ? 0) ………………(1 分)

ln x ,则 / x 2 ? ln x ? 1 ………………(2 分) ? ( x) ? x x2

由于函数 y ? x 2 , y ? ln x 在区间 (0,??) 上都是增函数,所以 函数 y ? x 2 ? ln x ? 1在区间 (0,??) 上也是增函数,显然 x ? 1 时,该函数值为 0 所以当 x ? (0,1) 时, ? / ( x) ? 0 ,当 x ? (1,??) 时, ? / ( x) ? 0 所以函数 ? (x) 在 x ? (0,1) 上是减函数,在 x ? (1,??) 上是增函数 所以 ? ( x) min ? ? (1) ? 1,所以 a ? ? ( x) min ? 1 即 a ? (??,1] ………………(4 分)

2 x 2 ? ax ? 1 , ( x ? 0) x 1 所以方程 2 x 2 ? ax ? 1 ? 0( x ? 0) 有两个不相等的实数根 x1 , x 2 ,且 x1 ? (0, ) , 2 1 1 2 又因为 x1 x 2 ? , 所以 x2 ? ? (1,??) ,且 axi ? 2xi ? 1, (i ? 1,2) …………(6 分) 2 2 x1
(Ⅱ)由题意知道: h( x) ? x 2 ? ax ? ln x ,且 h | ( x) ? 而 h( x ) ? h( x ) ? ( x 2 ? ax ? ln x ) ? ( x 2 ? ax ? ln x ) 1 2 1 1 1 2 2 2

? [ x1 ? (2x1 ? 1) ? ln x1 ] ? [ x2 ? (2x2 ? 1) ? ln x2 ] 1 x 2x 1 1 2 2 2 2 2 2 ) ? ln 2 ? x2 ? ? ln 2 x2 , ( x2 ? 1) ? x2 ? x1 ? ln 1 ? x 2 ? ( 2 2x 2 x2 x2 4 x2
2 2 2 2

1 (2 x 2 ? 1) 2 2 ,则 u / ( x) ? ? ln 2 x , ( x ? 1) ?0 4x 2 2x3 3 3 所以 u ( x ) ? u (1) ? ? ln 2 ,即 h( x1 ) ? h( x 2 ) ? ? ln 2 ………………(8 分) 4 4 1 ? ax ax ? 1 (Ⅲ) r ( x) ? f ( x) ? g ( ) ? x 2 ? ax ? ln 2 2 a2 ? 2 2ax ( x ? ) a 2ax2 ? a 2 x ? 2 x 2a ………………(9 分) 所以 r | ( x) ? 2 x ? a ? ? ? ax ? 1 ax ? 1 ax ? 1
设 u ( x) ? x 2 ?

因为 a ? (1, 2) ,所以

a2 ? 2 a 1 2 1 1 ? ? ? ? ? 2a 2 a 2 2 2
1 2

所以当 x ? ( ,?? ) 时, r (x) 是增函数,所以当 x0 ? [ ,1] 时,

1 2

r ( x0 ) max ? r (1) ? 1 ? a ? ln

a ?1, a ? (1, 2) ………………(10 分) 2

所以,要满足题意就需要满足下面的条件:

a ?1 a ?1 ? k (1 ? a 2 ) ,令 ? (a) ? 1 ? a ? ln ? k (1 ? a 2 ) , a ? (1, 2) 2 2 a ?1 即对任意 a ? (1, 2) , ? (a ) ? 1 ? a ? ln ? k (1 ? a 2 ) ? 0 恒成立 2 2 1 2ka ? 2ka ? a a 因为 ? / (a) ? ?1 ? ? 2ka ? ? (2ka ? 2k ? 1) ………(11 分) a ?1 a ?1 a ?1 1 ? a ? ln
分类讨论如下: (1)若 k ? 0 ,则 ? / ( a ) ?

? a ,所以 ? (a) 在 a ? (1,2) 递减, a ?1 2ka 1 (a ? ? 1) ,所以 ? (a) 在 a ? (1,2) 递减, a ?1 2k

此时 ? (a) ? ? (1) ? 0 不符合题意 (2)若 k ? 0 ,则 ? / (a) ?

此时 ? (a) ? ? (1) ? 0 不符合题意。

2ka 1 1 1 (a ? ? 1) ,那么当 ? 1 ? 1 时,假设 t 为 2 与 ?1 a ?1 2k 2k 2k 1 1 中较小的一个数,即 t ? min{2, ? 1} ,则 ? (a) 在区间 (1, min{2, ? 1}) 上递减,此时 2k 2k
(3)若 k ? 0 ,则 ? / (a) ?

? (a) ? ? (1) ? 0 不符合题意。 ?k ? 0 1 1 综上可得 ? 1 解得 k ? ,即实数 k 的取值范围为 [ ,?? ) ………………(14 分) ? 4 4 ? 2k ? 1 ? 1 ?


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