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集合与命题复习


1.集合:一般地,某些指定的对象集在一起就成为一个集合,也简称集.表示集合的方法有列 举法、描述法和图示法,集合可分为有限集和无限集. 2.空集:一般地,我们把不含任何元素的集合叫做空集,记作?. 3.子集:一般地,对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,我 们就说集合 A 包含于集合 B,或集合 B 包含集合 A,记住 A B(或 B A).

这时我们也说集合 A 是集合 B 的子集. 当集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A 时,则记作我们规定:空集是任何集合的 子集.也就是说,对任何一个集合 A,有 A 4.等集:一般地,对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,同 时集合 B 的任何一个元素都是集合 A 的元素,我们就说集合 A 等于集合 B,记作 A=B 5.全集:如果集合 S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全 集,全集通常用 U 表示. 6.补集:一般地,设 S 是一个集合,A 是 S 的一个子集(即 A S),由 S 中所有不属于 A 的元素 组成的集合,叫做 S 中子集 A 的补集(或余集),记作 CSA,即 CSA={x|x∈S,且 x A}. 7.交集,并集:一般地,由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做 A 与 B 的交集,记作 A∩B(读作“A 交 B”),即 A∩B={x|x∈A,且 x∈B}. 而由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做 A 与 B 的并集,记作 A∪B(读 作“A 并 B”),即 A∪B={x|x∈A,或 x∈B}. 对于交集“A∩B={x|x∈A,且 x∈B}” ,不能简单地认为 A∩B 中的任一元素都是 A 与 B 的 公共元素,或者简单认为 A 与 B 的公共元素都属于 A∩B,这是因为并非任何两个集合总有 公共元素.当集合 A 与 B 没有公共元素时,不能说 A 与 B 没有交集,而是 A∩B= . 对于并集“A∪B={x|x∈A,且 x∈B}” ,不能简单地理解为 A∪B 是由 A 的所有元素与 B 的 所有元素组成的集合,这是因为 A 与 B 可能有公共元素,故上述理解与集合的互异性不符. 8.逻辑联结词: “或” 、 “且” 、 “非”这些词叫做逻辑关结词.不含逻辑联结词,是简单命题; 由简单命题与逻辑联结词构成,是复合命题. 9.四种命题:在两个命题中,如果第一个命题的条件(或题设)是第二个命题的结论,且第一 个命题的结论是第二个命题的条件, 那么这两个命题叫做互逆命题; 如果把其中一个命题叫 做原命题,那么另一个叫做原命题的逆命题. 一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定, 这样的两个命题叫做 互否命题.把其中一个命题叫做原命题,另一个就叫做原命题的否命题. 一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定, 这样的两个命题叫做 互为逆否命题.把其中一个命题叫做原命题,另一个就叫做原命题的逆否命题. 10.充要条件:一般地,如果已知 p q, 那么我们说,p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件. 一般地,如果既有 p q,又有 q p,就记作 p q.

这时,p 既是 q 的充分条件,又是 q 的必要条件,我们就说 p 是 q 的充分必要条件,简称充 要条件. 集合与简易逻辑 一.集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时,尤其要注意元素的互异 性,如 (1)设 P、Q 为两个非空实数集合,定义集合 P+Q=,若, ,则 P+Q 中元素的有________个。 (2)设, , ,那么点的充要条件是________ (3)非空集合,且满足“若,则” ,这样的共有_____个 二.遇到时,你是否注意到“极端”情况:或;同样当时,你是否忘记的情形?要注意到是 任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。 集合, ,且,则实数=___. 三. 对于含有个元素的有限集合, 其子集、 真子集、 非空子集、 非空真子集的个数依次为 如 满足集合 M 有______个。 四.集合的运算性质: ⑴; ⑵; ⑶; ⑷; ⑸; ⑹; ⑺. 如:设全集,若, , ,则 A=_____,B=___. 五. 研究集合问题, 一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素。 如: —函数的定义域; —函数的值域;—函数图象上的点集,如 (1)设集合,集合 N=,则___ (2)设集合, , ,则_____ 六.数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具,在具体计算时不要忘了集合本身和空 集这两种特殊情况,补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如: 已知函数在区间上至少存在一个实数,使,求实数的取值范围。 七.复合命题真假的判断。 “或命题”的真假特点是“一真即真,要假全假” ; “且命题”的真 假特点是“一假即假,要真全真” ; “非命题”的真假特点是“真假相反” 。如: 在下列说法中:⑴“且”为真是“或”为真的充分不必要条件; ⑵“且”为假是“或”为真的充分不必要条件; ⑶“或”为真是“非”为假的必要不充分条件; ⑷“非”为真是“且”为假的必要不充分条件。 其中正确的是__________ 八.四种命题及其相互关系。若原命题是“若 p 则 q” ,则逆命题为“若 q 则 p” ;否命题为 “若﹁p 则﹁q” ;逆否命题为“若﹁q 则﹁p” 。 提醒: (1)互为逆否关系的命题是等价命题,即原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题

同真同假。但原命题与逆命题、否命题都不等价; (2)在写出一个含有“或” 、 “且”命题的否命题时,要注意“非或即且,非且即或” ; (3)要注意区别“否命题”与“命题的否定” :否命题要对命题的条件和结论都否定,而命 题的否定仅对命题的结论否定; (4)对于条件或结论是不等关系或否定式的命题,一般利用等价关系“”判断其真假,这 也是反证法的理论依据。


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