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抽象函数的性质及其经典例题


抽象函数的性质及其金典例题
函数的周期性:
1、 定义在 x∈R 上的函数 y=f(x), 满足 f(x+a)=f(x-a) 或 f(x-2a)=f(x)) ( (a>0)恒成立, y=f(x) 则 是周期为 2a 的周期函数; 2、若 y=f(x)的图像关于直线 x=a 和 x=b 对称,则函数 y=f(x)是周期为 2|a-b|的周期函数; 3、若

y=f(x) 的图像关于点(a,0)和(b,0)对称,则函数 y=f(x)是周期为 2|a-b|的周期函数; 4、若 y=f(x) 的图像有一个对称中心 A(a,0)和一条对称轴 x=b(a≠b) ,则函数 y=f(x)是周期 为 4|a-b|的周期函数; 5、若函数 y=f(x)满足 f(a+x)=f(a-x),其中 a>0,且如果 y=f(x)为奇函数,则其周期为 4a;如 果 y=f(x)为偶函数,则其周期为 2a; 6、 定义在 x∈R 上的函数 y=f(x), 满足 f(x+a)=-f(x) ? 或f ? x ? a ? ? 1 ? ? 或f ? x ? a ? ? ? 1 ? , ? ?? ? f ( x) ? ? f ( x) ? ? 则 y=f(x)是周期为 2|a|的周期函数; 7、若 f ? x ? a ? ?

f ? x ? ?1 在 x∈R 恒成立,其中 a>0,则 y=f(x)是周期为 4a 的周期函数; f ? x? ?1

8、若 f ? x ? a ? ?

1? f ? x? 在 x∈R 恒成立,其中 a>0,则 y=f(x)是周期为 2a 的周期函数。 f ? x? ?1

函数图像的对称性:
1、若函数 y=f(x)满足 f(a+x)=f(b-x),则函数 y=f(x)的图像关于直线 x ? a ? b 对称; 2 2、若函数 y=f(x)满足 f(x)=f(2a-x)或 f(x+a)=f(a-x),则函数 y=f(x)的图像关于直线 x=a 对称; 3、若函数 y=f(x)满足 f(a+x)+f(b-x)=c,则 y=f(x)的图像关于点 ? a ? b , c ? 成中心对称图形; ? ? ? 2 2? 4、曲线 f(x,y)=0 关于点(a,b)的对称曲线的方程为 f(2a-x,2b-y)=0; 5、形如 y ?

ax ? b ? c ? 0, ad ? bc ? 的图像是双曲线,由常数分离法 cx ? d

d ? ad ? ad a? x ? ? ? ?b ? ?b a c? c ? d a? ? c y? ? ? 知:对称中心是点 ? ? , ? ; d? d? c ? ? ? c c? c? x ? ? c? x ? ? c? c? ? ?
6、设函数 y=f(x)定义在实数集上,则 y=f(x+a)与 y=f(b-x)的图像关于直线 x ? b ? a 对称; 2 7、若函数 y=f(x)有反函数,则 y=f(a+x)和 y=f -1(x+a)的图像关于直线 y=x+a 对称。
含有函数记号“

f ( x) ”有关问题解法

由于函数概念比较抽象,学生对解有关函数记号

f ( x) 的问题感到困难,学好这部分知识,能加深学

生对函数概念的理解,更好地掌握函数的性质,培养灵活性;提高解题能力,优化学生数学思维素质。现 将常见解法及意义总结如下: 一、求表达式: 1.换元法:即用中间变量 表示原自变量 x 的代数式,从而求出

f ( x) ,这也是证某些公式或等式常

用的方法,此法解培养学生的灵活性及变形能力。

x ) ? 2 x ? 1 ,求 f ( x) . x ?1 x u u 2?u ? u ,则 x ? ?1 ? 解:设 ∴ f (u ) ? 2 x ?1 1? u 1? u 1? u
例 1:已知

f(



f ( x) ?

2? x 1? x

2.凑合法:在已知 即可求

f ( g ( x)) ? h( x) 的条件下,把 h( x) 并凑成以 g (u ) 表示的代数式,再利用代换

f ( x) .此解法简洁,还能进一步复习代换法。
1 1 f ( x ? ) ? x3 ? 3 x x
,求

例 2:已知

f ( x)

解: ∵

1 1 1 1 1 1 1 f ( x ? ) ? ( x ? )( x 2 ? 1 ? 2 ) ? ( x ? )(( x ? ) 2 ? 3) 又∵ | x ? |?| x | ? ?1 x x x x x x | x|



f ( x) ? x( x2 ? 3) ? x3 ? 3x ,(| x |≥1)

3.待定系数法:先确定函数类型,设定函数关系式,再由已知条件,定出关系式中的未知系数。 例 3. 已知 解:设

f ( x) 二次实函数,且 f ( x ? 1) ? f ( x ?1) ? x2 +2 x +4,求 f ( x) .

f ( x) = ax 2 ? bx ? c ,则

f ( x ? 1) ? f ( x ?1) ? a( x ? 1)2 ? b( x ? 1) ? c ? a( x ?1)2 ? b( x ?1) ? c
?2(a ? c) ? 4 1 3 ? 2 2 ? a ? , b ? 1, c ? ∴ = 2ax ? 2bx ? 2(a ? c) ? x ? 2x ? 4 比较系数得 ? 2a ? 1 2 2 ?2b ? 2 ?
f ( x) ? 1 2 3 x ?x? 2 2
y = f ( x) 为奇函数,当 x >0 时, f ( x) ? lg( x ? 1) ,求 f ( x)

4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例 4.已知 解:∵

f ( x) 为奇函数,∴ f ( x) 的定义域关于原点对称,故先求 x <0 时的表达式。∵- x >0,∴

f (? x) ? lg(? x ? 1) ? lg(1 ? x) ,



f ( x) 为奇函数,∴ lg(1 ? x) ? f (? x) ? ? f ( x) ∴当 x <0 时 f ( x) ? ? lg(1 ? x) ∴

?lg(1 ? x), x ? 0 f ( x) ? ? ?? lg(1 ? x), x ? 0
例 5.一已知 解:∵

f ( x) 为偶函数, g ( x) 为奇函数,且有 f ( x) + g ( x) ?

1 , x ?1



f ( x) , g ( x) .

f ( x) 为偶函数, g ( x) 为奇函数,∴ f (? x) ? f ( x) , g (? x) ? ? g ( x) , f ( x) + g ( x) =
1 x ?1
???①中的 x ,

不妨用- x 代换 ∴

1 1 即 f ( x) - g ( x) ? ? ??② ?x ?1 x ?1 1 x 显见①+②即可消去 g ( x ) ,求出函数 f ( x) ? 2 再代入①求出 g ( x ) ? 2 x ?1 x ?1 f (? x) ? g (? x) ?
5.赋值法:给自变量取特殊值,从而发现规律,求出 例 6:设

f ( x) 的表达式

f ( x) 的定义域为自然数集,且满足条件 f ( x ? 1) ? f ( x) ? f ( y) ? xy ,及 f (1) =1,求

f ( x) f ( x) 的定义域为 N,取 y =1,则有 f ( x ? 1) ? f ( x) ? x ?1 ∵ f (1) =1,∴ f (2) = f (1) +2, f (3) ? f (2) ? 3 ?? f (n) ? f (n ? 1) ? n n(n ? 1) 1 以上各式相加,有 f ( n) =1+2+3+??+ n = ∴ f ( x) ? x( x ? 1), x ? N 2 2
解:∵ 二、利用函数性质,解 1.判断函数的奇偶性: 例 7 已知

f ( x) 的有关问题

f ( x ? y) ? f ( x ? y) ? 2 f ( x) f ( y) ,对一切实数 x 、 y 都成立,且 f (0) ? 0 ,求证

f ( x) 为偶函数。
证明:令 x =0, 则已知等式变为 在①中令

f ( y) ? f (? y) ? 2 f (0) f ( y) ??①

y =0 则 2 f (0) =2 f (0) ∵ f (0) ≠0∴ f (0) =1∴ f ( y) ? f (? y) ? 2 f ( y) ∴

f (? y) ? f ( y) ∴ f ( x) 为偶函数。
2.确定参数的取值范围 例 8:奇函数 值范围。

f ( x) 在定义域(-1,1)内递减,求满足 f (1 ? m) ? f (1 ? m2 ) ? 0 的实数 m 的取

解:由

f (1 ? m) ? f (1 ? m2 ) ? 0 得 f (1 ? m) ? ? f (1 ? m2 ) ,∵ f ( x) 为函数,∴

f (1 ? m) ? f (m2 ?1)
??1 ? 1 ? m ? 1 ? 又∵ f ( x) 在(-1,1)内递减,∴ ??1 ? m 2 ? 1 ? 1 ? 0 ? m ? 1 ?1 ? m ? m 2 ? 1 ?
3.解不定式的有关题目 例 9: 如果 小 解:对任意 t 有

f ( x) = ax 2 ? bx ? c 对任意的 t 有 f (2 ? t ) ? f 2 ? t ) ,比较 f (1)、f (2)、f (4) 的大

f (2 ? t ) ? f 2 ? t ) ∴ x =2 为抛物线 y = ax 2 ? bx ? c 的对称轴

又∵其开口向上∴ ∴

f

(2)最小,

f

(1)=

f

(3)∵在[2,+∞)上,

f ( x) 为增函数

f

(3)<

f

(4),∴

f

(2)<

f

(1)<

f

(4)

五类抽象函数解法 1、线性函数型抽象函数 线性函数型抽象函数,是由线性函数抽象而得的函数。 例 1、已知函数 f(x)对任意实数 x,y,均有 f(x+y)=f(x)+f(y),且当 x>0 时,f(x)>0,

f(-1)=-2,求 f(x)在区间[-2,1]上的值域。
分析:由题设可知,函数 f(x)是 研究它的单调性。 解:设 ∵ ∴ 在条件中,令 y=-x,则 =0,故 f(-x)=f(x),f(x)为奇函数, ∴ f(1)=-f(-1)=2,又 f(-2)=2 f(-1)=-4, ∴ f(x)的值域为[-4,2]。 例 2、已知函数 f(x)对任意 ,满足条件 f(x)+f(y)=2 + f(x+y),且当 x>0 时,f ,即 ,∵当 , ,∴f(x)为增函数。 ,再令 x=y=0,则 f(0)=2 f(0),∴ f(0) ,∴ , 的抽象函数,因此求函数 f(x)的值域,关键在于

(x)>2,f(3)=5,求不等式

的解。

分析:由题设条件可猜测:f(x)是 y=x+2 的抽象函数,且 f(x)为单调增函数,如果这一猜想正确, 也就可以脱去不等式中的函数符号,从而可求得不等式的解。 解:设 ,∵



,∴

,则 ,



,∴f(x)为单调增函数。 ∵ , 又∵f(3)

=5,∴f(1)=3。∴ 不等式的解为-1 < a < 3。 2、指数函数型抽象函数

,∴

, 即

,解得

例 3、设函数 f(x)的定义域是(-∞,+∞),满足条件:存在 对任何 x 和 y, 成立。求:

,使得



(1)f(0); (2)对任意值 x,判断 f(x)值的正负。 分析:由题设可猜测 f(x)是指数函数 解:(1)令 y=0 代入 。若 f(x)=0,则对任意 ∴f(x)≠0,∴f(0)=1。 (2)令 y=x≠0,则 即 f(x)>0,故对任意 x,f(x)>0 恒成立。 例 4、是否存在函数 f(x),使下列三个条件:①f(x)>0,x ∈N;② ;③f(2)=4。同时成立?若存在,求出 f(x)的解析式,如 不存在,说明理由。 分析:由题设可猜想存在 学归纳法证明如下: (1)x=1 时,∵ ,结论正确。 (2)假设 时有 ,则 x=k+1 时, ,∴x=k+1 时,结论正确。 综上所述,x 为一切自然数时 。 ,又∵x ∈N 时,f(x)>0,∴ ,又由 f(2)=4 可得 a=2.故猜测存在函数 ,用数 ,又由(1)知 f(x)≠0,∴f(2x)>0, 的抽象函数,从而猜想 f(0)=1 且 f(x)>0。 ,则 ,∴

,有

,这与题设矛盾,

3、对数函数型抽象函数 对数函数型抽象函数,即由对数函数抽象而得到的函数。 例 5、设 f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足 ,求:

(1)f(1); (2)若 f(x)+f(x-8)≤2,求 x 的取值范围。 分析:由题设可猜测 f(x)是对数函数 解:(1)∵ (2) 即 的抽象函数,f(1)=0,f(9)=2。 ,∴f(1)=0。 ,从而有 f(x)+f(x-8)≤f(9), ,∵f(x)是(0,+∞)上的增函数,故

,解之得:8<x≤9。 例 6、设函数 y=f(x)的反函数是 y=g(x)。如果 f(ab)=f(a)+f(b),那么 g(a+b)=g(a)·g (b)是否正确,试说明理由。 分析: 由题设条件可猜测 y=f(x)是对数函数的抽象函数,又∵y=f(x)的反函数是 y=g(x),∴y =g(x)必为指数函数的抽象函数,于是猜想 g(a+b)=g(a)·g(b)正确。 解:设 f(a)=m,f(b)=n,由于 g(x)是 f(x)的反函数,∴g(m)=a,g(n)=b,从而 ,∴g(m)·g(n)=g(m+n),以 a、b 分别 代替上式中的 m、n 即得 g(a+b)=g(a)·g(b)。 4、三角函数型抽象函数 三角函数型抽象函数即由三角函数抽象而得到的函数。 例 7、己知函数 f(x)的定义域关于原点对称,且满足以下三条件:

①当

是定义域中的数时,有



②f(a)=-1(a>0,a 是定义域中的一个数); ③当 0<x<2a 时,f(x)<0。 试问:(1)f(x)的奇偶性如何?说明理由。 (2)在(0,4a)上,f(x)的单调性如何?说明理由。 分析: 由题设知 f(x)是 的抽象函数,从而由 及题设条件猜想:f(x)是奇函

数且在(0,4a)上是增函数(这里把 a 看成 解:(1)∵f(x)的定义域关于原点对称,且

进行猜想)。

是定义域中的数时有

,∴

在定义域中。∵

, ∴f(x)是奇函数。 (2)设 0<x1<x2<2a,则 0<x2-x1<2a,∵在(0,2a)上 f(x)<0,

∴f(x1),f(x2),f(x2-x1)均小于零,进而知 是 f(x1)< f(x2),∴在(0,2a)上 f(x)是增函数。

中的

,于

又 =0,设 2a<x<4a,则 0<x-2a<2a,

, f(a) ∵ =-1, ∴

, f(2a) ∴

,于是 f(x)>0,即在(2a,4a)上 f(x)>0。 设 2a<x1<x2<4a,则 0<x2-x1<2a,从而知 f(x1),f(x2)均大于零。f(x2-x1)<0,∵

,∴

,即

f(x1)<f(x2),即 f(x)在(2a,4a)上也是增函数。综上所述,f(x)在(0,4a)上是增函数。
5、幂函数型抽象函数 幂函数型抽象函数,即由幂函数抽象而得到的函数。 例 8、已知函数 f(x)对任意实数 x、y 都有 f(xy)=f(x)·f(y),且 f(-1)=1,f(27)=9, 当 时, 。

(1)判断 f(x)的奇偶性; (2)判断 f(x)在[0,+∞)上的单调性,并给出证明; (3)若 ,求 a 的取值范围。

分析:由题设可知 f(x)是幂函数 上是增函数。

的抽象函数,从而可猜想 f(x)是偶函数,且在[0,+∞)

解:(1)令 y=-1,则 f(-x)=f(x)·f(-1),∵f(-1)=1,∴

f(-x)=f(x),f(x)为偶函数。

(2)设

,∴





∵ 函数。

时,

,∴

,∴f(x1)<f(x2),故 f(x)在 0,+∞)上是增

(3)∵f(27)=9,又



∴ ∵

,∴

,∵ ,∴

,∴ ,又 ,故

, 。

抽象函数常见题型解法综述 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数 表现形式的抽象性,使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下: 一、定义域问题 例 1. 已知函数 的定义域是[1,2],求 f(x)的定义域。 ,所以 中的 满足 中 x 的取

解: 的定义域是[1,2],是指 从而函数 f(x)的定义域是[1,4] 评析:一般地,已知函数 值范围为 A,据此求 例 2. 已知函数 解:

的定义域是 A,求 f(x)的定义域问题,相当于已知 的值域问题。

的定义域是

,求函数

的定义域。 中,由此可得

的定义域是

,意思是凡被 f 作用的对象都在

所以函数

的定义域是 的定义域。正确理解函数 的值域 B,且 ,

评析:这类问题的一般形式是:已知函数 f(x)的定义域是 A,求函数 符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。这类问题实质上相当于已知 据此求 x 的取值范围。例 2 和例 1 形式上正相反。 二、求值问题

例 3. 已知定义域为

的函数 f(x),同时满足下列条件:① ,求 f(3),f(9)的值。

;②

解:取

,得

因为 又取

,所以

得 评析:通过观察已知与未知的联系,巧妙地赋值,取 ,这样便把已知条件

与欲求的 f(3)沟通了起来。赋值法是解此类问题的常用技巧。 三、值域问题

例 4. 设函数 f(x)定义于实数集上, 对于任意实数 x、 y, 使得 解:令 若 使得 由于 , 则 成立矛盾,故 对任意 ,必有 ,求函数 ,得 的值域。 ,即有 或 , 对任意 。 。

总成立, 且存在



均成立, 这与存在实数



均成立,因此,对任意

,有

下面来证明,对任意 设存在 ,使得 ,则 矛盾,因此,对任意

这与上面已证的

所以 评析:在处理抽象函数的问题时,往往需要对某些变量进行适当的赋值,这是一般向特殊转化的必要手段。 四、解析式问题

例 5. 设对满足 析式。

的所有实数 x,函数

满足

,求 f(x)的解

解:在

中以

代换其中 x,得:

再在(1)中以

代换 x,得

化简得:

评析:如果把 x 和 分别看作两个变量,怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常情 况下,给某些变量适当赋值,使之在关系中“消失”,进而保留一个变量,是实现这种转化的重要策略。 五、单调性问题 例 6. 设 f(x)定义于实数集上,当 ,求证: 证明:在 若 所以 当 而 时, ,令 ,即有 ;当 时, 中取 ,则 时, ,且对于任意实数 x、y,有

在 R 上为增函数。 ,得 ,与 矛盾

所以 又当 时,

所以对任意 设 所以

,恒有 ,则

所以 在 R 上为增函数。 评析:一般地,抽象函数所满足的关系式,应看作给定的运算法则,则变量的赋值或变量及数值的分解与 组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。 六、奇偶性问题 例 7. 已知函数 对任意不等于零的实数 ,试判断函数 f(x)的奇偶性。 解:取 又取 再取 得: 则 为偶函数。 得: ,所以 ,所以 ,即 都有

因为 为非零函数,所以 七、对称性问题 例 8. 已知函数 解: 已知式即在对称关系式 满足

,求 中取

的值。 , 所以函数 的图象关于点(2002,

的图象关于点(0,2002)对称。根据原函数与其反函数的关系,知函数 0)对称。 所以

将上式中的 x 用 代换,得 评析:这是同一个函数图象关于点成中心对称问题,在解题中使用了下述命题:设 a、b 均为常数,函数 对一切实数 x 都满足 成中心对称图形。 八、网络综合问题 例 9. 定义在 R 上的函数 f(x)满足:对任意实数 m,n,总有 0<f(x)<1。 (1)判断 f(x)的单调性; (2)设 , ,若 解: 在 (1) 所以 在 因为当 所以当 而 时, 时 。 中,令 中, 令 , 得 ,试确定 a 的取值范围。 , 因为 , ,则函数 的图象关于点(a,b)

,且当 x>0 时,

所以 又当 x=0 时, 设 所以 ,所以,综上可知,对于任意 ,则 ,均有 。

所以

在 R 上为减函数。

(2)由于函数 y=f(x)在 R 上为减函数,所以 即有 又 ,根据函数的单调性,有



,所以直线

与圆面

无公共点。因此有



解得 。 评析:(1)要讨论函数的单调性必然涉及到两个问题:一是 f(0)的取值问题,二是 f(x)>0 的结论。这是 解题的关键性步骤,完成这些要在抽象函数式中进行。由特殊到一般的解题思想,联想类比思维都有助于 问题的思考和解决。


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