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2014届高三数学 不等式、线性规划期末复习测试卷 文


不等式、线性规划
A组 (30 分钟) 一、选择题 1.已知 y>x>0,且 x+y=1,那么( A.x< C .x< <y<2xy <2xy<y ) B.2xy<x< D.x<2xy< <y <y

2.函数 f(x)=

则不等式 x+(x+1

)f(x+1)≤1 的解集是(

)

A.{x|-1≤x≤ C.{x|x≤ -1}

-1}

B.{x|x≤1} D.{x|2

-1≤x≤

-1}

3.设 0<a<1,且 m=loga(a +1),n=loga(a+1),p=loga(2a),则 m,n,p 的大小关系 为( ) B.m>p>n D.p>m>n )

A.n>m>p C.m>n>p

4.(2013·淮北模拟)“x>0”是“x+ ≥2”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

5.(2013·新课标全国卷Ⅱ)设 x,y 满足约束条件

则 z=2x-3y 的最小值是(

)

A.-7
x-1

B.-6

C.-5

D.-3

6.函数 y=a (a>0,a≠1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny-1=0 上,其中 mn>0,则 + 的最小值为 ( A.2 ) B.3 C.3+2 D.6

7.在坐标平面内,不等式组

所表示的平面区域的面积为(

)

-1-

A.24

B.

C. + D.16

D.2 =1,则 xy 的最小值为 ( )

8.(2013·重庆模拟)设 x,y 均为正实数,且 A.4 B.4 C.9

9.设 x,y 满足约束条件

若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最小值为 2,则 ab 的最大值为

( A.1

) B. C. D.

10.定义 max{a,b}= 围为( A.[-6,0] C.[-6,8] )

设实数 x,y 满足约束条件

且 z=max{4x+y,3x-y},则 z 的取值范

B.[-7,10] D.[-7,8]

二、填空题

11.(2013· 北京高考)设 D 为不等式组

表示的平面区域,区域 D 上的点与点(1,0)之间的

距离的最小值为

. ≤a 恒成立,则实数 a 的取值范围为 .

12.(2013·上海模拟)若对于任意的 x>0,不等式 13.下列命题正确的序号为 .

①函数 y=ln(3-x)的定义域为(-∞,3]; ②定义在[a,b]上的偶函数 f(x)=x +(a+5)x+b 的最小值为 5; ③若命题 p:对? x∈R,都有 x -x+2≥0,则命题 p:? x0∈R,有 ④若 a>0,b>0,a+b=4,则 + 的最小值为 1.
2 2

-x0+2<0;

14.已知 t 是正实数,如果不等式组

表示的区域内存在一个半径为 1 的圆,则 t 的最小值

-2-



. B组 (30 分钟)

一、选择题 1.如果 a,b,c,d 是任意实数,则( A.a>b,c=d? ac>bd B.a >b ,ab>0? < C. > ? a>b D.a >b ,ab>0? < 2.直线 ax+by+c=0 的某一侧的点 P(m,n),满足 am+bn+c<0,则当 a>0,b<0 时,该点位于该直线的( A.右上方 C.左下方 B.右下方 D.左上方 )
2 2 3 3

)

3.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营,据市场分析每辆客车运营的总利润 y(单位:10 万元)与 运营年数 x 的函数关系为 y=-(x-6) +11(x∈N ),则要使每辆客车运营的年平均利润最大,每辆客车的运营 年限为( A.3 年 ) B.4 年 C.5 年
2 2 2 *

D.6 年 )

4.若直线 2ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆 x +y +2x-4y+1=0 所截得的弦长为 4,则 + 的最小值为( A. B. C.2 D.4

5.(2013·哈尔滨模拟)“m≥3”是“关于 x,y 的不等式组

表示的平面区域为三角形”

的(

) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2

A.充分不必要条件 C.充要条件

6.若对任意正数 x,均有 a <1+x,则实数 a 的取值范围是( A.[-1,1] C.[, ] B.(-1,1) D.(, )

)

-3-

7.已知实数 x,y 满足

如果目标函数 z=x-y 最小值的取值范围是[-2,-1],则目标函数最大

值的取值范围是( A.[1,2] 8.已知 lo A.(-∞,10] C.[10,+∞)

) C.[5,8] D.[7,10] )

B.[3,6] (x+y+4)<lo

(3x+y-2),若 x-y<λ 恒成立,则λ 的取值范围是(

B.(-∞,10) D.(10,+∞)
2 2

9.(2013· 山东高考)设正实数 x,y,z 满足 x -3xy+4y -z=0,则当 A.0 B. C.2 D.

取得最大值时,x+2y-z 的最大值为(

)

10.(2013·四川高考)若变量 x,y 满足约束条件

且 z=5y-x 的最大值为 a,最小值为 b,则

a-b 的值是( A.48 二、填空题

) B.30 C.24 D.16

11.若 x+1>0,则 x+

的最小值为

.

1 2.(2013·安徽高考)若非负变量 x,y 满足约束条件 13.若不等式 x +ax+4≥0 对一切 x∈(0,1]恒成立,则 a 的取值范围是
2

则 x+y 的最大值为 .

.

14. 在 约 束 条 件

下 , 当 3 ≤ s ≤ 5 时 , 目 标 函 数 z=3x+2y 的 最 大 值 的 变 化 范 围



.

答案解析 A组
-4-

1.【解析】选 D.因为 y>x>0,且 x+y=1,取特殊值:x= ,y= ,则

= ,2xy= ,所以 x<2xy<

<y.故选 D.

2.【解析】选 C.不等式转化为



解得-1≤x≤

-1 或 x<-1.

综上知 x ≤

-1,故选 C.

【方法总结】与分段函数有关的不等式的求解方法 首先按照分段函数的分类标准去掉“f”号,转化为两个不等式组,然后分别解不等式组,最后取并集得原不 等式的解集 . 3. 【 解 析 】 选
2

D. 由 于

0<a<1, 所 以

2a<a +1,2a<a+1,a +1<a+1, 故

2

2

2a<a +1<a+1, 故

2

loga(2a)>loga(a +1)>loga(a+1),即 p>m>n.

4.【解析】选 C.当 x>0 时,x+ ≥2

=2.

因为 x+ ≥2,所以

≥0,故

≥0,所以 x>0.

所以 x>0 是 x+ ≥2 成立的充要条件,选 C. 5.【解析】选 B.由 z=2x-3y 得 3y=2x-z,即 y= x- .作出可行域如图,

平移直线 y= x- ,由图象可知当直线 y= x- 经过点 B 时,直 线 y= x- 的截距最大,此时 z 取得最小值,由



即 B(3,4),代入直线 z=2x-3y,得 z=2×3-3×4=-6,选 B.

【方法总结】解决线性规划问题的一般步骤 (1)确定线性约束条件.
-5-

(2)确定线性目标函数. (3)画出可行域. (4)利用线性目标函数(直线)求出最优解. (5)据实际问题的需要,适当调整最优解(如整数解等). 6.【解析】选 C.由已知得定点 A 的坐标为(1,1), 由点 A 在直线 mx+ny-1=0 上, 所以 m+n-1=0,即 m+n=1, 又 mn>0,所以 m>0,n>0,

所以 + =

(m+n)=2+

+ +1≥3+2·

=3+2

,

当且仅当 n=

-1,m=2-

时取等号.故选 C.

7. 【解析】选 B. 不等式组表示的平面区域如图中的△ ABC,由 y=x+1,y=2 x-1 得点 B 的横坐标为 2,由 y=-2x-1,y=x+1 得点 C 的横坐标为- . 所以 S△ABC= |AD|(|xC|+|xB|)= ×2× = .

8.【解析】选 D.由

+

=1 得

12+3(x+y)=4+2(x+y)+xy, 即 x+y=xy-8. 因为 x+y≥2 所以 xy-8≥2 即 xy-2 , ,

-8≥0,

-6-

所以

≤-2 或

≥4.

因为 x,y 均为正实数, 所以 ≥4 即 xy≥16,

当且仅当 x=y 时取等号. 9.【解题提示】先由目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)得出何时取最小值,然后由基本不等式求解. 【解析】选 D.由 z=ax+by 得 y=- x+ ,可知斜率为- <0,作出可行域如 图,由图象可知当直线 y=- x+ 经过点 D 时,直线 y=- x+ 的截距最小, 此时 z 最小为 2. 由 得 即 D(2,3),代入直线 ax+by=2 得 2a+3b=2.

又 2=2a+3b≥2

,所以 ab≤ ,当且仅当 2a=3b=1,即 a= ,b= 时取

等号,所以 ab 的最大值为 ,选 D. 10.【解析】选 B.因为(4x+y)-(3x-y)=x+2y, 所以 z= 直线 x+2y=0 将约束条件 所确定的平面区域分为两部分.

如图,令 z1=4x+y,点(x,y)在四边形 ABCD 上及其内部,求得-7≤z1≤ 10; 令 z2=3x-y,点(x,y)在四边形 ABEF 上及其内部(除 AB 边),求得-7≤ z2≤8. 综上可知,z 的取值范围为[-7 ,10].故选 B. 11.【解题提示】作出可行域 D,然后可以看出点(1,0)到 D 的距离的 最小值为点(1,0)到直线 2x-y=0 的距离. 【解析】 作出可行域 D,如图中阴影所示.点(1,0)到区域 D 上点的最小距离即是点(1,0)到直线 2x-y=0 的距 离,d= = .

-7-

答案: 12.【解析】 = ≤ = ,当且仅当 x=1 时取等号,所以要使 ≤a 恒成立,则 a

≥ ,即实数 a 的取值范围为 a≥ . 答案:a≥ 【变式备选】已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是 【解析】因为 x+2y+2xy=8,所以 y= 所以-1<x<8, 所以 x+2y=x+2· =(x+1)+ -2≥ >0, .

2 答案:4

-2=4,当且仅当 x=2 时取等号.

13.【解析】①要使函数有意义,则有 3-x>0,得 x<3,所以①错误.②因为函数为偶函数,所以 a+5=0,即 a=-5 且 a+b=0,所以 b=-a=5,所以 f(x)=x +(a+5)x+b=x +5,所以最小值为 5,所以②正确.③正确.④因为 a+b=4,
2 2

所以 + =1,所以 + = ④正确.所以正确的序号为②③④. 答案:②③④

= + +

+

≥ +2

=1,当 且仅当 a=b=2 时取等号,所以

14.【解析】画出不等式组表示的平面区域,当 t 是正实数时,所表示的区域为第一象限的一个等腰直角三 角形 . 依题意 , 它有一个半径为 1 的内切圆 , 不妨设斜边 |OB|=t, 则两直角边长 |AB|=|OA|= t, 所以

-8-

=1,求得 t=

=2

+2,即 tmin=2+2

.

答案:2+2 B组 1.【解析】选 B.对于 B,由 a >b 知 a>b,而 ab>0,由不等式的倒数法则知 < .故选 B. 2.【解析】选 D.因为 am+bn+c<0,b<0, 所以 n>- m- . 所以点 P 所在的平面区域满足不等式 y>- x- ,a>0,b<0. 所以- >0.故点 P 在该直线的上侧,综上知,点 P 在该直线的左上方.
3 3

3.【解析】选 C. =-x-

+12≤-2
2 2

+12=2,当且仅当 x=

,即 x=5 时等号成立.

4.【解析】选 D.圆的方程为(x+1) +(y-2) =4,圆的直径为 4,直线 2ax-by+2=0 被圆截得的弦长为 4,即直线

过圆的圆心,所以-2a-2b+2=0,即 a+b=1,所以 + =(a+b) a=b= 时成立. 5. 【解析】选 A.当 m≥3 时,不等式组对应的区域为三角形 OBC.

=2+ + ≥2+2

=4,等号当且仅当

当 m=1 时,此时直线 x+y-m=0 经过点 C,此时对应的区域也为三角形, 所以 m≥3 是不等式组表示的平面区域为三角形的充分不必要条件,选 A. 6.【解析】选 A.依题意,a <1+x 对任意正数 x 恒成立,则 a ≤1,求得-1≤a ≤1. 7. 【解题提示】 将目标函数 z=x-y 最小值的取值范围是[-2,-1]当作已知量,
-92 2

求 x+y 的取值范围即可. 【解析】选 B.(x,y)满足的区域如图.

变换目标函数为 y=x-z,当 z 最小时就是直线 y=x-z 在 y 轴上的截距最大时.当 z 的最小值为-1 时,直线为 y=x+1,此时点 A 的坐标是(2,3),此时 m=2+3=5;当 z=-2 时,直线为 y=x+2,此时点 A 的坐标是(3,5),此时 m=3+5=8.故 m 的取值范围是[5,8].目标函数的最大值在点 B(m-1,1)取得,即 zmax=m-1-1=m-2,故目标函数最 大值的取值范围是[3,6]. 8.【解析】选 C.

要使不等式成立,则有



作出不等式组对应的平面区域如图,

设 z=x-y,则 y=x-z.
- 10 -

平移直线 y=x-z,由图象可知当直线 y=x-z 经过点 B 时,直线的截距最小,此时 z 最大, 由 解得

代入 z=x-y 得 z=x-y=3 +7=10, 所以要使 x-y<λ 恒成立, 则λ 的取值范围是λ ≥10. 9.【解题提示】此题可先利用已知条件用 x,y 来表示 z,再经过变形,转化为基本不等式的问题,取等号的条 件可直接代入 x+2y-z,进而再利用基本不等式求出 x+2y-z 的最值. 【解析】选 C.由 x -3xy+4y -z=0,得 z=x -3xy+4y . 所以 = = + -3≥2
2 2 2 2 2

-3=1,当且仅当 =

,

即 x=2y 时取等号,此时 z=2y , 所以 x+2y-z=2y+2y-2y =4y-2y =2y 当且仅当 y=2-y 即 x=2,y=1 时取等号.
2 2

≤2

=2,

10.【解题提示】本题考查的是简单的线性规划问题,求解的关键是正确地作出可行域,然后求出最大值与 最小值. 【解析】 选 C.作出可行域如图,结合图形可知,当 y= x+ z 经过点 A 时,z 取最大值 16,当 y= x+ z 经过点 B a -b=24,故选 C. 11.【解析】x+ 因为 x+1>0,所以 根据基本不等式得, =x+1+ >0, -1, 时,z 取最小值为-8,所以

x+

=x+1+

-1≥2 ,即(x+1) =1,
2

-1=1,

当且仅当 x+1=

即 x+1=1,x=0 时取等号, 所以 x+ 的最小值为 1.
- 11 -

答案:1 12.【解析】先画出可行域,再画目标函数线过原点时的直线,向上平移,寻找满足条件的最优解,代入即可 得所求.根据题目中的约束条件画出可行域,注意到 x,y 非负,得可行域为如图所示的阴影部分(包括边界). 作直线 y=-x,并向上平移,数形结合可知,当直线过点 A(4,0)时,x+y 取得最大值,最大值为 4.

答案:4 【方法总结】线性规划需要注意的问题 (1)准确无误地作出可行域.(2)画目标函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较, 避免出错.(3)一般情况下,目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得. 13.【解析】分离参数后得,a≥-x- ,设 f(x)=-x- ,则只要 a≥f(x)max,由于函数 f(x)在(0,1]上单调递增, 所以 f(x)max=f(1)=-5,故 a≥-5. 答案:[-5,+∞) 【 变 式 备 选 】 设 x,y ∈ (0,2], 且 xy=2, 且 6-2x-y ≥ a(2-x)(4-y) 恒 成 立 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 .

【解析】不等式 6-2x-y≥a(2-x)(4-y), 即 6-2x-y≥a(10-4x-2y), 令 t=2x+y,即不等式 6-t≥a(10-2t), 即(2a-1)t+6-10a≥0 恒成立. 由于 xy=2,所以 y= ≤2,x∈[1,2], 所以 t=2x+ ,t′= 2,

当 x∈[1,2]时,t′≥0, 所以函数 t=2x+ 在[1,2]上单调递增, 所以 t 的取值范围是[4,5]. 设 f(t)=(2a-1)t+6-10a, 则 f(t)≥0 在区间[4,5]恒成立,
- 12 -

因此只要 f(4)≥0 且 f(5)≥0 即可, 即 2-2a≥0 且 1≥0,解得 a≤1, 故实数 a 的取值范围是(-∞,1]. 答案:(-∞,1] 14.【解析】(1)当 3≤s<4 时,可行域是四边形 OABD(图(1)),由 交点为 A(2,0),B(4-s,2s-4),C(0,4),D(0,s), 此时目标函数在点 B 处取得最大值,这个最大值是 3(4-s)+2(2s-4)=s+4,所以 7≤z<8. (2)当 4≤s≤5 时,可行 域是△OAC(图(2)),此时目标函数在点 C 处取得最大值,zmax=8. 综上可知 目标函数的取值范围是[7,8]. ?

答案:[7,8]

- 13 -


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