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用CASIO fx-CG20图形计算器解答AP官方考试指南样题


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用 CASIO?fx‐CG20 图形计算器解答 AP 官方考试指南样题?
? CASIO?fx‐CG20 图形计算器是 College?Board 官方指定的 AP 考试的图形计算器.该款图形 计算器具有中文菜单,操作简单,

快速求解等优点.? 考试允许使用的图形计算器的品牌和型号要求请登录:? http://www.collegeboard.com/student/testing/ap/calculus_ab/calc.html? 为了帮助考生了解 AP 考试的基本要求及借助卡西欧图形计算器解答 AP 试题,本文特 别对 AP 微积分考试官方指南中的考试要求进行必要的说明,并利用卡西欧图形计算器 fx‐CG20 对于考试说明中的样题进行简洁的解答.? AP 微积分考试中,Calculus?AB 和 Calculus?BC 均分为两部分 Section?I 和 Section?II.其中 Section?I 由 Part?A 和 Part?B 构成,共 45 道选择题;其中 Part?A 有 28 道试题不允许使用计算 器;Part?B 由 17 道试题构成,需要使用图形计算器解答.? Section?II 也是由 Part?A 和 Part?B 构成,占总分的 50%.所不同的是其中 Part?A 有 2 道解 答题需要使用图形计算器;Part?B 由 4 道试题构成,不允许使用任何电子设备.如下:? 总时间 1 小时 30 分钟 Part?A 考题数量 考试时间 电子设备 2 30 分钟 需要图形计算器 Part?B 考题数量 考试时间 电子设备 ? 下面我们针对考试指南中允许使用图形计算器的样题进行逐一的分析和解答.? ? ? ? 1?/?35? ? 4 1 小时 均不允许

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Calculus?AB:?Section?I? Part?B?Sample?Multiple‐Choice?Questions?
微积分 AB 样题:第 I 节? B 部分? 单项选择题样题? 该考试部分的部分题目需要用到图形计算器.? B 部分共有 17 题.下面是第 I 节 B 部分的说明和 10 个典型题目.? 说明:解答下面每道题目,使用试题空白部分作为草稿纸.检查完选项表后,选择给出选项 中最正确的填入答题纸的对应圆圈中.写在试题册上的任何内容均不得分.不要在任何一题上 花费太多时间.? 在考试中:? (1)? 正确答案的精确数值并不一定出现在给出选项中.这种情况发生时,选择包含最接近 正确答案的精确数值的选项.? (2)? 除非其它说明,假设函数 f 的定义域为全体实数集, f ? x ? 为实数.?
?1

(3)? 三角函数 f 的反函数可能用反函数记号 f

表示,或者使用前缀“ arc ”(如

sin ?1 x ? arcsin x ).?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2?/?35? ?

????????????????????????????????????????????????? 15.?A?particle?travels?along?a?straight?line?with?a?velocity?of? v ? t ? ? 3e
? ? t /2 ?

?

sin ? 2t ? ? meters?per?

second.?What?is?the?total?distance,?in?meters,?traveled?by?the?particle?during?the?time?interval?

0≤t≤2?seconds??
(A)?0.835? (B)?1.850? (C)?2.055? (D)?2.261? (E)?7.025? 15.? 一质点以 v ? t ? ? 3e
? ? t /2 ?

sin ? 2t ? 米每秒的速度沿一直线移动.该质点在时间段 0 ? t ? 2

秒内移动的总距离是多少米?? (A)?0.835? (B)?1.850? (C)?2.055? (D)?2.261? (E)?7.025? 解法 1:位移(displacement) ?

?

t2

t1

vdt ,距离(distance) ? ? v dt ,即对速度函数
t1

t2

的绝对值求积分.注意这里是求移动的距离而非位移,即求

?

2

0

3e? ?t /2? sin ? 2t ? dt .可利用

CASIO?fx‐CG20 图形计算器在计算、矩阵模式下的积分计算功能求解.? [图形计算器操作]? 1.按 p1(计算? 统计)? 2.按 ir(计算)r( dx )?

?

3.按 ie(复数)w(Abs)3LG( e )nfM2$h2f$$0$ 2l?

x

? 3?/?35? ?

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?

? 答案选 D.? 解法 2:由 v ? t ? 的图像可知,质点的速度在 ? 0,1.57 ? 上是正值,在 ?1.57, 2? 上是负值, 所以要求的距离应对 v 分成两部分积分,距离

??

1.57

0

3e? ?t 2? sin ? 2t ? dt ? ?

2

1.57

3e? ?t 2? sin ? 2t ? dt ? 2.056 ? 0.205 ? 2.261 ,所以选 D.?

[图形计算器操作]? 按 p5(图形), 在输入函数界面, 依次输入函数与区间, 按 u 键绘图, 再按 yq(零 点)键求出零点.?

? 按 p1(计算? 矩阵模块)? 按 ir(计算)r,然后依次输入所求函数与积分区间,按 l 得到答案.?

? ? ? 4?/?35? ?

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?

16.?A?city?is?built?around?a?circular?lake?that?has?a?radius?of?1?mile.?The?population?density?of?the? city?is?f (r) people?per?square?mile,?where r is?the?distance?from?the?center?of?the?lake,?in?miles.? Which?of?the?following?expressions?gives?the?number?of?people?who?live?within?1?mile?of?the? lake?? (A)? 2? (B)? 2? (C)? 2? (D)? 2? (E)? 2?

? rf ? r ? dr ?
0

1

? r ?1 ? f ? r ? ? dr ?
1 0

? r ?1 ? f ? r ? ? dr ?
2 0

?

2

1

rf ? r ? dr ?

? r ?1 ? f ? r ? ? dr ?
2 1

16.? 环绕一半径为 1 英里的圆形湖建有一座城市.其人口密度为 f ? r ? 人每平方英里,其中 r 是距湖中心的距离,单位为英里.下列哪个选项是距湖 1 英里内的人口数?? (A)? 2? (B)? 2? (C)? 2? (D)? 2? (E)? 2?

? rf ? r ? dr ?
0

1

? r ?1 ? f ? r ? ? dr ?
1 0

? r ?1 ? f ? r ? ? dr ?
2 0

?

2

1

rf ? r ? dr ?

? r ?1 ? f ? r ? ? dr ?
2 1

解:设 P 为人口数, A 为面积,单位为平方英里,则有 f ? r ? ?

dP ? P ? ? f ? r ? dA , dA

A ? ? r 2 ? dA ? 2? rdr , P ? 2? ? rf ? r ? dr .本题面积为 r ? 1 到 r ? 2 之间的环带,

P ? 2? ? rf ? r ? dr ,答案选 D.?
1

2

? ? 5?/?35? ?

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?

17.?The?graph?of?a?function?f?is?shown?above.?If? lim f ? x ? exists?and f is?not?continuous?at?b,
x ?b

then b =?
(A)?–1 (B)?0? (C)?1? (D)?2? (E)?3?

? 17.? 函数 f 的图象如上图所示.如果 lim f ? x ? 存在且 f 在 b 点不连续,则 b ? ?
x ?b

(A)?‐1? (B)?0? (C)?1? (D)?2? (E)?3?

? 6?/?35? ?

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?

右极限存在但不相等, 故 lim f ? x ? 、 解: 观察图象可看出:f 在 x ? ?1 和 x ? 2 处的左、
x ??1

lim f ? x ? 不存在; f 在 x ? 1 和 x ? 3 处连续; f 在 x ? 0 处左、右极限存在且相等,故
x ?2

lim f ? x ? 存在,且 f 在 x ? 0 处不连续.答案选 B.?
x ?0

? 18.?Let f?be?a?function?such?that? f ?? ? x ? ? 0 for?all? x in?the?closed?interval [1, 2].?Selected? values?of?f?are?shown?in?the?table?above.?Which?of?the?following?must?be?true?about? f ? ?1.2 ? ?? (A)? f ? ?1.2 ? ? 0 ? (B)? 0 ? f ? ?1.2 ? ? 1.6 ? (C)? 1.6 ? f ? ?1.2 ? ? 1.8 ? (D)? 1.8 ? f ? ?1.2 ? ? 2.0 ? (E)? f ? ?1.2 ? ? 2.0 ?

? 18.? f 是一函数, f ?? ? x ? ? 0 对闭区间 ?1, 2? 内所有 x 都成立.上表给出了一些选定的 f 的值. 关于 f ? ?1.2 ? ,下列哪个选项一定是正确的?? (A)? f ? ?1.2 ? ? 0 ? (B)? 0 ? f ? ?1.2 ? ? 1.6 ?

? 7?/?35? ?

????????????????????????????????????????????????? (C)? 1.6 ? f ? ?1.2 ? ? 1.8 ? (D)? 1.8 ? f ? ?1.2 ? ? 2.0 ? (E)? f ? ?1.2 ? ? 2.0 ?

?

在闭区间 ?1, 2? 内 f 连续且 f ? 存 解: 由 f ?? ? x ? ? 0 对闭区间 ?1, 2? 内所有 x 都成立可知, 在,且对于连接点 ?1.2, 4.38? 和 ?1.3, 4.56 ? 的线段的斜率 R1 、 f 在 x ? 1.2 处的切线斜率

R切线 和连接点 ?1.1, 4.18 ? 和 ?1.2, 4.38? 的线段的斜率 R2 有 R1 ? R切线 ? R2 ,即

4.56 ? 4.38 4.38 ? 4.18 ,即 1.8 ? f ? ?1.2 ? ? 2.0 ,答案选 D.? ? f ? ?1.2 ? ? 1.3 ? 1.2 1.2 ? 1.1
? 19.?Two?particles?start?at?the?origin?and?move?along?the?x‐axis.?For? 0 ? t ? 10 ,?their?respective? position?functions?are?given?by? x1 ? sin t and? x2 ? e ?2 t ? 1 .?For?how?many?values?of t do?the? particles?have?the?same?velocity?? (A)?None? (B)?One? (C)?Two? (D)?Three? (E)?Four? 19.? 两个质点从原点出发沿 x 轴移动.在 0 ? t ? 10 范围内, 它们各自的位置由函数 x1 ? sin t 和 x2 ? e ?2 t ? 1 给出.问有几种 t 的取值使两质点速度相同?? (A)?0? (B)?1? (C)?2? (D)?3? ? 8?/?35? ?

????????????????????????????????????????????????? (E)?4? 分析:本题为选择题,且未要求计算具体数据,适合用图象法求解.?

?

利用 CASIO?fx‐CG20 图形计算器的绘图功能可以绘制两个质点的位置函数的导数即它们 的速度函数的图象,观察交点个数即为答案.? 解:[图形计算器操作]? 1. p5(图形模块)? 进入图形模式.?

? 2. 输入需要绘制图形的函数,这里可以直接在图形函数中使用一阶导数计算对两个质点的 位置函数求导.? iw(计算)q( d dx )hfl? iw(计算)q( d dx )LGn2f$-1l?

? 3. 绘制图形,这里可以在绘制图形之前指定图形范围,方便查看.? Le(V‐WIN)0l10ldu(绘图)?

? ? 9?/?35? ?

????????????????????????????????????????????????? 观察图象可看到有三个交点,答案选 D.? ?

?

20.?The?graph?of?the?function f shown?above?consists?of?two?line?segments.?If g is?the?function? defined?by? g ? x ? ? (A)?–2? (B)?–1? (C)?0? (D)?1? (E)?2?

? f ? t ? dt
0

x

then g(-1) =?

? 20.? 函数 f 的图象由两条线段组成,如上图所示。如果函数 g 的定义为 g ? x ? ? 则 g ? ?1? ? ? (A)?‐2? (B)?‐1? (C)?0? (D)?1? (E)?2? ? 10?/?35? ?

? f ? t ? dt ,
0

x

????????????????????????????????????????????????? 解:由图象知,当 ?2 ? x ? 0 , f ? x ? ? 2 x ? 2 ;当 0 ? x ? 2 , f ? x ? ? ? x ? 2 ,

?

g ? ?1? ? ? 2 x ? 2dx ? ?1 ,答案选 B.?
0

?1

[图形计算器操作]? 1.按 p1(计算? 矩阵模块)? 2.按 ir(计算)r,依次输入函数与积分区间,然后按 l 键?

? ? 21.?The?graphs?of?five?functions?are?shown?below.?Which?function?has?a?nonzero?average?value? over?the?closed?interval? ? ?? , ? ? ? 21.? 下面是五个函数的图象,哪个函数在闭区间 ? ?? , ? ? 内的平均值非零??

? 11?/?35? ?

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?

? 解:函数在闭区间 ? ?? , ? ? 内的平均值 ?

? ? f ? x ? dx ? 0 ,即
?

?

? ? ? ?? ?

? ? f ? x ? dx ? 0 ,即函数
?

?

图象与 x 轴和直线 x ? ?? 、 x ? ? 所围成部分在 x 轴上方部分与下方部分面积之差不等于 0.观察图象可看出答案选 E.? ? 22.?A?differentiable?function?f?has?the?property?that?f(5)=3?and? f ? ? 5? ? 4 ,?What?is?the?estimate? for?f(4.8)using?the?local?linear?approximation?for?f?at?x=5? (A)?2.2? (B)?2.8? (C)?3.4? (D)?3.8? ? 12?/?35? ?

????????????????????????????????????????????????? (E)?4.6?

?

22.? 可微函数 f 满足 f ? 5? ? 3 和 f ? ? 5? ? 4 ,对 f 使用局部线性近似,以 x ? 5 为初值求

f ? 4.8? 的估计值是多少??
(A)?2.2? (B)?2.8? (C)?3.4? (D)?3.8? (E)?4.6? 解:由 f ? 5? ? 3 , f ? ? 5? ? 4 可得在点 ? 5,3? 处的线性函数为 y ? 3 ? 4 ? x ? 5 ? ,即

y ? 4 x ? 17 ,?
所以 f ? 4.8? ? 4 ? 4.8 ? 17 ? 2.2 ,答案为 A.? ? 23.?Oil?is?leaking?from?a?tanker?at?the?rate?of? R ? t ? ? 2, 000e
?0.2 t

gallons?per?hour,?where?t?is?

measured?in?hours.?How?much?oil?leaks?out?of?the?tanker?from?time?t?=?0?to?t?=?10??? (A)?54?gallons? (B)?271?gallons? (C)?865?gallons? (D)?8,647?gallons? (E)?14,778?gallons? 23.? 油从油轮中以 R ? t ? ? 2, 000e
?0.2t

加仑每小时的速度泄漏, t 的单位是小时.从时刻 t ? 0

到 t ? 10 有多少油从油轮中泄漏?? (A)?54 加仑? (B)?271 加仑? ? 13?/?35? ?

????????????????????????????????????????????????? (C)?865 加仑? (D)?8647 加仑? (E)?14778 加仑? 解:泄露的石油总量等于时间乘以速度,t 从 0 到 10 积分? [图形计算器操作]? 1.按 p1(计算? 矩阵模块)? 2.按 ir(计算)r,依次输入函数与积分区间,然后按 l 键?

?

? 答案为 D.? ? 24.?If? f ? ? x ? ? sin ?

? ? ex ? ? ? and?f?(0)?=?1,?then?f?(2)?=? ? 2 ?

(A)?–1.819? (B)?–0.843? (C)?–0.819? (D)?0.157? (E)?1.157? 24.? 如果 f ? ? x ? ? sin ?

? ? ex ? ? , f ? 0 ? ? 1 ,则 f ? 2 ? ? ? ? 2 ?

(A)?‐1.819? (B)?‐0.843? ? 14?/?35? ?

????????????????????????????????????????????????? (C)?‐0.819? (D)?0.157? (E)?1.157? 解:因为 选 E? [图形计算器操作]? 1.按 p1(计算? 矩阵模块)? 2.按 ir(计算)r,依次输入函数与积分区间,然后按 l 键?

?

?

2

0

f ? ? x ? dx ? f ? 2 ? ? f ? 0 ? ,而 ? f ? ? x ? dx ? 0.157 ,所以 f ? 2 ? ? 1.157 ,
0

2

?

? 15?/?35? ?

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?

Calculus?BC:?Section?I? Part?B?Sample?Multiple‐Choice?Questions?
微积分 BC 样题:第 I 节? B 部分? 单项选择题样题? 该考试部分的部分题目需要用到图形计算器.? B 部分共有 17 题.下面是第 I 节 B 部分的说明和 10 个典型题目.? 说明:解答下面每道题目,使用试题空白部分作为草稿纸.检查完选项表后,选择给出选项 中最正确的填入答题纸的对应圆圈中.写在试题册上的任何内容均不得分.不要在任何一题上 花费太多时间.? 在考试中:? (1)? 正确答案的精确数值并不一定出现在给出选项中.这种情况发生时,选择包含最接近 正确答案的精确数值的选项.? (2)? 除非其它说明,假设函数 f 的定义域为全体实数集, f ? x ? 为实数.?
?1

(3)? 三角函数 f 的反函数可能用反函数记号 f

表示,或者使用前缀“ arc ”(如

sin ?1 x ? arcsin x ).?
? ? ? ? ? ? ? ? ? 16?/?35? ?

????????????????????????????????????????????????? 15.?The?graph?of?the?function?f?above?consists?of?four?semicircles.?If? g ? x ? ? is?g(x)?nonnegative?? (A)? ? ?3,3? ? (B)? ? ?3, ?2? ? ? 0, 2? ? only? (C)? ? 0,3? only? (D)? ? 0, 2? only? (E)? ? ?3, ?2? ? ? 0,3? ? only?

?
x

? f ? t ? dt
0

where?

? 15.? 函数 f 的图象由四个半圆组成,如上图所示.如果 g ? x ? ? 负?? (A)? ? ?3,3? ? (B)? 只有 ? ?3, ?2? ? ? 0, 2? ? (C)? 只有 ? 0,3? ? (D)? 只有 ? 0, 2? ?

? f ? t ? dt ,在哪里 g ? x ? 非
0

x

? 17?/?35? ?

????????????????????????????????????????????????? (E)? 只有 ? ?3, ?2? ? ? 0,3? ? 解: g ? 0 ? ?

?

? f ? t ? dt ? 0 ; 0 ? x ? 3 时, g ? x ? ? ? f ? t ? dt ,即 g ? x ? 的值为 f 的
0 0

0

x

图象与 x 轴、 y 轴和直线 x ? x 所围成部分在 x 轴上方部分与下方部分面积之差,观察图象 可看到 g ? x ? ? 0 ; ?3 ? x ? 0 时, g ? x ? ? ?

? f ? t ? dt ,即 g ? x ? 的值为 f 的图象与 x 轴、
x

0

y 轴和直线 x ? x 所围成部分在 x 轴下方部分与上方部分面积之差,观察图象可看到

g ? x ? ? 0 .答案选 A.?
? 16.?If?f?is?differentiable?at?x?=?a,?which?of?the?following?could?be?false?? (A)?f?is?continuous?at?x?=?a.? (B)? lim f ? x ? ? exists.?
x ?a

(C)? lim
x ?a

f ? x? ? f ?a? exists.? x?a

(D) f ? ? a ? ? is?defined.? (E) f ? ? a ? ? is?defined.? 16.? 如果 f 在 x ? a 可微,下列哪个选项可能是错的?? (A)? f 在 x ? a 连续.? (B)? lim f ? x ? 存在.?
x ?a

(C)? lim
x ?a

f ? x? ? f ?a? 存在.? x?a

(D)? f ? ? a ? 有定义.?

? 18?/?35? ?

????????????????????????????????????????????????? (E)? f ?? ? a ? 有定义.?

?

解: f 在 x ? a 可微, f ?? ? a ? 可能不存在.如 f ? x ? ? x 2 在 x ? 0 时有 f ? ? x ? ?

3

3 1 x 2 ,但 2

f ?? ? x ? ?

3 4 x

在 x ? 0 时不存在.答案选 E.?

? 17.?A?rectangle?with?one?side?on?the?x‐axis?has?its?upper?vertices?on?the?graph?of?y?=?cos?x,?as? shown?in?the?figure?above.?What?is?the?minimum?area?of?the?shaded?region?? (A)?0.799? (B)?0.878? (C)?1.140? (D)?1.439? (E)?2.000?

? 17.? 一条边在 x 轴上的矩形的上方顶点在 y ? cos x 的图象上,如上图所示.阴影部分的最小 面积是多少?? (A)?0.799? (B)?0.878?

? 19?/?35? ?

????????????????????????????????????????????????? (C)?1.140? (D)?1.439? (E)?2.000?

?

解:阴影部分面积等于总面积‐矩形面积,要求阴影部分的最小面积即求矩形的最大面 积,因为矩形在第一象限的顶点坐标为 ? x, cos x ? ,所以矩形面积 ? 2 x cos x ,其最大值为 1.122.?

总面积 ?

? ? cos xdx ? 2 ,所以阴影部分面积=2‐1,122=0.878,选 B.?
2 ? 2

?

[图形计算器操作]? 按 p1(计算? 矩阵模块)? 按 ir(计算)r,依次输入函数 cos x 与积分区间 ? ?

? ? ?? ,然后按 l 键? , ? 2 2? ?

?

按 p5(图形模块),在函数界面,依次输入函数 2 x cos x 和绘图区间 ? ?

? ? ?? , ? 然后按 ? 2 2?

l 突出显示要绘制的函数,再按 u 绘制图象,然后按 yw,得到最大值.?

? ? ? 20?/?35? ?

????????????????????????????????????????????????? 18.?A?solid?has?a?rectangular?base?that?lies?in?the?first?quadrant?and?is?bounded?by?the?x‐?and?

?

y‐axes?and?the?lines?x?=?2?and?y?=?1.?The?height?of?the?solid?above?the?point?(x,?y)?is?1?+?3x.?Which? of?the?following?is?a?Riemann?sum?approximation?for?the?volume?of?the?solid??

(A)?

1? ? ? ?n? n? ?
i ?1

n

1?

3i ?

(B)? 2

1? ? ? ?n? n? ?
i ?1

n

1?

3i ?

(C)? 2

1? ? ? ?n? n? ?
i ?1

n

i?

3i ?

(D)?

1? ? ? ?n? n? ?
i ?1

n

2?

6i ?

(E)?

1? ? ? ?n? n? ?
i ?1

n

2i ?

6i ?

18.? 一个几何体的底面为一第一象限内的矩形,由 x 、 y 轴与直线 x ? 2 和 y ? 1 围成.几何 体在点 ? x, y ? 的高为 1 ? 3x .哪个选项是几何体体积的 Riemann 求和近似??

(A)?

1? ? ? ?n? n? ?
i ?1

n

1?

3i ?

(B)? 2

1? ? ? ?n? n? ?
i ?1

n

1?

3i ?

(C)? 2

1? ? ? ?n? n? ?
i ?1

n

i?

3i ?

(D)?

1? ? ? ?n? n? ?
i ?1

n

2?

6i ?

? 21?/?35? ?

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?

(E)?

1? ? ? ?n? n? ?
i ?1

n

2i ?

6i ?

解:将 x 轴上 ? 0, 2? 区间分成 n 份,每份长度为

2 2i 6i ,第 i 份高度为 1 ? 3 ? ? 1 ? ,第 n n n

n 2 2 ? 6i ? ? 6i ? ? 6i ? i 份横截面积为 ? 1 ? ? ? 1 ,第 i 份体积为 ? 1 ? ? ? 1? ,总体积为 ? ?1 ? ? ,答案 n? n? n n? ? ? i ?1 n ?

选 D.? ? 19.?Three?graphs?labeled?I,?II,?and?III?are?shown?above.?One?is?the?graph?of?f,?one?is?the?graph?of?f’,? and?one?is?the?graph?of? .?Which?of?the?following?correctly?identifies?each?of?the?three?graphs??

?

? 19.? 三个图象分别记为 I,II 和 III,如上图所示.三图象分别是 f 、 f ? 和 f ?? 的图象.下列哪个 选项正确地识别了三图象??

? 22?/?35? ?

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?

f ? ? f ? ? ? ? f ?? ?
(A)?I? ? ? ? II? ? ? ? III? (B)?I? ? ? ? III? ? ? II? (C)?II? ? ? I? ? ? ? ? III? (D)?II? ? ? III? ? ? I? (E)?III? ? II? ? ? ? I? 解: f 递减时 f ? 为负, f 递增时 f ? 为正.? 如果 I 是 f 的图象,则 II、III 都不可能是 f ? 的图象.? 如果 II 是 f 的图象,则 III 不可能是 f ? 的图象.?

f ? 递减时 f ?? 为负, f ? 递增时 f ?? 为正.?
如果 II 是 f 的图象,I 是 f ? 的图象,则 III 不可能是 f ?? 的图象.? 答案选 E.? ? 20.?A?particle?moves?along?the?x‐axis?so?that?at?any?time?t?≥?0?its?velocity?is?given? by v ? t ? ? ln ? t ? 1? ? 2t ? 1 .?The?total?distance?traveled?by?the?particle?from?t?=?0?to?t?=?2?is? (A)?0.667? (B)?0.704? (C)?1.540? (D)?2.667? (E)?2.901?

? 23?/?35? ?

?????????????????????????????????????????????????

?

20.? 一质点沿 x 轴移动,在任意时刻 t ? 0 其速度由 v ? t ? ? ln ? t ? 1? ? 2t ? 1 给出.该质点从

t ? 0 到 t ? 2 移动的总距离是?
(A)?0.667? (B)?0.704? (C)?1.540? (D)?2.667? (E)?2.901? 解法 1:位移(displacement) ?

?

t2

t1

vdt ,距离(distance) ? ? v dt ,即对速度函数
t1

t2

的绝对值求积分.注意这里是求移动的距离而非位移,即求

?

2

0

ln ? t ? 1? ? 2t ? 1 dt .可利用

CASIO?fx‐CG20 图形计算器在计算、矩阵模式下的积分计算功能求解.? [图形计算器操作]? 1.按 p1(计算? 统计)? 2.按 ir(计算)r( dx )? 3.按 ie(复数)w(Abs)G(f+1)-2 f +1$$0$2l

?

? 答案选 D.? 解法 2:由 v ? t ? 的图像知,质点的速度在 ? 0, 0.79? 上是正值,在 ? 0.79, 2? 上是负值, 所以要求移动的距离应对 v 分成两部分积分,距离

??

0.79

0

? ln ?1 ? t ? ? 2t ? 1? dt ? ? ? ln ?1 ? t ? ? 2t ? 1? dt ? 0.418 ? 1.122 ? 1.540 ,所以选 C.?
2 0.79

[图形计算器操作]? ? 24?/?35? ?

????????????????????????????????????????????????? 按 p5(图形模块)?

?

在输入函数界面,依次输入函数与区间,按 u 键绘图,再按 yq(零点)键求出零点.?

? 按 p1(计算? 矩阵模块)? 按 ir(计算)r,然后依次输入所求函数与积分区间,按 l 得到答案.?

? ? 21.?If?the?function?f?is?defined?by? f ? x ? ? =?5,?then?g(1)?=? (A)?‐3.268? (B)?‐1.585? (C)?1.732? (D)?6.585? (E)?11.585? 21.? 如果函数 f 由 f ? x ? ? (A)?‐3.268? ? 25?/?35? ?

x3 ? 2 ? and?g?is?an?antiderivative?of?f?such?that?g(3)?

x3 ? 2 定义, g 是 f 的一个不定积分使 g ? 3? ? 5 ,则 g ?1? ? ?

????????????????????????????????????????????????? (B)?‐1.585? (C)?1.732? (D)?6.585? (E)?11.585? 解:因为 为 B.? [图形计算器操作]? 按 p1(计算? 矩阵模块)? 按 ir(计算)r,依次输入函数与积分区间,然后按 l 键?

?

? f ? x ? dx ? g ? 3? ? g ?1? ? 6.585 ,所以 g ?1? ? 5 ? 6.585 ? ?1.585 ,答案
1

3

? ? 22.?Let?g?be?the?function?given?by? g ? x ? ?

? 100 ? t
x 1

2

? 3t ? 2 ? e?t dt ?
2

Which?of?the?following?statements?about?g?must?be?true?? I.?g?is?increasing?on?(1,?2).? II.?g?is?increasing?on?(2,?3).? III.?g(3)?>?0? (A)?I?only? (B)?II?only? (C)?III?only? (D)?II?and?III?only? (E)?I,?II,?and?III? ? 26?/?35? ?

????????????????????????????????????????????????? 22.? g 是由 g ? x ? ? 确的?? I.? g 在 ?1, 2 ? 递增.? II.? g 在 ? 2,3? 递增.? III.? g ? 3? ? 0 ? (A)? 只有 I? (B)? 只有 II? (C)? 只有 III? (D)? 只有 II 和 III? (E)?I,II 和 III? 解:设 f 为 100 x ? 3x ? 2 e
2
2

?

? 100 ? t
x 1

2

? 3t ? 2 ? e?t dt 给定的函数.下列哪些关于 g 的叙述一定是正
2

?

?

? x2

的一个原函数,则 g ? x ? ? f ? x ? ? f ?1? ,由

100 ? x 2 ? 3x ? 2 ? e? x 可知, 该函数在 ?1, 2 ? 上小于零, 在 ? 2,3? 上大于零, 所以 g ? x ? 在 ?1, 2 ?
上递减,在 ? 2,3? 上递增,又因为 g ? 3? ? 答案为 B.? [图形计算器操作]? 按 p1(计算? 矩阵模块)? 按 ir(计算)r,然后依次输入所求函数与积分区间,按 l 得到答案.?

? 100 ? t
3 1

2

? 3t ? 2 ? e?t ? ?1.94 ,所以只有Ⅱ对,
2

? 按 p5(图形模块)? ? 27?/?35? ?

????????????????????????????????????????????????? 在输入函数界面,依次输入函数与区间,按 u 键绘图?

?

? ? 23.?For?a?series?S,?let? S ? 1 ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? L ? an ? L ? 9 2 25 4 49 8 81 16 121

1 ? ? 2? n ?1? 2 ? Where? an ? ? ?1 ? 2 ? ? ? n ? 1?

if n is odd
?

if n is even.

Which?of?the?following?statements?are?true?? I.?S?converges?because?the?terms?of?S?alternate?and? lim an ? 0 ?
n ??

II.?S?diverges?because?it?is?not?true?that? an ?1 ? an ? for?all?n.? III.?S?converges?although?it?is?not?true?that? an ?1 ? an ? for?all?n.? (A)?None? (B)?I?only? (C)?II?only? (D)?III?only? (E)?I?and?III?only?

? 28?/?35? ?

????????????????????????????????????????????????? 23.? 对于级数 S ,使 S ? 1 ?

?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? L ? an ? L ,其中 9 2 25 4 49 8 81 16 121

? 1 ? 2? n ?1? 2 ? an ? ? ?1 ? 2 ? ? ? n ? 1?

如果n是奇数
?

如果n是偶数。

下列哪些叙述是正确的?? I.? S 收敛因为 S 的项符号交替且 lim an ? 0 .?
n ??

II.? S 不收敛因为并非对所有 n 都有 an ?1 ? an .? III.? S 收敛尽管并非对所有 n 都有 an ?1 ? an .? (A)? 无? (B)? 只有 I? (C)? 只有 II? (D)? 只有 III? (E)? 只有 I 和 III? 解:设 S1 ? ? n ?1?

1

2

2

、 S2 ?

?1

? n ? 1?

2

,则 S1 、 S 2 都为几何级数且 r ? 1 ,即 S1 、 S 2 都

收敛, 即 S 收敛, 但并非对所有 n 都有 an ?1 ? an .由 S 的项符号交替且 lim an ? 0 不能推出
n ??

S 收敛:设 S ? ? ? ?1?
n ?1

?

n ?1

bn ,若 lim bn ? 0 且 bn ?1 ? bn 则可推出 S 收敛,但这里 S 不满足
n ??

bn ?1 ? bn .答案选 D.?
? 24.?Let?g?be?the?function?given?by? g ? t ? ? 100 ? 20sin ? decreasing?most?rapidly?when?t?=? ? 29?/?35? ?

? ?t ? ? ?t ? ? ? 10 cos ? ? ,?For? 0 ? t ? 8 ,?g?is? ? 2? ? 6 ?

????????????????????????????????????????????????? 24.? g 是由 g ? t ? ? 100 ? 20sin ? 少时 g 减小最快?? (A)?0.949? (B)?2.017? (C)?3.106? (D)?5.965? (E)?8.000?

?

? ?t ? ? ?t ? ? ? 10 cos ? ? 给定的函数.对于 0 ? t ? 8 ,当 t 等于多 ? 2? ? 6 ?

5 ?t ? ? sin ,求下降最快即求 t 等于多少时 g ? ? t ? 取最小 2 3 6 值,用图形计算器算得当 x ? 2.017 时取最小值,所以选 B.?
解:因为 g ? ? t ? ? 10? cos [图形计算器操作]? 按 p1(计算? 矩阵模块)? 按 ir(计算)uq,进入求最小值的界面,依次输入函数,起点终点和精度.?

?t

? ?

? 30?/?35? ?

????????????????????????????????????????????????? ?

?

Calculus?AB?and?BC:?Section?II? 微积分 AB 和微积分 BC 样题:第 II 节?
自由问答题样题? Question?1? 第 1 题? Let?R?be?the?region?bounded?by?the?graphs?of?y = sin(πx) and? y ? x ? 4 x ,?as?shown?in?the?
3

figure?above.? (a)?Find?the?area?of?R.? (b)?The?horizontal?line?y?=??2?splits?the?region?R?into?two?parts.?Write,?but?do?not?evaluate,?an? integral?expression?for?the?area?of?the?part?of?R?that?is?below?this?horizontal?line.? (c)?The?region?R?is?the?base?of?a?solid.?For?this?solid,?each?cross?section?perpendicular?to?the?x‐axis? is?a?square.?Find?the?volume?of?this?solid.? (d)?The?region?R?models?the?surface?of?a?small?pond.?At?all?points?in?R?at?a?distance?x?from?the? y‐axis,?the?depth?of?the?water?is?given?by?h(x)?=?3???x.?Find?the?volume?of?water?in?the?pond.?

?

R 是由 y ? sin ?? x ? 和 y ? x 3 ? 4 x 的图象所围成的区域,如上图所示.?
(a) 求 R 的面积.? (b) 水平线 y ? ?2 将区域 R 分为两部分.写出 R 在水平线以下部分的面积的积分表达式,不 ? 31?/?35? ?

?????????????????????????????????????????????????

?

需要求值.? (c) 区域 R 为一几何体的底面.这个几何体的每个与 x 轴垂直的截面都是正方形.求立方体的 体积.? (d) 用区域 R 建模表示一小池塘的表面.对于 R 内每个距 y 轴的距离为 x 的点,水的深度由

h ? x ? ? 3 ? x 给出.求池塘内水的体积.?
解:(a)因为 y ? sin ? x 的图象在 y ? x ? 4 x 上方,所以 S E ?
3

? ? sin ? x ? ? x
2 0

3

? 4 x ? dx ? 4 ?

?

[图形计算器操作]? 按 p1(计算? 矩阵模块)? 按 ir(计算)r,然后依次输入所求函数与积分区间,按 l 得到答案.?

? (b)因为在 ? 0, 2? 区间上 y ? x ? 4 x 与 y ? ?2 的交点横坐标 r ? 1.675 和 s ? 0.539 ,所
3

以所求面积等于

?

s

r

?2 ? ? x3 ? 4 x ? dx ?

[图形计算器操作]? 在主菜单中进入解方程模式,按 w 键(多项式)w(三次),依次输入系数,按 q 求解?

?

? 32?/?35? ?

?????????????????????????????????????????????????

?

? (c)因为与 x 轴垂直的横截面是正方形,所以几何体的高为 sin ? x ? x ? 4 x ,所以几
3

?

?

何体体积等于

? ? sin ? x ? ? x
2 0

3

? 4 x ? dx ? 9.978 ?
2

?

[图形计算器操作]? 按 p1(计算? 矩阵模块)? 按 ir(计算)r,然后依次输入所求函数与积分区间,按 l 得到答案.?

? (d)因为湖水深度为 3 ? x ,所以水的体积为 [图形计算器操作]? 按 p1(计算? 矩阵模块)? 按 ir(计算)r,然后依次输入所求函数与积分区间,按 l 得到答案.?

? ? 3 ? x ? ? sin ? x ? ? x
2 0

2

? 4 x ? dx ? 8.370 ?

?

? 33?/?35? ?

????????????????????????????????????????????????? Question?2?

?

? Concert?tickets?went?on?sale?at?noon?(t?=?0)?and?were?sold?out?within?9?hours.?The?number?of? people?waiting?in?line?to?purchase?tickets?at?time?t?is?modeled?by?a?twice‐differentiable?function?L? for?0≤t≤9.?Values?of?L(t)?at?various?times?t?are?shown?in?the?table?above.? (a)?Use?the?data?in?the?table?to?estimate?the?rate?at?which?the?number?of?people?waiting?in?line? was?changing?at?5:30?P.M.?(t?=?5.5).?Show?the?computations?that?lead?to?your?answer.?Indicate? units?of?measure.? (b)?Use?a?trapezoidal?sum?with?three?subintervals?to?estimate?the?average?number?of?people? waiting?in?line?during?the?first?4?hours?that?tickets?were?on?sale.? (c)?For?0≤t≤9,?what?is?the?fewest?number?of?times?at?which?L′(t)?must?equal?0???Give?a?reason?for? your?answer.? (d)?The?rate?at?which?tickets?were?sold?for?0≤t≤9?is?modeled?by? r ? t ? ? 550te
?t 2

? tickets?per?

hour.?Based?on?the?model,?how?many?tickets?were?sold?by?3?P.M.?(t?=?3),?to?the?nearest?whole? number??

? 音乐会门票从正午( t ? 0 )开始销售,在 9 小时内售完.在时刻 t 排队买票的人数用

0 ? t ? 9 上的一个二次可微函数 L 建模表示.不同时刻 t 的 L ? t ? 的值如上表所示.?
(a) 用表中数据估计排队人数在下午 5:30( t ? 5.5 )以何种速率变化.给出得到你答案的计 算过程.指出度量单位.? (b) 用包含三个子区间的梯形求和估计售票前 4 小时的平均排队人数.? (c) 对于 0 ? t ? 9 , L? ? t ? 一定等于 0 的时刻的最少个数是多少?给出作答理由.? (d) 对于 0 ? t ? 9 ,售票速率用 r ? t ? ? 550te
?t 2

张票每小时建模表示.基于该模型,截至下

午 3 点( t ? 3 )有多少张票售出?答案取最接近整数.?

? 34?/?35? ?

????????????????????????????????????????????????? 解:(a)要求 t ? 5.5 时人数的变化率,即求 L? ? 5.5 ? ,所以估算

?

L? ? 5.5? ?

L ? 7 ? ? L ? 4 ? 150 ? 126 ? ? 8 人/小时? 7?4 3

(b)前 4 个小时排队人数的估计值为

L ?1? ? L ? 3? L ? 3? ? L ? 4 ? ? 1 ? L ? 0 ? ? L ?1? ?1 ? 0? ? ? 3 ? 1? ? ? 4 ? 3? ? ? 155.25 人? ? 4? 2 2 2 ?
所以由均值定理知, 对 ?1,3? 上的某些 t ,L? ? t ? ? 0 , 对 ? 4, 7 ? (c)因为 L 在 ? 0,9? 上可导, 上的某些 t , L? ? t ? ? 0 ,同样地,对 ?3, 4? 上的某些 t , L? ? t ? ? 0 ,对 ? 7,8? 上的某些 t ,

L? ? t ? ? 0 ,因为 L? 在 ? 0,9? 上连续,所以由介值定理知,在 ? 0,9? 上最少有三个 t 的值使 L? ? t ? ? 0 .?
(d)下午三点前售出的票数为 [图形计算器操作]? 按 p1(计算? 矩阵模块)? 按 ir(计算)r,依次输入函数与积分区间,然后按 l 键?

?

2

0

550 xe? x 2 dx ? 972.784 ,最近的整数位 973 票?

? ? ? ? ?

? 35?/?35? ?


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