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2018版高考数学大一轮复习高考专题突破四高考中的不等式问题课件理


高考专题突破四

高考中的立体几何问题

内容索引

考点自测 题型分类 深度剖析

课时作业

考点自测

1. 正三棱柱 ABC - A1B1C1 中, D 为 BC 中点, E 为 A1C1 中点,则 DE 与平面
A1B1BA的位置关系为 答案
解析

A.相交
C.垂直相交

B.平行
D.不确定

如图取B1C1中点为F,连接EF,DF,DE,
则EF∥A1B1,DF∥B1B,

∴平面EFD∥平面A1B1BA,
∴DE∥平面A1B1BA.

2.设x、y、z是空间不同的直线或平面,对下列四种情形: ①x、y、 z均为直线;②x、y是直线, z是平面;③z是直线,x、 y是平 面;④x、y、z均为平面. 其中使“x⊥z且y⊥z?x∥y”为真命题的是 答案 A.③④ C.②③ B.①③ D.①②
解析

由正方体模型可知①④为假命题;由线面垂直的性质定理可知②③为 真命题.

3.(2016· 成都模拟)如图是一个几何体的三视图 ( 左视图 中的弧线是半圆),则该几何体的表面积是 答案 A.20+3π C.20+4π B.24+3π D.24+4π
解析

根据几何体的三视图可知,该几何体是一个正方体和一个半圆柱的组合
体,其中正方体的棱长为2,半圆柱的底面半径为1,母线长为2,故该 1 几何体的表面积为4×5+2×π+2× π=20+3π. 2

4.(2016· 沈阳模拟 ) 设 α, β , γ 是三个平面, a , b 是两条不同直线,有下列 三个条件: ①a∥γ , b?β ;②a∥γ , b∥β ;③b∥β , a?γ. 如果命题 “α∩β = a , b?γ , 且 ________ , 则 a∥b” 为 真 命 题 , 则 可 以 在 横 线 处 填 入 的 条 件 是

①或③ 把所有正确的序号填上) 答案 ________.(
由线面平行的性质定理可知,①正确;

解析

当 b∥β , a?γ 时, a 和 b 在同一平面内,且没有公共点,所以平行,③正
确.故应填入的条件为①或③.

5.如图,在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别为棱PC,

AC,AB的中点.若PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5.则
平行 ;平面 BDE 与 直线 PA 与平面 DEF 的位置关系是 ______ 垂直 平 面 ABC 的 位 置 关 系 是 _______.( 填“平行”或“垂 直”)
答案 解析

题型分类

深度剖析

题型一 求空间几何体的表面积与体积

例1

(2016· 全国甲卷) 如图,菱形 ABCD 的对角线 AC与

BD交于点O,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF,EF

交BD于点H,将△DEF沿EF折到△D′EF的位置.
(1)证明:AC⊥HD′; 证明

由已知得AC⊥BD,AD=CD, AE CF 又由 AE=CF 得AD=CD, 故AC∥EF,由此得EF⊥HD,折后EF与HD保持垂直关系,即EF⊥HD′,
所以AC⊥HD′.

5 (2)若 AB=5,AC=6,AE=4,OD′=2 2,求五棱锥 D′-ABCFE 的体积.
解答

思维升华
(1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体,则可直接利 用公式进行求解.其中,等积转换法多用来求三棱锥的体积. (2)若所给定的几何体是不规则几何体,则将不规则的几何体通过分割 或补形转化为规则几何体,再利用公式求解. (3)若以三视图的形式给出几何体,则应先根据三视图得到几何体的直 观图,然后根据条件求解.

跟踪训练1 正三棱锥的高为1,底面边长为2 6 ,内有 一个球与它的四个面都相切(如图).求: (1)这个正三棱锥的表面积; 解答
1 3 底面正三角形中心到一边的距离为3× 2 ×2 6= 2,

则正棱锥侧面的斜高为 12+? 2?2= 3. 1 ∴S 侧=3×2×2 6× 3=9 2. 1 3 ∴S 表=S 侧+S 底=9 2+2× 2 ×(2 6)2

=9 2+6 3.

(2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积.
解答

题型二 空间点、线、面的位置关系 例2 (2016· 济南模拟 ) 如图,在三棱柱 ABC - A1B1C1 中,

侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,
F分别是A1C1,BC的中点.

(1)求证:平面ABE⊥平面B1BCC1; 证明

(2)求证:C1F∥平面ABE; 证明

(3)求三棱锥E-ABC的体积.

解答

因为AA1=AC=2,BC=1,AB⊥BC,
所以 AB= AC2-BC2= 3.

所以三棱锥E-ABC的体积 1 1 1 3 V=3S△ABC· AA1=3×2× 3×1×2= 3 .

思维升华
(1)①证明面面垂直,将“面面垂直”问题转化为“线面垂直”问题,再 将“线面垂直”问题转化为 “线线垂直”问题.②证明C1F∥平面ABE: (ⅰ) 利 用 判 定 定 理 , 关 键 是 在 平 面 ABE 中 找 ( 作 ) 出 直 线 EG , 且 满 足 C1F∥EG.(ⅱ)利用面面平行的性质定理证明线面平行,则先要确定一个 平面C1HF满足面面平行,实施线面平行与面面平行的转化. (2)计算几何体的体积时,能直接用公式时,关键是确定几何体的高,不 能直接用公式时,注意进行体积的转化.

跟踪训练2 如图,在三棱锥S-ABC中,平面SAB⊥平 面SBC,AB⊥BC,AS=AB.过A作AF⊥SB,垂足为F, 点E,G分别是棱SA,SC的中点. 求证:(1)平面EFG∥平面ABC; 证明 由AS=AB,AF⊥SB知F为SB中点, 则EF∥AB,FG∥BC,又EF∩FG=F,AB∩BC=B, 因此平面EFG∥平面ABC.

(2)BC⊥SA.

证明

由平面 SAB⊥ 平面 SBC ,平面 SAB∩ 平面 SBC = SB , AF? 平面 SAB , AF⊥SB, 所以AF⊥平面SBC,则AF⊥BC. 又BC⊥AB,AF∩AB=A,则BC⊥平面SAB, 又SA?平面SAB,因此BC⊥SA.

题型三 平面图形的翻折问题 (2015· 陕西)如图1,在直角梯形 ABCD中,AD∥BC,∠BAD= π , 2 AB=BC=1,AD=2,E是AD的中点,O是AC与BE的交点.将△ABE沿BE 例3 折起到△A1BE的位置,如图2. (1)证明:CD⊥平面A1OC; 证明
几何画板展示

(2) 若平面 A1BE⊥ 平面 BCDE ,求平面 A1BC 与平面 A1CD 夹角的余 弦值.
解答

思维升华
平面图形的翻折问题,关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和度 量关系的变化情况.一般地,翻折后还在同一个平面上的性质不发生变 化,不在同一个平面上的性质发生变化.

跟踪训练 3

(2016· 深圳模拟 ) 如图 (1) ,四边形

ABCD 为矩形, PD⊥ 平面 ABCD , AB = 1 , BC = PC = 2 ,作如图 (2) 折叠,折痕 EF∥DC. 其中点 E , F分别在线段PD,PC上,沿EF折叠后,点P叠在 线段AD上的点记为M,并且MF⊥CF. (1)证明:CF⊥平面MDF; 证明

(2)求三棱锥M-CDE的体积.

解答

几何画板展示

题型四 立体几何中的存在性问题 例4 (2016· 邯郸第一中学研究性考试 ) 在直棱柱 ABC -

A1B1C1 中,AA1 =AB=AC=1,E,F分别是 CC1,BC的中
点,AE⊥A1B1,D为棱A1B1上的点.

(1)证明:DF⊥AE.

证明

(2)是否存在一点 D ,使得平面 DEF 与平面ABC所成的锐二面角的余 弦值为 14 ?若存在,说明点D的位置;若不存在,说明理由. 14
解答

思维升华
(1)对于线面关系中的存在性问题,首先假设存在,然后在该假设条件 下,利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证,寻找假设满足的 条件,若满足则肯定假设,若得出矛盾的结论则否定假设. (2)对于探索性问题用向量法比较容易入手.一般先假设存在,设出空间 点的坐标,转化为代数方程是否有解的问题,若有解且满足题意则存 在,若有解但不满足题意或无解则不存在.

跟踪训练4 如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱 A1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1, AA1=AB=2,E为棱AA1的中点. (1)证明:B1C1⊥CE;
证明

(2)求二面角B1-CE-C1的正弦值; 解答

(3) 设点 M 在线段 C1E 上,且直线 AM 与平面 ADD1A1 所成角的正弦值 为 2 ,求线段AM的长. 6
解答

课时作业

1.(2016· 北京顺义区一模)如图所示,已知平面α∩平面β=l,α⊥β.A,B是

直线l上的两点,C,D是平面β内的两点,且AD⊥l,CB⊥l,DA=4,AB
=6,CB=8.P是平面α上的一动点,且有∠APD=∠BPC,则四棱锥P-

ABCD体积的最大值是 答案
A.48 C.24 √ 3 B.16 D.144

解析

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2.(2016· 江西赣中南五校第一次联考)已知m,n是两条不同的直线,α,β, γ是三个不同的平面,则下列命题中正确的是 答案 A.若α⊥γ,α⊥β,则γ∥β B.若m∥n,m?α,n?β,则α∥β C.若m∥n,m⊥α,n⊥β,则α∥β √ D.若m∥n,m∥α,则n∥α 对于A,若α⊥γ,α⊥β,则γ∥β或相交;对于B,若m∥n,m?α,n?β,
解析

则α∥β或相交;对于D,若m∥n,m∥α,则n∥α或n?α.故选C.
1 2 3 4 5 6 7 8 9

3.(2016· 华中师大附中质检)已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面全等,

90° 且AB=AC= 3 ,BC=2,则二面角D-BC-A的大小为________.
答案 解析

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4. 如 图 梯 形 ABCD 中 , AD∥BC , ∠ABC = 90° , AD∶BC∶AB = 2∶3∶4,E、F分别是AB、CD的中点,将四边形ADFE沿直线EF进行 翻折,给出四个结论: ①DF⊥BC; ②BD⊥FC; ③平面DBF⊥平面BFC; ④平面DCF⊥平面BFC. ②③ 填写结论序号) 在翻折过程中,可能成立的结论是_______.(
1 2 3 4 5 6

答案
7 8 9

解析

5.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是棱BC的中 CF 1 点,点F是棱CD上的动点,当 =______ 时,D1E⊥平 FD 面AB1F. 答案 解析

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6. 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中, ∠BAC = 90°, AB = AC = 2 , A1A= 4 , A1 在底面 ABC的射影为 BC的中点, D是B1C1的中点. (1)证明:A1D⊥平面A1BC;
证明

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(2)求二面角A1-BD-B1的平面角的余弦值. 解答

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7.(2016· 山东牟平一中期末 )如图,在四棱柱ABCD- A1B1C1D1 中, AC⊥B1D , BB1⊥ 底面 ABCD , E , F , H分别为AD,CD,DD1的中点,EF与BD交于点G. (1)证明:平面ACD1⊥平面BB1D; 证明

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(2) 证明: GH∥ 平面 ACD1. 设AC∩BD=O,连接OD1.

证明

∵E,F分别为AD,CD的中点, EF∩OD=G, ∴G为OD的中点. ∵H为DD1的中点,∴HG∥OD1. ∵GH 平面ACD1,OD1? 平面ACD1, ∴GH∥平面ACD1
1 2 3 4 5 6 7 8 9

8.(2016· 四川广安第二次诊断 ) 如图,在四棱锥 P - ABCD中,PA⊥ 底面直角梯形 ABCD,∠DAB 为直角, AD=CD=2,AB=1,E,F分别为PC,CD的中点. (1)求证:CD⊥平面BEF; 证明

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(2) 设 PA = k ,且二面角 E - BD - C 的平面角大于 30°,求 k 的取值 范围.
解答

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9.(2016· 铁岭模拟)如图所示,平面ABDE⊥ 平面ABC, △ABC是等腰直角三角形,AC=BC=4,四边形ABDE 是直角梯形,BD∥AE,BD⊥BA,BD= 1 AE=2,O, 2 M分别为CE,AB的中点. (1)求证:OD∥平面ABC; 证明

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(2)求直线CD和平面ODM所成角的正弦值;

解答

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(3)能否在EM上找一点N,使得ON⊥平面ABDE?若能,请指出点N的位 置,并加以证明;若不能,请说明理由.
解答

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