北京市西城区2013-2014学年高一上学期期末考试数学试题

北京市西城区 2013 — 2014 学年度第一学期期末试卷

高一数学
试卷满分：150 分 考试时间：120 分钟

2014.1

A 卷 [必修 模块 4]
题号 分数 一 二 17

本卷满分：100 分 三 本卷总分 18 19

一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合要求的. 1．若 sin ? ? 0 ，且 cos ? ? 0 ，则角 ? 是（ （A）第一象限的角 （C）第三象限的角 ） （B）第二象限的角 （D）第四象限的角 ） （D） 5

2．已知向量 e1 ? (1, 0) ， e2 ? (0,1) ，那么 | e1 ? 2e2 | ? （ （A） 1 （B） 3 （C） 2 ）

3．若角 ? 的终边经过点 P(1, ?2) ，则 tan ? ? （

（A）

5 5

（B） ?

2 5 5

（C） ?2

（D） ?

1 2

4．已知正方形 ABCD 的边长为 1 ，则 AB ? AC = （

） （D） 2

（A）

2 2

（B） 1

（C） 2

5．在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y ? 2sin( x ? ) 的图象（ （A）关于直线 x ?

? 6

）

? 对称 6

（B）关于直线 x ? ? （D）关于点 (?

? 对称 6

（C）关于点 ( , 0) 对称 6．已知非零向量 OA, OB 不共线，且 BM ? （A） OA ?

? 6

? , 0) 对称 6
）

1 3

2 OB 3

1 BA ，则向量 OM ? （ 3 2 1 （B） OA ? OB 3 3

1

（C） OA ?

1 3

2 OB 3

（D） OA ?

1 3

4 OB 3

7．已知函数 f ( x) ?

? 3 1 sin x ? cos x ，则 f ( ) ? （ 12 2 2
（B）

）

（A）

2 2

3 2

（C） 1

（D） 2 ）
?

8．设 a ， b 是两个非零向量，且 a ? b ? a ? b ，则 a 与 b 夹角的大小为（ （A） 120
?

（B） 90

?

（C） 60

?

（D） 30

9． 已知函数 f ( x) ? sin ? x cos ? x 在区间 [ ? （A）

3 2

（B）

4 3

? ? , ] 上单调递增， 则正数 ? 的最大值是 （ 6 3 3 2 （C） （D） 4 3
）

）

10．已知函数 f ( x) ? cos(sin x) ，则下列结论中正确的是（ （A） f ( x ) 的定义域是 [?1,1] （C） f ( x ) 是奇函数

（B） f ( x ) 的值域是 [?1,1] （D） f ( x ) 是周期为 ? 的函数

二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上. 11. sin( ? ) ? ______. 12. 若 sin ? ?

? 6

3 ，且 ? ? (0, ? ) ，则 ? ? ______. 2

13. 已知向量 a ? (1,3) ， b ? (?2, k ) ．若向量 a 与 b 共线，则实数 k ? _____. 14. 若 tan ? ? 2 ，且 ? ????

3? ? ? ，则 sin(? ? ) ? ______. 2 2 π o s ( ?? ) ? ? _____. ， 则c 3

b ? (cos ? ,sin ? ) ． 15. 已知向量 a ? (cos ? ,sin ? ) ， 若 ? a , b? ?
16. 定义在 R 上的非常值函数 f ( x ) 同时满足下述两个条件：

2? ) ? f ( x) ； 3 ? ? ② 对于任意的 x ? R ，都有 f ( ? x) ? f ( ? x) . 6 6
① 对于任意的 x ? R ，都有 f ( x ? 则其解析式可以是 f ( x) ? _____.（写出一个满足条件的解析式即可）
2

三、解答题：本大题共 3 小题，共 36 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分 12 分） 已知 tan ? ? ? （Ⅰ）求 tan(? ?

3 . 4

π ) 的值； 4 2 sin ? ? 3cos ? （Ⅱ）求 的值. 3sin ? ? 2 cos ?
18.（本小题满分 12 分） 已知函数 f ( x) ? sin 2 2x ? 3sin 2x ? cos 2x ． （Ⅰ ）求 f ( x ) 的最小正周期； （Ⅱ ）若 x ? [ , ] ，求 f ( x ) 的最大值与最小值． 19.（本小题满分 12 分） 如图，正六边形 ABCDEF 的边长为 1 . M , N 分别是 BC , DE 上的动点，且满足

? ? 8 4

BM ? DN .
（Ⅰ）若 M , N 分别是 BC , DE 的中点，求 AM ? AN 的值； （Ⅱ）求 AM ? AN 的取值范围.

B卷
题号 分数 一

[学期综合]
二 6 7

本卷满分：50 分

8

本卷总分

一、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分.把答案填在题中横线上. 1. 已知集合 A ? {x | x2 ? 4 x ? 3 ? 0} ， B ? {x | 0 ? x ? 2} ，那么 A 2. 已知 a ? log2 3 ， 3 ? 2 ， c ? log 2
b

B ? _____.

1 .将 a, b, c 按从小到大排列为_____. 3

3. 若函数 f ( x) ? x ? 2x 在区间 (a, ??) 上是增函数，则 a 的取值范围是_____.
2

4. 函数 f ( x) ?| 2x ?1| ? x 2 的零点个数为_____. 5. 给定数集 A .若对于任意 a, b ? A ，有 a ? b ? A ，且 a ? b ? A ，则称集合 A 为闭集合. 给出如下四个结论： ① 集合 A ? {?4, ?2,0, 2, 4} 为闭集合；
3

1

② 集合 A ? {n | n ? 3k , k ? Z} 为闭集合； ③ 若集合 A 1, A 2 为闭集合，则 A 1

A2 为闭集合； A2 ) .

④ 若集合 A 1, A 2 为闭集合，且 A 1 ? R ， A2 ? R ，则存在 c ? R ，使得 c ? ( A 1 其中，全部正确结论的序号是_____. 二、解答题：本大题共 3 小题，共 30 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6.（本小题满分 10 分） 已知函数 f ( x) ? log a ( x ? 2) ?1 ，其中 a ? 1 . （Ⅰ）若 f ( x ) 在 [0,1] 上的最大值与最小值互为相反数，求 a 的值； （Ⅱ）若 f ( x ) 的图象不经过第二象限，求 a 的取值范围. 7.（本小题满分 10 分） 已知函数 f ( x) ? x | x ? 2 | . （Ⅰ）解不等式 f ( x) ? 3 ； （Ⅱ）设 a ? 0 ，求 f ( x ) 在区间 [0, a ] 上的最大值. 8.（本小题满分 10 分）

设函数 f ( x ) ， g ( x) 的定义域分别为 Df ，Dg ，且 D f ? Dg .若对于任意 x ? D f ，都有

g ( x ) ? f ( x) ， 则称 g ( x) 为 f ( x ) 在 Dg 上的一个延拓函数.给定 f ( x) ? x2 ?1 (0 ? x ? 1) .
（Ⅰ）若 h( x) 是 f ( x ) 在 [?1,1] 上的延拓函数，且 h( x) 为奇函数，求 h( x) 的解析式； （Ⅱ）设 g ( x) 为 f ( x ) 在 (0, ??) 上的任意一个延拓函数，且 y ? 调函数. （ⅰ）判断函数 y ?

g ( x) 是 (0, ??) 上的单 x

g ( x) 在 (0,1] 上的单调性，并加以证明； x

（ⅱ）设 s ? 0 ， t ? 0 ，证明： g ( s ? t ) ? g ( s) ? g (t ) .

4

北京市西城区 2013 — 2014 学年度第一学期期末试卷

高一数学参考答案及评分标准
A 卷 [必修 模块 4] 满分 100 分
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.

2014.1

1.D； 2.D； 3.C； 4.B； 5.C； 6.A； 7.A； 8.B； 9.C； 10.D. 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分. 11. ?

1 ； 2

12.

? ?? ，或 ； 3 3
1 ； 2

13. ?6 ；

14. ?

5 ； 5

15.

16. sin 3x 等（答案不唯一）.

注：12 题，得出一个正确的结论得 2 分. 三、解答题：本大题共 3 小题，共 36 分. 17.（本小题满分 12 分） （Ⅰ）解：因为 tan ? ? ?

3 ， 4

π π 4 所以 tan(? ? ) ? 4 1 ? tan ? ? tan π 4 tan ? ? tan
? ?7 .
（Ⅱ）解：因为 tan ? ? ? 所以

【 3 分】

【 6 分】

3 ， 4
【 9 分】 【12 分】

2sin ? ? 3cos ? 2 tan ? ? 3 ? 3sin ? ? 2 cos ? 3 tan ? ? 2 ? 18 . 17

18.（本小题满分 12 分） （Ⅰ）解： f ( x) ?

1 ? cos 4 x ? 3 sin 2 x ? cos 2 x 2

?

1 ? cos 4 x 3 ? sin 4 x 2 2

【 2 分】

5

? 1 ? sin(4 x ? ) ? ． 6 2 2? ? ? ， 因为 T ? 4 2 ? 所以 f ( x ) 的最小正周期是 ． 2

【 4 分】

【 6 分】

（Ⅱ）解：由（Ⅰ ）得， f ( x) ? sin(4 x ? ) ? 因为

? ? ?x? ， 8 4 ? ? 5? ? 4x ? ? 所以 ， 【 8 分】 3 6 6 1 ? ? sin(4 x ? ) ? 1 ， 所以 【 9 分】 2 6 ? 1 3 所以 1 ? sin(4 x ? ) ? ? ． 【10 分】 6 2 2 ? 3 ? 所以，当 x ? 时， f ( x ) 取得最大值 ；当 x ? 时， f ( x ) 取得最小值 1 ． 【12 分】 6 2 4

? 6

1 ． 2

19.（本小题满分 12 分） （Ⅰ）解：如图，以 AB 所在直线为 x 轴，以 A 为坐标原点建立平面直角坐标系. 【 1 分】 因为 ABCDEF 是边长为 1 的正六边形，且 M , N 分别是 BC , DE 的中点，

所以 M ( ,

1 5 3 ) ， N ( , 3) ， 2 4 4

【 3 分】 【 4 分】

所以 AM ? AN ?

5 3 11 ? ? . 8 4 8

（Ⅱ）解：设 BM ? DN ? t ，则 t ?[0,1] .【 5 分】 所以 M (1 ?

t 3 , t ) ， N (1 ? t, 3) . 【 7 分】 2 2
t 2 3 t 2

所以 AM ? AN ? (1 ? ) ? (1 ? t ) ?

1 ? ? t2 ? t ?1 2 1 3 ? ? (t ? 1) 2 ? 2 2
当 t ? 0 时， AM ? AN 取得最小值 1 ； 当 t ? 1 时， AM ? AN 取得最大值

【10 分】 【11 分】 【12 分】
6

3 . 2

B卷

[学期综合] 满分 50 分

一、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分. 1. {x | 0 ? x ? 1} ； 2. c ? b ? a ； 3. [1, ??) ； 4. 2 ； 5.②④.

注：5 题，选出一个正确的序号得 2 分，有错选不给分. 二、解答题：本大题共 3 小题，共 30 分. 6.（本小题满分 10 分） （Ⅰ）解：函数 f ( x) ? log a ( x ? 2) ?1 的定义域是 (?2, ??) . 因为 a ? 1 ， 所以 f ( x) ? log a ( x ? 2) ?1 是 [0,1] 上的增函数. 【 2 分】 【 1 分】

所以 f ( x ) 在 [0,1] 上的最大值是 f (1) ? log a 3 ? 1 ；最小值是 f (0) ? loga 2 ?1 . 【 4 分】 依题意，得 loga 3 ?1 ? ?(loga 2 ?1) ， 解得 a ? 【 5 分】 【 6 分】 【 7 分】

6.

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知， f ( x) ? log a ( x ? 2) ?1 是 (?2, ??) 上的增函数. 在 f ( x ) 的解析式中，令 x ? 0 ，得 f (0) ? loga 2 ?1 ， 所以， f ( x ) 的图象与 y 轴交于点 (0,loga 2 ?1) . 依题意，得 f (0) ? loga 2 ?1 ? 0 ， 解得 a ? 2 . 7.（本小题满分 10 分） （Ⅰ）解：原不等式可化为 ?

【 8 分】 【 9 分】 【10 分】

? x ? 2，

2 ? x ? 2 x ? 3 ? 0，

（1） 或 ?

? x ? 2，

2 ? x ? 2 x ? 3 ? 0.

（2）

【 1 分】 【 3 分】 【 4 分】

解不等式组（1） ，得 2 ? x ? 3 ；解不等式组（2） ，得 x ? 2 . 所以原不等式的解集为 {x | x ? 3} .

? x 2 ? 2 x, x ? 2, ? （Ⅱ）解： f ( x) ? x | x ? 2 |? ? 2 ? ?? x ? 2 x, x ? 2.

【 5 分】

7

① 当 0 ? a ? 1 时， f ( x ) 是 [0, a ] 上的增函数， 此时 f ( x ) 在 [0, a ] 上的最大值是 f (a) ? ?a2 ? 2a . ② 当 1 ? a ? 2 时， f ( x ) 在 [0,1] 上是增函数，在 [1, a] 上是减函数， 此时 f ( x ) 在 [0, a ] 上的最大值是 f (1) ? 1 . ③ 当 a ? 2 时，令 f (a) ? f (1) ? a(a ? 2) ? 1 ? 0 ， 解得 a ? 1 ? 2 . 所以， 当 2 ? a ? 1 ? 2 时， 此时 f (a) ? f (1) ， f ( x ) 在 [0, a ] 上的最大值是 f (1) ? 1 ； 当 a ? 1 ? 2 时，此时 f (a) ? f (1) ， f ( x ) 在 [0, a ] 上的最大值是 f (a) ? a2 ? 2a .【 9 分】 记 f ( x ) 在区间 [0, a ] 上的最大值为 g (a ) ， 【 7 分】 【 6 分】

? ? a 2 ? 2a, 0 ? a ? 1, ? ? 1 ? a ? 1 ? 2, 所以 g ( a ) ? ?1, ? 2 ? ? a ? 2a, a ? 1 ? 2.
8.（本小题满分 10 分） （Ⅰ）解：当 x ? 0 时，由 h( x) 为奇函数，得 h(0) ? 0 .

【10 分】

【 1 分】

， 0) ，则 ? x ? (0， 1] ， 任取 x ? [?1
由 h( x) 为奇函数，得 h( x) ? ?h(? x) ? ?[(? x) ?1] ? ? x ? 1，
2 2

【 2 分】

? x 2 ? 1, 0 ? x ? 1, ? x ? 0, 所以 h( x) 的解析式为 h( x) ? ?0, ?? x 2 ? 1, ? 1 ? x ? 0. ?
（Ⅱ）解： （ⅰ）函数 y ? 证明如下： 因为 g ( x) 为 f ( x ) 在 (0, ??) 上的一个延拓函数，

【 3 分】

g ( x) 是 (0,1] 上的增函数. x

【 4 分】

1] 时， g ( x) ? f ( x) ? x ?1 . 所以当 x ? (0，
2

记 k ( x) ?

g ( x) f ( x) 1 ? ? x ? ，其中 x ? (0,1] . x x x

任取 x1 , x2 ? (0,1] ，且 x1 ? x2 ，则 ?x ? x2 ? x1 ? 0 ，

8

因为 ?y ? k ( x2 ) ? k ( x1 ) ? x2 ? 所以函数 y ? （ⅱ）由 y ?

( x ? x )( x x ? 1) 1 1 ? ( x1 ? ) ? 2 1 1 2 ? 0， x2 x1 x1 x2
【 6 分】

g ( x) 是 (0,1] 上的增函数. x

g ( x) g ( x) 是 (0, ??) 上的单调函数，且 x ? (0,1] 时， y ? 是增函数，从而 x x g ( x) 得到函数 y ? 是 (0, ??) 上的增函数. 【 7 x
分】 因为 s ? 0 ， t ? 0 ， 所以 s ? t ? s ， s ? t ? t ， 所以

g (s ? t ) g (s) ? ， s?t s
【 8 分】

即 s ? g ( s ? t ) ? ( s ? t ) ? g ( s) . 同理可得： t ? g (s ? t ) ? (s ? t ) ? g (t ) . 将上述两个不等式相加，并除以 s ? t ，即得 g ( s ? t ) ? g ( s) ? g (t ) .

【10 分】

9