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数列提高经典求和求通项公式免费


C、根据递推公式求通项: 1、构造法: 1°递推关系形如“ an?1 ? pan ? q ” ,利用待定系数法求解 【例题】已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3 ,求数列 ?an ? 的通项公式.

2°递推关系形如“,两边同除 pn?1 或待定系数法求解

【例题】 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3n ,求数列 ?an ? 的通项公式.

3°递推已知数列 ?an ? 中,关系形如“ an?2 ? p ? an?1 ? q ? an ” ,利用待定系数法求解

【例题】已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, a2 ? 2, an?2 ? 3an?1 ? 2an ,求数列 ?an ? 的通项公式.

【例题】已知数列 ?an ? 中, an ? an?1 ? 2an an? an ? 的通项公式. ( 1 n ? 2),a1 ? 2 ,求数列 ?

4°递推关系形如" an ? pan?1 ? qan an? ,两边同除以 an an ?1 ( 1 p,q ? 0)

【例题】数列 ?a n ?中, a1 ? 2, an ?1 ?

2a n (n ? N ? ) ,求数列 ?a n ?的通项公式. 4 ? an

2、迭代法: a、⑴已知关系式 an?1 ? an ? f (n) ,可利用迭加法或迭代法;

an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? (an?2 ? an?3 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1 【例题】已知数列 ?an ? 中, a1 ? 2, an ? an?1 ? 2n ? 1(n ? 2) ,求数列 ?an ? 的通项公式 a a a a a b、已知关系式 an?1 ? an ? f (n) ,可利用迭乘法. an ? n ? n ?1 ? n ?2 ? ? ? 3 ? 2 ? a1 an ?1 an ?2 an ?3 a2 a1
【例题】已知数列 ?an ? 满足: 3、给出关于 Sn 和 am 的关系 求数列 ?bn ?的通项公式.

an n ?1 ? (n ? 2), a1 ? 2 ,求求数列 ?an ? 的通项公式; an?1 n ? 1

【例题】设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? a, an?1 ? Sn ? 3n (n ? N ? ) ,设 bn ? Sn ? 3n ,

五、典型例题: A、求值类的计算题(多关于等差等比数列) 1)根据基本量求解(方程的思想) 【例题】已知 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, a4 ? 9, a9 ? ?6, Sn ? 63 ,求 n ; 2)根据数列的性质求解(整体思想)

【例题】已知 Sn 为等比数列 ?an ? 前 n 项和, Sn ? 54 , S2 n ? 60 ,则 S 3n ? B、求数列通项公式(参考前面根据递推公式求通项部分) C、证明数列是等差或等比数列 1)证明数列等差

.

【例题】已知 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, bn ?

Sn ( n ? N ? ) .求证:数列 ?bn ?是等差数列. n

2)证明数列等比 【例题】数列{an}的前 n 项和为 Sn,数列{bn}中,若 an+Sn=n.设 cn=an-1,求证:数列{cn}是等比数列; D、求数列的前 n 项和

提高例题: 例 1.求和:① S n ? 1 ? 11? 111? ? ? 11 ? 1 ? ? ?
n个

② Sn ? (x ?

1 2 1 1 ) ? (x 2 ? 2 )2 ? ? ? (x n ? n )2 x x x

③求数列 1,3+4,5+6+7,7+8+9+10,?前 n 项和 S n 思路分析:通过分组,直接用公式求和。

? 1 ? 1 ? 10 ? 10 ? ? ? 10 ? 解:① ak ? 11 ? ? ?
2 k k个

1 k (10 ? 1) 9

1 1 S n ? [(10 ? 1) ? (10 2 ? 1) ? ? ? (10 n ? 1)] ? [(10 ? 10 2 ? ? ? 10 n ) ? n] 9 9

1 10(10n ? 1) 10n?1 ? 9n ? 10 ? [ ? n] ? 9 9 81
2 ② Sn ? (x ?

1 1 1 ? 2) ? ( x 4 ? 4 ? 2) ? ? ? ( x 2 n ? 2 n ? 2) 2 x x x 1 1 1 ? ( x 2 ? x 4 ? ? ? x 2 n ) ? ( 2 ? 4 ? ? ? 2 n ) ? 2n x x x

(1)当 x ? ?1 时, S n ?

x 2 ( x 2n ? 1) x ?2 ( x ?2n ? 1) ( x 2n ? 1)(x 2n?2 ? 1) ? ? 2 n ? ? 2n x2 ?1 x ?2 ? 1 x 2n ( x 2 ? 1)

(2)当 x ? ?1 时, S n ? 4n ③ a k ? (2k ? 1) ? 2k ? (2k ? 1) ? ? ? [( 2k ? 1) ? (k ? 1)] ?

k[( 2k ? 1) ? (3k ? 2)] 5 2 3 ? k ? k 2 2 2 5 2 3 5 n ( n ? 1 )( 2 n ? 1 ) 3 n(n ? 1) S n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? (1 ? 2 2 ? ? ? n 2 ) ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? ? ? 2 2 2 6 2 2 1 ? n(n ? 1)( 5n ? 2) 6

总结:运用等比数列前 n 项和公式时,要注意公比 q ? 1或q ? 1讨论。 2.错位相减法求和

例 2.已知数列 1,3a,5a 2 ,?, (2n ? 1)a n?1 (a ? 0) ,求前 n 项和。 思路分析:已知数列各项是等差数列 1,3,5,?2n-1 与等比数列 a 0 , a, a 2 ,?, a n?1 对应项积,可用错 位相减法求和。 解: S n ? 1 ? 3a ? 5a 2 ? ? ? (2n ? 1)a n?1

?1?

aSn ? a ? 3a 2 ? 5a 3 ? ? ? (2n ? 1)a n

?2?

?1? ? ?2? : (1 ? a)Sn ? 1 ? 2a ? 2a 2 ? 2a3 ? ?? 2a n?1 ? (2n ? 1)a n
当a ?1 时, (1 ? a)S n ? 1 ? 当 a ?1 时, S n ? n 2 3.裂项相消法求和 例 3.求和 S n ?

2a(1 ? a n?1 ) ? (2n ? 1) n (1 ? a) 2

Sn ?

1 ? a ? (2n ? 1)a n ? (2n ? 1)a n?1 (1 ? a) 2

22 42 (2n) 2 ? ??? 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1)(2n ? 1)

思路分析:分式求和可用裂项相消法求和. 解: a k ?

(2k ) 2 (2k ) 2 ? 1 ? 1 1 1 1 1 ? ? 1? ? 1? ( ? ) (2k ? 1)(2k ? 1) (2k ? 1)(2k ? 1) (2k ? 1)(2k ? 1) 2 2k ? 1 2k ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 2n(n ? 1) S n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? n ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? n ? (1 ? )? 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1 1 2 3 n 练习:求 S n ? ? 2 ? 3 ? ? ? n a a a a
4.倒序相加法求和
0 1 2 n 例 4 求证: Cn ? 3Cn ? 5Cn ? ? ? (2n ? 1)Cn ? (n ? 1)2n
m n?m 思路分析:由 Cn 可用倒序相加法求和。 ? Cn

? n(n ? 1) (a ? 1) ? ? 2 答案: S n ? ? a(a n ? 1) ? n(a ? 1) ? (a ? 1) ? a n (a ? 1) 2 ?

0 1 2 n 证:令 S n ? Cn ? 3Cn ? 5Cn ? ? ? (2n ? 1)Cn

(1) (2)
m n ?m ? Cn ? Cn

n n?1 2 1 0 则 S n ? (2n ? 1)Cn ? (2n ? 1)Cn ? ? ? 5Cn ? 3Cn ? Cn

0 1 2 n ? (1) ? (2)有 : 2S n ? (2n ? 2)Cn ? (2n ? 2)Cn ? (2n ? 2)Cn ? ? ? (2n ? 2)Cn 0 1 2 n ? S n ? (n ? 1)[Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ] ? (n ? 1) ? 2n

等式成立

5.其它求和方法 还可用归纳猜想法,奇偶法等方法求和。 例 5.已知数列 ?an ? , an ? ?2[n ? (?1) n ],求S n 。 思路分析: an ? ?2n ? 2(?1) n ,通过分组,对 n 分奇偶讨论求和。 解: an ? ?2n ? 2(?1) n ,若 n ? 2m, 则S n ? S 2 m ? ?2(1 ? 2 ? 3 ? ? ? 2m) ? 2

? (?1)
k ?1

2m

k

S n ? ?2(1 ? 2 ? 3 ? ? ? 2m) ? ?(2m ? 1)2m ? ?n(n ? 1)


n ? 2m ? 1, 则S n ? S 2m?1 ? S 2m ? a2m ? ?(2m ? 1)2m ? 2[2m ? (?1) 2m ] ? ?(2m ? 1)2m ? 2(2m ? 1)

? ?4m 2 ? 2m ? 2 ? ?(n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? 2 ? ?n 2 ? n ? 2

(n为正偶数) ?? n(n ? 1) ? Sn ? ? 2 ? ? n ? n ? 2 (n为正奇数)
预备:已知 f ( x) ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? an x n , 且a1 , a2 , a3 ,?an 成等差数列,n 为正偶数, 又 f (1) ? n 2 , f (?1) ? n ,试比较 f ( ) 与 3 的大小。

1 2

? (a1 ? a n )n ? n 2 ?a ? a ? 2n ? f (1) ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? n 2 ? n 2 解: ? ?? ?? 1 n ? d ?2 ? f (?1) ? ?a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ? an ? n ? d ?n 2 ?
?a ? a1 ? (n ? 1)d ? 2n ?? 1 ? a1 ? 1? an ? 2n ? 1 ? d ?2
f ( x) ? x ? 3x 2 ? 5 x 3 ? ? ? (2n ? 1) x n
n?2 可求得 f ( ) ? 3 ? ( )

1 2

1 2

1 1 1 1 1 f ( ) ? ? 3( ) 2 ? 5( ) 3 ? ? ? (2n ? 1)( ) n 2 2 2 2 2 1 1 ? (2n ? 1)( ) n ,∵n 为正偶数,? f ( ) ? 3 2 2

(四)巩固练习: 1.求下列数列的前 n 项和 Sn :
n (1)5,55,555,5555,?, (10 ? 1) ,?; (2)

5 9

1 1 1 1 , , ,? , ,? ; 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n(n ? 2)
2 3 n

(3) an ?

1

n ? n ?1 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? (5) 1? 3, 2 ? 4,3 ? 5,?, n(n ? 2),? ; (6) sin 1 ? sin 2 ? sin 3 ? ?? ? sin 89 . n个 n个 ? ? ? 5 ? ? ? 解: (1) S n ? 5 ? 55 ? 555 ? ? ? 55? 5 ? (9 ? 99 ? 999 ? ? ? 99?9) 9 5 2 3 ? [(10 ? 1) ? (10 ? 1) ? (10 ? 1) ? ? ? (10 n ? 1)] 9 5 50 5 ? [10 ? 102 ? 103 ? ? ? 10n ? n] ? (10n ? 1) ? n . 9 81 9 1 1 1 1 ? ( ? ), (2)∵ n(n ? 2) 2 n n ? 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 )] ? (1 ? ? ? ). ∴ S n ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? 2 3 2 4 3 5 n n?2 2 2 n ?1 n ? 2 1 n ?1 ? n (3)∵ an ? ? ? n ?1 ? n n ? n ? 1 ( n ? n ? 1)( n ? 1 ? n ) 1 1 1 ? ??? ∴ Sn ? 2? 1 3? 2 n ?1 ? n ? ( 2 ?1) ? ( 3 ? 2) ? ?? ( n ?1 ? n ) ? n ? 1 ?1 .
(4) Sn ? a ? 2a2 ? 3a3 ? ?? nan ,



(4) a, 2a ,3a ,?, na ,? ;

n(n ? 1) , 2 当 a ? 1 时, Sn ? a ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? na n ,
当 a ? 1 时, Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?

aSn ? a2 ? 2a3 ? 3a4 ? ? ? na n ?1 ,
两式相减得 (1 ? a)Sn ? a ? a2 ? a3 ? ? ? a ? na
n n ?1

?

a(1 ? a n ) ? na n ?1 , 1? a

na n? 2 ? (n ? 1)a n?1 ? a . (1 ? a)2 (5)∵ n(n ? 2) ? n 2 ? 2n ,
∴ Sn ? ∴ 原式 ? (12 ? 22 ? 32 ? ? ?n2 ) ? 2 ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ) ? (6)设 S ? sin 2 1? ? sin 2 2 ? ? sin 2 3 ? ? ??? sin 2 89 ? , 又∵ S ? sin 2 89? ? sin 2 88? ? sin 2 87? ? ?? ? sin 2 1? , ∴ 2 S ? 89 , S ?

n(n ? 1)(2n ? 7) . 6

89 . 2

2.已知数列 {an } 的通项 an ? ?

?6n ? 5 (n为奇数) ?2
n

(n为偶数)

,求其前 n 项和 Sn .

解:奇数项组成以 a1 ? 1 为首项,公差为 12 的等差数列, 偶数项组成以 a2 ? 4 为首项,公比为 4 的等比数列; 当 n 为奇数时,奇数项有

n ?1 n ?1 项,偶数项有 项, 2 2

n ?1 n ?1 (1 ? 6n ? 5) 2 4(1 ? 4 ) (n ? 1)(3n ? 2) 4(2n?1 ? 1) ∴ Sn ? 2 , ? ? ? 2 1? 4 2 3 n 当 n 为偶数时,奇数项和偶数项分别有 项, 2 n n (1 ? 6n ? 5) 2 4(1 ? 4 ) n(3n ? 2) 4(2n ? 1) ∴ Sn ? 2 , ? ? ? 2 1? 4 2 3 ? (n ? 1)(3n ? 2) 4(2n ?1 ? 1) ? (n为奇数) ? ? 2 3 S ? 所以, n ? . n ? n(3n ? 2) ? 4(2 ? 1) (n为偶数) ? 2 3 ?


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