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数学:1.3《二项式定理》教案(新人教A版选修2-3)


高中数学《二项式定理》教学设计
【教学设计思想】 教学设计思想 现代教学的核心是“以学生的发展为本” ,注重学生的学习状态和情感体验,注重教学 过程中学生主体地位的体现和主体作用的发挥,强调尊重学生人格和个性,鼓励发现、探究 与质疑,鼓励培养学生的创新精神和实践能力. 二项式定理这部分内容比较枯燥, 如何发挥学生的主体作用, 使学生自己探究学习知识、 建构知识网络,是本节课教学设计的核心. 我采用启发探究式教学方式: 一是从实际应用问题引入课题。 这里体现了新课程的数学应用意识的理念, 使学生体会 到数学不仅是为了学数学,还可以学以致用,用来解决现实生活的问题. 二是从特殊到一般。 面对一般问题, 学生会想到从特殊情况入手, 让学生自己探究 n =1, 2,3,4,?时二项展开式的规律,观察发现二项式定理的基本内容. 三是采用小组合作、探究的方式。小组内的同学共同归纳二项式定理的内容,由特殊推 广到一般. 四是教师的启发与学生的探究恰当结合。 本节课的难点在于确定二项展开式中, 每一项 的二项式系数,对于平行班的学生,真正能独立归纳出来,有一定的困难,教师在此时的引 导启发,就显得尤为重要. 本节课,学生通过对 n =1,2,3,4,?时二项展开式的观察,归纳、猜想到 n 为任意 正整数时的二项式定理内容, 并真正理解二项式系数的意义。 这样设计的目的是为了让学生 参与知识的发生、发展、深化的过程,学习体会应用“观察、归纳、猜想、证明”的科学思 维方法的过程,提高数学修养. 本节课对二项式定理特点及规律的总结和归纳, 有利于学生对二项式定理的识记, 同时 还可以使学生体验数学公式的对称美、和谐美. 学生情况分析 学生为平行班学生,有一定的数学基础.学生理解组合及组合数的概念,掌握了多项式 乘法的运算法则,有一定的归纳猜想能力,能顺利完成课时计划内容. 学生有过探究、交流的课堂教学的尝试. 教学流程框图

-1-

实际问题, 引入课题

合作探究, 发现规律

成果交流, 教师引导

推广一般, 内容呈现

定理应用, 初步体验

归纳小结, 巩固提高

教学诊断分析 在本节内容的学习中,学生容易了解的内容是二项展开式的项数、指数和系数的规律, 即项数: n ? 1 项;指数:字母 a , b 的指数和为 n ,字母 a 的指数由 n 递减至 0,同时,字 母 b 的指数由 0 递增至 n ;二项式系数:下标为 n ,上标由 0 递增至 n ;
r n?r r 容易产生误解的内容是:通项 T r ? 1 ? C n a b 指的是第 r+1 项;通项的二项式系数是

C n ,与该项的系数是不同的概念(在第二课时会进行探讨) 。
r

【教学方式及预期效果分析】 本节课采用启发探究式教学.通过学生小组合作交流、师生对话交流等方式,引导学生 自主探究,合作交流. 1.课前准备工作 为便于管理和探究,将学生随机分组,每组 3-4 人左右. 2.课堂探究过程 探究内容为二项式定理的内涵,包括项数、指数、系数等方面的规律内容. 采用小组内合作探究方式,组间交流、置疑、点评. 组内探究要求有分工,有合作,有交流.并推选交流发言代表. 在探究过程中,学生和组内其他同学进行探讨和辩论,通过不同观点的交锋来补充、修 正或加深自己对当前问题的理解,从而完善自己的研究成果. 3.课堂交流过程 (1)小组汇报 小组内推选汇报交流发言代表,其他同学自由补充. (2)组间置疑 小组汇报后,对不同意见或不清楚的地方,提出置疑. (3)师生点评
-2-

对汇报展示与置疑的同学进行点评,及时鼓励、表扬,保持学生学习热情,通过交流, 学习他人的研究成果,充实自己. (4)教师引导 对部分内容,如二项式系数的确定,教师适时,适度引导. 4.预期效果分析:通过本节课的学习,在知识面上,期望学生能够理解二项式定理及 其推导方法,识记二项展开式的有关特征,能对二项式定理进行简单应用;在思想和能力面 上,期望通过教师指导下的探究活动,使学生经历数学思维过程,熟悉理解“观察—归纳— 猜想—证明”的思维方法,培养合作的意识,获得学习和成功的体验;通过对二项式定理内 容的研究,使学生体验特殊到一般发现规律,一般到特殊指导实践的认识事物过程,通过对 二项展开式结构特点的观察,使学生体验数学公式的对称美、和谐美.

【教学目标与教学内容】 本节课时高中数学第二册(下 A)10.4 二项式定理第一节课. 本节课的学生起点:学生已经学习了组合的基本知识,初中学习了多项式乘法. 本节课是在组合和多项式乘法的基础上, 进一步研究学习二项式定理的内容. 这一内容 我共安排两课时,这是第一课时. 1.教材分析: 二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续, 它所研究的是一种特殊的多项式——二项 式的乘方的展开式. 这一小节与很多内容都有着密切的联系, 特别是它在本章的学习中起着 乘上启下的作用. 学习本小节的意义在于: ①二项式定理与概率理论中的三大概率分布之一 的二项分布有其内在联系, 本小节是学习概率知识及概率统计的准备知识; ②二项式系数都 是一些特殊的组合数, 利用二项式定理可以得到关于组合数的一些恒等式, 从而深化对组合 数的认识; ③基于二项展开式与多项式乘法的联系, 本小节的学习可对初中学习的多项式的 变形起到复习、 深化的作用; ④二项式定理是解决某些整除性、 近似计算等问题的一种方法. 教材的安排:教材中是通过 n 取一些特殊值(1,2,3,4)的基础上,观察归纳出二项 式定理, 强调要分析清楚式子展开并进行同类项合并后有哪些项及各项系数的一些规律, 教 材采用的是不完全归纳法,没有进行严谨的证明.教材随后安排了四道例题,是对二项式定 理的简单应用. 重点:二项式定理的内容及应用 难点:二项式定理的推导过程及内涵 2.内容分析:
(a ? b)
n

? C na
0

n

? C na
1

n ?1

b ? C na
2

n?2

b

2

? ? ? C na
r

n?r

b

r

? ? ? C nb
n

n

(n ? N )
*

对二项式定理的理解和掌握,要从项数、系数、指数、通项等方面的特征去熟悉它的展 开式. 3.教学目标: 知识技能:理解二项式定理及其推导方法,识记二项展开式的有关特征,能对二项式定 理进行简单应用. 过程方法:通过教师指导下的探究活动,经历数学思维过程,熟悉理解“观察—归纳— 猜想—证明”的思维方法,养成合作的意识,获得学习和成功的体验. 情感、态度和价值观:通过对二项式定理内容的研究,体验特殊到一般发现规律,一般
-3-

到特殊指导实践的认识事物过程; 通过对二项展开式结构特点的观察, 体验数学公式的对称 美、和谐美. 4.教学过程 一、设置情境,引入课题 问题 某人投资 10 万元, 有两种获利的可能供选择. 一种是年利率 12%, 按单利计算, 10 年后收回本金和利息.另一种年利率 10%,按每年复利一次计算,10 年后收回本金和利 息. 试问,哪一种投资更有利? 分析:本金 10 万元,年利率 12%,按单利计算,10 年后的本利和是 10×(1+12%×10)=22(万元) 本金 10 万元,年利率 10%,按每年复利一次计算,10 年后的本利和是
10 ? (1 ? 10 %)
10

那么如何计算 (1 ? 10 %)

10

的值呢?能否在不借助计算器的情况下,快速、准确地求出
n

其近似值呢?这就得研究形如 ( a ? b ) 的展开式. 二、探索研究二项式定理的内容 问题: ( a ? b ) 的展开式有什么特点?你能将它展开吗?试一试.
n

[学生分组探究] 学生可能的探究方法 1: 由 (a ? b) ? a ? b ? C 1 a ? C 1 b
1 0 1

(a ? b)
(a ? b)
(a ? b)

2

? a
? a
? a

2

? 2 ab ? b
2

2

? C 2a
0
2

2

? C 2 ab ? C 2 b
1 2
3

2

3

3

? 3 a b ? 3 ab
? 4a b ? 6a b
3 2

? b

? C 3a
0
3

3

? C 3 a b ? C 3 ab
1 2 2

2

? C 3b
3
2 2

3

4

4

2

? 4 ab

? b

4

? C4a
0

4

? C 4a b ? C 4 a b
1 3

2

? C 4 ab
3

3

? C4b
4

4

?? 学生可能通过具体的例子来展开说明, 如: ( a ? b ) ? a ? 3 a b ? 3 ab
3 3 2 4 4 3 2 2 2

? b

3

或 ( a ? b ) ? a ? 4 a b ? 6 a b ? 4 ab 学生归纳过程可能如下: 以 ( a ? b ) 为例的展开式的分析过程:
4

3

? b

4

(a ? b)

4

? ( a ? b )( a ? b )( a ? b )( a ? b ) ? a

4

? 4a b ? 6a b
3 2

2

? 4 ab

3

? b

4

容易看到,等号右边的积的展开式的每一项,是从每个括号里任取一个字母的乘积,因 而各项都是 4 次式,即展开式应有下面形式的各项: a 4 , a 3 b , a 2 b 2 , ab 3 , b 4 . [学生可能归纳出来: (1)每一项中字母 a ,b 的指数之间的关系(2)项的个数有 n ? 1 项] 在上面 4 个括号中: 每个都不取 b 的情况有 1 种,即 C 4 种,所以 a 的系数是 C 4 ;
0

4

0

恰有 1 个取 b 的情况下有 C 4 种,所以 a b 的系数是 C 4 ;
1

3

1

-4-

恰有 2 个取 b 的情况下有 C 4 种,所以 a b 的系数是 C 4 ;
2

2

2

2

恰有 3 个取 b 的情况下有 C 4 种,所以 ab 的系数是 C 4 ;
3

3

3

4 个都取 b 的情况下有 C 4 种,所以 b 的系数是 C 4 ;
4

4

4

因此 ( a ? b ) ? C 4 a ? C 4 a b ? C 4 a b ? C 4 ab ? C 4 b .
4 0 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4

[归纳、猜想 ( a ? b ) ? ? ]
n

(a ? b)

n

? C na
0

n

? C na
1

n ?1

b ? C na
2

n?2

b

2

? ? ? C na
r

n?r

b

r

? ? ? C nb
n

n

(n ? N )
*

教师根据情况进行指导和引导,尤其是各项二项式系数的确定,教师要从各项中 a ,b 指数的含义如 a , a b 来引导,并要求学生说明怎么得到这些项?教师可以通过电脑演示各
4 3

形式项的形成过程,将学生的思维过程展示. 学生可能的探究方法 2:
(a ? b)
n

? ( a ? b )( a ? b )( a ? b ) ? ( a ? b ) ,共 n 个 ( a ? b ) ,依据多项式乘法,直接写

出各项. [学生成果展示,可通过具体实例:通过投影、板书或口述] 问题:希望学生得到的规律 (1) (2) (3) (4) 项数: n ? 1 项; 指数:字母 a , b 的指数和为 n ,字母 a 的指数由 n 递减至 0 ,同时,字母 b
0 1 2 r n 二项式系数是 C n , C n , C n , ? , C n ? , C n

的指数由 0 递增至 n ;

r n?r r 通项: T r ? 1 ? C n a b

[板书(1)(2)] , [规律(3)得到后,板书 ( a ? b )
n

a

n

?

a

n ?1

b ??

a

n?r

b

r

?? ?

b ]

n

[规律(4)得到后,补全二项式定理板书] 教师引导中,可能用到的引导问题: (1) (2) (3) (4) (1) (2) (3) (4) (5) 将 ( a ? b ) 展开,有多少项?
n

每一项中,字母 a , b 的指数有什么特点? 字母 a , b 的指数的含义是什么?是怎样得到的? 如何确定 a
n?r

b 的系数?
r

教师引导学生观察二项式定理,从以下几方面强调: 项数: n ? 1 项; 指数:字母 a ,b 的指数和为 n ,字母 a 的指数由 n 递减至 0,同时,字母 b 的 二项式系数:下标为 n ,上标由 0 递增至 n ;
r n?r r r 通项: T r ? 1 ? C n a b 指的是第 r+1 项,该项的二项式系数是 C n

指数由 0 递增至 n ;

公式所表示的定理叫做二项式定理,右边的多项式叫做 ( a ? b ) 的二项展开
n

式,上面的定理是用不完全归纳法得到的,将来可以用数学归纳法进行严格证明. 三、二项式定理的应用

-5-

1.解决本节课开始提出的问题. 解: 10 (1 ? 10 %)
1

10

? 10 (1 ? 0 . 1 )
2 2

10

? 10 (1 ? C 10 ? 0 . 1 ? C 10 ? 0 . 1

? ?)

? 24 . 5

由此可见,按年利率 10%每年复利一次计算的要比年利率 12%单利计算更有利,10 年 后多得利息 2.5 万元. 备选例题 2.展开 (1 ? 2 x )
4 4

解: (1 ? 2 x ) ? C 4 1 ( 2 x ) ? C 4 1 ( 2 x ) ? C 4 1 ( 2 x ) ? C 4 1 ( 2 x ) ? C 4 1 ( 2 x )
0 4 0 1 3 1 2 2 2 3 1 3 4 0

4

? 1 ? 8 x ? 24 x

2

? 32 x

3

? 16 x

4

思考 1.第三项的系数是多少? 思考 2.第三项的二项式系数是多少?你能得到什么结论? [板书:.二项式系数与项的系数是两个不同概念.] 思考 3.若本例只求第三项的二项式系数,你还可以怎么处理?哪种方法更好? 四、归纳小结 1.学生的学习体会与感悟; 2.教师强调: (1)主要探究方法:从特殊到一般再回到特殊的思想方法 (2)从特殊情况入手, “观察——归纳——猜想——证明”的思维方法,是人们发现事 物规律的重要方法之一,要养成“大胆猜想,严谨论证”的良好习惯. (3)二项式定理每一项中字母 a , b 的指数和为 n , a 的指数从 n 递减至 0 同时 b 的 指数由 0 递增至 n ,体现数学的对称美、和谐美.二项式系数还有哪些规律呢?希望同学们 在课下继续研究、能够有新的发现. 五、作业 P121 习题 10.4 2,4,5

【自评反馈与反思】 1.探究与合作是本节课的亮点 本节课采用探究式教学方式, 注重学生的学习状态和情感体验, 注重教学过程中学生主 体地位的体现和主体作用的发挥,尊重学生人格和个性,鼓励发现、探究与质疑,符合“以 学生的发展为本”新课程理念. 本课采用小组合作、探究的方式,学生从特殊情况入手,探究 n =1,2,3,4,?时二 项展开式的规律,观察发现二项式定理的基本内容,再推广到一般. (强调证明,但不要求 证明) 这样,本课做到了以学生为主体,学生通过自主与合作的探究学习,经历从特殊到一般 的学习过程.在接受、掌握知识的同时,学生的学习能力与思维方法得到发展,科学思维修 养获得了提高,合作的意识得到加强.

-6-

2.德育渗透恰当,适时适度 通过对二项式定理内容的研究, 学生体验了从特殊到一般发现规律, 从一般到特殊的指 导实践的认识事物过程. 通过对二项展开式结构特点的观察, 学生体验到数学公式的对称美、 和谐美. 本课有意识的培养学生的数学应用意识.新课程理念中强调“培养学生的数学应用意 识” ,本节课正是由实际问题的引入为开始,又以问题的最终解决为结局,数学的应用贯穿 整个课堂,突出了“应用意识”的培养,符合新课程理念. 突出数学思维方法与学习方法的指导.数学有两类猜想,一是归纳(不完全归纳) ,一 是类比.本节课充分体现数学的“观察――归纳――猜想――证明”的思维方法:首先由学 生探究 n =1,2,3,?时二项展开式的特点,发现二项展开式的项数、指数及系数的基本规 律;然后进一步归纳、猜想出当 n 为任意正整数时二项展开式的基本规律(强调应该证明, 由于知识的局限,以后再证明) ,这样体现了从特殊到一般的辩证过程. 3.课后反思 (1)二项式系数的确定,对平行班的学生来说,如果没有教师的适时,适度的引导, 学生如何探究归纳,能否独立研究出来? (2)学生交流成果呈现方式问题,本节课中并没有使用实物展台,而是将学生的成果 通过口述方式呈现在黑板上, 若使用实物展台, 由学生上讲台来展示, 课堂效果会不会更好? 课堂效率是否有提高?另外, 投影和黑板板书之间如何更有机的结合?这些都需要做进一步 的探讨.

-7-


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