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福建省安溪八中2014-2015学年高二下期中质量检测数学理试题及答案


2015 年春季安溪八中高二年期中质量检测 数学试题(理)
命题人:马荣欣 20150429

9. 函数 y ? f ( x) 的图像如图所示, f ' ( x) 是 f ( x) 的导函数,则下列式子中成立的是

' ' A. f (1) ? f (2) ? f (2) ? f (1)
C. f ' (2) ? f ' (1) ? f (2) ? f (1)

B. f ' (2) ? f (2) ? f (1) ? f ' (1) D. f ' (1) ? f (2) ? f (1) ? f ' (2)
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一、选择题 :本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.

2?i 1. i 是虚数单位,复数 在复平面上的对应点在 1? i
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2. 按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律,写出后一种化合物的分子式 是 ...
H H C H CH4 H H H C H H C H H H H C H H C H C3H8 H C H H

10.对任意 复数 ω 1,ω 2,定义ω 1 ? ω 2 =ω 1 ?2 ,其中 ?2 是ω 2 的共轭复数. 对任意复数 z1,z2,z3,有如下四个命题: ① (z1+z2) ? z3=(z1 ? z3)+(z2 ? z3); ②(z1 ? z2) ? z3=z1 ? (z2 ? z 3); ③z1 ? z2=z2 ? z1;. 则真命题的个数是 A. 0 B. 1

C.

2

D.

3

C2H6

11. 设数字 1,2,3,4,5,6 的一个排列为 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 ,若对任意的 ai (i ? 2,3,4,5,6) D. C6 H12 总有 ak (k ? i,k ? 1,2,3,4,5) 满足 | ai ? ak |? 1, 则这样的排列共有 A.36
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A. C4 H 9

B. C4 H10

C. C4 H11

3. 某校教学大楼共有 5 层,每层均有 2 个楼梯,则由一楼至五楼的不同走法共有 A.24 种 B.52 种 C.10 种 D.7 种 4.小王通过英语听力测试的概率是 A.

B.32

C.28

D.20

5. 有一段“三段 论”推理是这样的: 对于可导函数 f ( x) , 如果 f ?( x0 ) ? 0 , 那么 x ? x0 是函数 f ( x)

4 9

B.

2 9

1 ,他连续测试 3 次,那么其中恰有 1 次获得通过的概率是 3 4 2 C. D. 27 27

12. 设定义在 D 上的函数 y ? h( x) 在点 P( x0 , h( x0 )) 处的切线方程为 l : y ? g ( x) ,当 x ? x0 时,若

h( x ) ? g ( x ) ? 0 在 D 内 恒 成 立 , 则 称 P 为 函 数 y ? h( x ) 的 “ 类 对 称 点 ” , 则 x ? x0

的极值点, 因为函数 f ( x) ? x3 在 x ? 0 处的导数值 f ?(0) ? 0 , 所以,x ? 0 是函数 f ( x) ? x3 的 极值点.以上推理中 A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.结论正确 6.从 10 名大学毕业生中选 3 人担任村长助理,则甲、乙至少有 1 人入选,而丙没有入选的不 同选法的种数为 A.85 7.设 (5 x ? B.56 C.49 D.28

f ( x) ? x 2 ? 6 x ? 4 ln x 的“类对称点”的横坐标是
A.1 B.

2

C.e

D.

3

二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.将答案填在答题卡的相应位置.
2 13.随机变量 ξ 服从正态分布 N (1, ? ) ,已知 P(? ? 0) ? 0.3 ,则 P(? ? 2) ?

.

1 x

) n 的展开式的各项系数之和为 M ,二项式系数之和为 N ,若 M ? N ? 56 ,
C.10 D.20

14.

? (e
0

1

2

? 2 x)dx =

则展开式中常数项为 A.5 B.1 5 8.若函数 f ( x) ? e A. a ? 1
?x

15 . 随 机 变 量 ξ 的 分 布 列 为 P(? ? k ) ?

? ax, x ? R 有大于零的极值点,则实数 a 的取值范围为 B. 0 ? a ? 1 C. ?1 ? a ? 0 D. a ? ? 1

P (? ? 2) =

c , k ? 1,2,3 , 其 中 c 为 常 数 则 k (1 ? k )

.

16.定义 Fn ( A, B) 表示所有满足 A ? B ? {a1 , a2 ,?, an }的集合 A, B 组成的有序集合对 ( A, B) 的个数.试探究 F1 ( A, B) , F2 ( A, B) ,并归纳推得 Fn ( A, B) =_________. 三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 在 10 件产品中,有 8 件合格品,2 件次品.从这 10 件产品中任意抽取 2 件,试求: (Ⅰ)取到的次品数 XX的分布列; (Ⅱ)至少取到 1 件次品的概率. 18. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 4 x, x ? R ,函数 g ( x) ? x ? 4 x,( x ? R)
3 2 2

21. (本题满分 13 分)
0 2n 1 2n?1 2 2 n ?2 2n?1 2n 在 ( x 2 ? x ? 1) n ? Dn x ? Dn x ? Dn x ? ??Dn x ? Dn (n ? N ) 的展开式中,把 0 1 2 2 n?1 2n 叫做三项式的 n 次系数列. Dn , Dn , Dn ??Dn , Dn

(Ⅰ )例如三项式的 1 次系数列是 1,1,1,填空: 三项式的 2 次系数列是 _________ ; 三项式的 3 次系数列是 _________ . (Ⅱ )二项式 (a ? b) n (n ? N ) 的展开式中,系数可用杨辉三角形数阵表示,如下

(1)求 f ( x ) 的单调区间; (2)求函数 f ( x ) 与函数 g ( x) 的曲线所围成封闭图形的面积? 19. (本题满分 12 分) 数列{an}满足 Sn=2n+2an(n∈N*). (1)计算 a1、a2、a3, a4 (2)有同学猜想 an ? 2 ? 2 ;请根据你的计算确定 ? 的值,并用数学归纳法证明。
?

① 当 0 ? n ? 4, n ? N 时,类似杨辉三角形数阵表,请列出三项式的 n 次系数列的数阵表;
r r r ?1 ② 由杨辉三角形数阵表中可得出性质: Cn ?1 ? Cn ? Cn ,类似的请用三项式的 n 次系数表示 k ?1 ; Dn , k ? N ) (无须证明) ?1 (1 ? k ? 2n ? 1 3 (Ⅲ )试用二项式系数(组合数)表示 Dn .

20. (本题满分 12 分)

22. (本题满分 13 分)
2 2 已知函数 f ? x ? ? x ? 2 x ln x ? ax ? 2 .

?

?

(I)当 a ? ?1 时,求 f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线方程; ( II ) 当 a ? 0 时 , 设 函 数 g ? x? ? f ? x ? ? x?2 , 且 函 数 g ? x ? 有 且 仅 有 一 个 零 点 , 若

?

?

e?2 ? x ? e, g ? x ? ? m ,求 m 的取值范围.

2015 年春季安溪八中高二年期中质量检测 数学试题(理) 参考答案
1 D 2 B 3 A
2

2 3 S ?? ? ( x 2 ? 4 x) ? ( x 3 ? 2 x 2 ? 4 x ) ? ?dx ? ?0 (3x ? x )dx 0 ?

3

3

1 = ( x ? x4 ) 4
3

3

?
0

27 4

4 A

5 A 15:

6 C

7 B
n 16: 3

8 B

9 D

10 B

11 B

12 B

19. 解: (1)当 n=1 时,a1=S1=2+2a1,∴a1=-2 当 n=2 时,a1+a2=S2=2×2+2a2,∴a2=-6 当 n=3 时,a1+a2+a3=S3=2×3+2a3,∴a3=-14 当 n=4 时,a1+a2+a3+ a4 =S4=2×4+2a4,∴a4=-30 (2) ? =n+1,由此猜想 an= 2 ? 2
n ?1

……………………1 分 ……………………2 分 ……………………3 分 ……………………4 分 ………………7 分 ……………………8 分

13: 0.7

14: e ? 1

1 3

(n∈N )

*

证明:①当 n=1 时,a1=-2,结论成立, ②假设 n=k(k≥1,且 k∈N )时,猜想成立, 即 a k= 2 ? 2
k ?1
*

成立,

当 n=k+1 时,

P ? X = 1? =

C ? C 16 C ?C 1 ? P ? X = 2? = ? 2 2 C10 45 ; C10 45 ;
1 2 1 8 2 2 0 8

ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)+2ak+1-2k-2ak=2-2ak+2ak+1,
∴ak+1=-2+2ak=-2+2( 2 ? 2 即,当 n=k+1 时,猜想成立, 根据,①和②对于一切的自然数 n∈N ,猜想成立.
*

k ?1

)=2- 2

k ?1?1

所以取到的次品数X的分布列为:

……………………12 分 ……………………14 分

16 1 17 P ? X ? 1? ? P ? X ? 1? ? P ? X ? 2 ? ? ? ? 45 45 45 . X(Ⅱ)至少取到 1 件次品的概率为
18、解:∵ f ( x) ? x3 ? 2 x2 ? 4 x, x ? R ∴ f ' ( x) ? 3x2 ? 4 x ? 4 …………………………1 分

令 f ' ( x) ? 3x2 ? 4 x ? 4 >0,解得: x ? ? 令 f ' ( x) ? 3x2 ? 4 x ? 4 <0,解得: ?

2 ,x ? 2 3
…………………………4 分

2 ?x?2 3

∴ f ( x ) 的单调增区间为 ? ??, ? ? , (2, ??) ,

2? ? 3? ? ? 2 ? f ( x) 的单调减区间为 ? ? , 2 ? …………………………6 分 ? 3 ?
解得:x=0,x=3 …………………………7 分

(2)令 x3 ? 2 x 2 ? 4 x ? x 2 ? 4 x

由定积分的几何意义,知:函数 f ( x ) 与函数 g(x)的曲线所围成的面积为: 20

21

22. 解:(1)当 a ? ?1 时, f ( x) ? ( x2 ? 2 x)ln x ? x2 ? 2 ,定义域为 ? 0, ?? ? ,

f ?( x) ? ? 2x ? 2? ln x ? ? x ? 2? ? 2x. …………………2 分

? f ?(1) ? ?3 ,又 f (1) ? 1, f ( x) 在 ?1, f ?1? ? 处的切线方程 3x ? y ? 4 ? 0. ……………4 分
2 2 (2)令 g ? x ? ? f ? x ? ? x ? 2 ? 0, 则 x ? 2 x ln x ? ax ? 2 ? x ? 2, 即 a ?

?

?

1 ? ( x ? 2) ? ln x , x

令 h( x ) ?

1 ? ( x ? 2) ? ln x , …………………5 分 x
1 1 2 ? 2 ln x 1 ? x ? 2 ln x ? ? ? . …………………6 分 x2 x x2 x2

则 h?( x) ? ?

令 t ( x) ? 1 ? x ? 2 ln x , t ?( x) ? ?1 ? 又

2 ?x ? 2 ? , t ?( x ) ? 0 ,t ( x ) 在 (0, ??) 上是减函数, x x

t ?1? ? h? ?1? ? 0 所以当 0 ? x ? 1 时, h? ? x ? ? 0 ,当 1 ? x 时, h? ? x ? ? 0 ,


所以 h ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增,在 ?1, ?? ? 上单调递减,?h ? x ?max ? h(1) ? 1.………8 分

因为 a ? 0 , 所以当函数 g ? x ? 有且仅有一个零点时, a ? 1 .
2 2 当 a ? 1 , g ? x ? ? x ? 2 x ln x ? x ? x ,若 e?2 ? x ? e, g ( x) ? m, 只需证明 g ( x)max ? m,

?

?

…………………9 分

g?( x) ? ? x ?1??3 ? 2ln x ? 令 g ?( x) ? 0 得 x ? 1 或 x ? e ,又 e ?2 ? x ? e , ,
? 函数 g ( x) 在 (e ?2 , e 2 ) 上单调递增,在 (e 2 ,1) 上单调递减,在 (1, e) 上单调递增,10 分
3 ? 1 ?3 又 g (e ) ? ? e ? 2e 2 2 ? ? 3 2 3 2
? 3 ? 3

3 ? 2



g (e) ? 2e 2 ? 3e,

3 3 ? ? 1 ?3 3 2 g (e ) ? ? e ? 2e ? 2e 2 ? 2e ? 2e(e ? ) ? g (e). 2 2

即 g (e

?

3 2

) ? g (e) , g ( x) max ? g (e) ? 2e 2 ? 3e,

? m ? 2e 2 ? 3e. ………12 分


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