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高考角的概念的推广与任意角的三角函数


4-1 角的概念的推广与任意角的三角函数 基础巩固强化 1.(文)(2011· 绵阳二诊)已知角 A 同时满足 sinA>0 且 tanA<0, 则角 A 的终边一定落在( A.第一象限 C.第三象限 [答案] B [解析] 由 sinA>0 且 tanA<0 可知,cosA<0,所以角 A 的终边一 定落在第二象限.选 B. cosα (理)(20

12· 广西田阳高中月考)若 sinαtanα<0,且 tanα <0,则角 α 是( ) A.第一象限角 C.第三角限角 [答案] C [解析] 根据各象限内三角函数值的符号进行判断即可. 由 sinαtanα<0 可知 sinα, tanα 异号, 从而 α 为第二或第三象限角. cosα 由 tanα <0 可知 cosα,tanα 异号,从而 α 为第三或第四象限角. 综上可知,α 为第三象限角. 2π? ? 2π 2. (文)(2011· 杭州模拟)已知角 α 终边上一点 P?sin 3 ,cos 3 ?, 则
? ?

) B.第二象限 D.第四象限

B.第二象限角 D.第四象限角

角 α 的最小正值为( 5 A.6π 2 C.3π [答案] B

) 11 B. 6 π 5 D.3π

2π π 3 [解析] 由条件知,cosα=sin 3 =sin3= 2 , 2π π 1 sinα=cos 3 =-cos3=-2, ∴角 α 为第四象限角, π 11π ∴α=2π-6= 6 ,故选 B. (理)已知锐角 α 终边上一点 P 的坐标是(4sin3,-4cos3),则 α 等 于( ) A.3 π C.3-2 [答案] C π [解析] ∵2<3<π,∴cos3<0,∴点 P 位于第一象限, -cos3 ∴tanα= sin3 = π? ? ?3- ?, = tan 2? π ? cos?3-2? π sin?3-2? B.-3 π D.2-3

π? π ? π ∵3-2∈?0,2?,∴α=3-2.
? ?

3.若一个扇形的周长与面积的数值相等,则该扇形所在圆的半 径不可能等于( A.5 [答案] B 1 [解析] 设扇形的半径为 R,圆心角为 α,则有 2R+Rα=2R2α, 1 4 4 即 2+α=2Rα 整理得 R=2+α,由于α≠0, ∴R≠2. ) B.2 C.3 D.4

sinα+cosα 4. 已知点 P(-3,4)在角 α 的终边上, 则 的值为( 3sinα+2cosα 1 A.-6 7 C.18 [答案] B 4 [解析] 由条件知 tanα=-3, ∴ sinα+cosα tanα+1 1 = = . 3sinα+2cosα 3tanα+2 6 1 B.6 D.-1

)

5.(文)设 0≤θ<2π,如果 sinθ>0 且 cos2θ>0,则 θ 的取值范围是 ( ) 3π A.0<θ< 4 3π C. 4 <θ<π [答案] B [解析] ∵0≤θ<2π,且 sinθ>0,∴0<θ<π. π π 又由 cos2θ>0 得,2kπ-2<2θ<2kπ+2, π π 即 kπ-4<θ<kπ+4(k∈Z).∵0<θ<π, π 3π ∴θ 的取值范围是 0<θ<4或 4 <θ<π. (理)(2011· 海口模拟)已知点 P(sinα-cosα,tanα)在第一象限,则 在[0,2π]内 α 的取值范围是( π π A.(4,2) 3π 5π C.( 4 , 4 ) ) 5π B.(π, 4 ) π π 5π D.(4,2)∪(π, 4 ) π 3π B.0<θ<4或 4 <θ<π 3π 5π D. 4 <θ< 4

[答案] D
? ?sinα-cosα>0, [解析] ∵P 点在第一象限,∴? ?tanα>0, ?

如图,使 sinα>cosα 的角 α 终边在直线 y=x 上方,使 tanα>0 的 π π 5π 角 α 终边位于第一、三象限,又 0≤α≤2π,∴4<α<2或 π<α< 4 .

6.(文)(2011· 新课标全国理)已知角 θ 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线 y=2x 上,则 cos2θ=( 4 A.-5 3 C.5 [答案] B 1 [解析] 依题意:tanθ=± 2,∴cosθ=± , 5 cos2θ-sin2θ 2 3 ∴ cos2θ = 2cos θ - 1 = 5 - 1 = - 5 或 cos2θ = 2 = cos θ+sin2θ
2

)

3 B.-5 4 D.5

1-tan2θ 1-4 3 =-5,故选 B. 2 = 1+tan θ 1+4

(理)函数 f(x)=sinx 在区间[a,b]上是增函数,且 f(a)=-1,f(b) a+b =1,则 cos 2 =( A.0 C.-1 [答案] D a+b π π [解析] 由条件知, a=-2+2kπ (k∈Z), b=2+2kπ, ∴cos 2 =cos2kπ=1. 7.(2011· 太原调研)已知角 α 的顶点在原点,始边与 x 轴正半轴 重合,点 P(- 4m,3m)(m>0) 是角 α 终边上一点,则 2sinα + cosα = ________. 2 [答案] 5 [解析] 由条件知 x=-4m,y=3m,r= x2+y2=5|m|=5m,∴ y 3 x 4 sinα=r=5,cosα=r=-5, 2 ∴2sinα+cosα=5. 8.(2011· 江西文)已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正 2 5 半轴, 若 P(4, y)是角 θ 终边上的一点, 且 sinθ=- 5 , 则 y=________. [答案] -8 [解析] |OP|= 42+y2, 根据任意角三角函数的定义得, 2 5 =- 5 ,解得 y=± 8, y 42+y2 ) 2 B. 2 D.1

2 5 又∵sinθ=- 5 <0 及 P(4,y)是角 θ 终边上一点, 可知 θ 为第四象限角,∴y=-8. π 1 7π 9.(文)(2012· 南昌调研)已知 sin(α+12)=3,则 cos(α+12)的值为 ________. 1 [答案] -3 7π π π π 1 [解析] cos(α+12)=cos[(α+12)+2]=-sin(α+12)=-3. (理)如图所示, 角 α 的终边与单位圆(圆心在原点, 半径为 1 的圆) 3 交于第二象限的点 Acosα,5,则 cosα-sinα=________.

7 [答案] -5 3 [解析] 由条件知,sinα=5, 4 7 ∴cosα=-5,∴cosα-sinα=-5. 10.

(2011· 广州模拟)A、B 是单位圆 O 上的动点,且 A、B 分别在第 一、二象限.C 是圆 O 与 x 轴正半轴的交点,△AOB 为正三角形.记 ∠AOC=α. sin α+sin2α ?3 4? (1)若 A 点的坐标为?5,5?,求 2 的值; ? ? cos α+cos2α (2)求|BC|2 的取值范围.
?3 4? [解析] (1)∵A 点的坐标为?5,5?, ? ?
2

4 ∴tanα=3, sin2α+sin2α sin2α+2sinαcosα ∴ 2 = cos α+cos2α 2cos2α-sin2α sin2α sinα 16 8 2 +2× 2 cos α cosα tan α+2tanα 9 +3 = = = 16=20. sin2α 2-tan2α 2-cos2α 2- 9 (2)设 A 点的坐标为(cosα,sinα), ∵△AOB 为正三角形, π π ∴B 点的坐标为(cos(α+3),sin(α+3)),且 C(1,0), π π ∴|BC|2=[cos(α+3)-1]2+sin2(α+3)

π =2-2cos(α+3). 而 A、B 分别在第一、二象限, π π ∴α∈(6,2). π π 5π ∴α+3∈(2, 6 ), π 3 ∴cos(α+3)∈(- 2 ,0). ∴|BC|2 的取值范围是(2,2+ 3). 能力拓展提升 α α α 11.(文)设 α 是第二象限角,且|sin2|=-sin2,则2是( A.第一象限角 C.第三象限角 [答案] C α [解析] ∵α 是第二象限角,∴2是第一、三象限角, α α 又∵sin2≤0,∴2是第三象限角,故选 C. α α |sin2| |cos2| (理)若 α 是第三象限角,则 y= α + α 的值为( sin2 cos2 A.0 C.-2 [答案] A α [解析] ∵α 为第三象限角,∴2为第二、四象限角 α 当2为第二象限角时,y=1-1=0, B.2 D.2 或-2 B.第二象限角 D.第四象限角 )

)

α 当2为第四象限角时,y=-1+1=0.
?3π 5π? 12.(文)若 θ∈? 4 , 4 ?,则复数(cosθ+sinθ)+(sinθ-cosθ)i 在复 ? ?

平面内所对应的点在( A.第一象限 C.第三象限 [答案] B [解析]

) B.第二象限 D.第四象限

?3π 5π? 解法 1:如图,由单位圆中三角函数线可知,当 θ∈? 4 , 4 ?时, ? ?

sinθ+cosθ<0,sinθ-cosθ>0. ∴复数 (cosθ+sinθ)+ (sinθ-cosθ)i 在复平面内所对应点在第二 象限. 解法 2:∵cosθ+sinθ π? ? = 2sin?θ+4?,
? ?

π? ? sinθ-cosθ= 2sin?θ-4?,
? ?

π? ?3π 5π? ? π 3π 又∵θ∈? 4 , 4 ?.∴π<θ+4< 2 ,∴sin?θ+4?<0.
? ? ? ?

π? ? π π ∵2<θ-4<π,∴sin?θ-4?>0,
? ? ?3π 5π? ∴当 θ∈? 4 , 4 ?时,cosθ+sinθ<0,sinθ-cosθ>0.故选 B. ? ?

(理)(2011· 绵阳二诊)记 a=sin(cos2010° ),b=sin(sin2010° ), c = cos(sin2010° ),d=cos(cos2010° ),则 a、b、c、d 中最大的是( A.a [答案] C [解析] 注意到 2010° =360° ×5+180° +30° ,因此 sin2010° =- 1 3 π 3 π 1 sin30° =- 2 , cos2010° =- cos30° =- 2 ,- 2 < - 2 <0 ,- 2 < - 2 1 3 π 1 3 3 3 1 <0,0<2< 2 <2, cos2>cos 2 >0, a=sin(- 2 )=-sin 2 <0, b=sin(-2) 1 1 1 3 3 =-sin2<0,c=cos(-2)=cos2>0,d=cos(- 2 )=cos 2 >0,∴c>d, 因此选 C. [点评] 本题“麻雀虽小,五脏俱全”考查了终边相同的角、诱 导公式、正余弦函数的单调性等,应加强这种难度不大,对基础知识 要求掌握熟练的小综合训练. 1 13.已知角 θ 的终边上有一点 M(3,m),且 sinθ+cosθ=-5, 则 m 的值为________. [答案] -4 [解析] r= 32+m2= m2+9, 依题意 sinθ= m 3 , cos θ = , m2+9 m2+9 B.b C.c D.d )

∴ 即

m 3 1 + 2 =-5. 2 m +9 m +9 m+3 1 =-5, 2 m +9

9 解得 m=-4 或 m=-4, 9 经检验知 m=-4不合题意,舍去. 故 m=-4. 14.(文)已知下列四个命题 2 5 (1)若点 P(a,2a)(a≠0)为角 α 终边上一点,则 sinα= 5 ; (2)若 α>β 且 α、β 都是第一象限角,则 tanα>tanβ; θ θ (3)若 θ 是第二象限角,则 sin2cos2>0; 7 (4)若 sinx+cosx=-5,则 tanx<0. 其中正确命题的序号为________. [答案] (3) [解析] (1)取 a=1,则 r= 5,sinα= 再取 a=-1,r= 5,sinα= 2 2 = 5; 5 5

-2 2 =-5 5,故(1)错误. 5

π π π 3 (2)取 α= 2π+6 , β= 3 ,可知 tanα= tan 6 = 3 , tanβ= 3,故 tanα>tanβ 不成立,(2)错误. θ θ 1 (3)∵θ 是第二象限角,∴sin2cos2=2sinθ>0,∴(3)正确. 7 (4)由 sinx+cosx=-5<-1 可知 x 为第三象限角,故 tanx>0,(4)

不正确. (理)直线 y=2x+1 和圆 x2+y2=1 交于 A,B 两点,以 x 轴的正 方向为始边,OA 为终边(O 是坐标原点)的角为 α,OB 为终边的角为 β,则 sin(α+β)=________. 4 [答案] -5 [解析] 将 y=2x+1 代入 x2+y2=1 中得,5x2+4x=0,∴x=0 3? ? 4 4 3 或-5,∴A(0,1),B?-5,-5?,故 sinα=1,cosα=0,sinβ=-5, ? ? 4 cosβ=-5,

4 ∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=-5. π [点评] 也可以由 A(0,1)知 α=2,
?π ? 4 ∴sin(α+β)=sin?2+β?=cosβ=-5. ? ? ?1 ? 15.在平面直角坐标系 xOy 中,点 P?2,cos2θ?在角 α 的终边上, ? ?

→· → =-1. 点 Q(sin2θ,-1)在角 β 的终边上,且OP OQ 2 (1)求 cos2θ 的值; (2)求 sin(α+β)的值. →· → =-1, [解析] (1)因为OP OQ 2 1 1 所以2sin2θ-cos2θ=-2, 1 1 2 即2(1-cos2θ)-cos2θ=-2,所以 cos2θ=3, 1 所以 cos2θ=2cos2θ-1=3. 2 1 (2)因为 cos2θ=3,所以 sin2θ=3,
?1 2? ?1 ? 所以点 P?2,3?,点 Q?3,-1?, ? ? ? ? ?1 2? 又点 P?2,3?在角 α 的终边上, ? ?

4 3 所以 sinα=5,cosα=5. 3 10 10 同理 sinβ=- 10 ,cosβ= 10 , 所以 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ 4 10 3 ? 3 10? 10 ?=- =5× 10 +5×?- 10 . 10 ? ? 16. 周长为 20cm 的扇形面积最大时, 用该扇形卷成圆锥的侧面, 求此圆锥的体积. [解析] 设扇形半径为 r,弧长为 l,则 l+2r=20, 1 1 ∴l=20-2r,S=2rl=2(20-2r)· r=(10-r)· r, ∴当 r=5 时,S 取最大值.

此时 l=10,设卷成圆锥的底半径为 R,则 2πR=10, 5 ∴R=π, ∴圆锥的高 h= 5 π -1 ?5? 5 -?π?2= , π ? ?
2 2

2 2 1 2 π ?5?2 5 π -1 125 π -1 V=3πR h=3×?π? · π = . 3π2 ? ?

3π 3π 1.(2011· 深圳一调、山东济宁一模)已知点 P(sin 4 ,cos 4 )落在 角 θ 的终边上,且 θ∈[0,2π),则 θ 的值为( π A.4 5π C. 4 [答案] D 3π 3π [解析] 由 sin 4 >0,cos 4 <0 知角 θ 是第四象限的角,∵tanθ= 3π cos 4 7π =- 1 , θ ∈ [0,2π) ,∴ θ = 3π 4. sin 4 2.一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长,则其所对圆 心角的弧度数为( π A.3 C. 3 [答案] C [解析] 设圆的半径为 R,由题意可知:圆内接正三角形的边长 ) 2π B. 3 D. 2 3π B. 4 7π D. 4 )

为 3R,∴圆弧长为 3R. 3R ∴该圆弧所对圆心角的弧度数为 R = 3. 1 1 1 3.设 a=log2tan70° ,b=log2sin25° ,c=log2cos25° ,则它们的 大小关系为( A.a<c<b C.a<b<c [答案] A 1 [解析] ∵tan70° >tan45° =1>cos25° =sin65° >sin25° >0,y=log2x 为减函数,∴a<c<b. 4.如图所示的程序框图,运行后输出结果为( ) ) B.b<c<a D.b<a<c

A.1 [答案] C

B.2680

C.2010

D.1340

?nπ π? nπ [解析] ∵f(n)=2sin? 3 +2?+1=2cos 3 +1.由 S=S+f(n)及 n= ? ?

nπ n+1 知此程序框图是计算数列 an=2cos 3 +1 的前 2010 项的和. 即 π ? 2π ? 3π ? ? ? ? S = ?2cos3+1? + ?2cos 3 +1? + ?2cos 3 +1? + ? + ? ? ? ? ? ?

2010π ? ? ?2cos ? 3 +1? ? π 2π 3π 2010π? ? π = 2 ?cos3+cos 3 +cos 3 +?+cos 3 ? + 2010 = 2×335×cos 3
? ?

2π 3π 4π 5π 6π +cos 3 +cos 3 +cos 3 +cos 3 +cos 3 +2010=2010. 3 5.已知角 α 终边经过点 P(x,- 2)(x≠0),且 cosα= 6 x.求 sinα 1 +tanα的值. [解析] ∵P(x,- 2)(x≠0), ∴点 P 到原点的距离 r= x2+2. 3 x 3 又 cosα= 6 x,∴cosα= 2 = 6 x. x +2 ∵x≠0,∴x=± 10,∴r=2 3. 当 x= 10时,P 点坐标为( 10,- 2), 6 1 由三角函数的定义,有 sinα=- 6 ,tanα=- 5, 6 5+ 6 1 6 ∴sinα+tanα=- 6 - 5=- ; 6 6 5- 6 1 当 x=- 10时,同理可求得 sinα+tanα= . 6


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