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2012高考数学复习第四章三角函数4章综合测试


第四章

三角函数综合能力测试

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(每小题只有一个选项是正确的,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的。) 1.(2009· 北京市海淀区高三年级第一学期期末练

习)若角 α 的终边过点 P(1,-2),则 tanα 的值为 ( ) 1 1 A.- B. 2 2 C.-2 D.2 答案:C -2 解析:依题意得,tanα= =-2,选 C. 1 α 3 α 4 2.已知 sin = ,cos =- ,那么角 α 的终边在 ( ) 2 5 2 5 A.第一象限 B.第三或第四象限 C.第三象限 D.第四象限 答案:D α 3 α 4 解析:因为 sin = ,cos =- , 2 5 2 5 α α 24 所以 sinα=2sin cos =- <0. 2 2 25 α 7 cosα=2cos2 -1= >0. 2 25 ∴α 的终边在第四象限. 7 3.( 2009· 山西大同)已知 cosA+sinA=- ,A 为第二象限角,则 tanA= ( ) 13 12 5 12 5 A. B. C.- D.- 5 12 5 12 答案:D 7 60 解析:由题意可得:(sinA+cosA)2=1+2sinAcosA=(- )2,∴sinAcosA=- . 13 169 7 又∵sinA+cosA=- ,A 为第二象限角, 13

5 12 可解得:sinA= ,cosA=- , 13 13 sinA 5 ∴tanA= =- . cosA 12 4.(2009· 辽宁,8)已知 tanθ=2,则 sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ= 4 5 3 4 A.- B. C.- D. 3 4 4 5 答案:D 解析:sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ = sin2θ+cos2θ 2 tan θ+tanθ-2 = tan2θ+1 4+2-2 4 = = .故选 D. 5 4+1 π 5.(2009· 广东,9)函数 y=2cos2(x - )-1 是 4 A.最小正周期为 π 的奇函数 B.最小正周期为 π 的偶函数 π C.最小正周期为 的奇函数 2 π D.最小正周期为 的偶函数 2 答案:A π 解析:由 y=2cos2(x- )-1 4 π =cos(2x- )=sin2x, 2 ∴T=π,且为奇函数,故选 A. 1 6.下列各式中,值为 的是 2 π π A.sin15° cos15° B.cos2 -sin2 12 12 π 1+cos 6 tan22.5° C. D. 2 1-tan222.5° 答案:D 2tan22.5° 解析:由 tan45° = ,知选 D. 1-tan222.5° 7.(2009· 重庆,6)下列关系中正确的是 A.sin11° <cos10° <sin168° B.sin168° <sin11° <cos10° C.sin11° <sin168° <cos10° D.sin168° <cos10° <sin11° 答案:C
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π 解析:∵sin11° =cos79° ,sin168° =cos78° ,又∵y=cosx 在[0, ]上单调递减,79° >78° 2 >10° ,∴cos10° >sin168° >sin11° ,故选 C. π 8.(2009· 天津,7)已知函数 f(x)=sin(wx+ )(x∈R,w>0)的最小正周期为 π,为了得到函 4 数 g(x)=coswx 的图象,只要将 y=f(x)的图象 ( ) π A.向左平移 个单位长度 8 π B.向右平移 个单位长度 8 π C.向左平移 个单位长度 4 π D.向右平移 个单位长度 4 答案:A π 解析:∵f(x)=sin(wx+ )(x∈R,w>0)的最小正周期为 π, 4 2π π ∴ w =π,故 w=2.又 f(x)=sin(2x+ ) 4 错误!g(x)=sin[2(x+错误!)+错误!]=sin(2x+错误!)=cos2x,故选 A. 9.(2009· 浙江台州)已知函数 f(x)=2sin(wx+φ)(w>0,0<φ<π),且函数的图象如图所示, 则点(w,φ)的坐标是 ( )

π A.(2, ) 3 2π C.(2, ) 3 答案:D

π B.(4, ) 3 2π D.(4, ) 3

5π π π 2π 2π 解析:由图象可知:函数的半个周期为 + = ,所以 w= = =4. 24 24 4 T π/2 π 又因为函数图象过点(- ,2), 24 π 所以 2=2sin[4×(- )+φ]. 24 ∵0<φ<π, 2π 2π 解得:φ= ,所以(w,φ)=(4, ). 3 3 10.(2009· 安徽,8)已知函数 f(x)= 3sinwx+coswx(w>0),y=f(x)的图象与直线 y=2 的 两个相邻交点的距离等于 π,则 f(x)的单调递增区间是 ( )
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π 5π A.[kπ- ,kπ+ ],k∈Z 12 12 5π 11π B.[kπ+ ,kπ + ], ,k∈Z 12 12 π π C.[kπ- ,kπ+ ],k∈Z 3 6 π 2π D.[kπ+ ,kπ+ ],k∈Z 6 3 答案:C 解析:f(x)= 3sinwx+coswx π =2sin(wx+ ),(w>0). 6 ∵f(x)的图象与直线 y=2 的两个相邻交点的距离等于 π,恰好是 f(x)的一个周期, 2π ∴ w =π,w=2. π f(x)=2sin(2x+ ). 6 π π π π π 故其单调增区间应满足 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z.kπ- ≤x≤kπ+ ,故选 C. 2 6 2 3 6 π 11.已知 f(x)=sin(2x+φ)+ 3cos(2x+φ)为奇函数,且在[0, ]上为减函数,则 φ 的一个 4 值为 ( ) π 4 5 2π A. B. π C. π D. 3 3 3 3 答案:D π π 解析:f(x)=2sin(2x+φ+ ),要使 f(x)是奇函数,必须 φ+ =kπ(k∈Z), 3 3 因此应排除 A、B. 5π π 当 φ= 时 f(x)=2sin2x 在[0, ]上为增函数, 3 4 故 C 不对. 2π π 当 φ= 时,f(x)=-2sin2x 在[0, ]上为减函数.故选 D. 3 4 12.(2010· 福建师大附中期中考试)函数 y=sinx 和 y=tanx 的图象在[-2π,2π]上交点的个 数为 ( ) A.3 B.5 C .7 D.9 答案:B 解析:方法一:图象法,在同一坐标系内画 y=sinx 与 y=tanx 在[0,2π]上的图象. ,由图 知共有 5 个交点,故选 B.

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方法二:解方程 sinx=tanx,即 tanx(cosx-1)=0,∴tanx=0 或 cosx=1,∵x∈[-2π,2π], ∴x=0,± π,± 2π,故有 5 个解,因此选 B. 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请将答案填在题中的横线上。) 3 3 13.(2009· 广东深圳)已知点 P(sin π,cos π)落在角 θ 的终边上,且 0≤θ≤2π,则 θ= 4 4 ________. 7π 答案: 4 解析:∵θ∈[0,2π),根据三角函数定义可知: 3π π 3π 7π 7π sinθ=cos =sin(2π+ - )=sin ,∴θ= . 4 2 4 4 4 π 1 7π 14.(2009· 南昌市高三年级第一次调研测试)已知 sin(α+ )= ,则 cos(α+ )的值等于 12 3 12 ________. 1 答案:- 3 7π π π π 1 解析:由已知得 cos(α+ )=cos[(α+ )+ ]=-sin(α+ )=- . 12 12 2 12 3 π 15.下图是函数 y=sin(wx+φ)(w>0,|φ|< )的图象的一部分,则 φ=________,w= 2 ________.

π 答案: 2 6

11 π 解析:由图知 T= π-(- )=π, 12 12 2π 2π ∴w= = =2,∴y=sin(2x+φ). T π π π 又点(- ,0 )在图象上,∴sin(- +φ)=0, 12 6 π π ∴- +φ=0,φ= . 6 6 16.给出下列六个命题,其中正确的命题是__________. 3 ①存在 α 满足 sinα+cosα= ; 2 5 ②y=sin( π-2x)是偶函数; 2 π 5π ③x= 是 y=sin(2x+ )的一条对称轴; 8 4 π ④y=esin2x 是以 π 为周期的(0, )上的增函数; 2 ⑤若 α、β 是第一象限角,且 α>β,则 tanα>tanβ; π π ⑥函数 y=3sin(2x+ )的图象可由 y=3sin2x 的图象向左平移 个单位得到. 3 3 答案:②③ π 解析:①sinα+co sα= 2sin(α+ )∈[- 2, 2], 4 3 ∴sin α+cosα≠ . 2 5π π ②y=sin( -2x)=sin( -2x)=cos2x,是偶函数. 2 2 5π 5π π 3π kπ ③对 y=sin(2x+ ),由 2x+ = +kπ,得 x=- + ,(k∈Z)是对称轴方程.取 k=1 4 4 2 8 2 π 得 x= . 8 π π ④y=sin2x 在(0, )上不是增函数,∴y=esin2x 在(0, )上也不是增函数. 2 2 ⑤y=tanx 在第一象限不是增函数.∴α>β,不一定有 tanα>tanβ. π π π ⑥y=3sin(2x+ )=3sin2(x+ ),可由 y=3sin2x 的图象向左平移 个单位得到. 3 6 6 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。) π π 33 5 17.(本小题满分 10 分)已知 α∈(0, ),β∈( ,π)且 sin(α+β)= ,cosβ=- .求 sinα. 2 2 65 13 π 5 12 解析:∵β∈( ,π),cosβ=- ,∴sinβ= . 2 13 13 π π 又∵0<α< , <β<π, 2 2 π 3π 33 ∴ <α+β< ,又 sin(α+β)= , 2 2 65

π ∴ <α+β<π, 2 cos(α+β)=- 1-sin2(α+β) 33 56 =- 1-( )2=- , 65 65 ∴sinα=sin[(α+β)-β] =sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ 33 5 56 12 3 = · (- )-(- )· = . 65 13 65 13 5 18.(2009· 浙江金华)(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=Asin(wx+φ),(A>0,w>0,|φ|<

π ,x∈R)的图象的一部分如图所示. 2

(1)求函数 f(x)的解析式; 2 (2)当 x∈[-6, ]时,求函数 y=f(x)+f(x+2)的最大值与最小值及相应的 x 的值. 3 解析:(1)由图象知 A=2,T=8, 2π π ∵T= w =8,∴w= . 4 又∵图象经过点(-1,0), π ∴2sin(- +φ)=0. 4 π π ∵|φ|< ,∴φ= , 2 4 π π ∴f(x)=2sin( x+ ). 4 4 (2)y=f(x)+f(x+2) π π π π π =2sin( x+ )+2sin( x+ + ) 4 4 4 2 4 π π =2 2sin( x+ ) 4 2 π =2 2cos x, 4 2 3π π ∵x∈[-6, ],∴- ≤x≤ . 3 2 6

π ∴当 x=0,即 x=0 时, 4 y=f(x)+f(x+2)的最大值为 2 2, π 当 x=-π,即 x=-4 时,最小值为-2 2. 4 19.(2009· 福州质检)(本小题满分 12 分)已知 f(x)=sin2wx+ 3 1 sin2wx- (x∈R,w>0),若 2 2

f(x)的最小正周期为 2π. (1)求 f(x)的表达式和 f(x)的单调递增区间; π 5π (2)求 f(x)在区间[- , ]上的最大值和最小值. 6 6 3 1 1 3 1 3 1 解析: (1)由已知 f(x)=sin2wx+ sin2wx- = (1-cos2wx)+ sin2wx- = sin2wx- 2 2 2 2 2 2 2 π cos2wx=sin(2wx- ). 6 2π 1 又由 f(x) 的周期为 2π,则 2π= ?2w=1?w= , 2w 2 π ?f(x)=sin(x- ), 6 π π π π 2π 2 kπ- ≤x- ≤2kπ+ (k∈Z)?2kπ- ≤x≤2kπ+ (k∈Z), 2 6 2 3 3 即 f(x)的单调递增区间为 π 2π [2kπ- ,2kπ+ ](k∈Z). 3 3 π 5π π 5π π π π 5π π π π 2π (2) 由 x∈[ - , ] ? - ≤x≤ ? - - ≤x - ≤ - ? - ≤x - ≤ ? sin( - 6 6 6 6 6 6 6 6 6 3 6 3 π π π 3 π )≤sin(x- )≤sin .∴- ≤sin(x- )≤1. 3 6 2 2 6 π 5π 3 故 f(x)在区间[- , ]的最大值和最小值分别为 1 和- . 6 6 2 π 3 20.(2009· 大同模拟)(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=2cosx· sin(x+ )- . 3 2 (1)求函数 f(x)的最小正周期 T; (2)在给定的坐标系中,用“五点法”作出函数 f(x)在一个周期上的函数.

π 3 解析:(1)f(x)=2cosx· sin(x+ )- 3 2 π π 3 =2cosx(sinxcos +cosxsin )- 3 3 2 1 3 3 =2cosx( sinx+ cosx)- 2 2 2 3 =sinxcosx+ 3· cos2x- 2 1+cos2x 1 3 = sin2x+ 3· - 2 2 2 1 3 = sin2x+ cos2x 2 2 π =sin(2x+ ). 3 2π 2π ∴T= = =π. |w| 2 即函数 f(x)的最小正周期为 π. (2)列表: x π 2x+ 3 π sin(2x+ ) 3 描点画图: - π 6 π 12 π 2 1 π 3 π 7π 12 3 π 2 -1 5π 6 2π

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21.(本小题满分 12 分)已知 tanα、tanβ 是方程 x2-4x-2=0 的两个 实根,求:cos2(α+β) +2sin(α+β)cos(α+β)-3sin2(α+β)的值. 解析:由已知有 tanα+tanβ=4, tanα· tanβ=-2, tanα+tanβ 4 ∴tan(α+β)= = , 1-tanαtanβ 3 2 cos (α+β)+2sin(α+β)cos(α+β)-3sin2(α+β) cos2(α+β)+2sin(α+β)cos(α+β)-3sin2(α+β) = cos2(α+β)+sin2(α+β) 1+2tan(α+β)-3tan2(α+β) = 1+tan2(α+β) 4 16 1+2× -3× 3 9 3 = =- . 16 5 1+ 9 22. (2009· 河南郑州模拟)(本小题满分 12 分)已知 A、 B、 C 三点的坐标分别是 A(3,0)、 B(0,3), π 3π C(cosα,sinα),其中 <α< . 2 2 → → (1)若|AC|=|BC|,求角 α 的值; 2sin2α+sin2α → → (2)若AC· BC=-1,求 的值. 1+tanα → → 解析:(1)AC=(cosα-3,sinα),BC=(cosα,sinα-3), → → → → ∵|AC|=|BC|,∴|AC|2=|BC|2, 2 2 即(cosα-3) +sin α=cos2α+(sinα-3)2, 化简得 sinα=cosα. π 3π 5π ∵ <α< ,∴α= . 2 2 4 → → (2)-1=AC· BC=cosα(cosα-3)+sinα(sinα-3)=1-3(sinα+cosα), 2 ∴sinα+cosα= . 3

5 于是 2sinα· cosα=(sinα+cosα)2-1=- , 9 2 2sin α+sin2α 2sinα(sinα+cosα) 5 故 = =2sinα· cosα=- . 9 1+tanα cosα+sinα cosα


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