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抛物线(学生用)


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抛物线
1.抛物线的定义 平面内到一定点和到一定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 定点为抛物线的焦点,定直线为抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程及几何性质 标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0)

图形

/>
顶点 轴 焦点 准线 离心率 M(x0,y0)焦半径

(0,0) 对称轴 y=0 F(

(0,0) 对称轴 y=0 F(-

(0,0) 对称轴 x=0 F(0,

(0,0) 对称轴 x=0 F(0,-

p ,0) 2 p x=2
e=1

p ,0) 2 p x= 2
e=1

p ) 2 p y=2
e=1

p ) 2 p y= 2
e=1

|MF|=x0+

p 2

|MF|=-x0+

p 2

|MF|=y0+

p 2

|MF|=-y0+

p 2

二、点击双基 1. 在抛物线 y2=2px 上,横坐标为 4 的点到焦点的距离为 5,则 p 的值为( A.



1 2

B.1

C.2

D.4

2. 设 a≠0,a∈R,则抛物线 y=4ax2 的焦点坐标为( A.(a,0) B.(0,a) C.(0,

) D.随 a 符号而定

1 ) 16 a

3. 以抛物线 y2=2px(p>0)的焦半径|PF|为直径的圆与 y 轴的位置关系为( A.相交 B.相离 C.相切 D.不确定



4. 以椭圆

x2 y2 + =1 的中心为顶点,以椭圆的左准线为准线的抛物线与椭圆右准线交于 A、B 两点, 25 16

则|AB|的值为__________________. 5. 对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件: ①焦点在 y 轴上;②焦点在 x 轴上;③抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6;④抛物线的通 径的长为 5;⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1). 能使这抛物线方程为 y2=10x 的条件是_____________________.(要求填写合适条件的序号)

1

益阳新起点培训学校 6. 求满足下列条件的抛物线的标准方程,并求对应抛物线的准线方程: (1)过点(-3,2); (2)焦点在直线 x-2y-4=0 上.

7. 已知定点 F(1,0),动点 P 在 y 轴上运动,过点 P 作 PM 交 x 轴于点 M,并延长 MP 到点 N,且

PM · PF =0,| PM |=| PN |.
(1)求动点 N 的轨迹方程; (2)直线 l 与动点 N 的轨迹交于 A、B 两点,若 OA · OB =-4,且 4 6 ≤| AB |≤4 30 ,求直线 l 的 斜率 k 的取值范围.

题组一

抛物线的定义及应用

1. 已知抛物线的顶点在原点,焦点在 y 轴上,抛物线上的点 P(m,-2)到焦点的距离为 4,则 m 的值 为 A.4 B.-2 C.4 或-4 ( )

D.12 或-2

2.过点 M(1,0)作直线与抛物线 y2=4x 交于 A、B 两点,则

1 1 + =________. |AM| |BM|

题组二

抛物线的标准方程及几何性质 ( )

3. 抛物线 y=4x2 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 到 x 轴的距离是 17 A. 16 7 B. 8 C.1 15 D. 16

4. 设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2=ax(a≠0)的焦点 F,且和 y 轴交于点 A.若△OAF(O 为坐标原 点)的面积为 4,则抛物线方程为 A.y2=± 4x B.y2=± 8x ( C.y2=4x ) D.y2=8x

2

益阳新起点培训学校 5.已知抛物线 C 的顶点为坐标原点,焦点在 x 轴上,直线 y=x 与抛物线 C 交于 A,B 两点.若 P(2,2)为 AB 的中点,则抛物线 C 的方程为________________.

题组三

直线与抛物线的位置关系 ( )

6. 已知过抛物线 y2=6x 焦点的弦长为 12,则此弦所在直线的倾斜角是 π 5π A. 或 6 6 π 3π B. 或 4 4 π 2π C. 或 3 3 π D. 2

7.已知 M(a,2)是抛物线 y2=2x 上的一定点,直线 MP、MQ 的倾斜角之和为 π,且分别与抛物线 交于 P、Q 两点,则直线 PQ 的斜率为 A.- 1 4 1 B.- 2 1 C. 4 ( 1 D. 2 )

1 8.已知抛物线 C 的方程为 x2= y,过点 A(0,-1)和点 B(t,3)的直线与抛物线 C 没有公共点,则 2 实数 t 的取值范围是 A.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-∞,-2 2)∪(2 2,+∞) B. -∞,- ( )

? ?

2? ? 2 ? ∪ ,+∞ 2? ?2 ?

D.(-∞,- 2)∪( 2,+∞)

9.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 与抛物线 y2=4x 相交于不同的 A、B 两点.

OB (1)如果直线 l 过抛物线的焦点,求 OA · 的值; OB (2)如果 OA · =-4,证明直线 l 必过一定点,并求出该定点. ??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

3


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