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专题七 平面向量及运用


专题七

平面向量及其运用

【考点聚焦】 考点 1:向量的概念、向量的加法和减法、实数与向量的积. 考点 2:向量的坐标运算、平面向量的数量积. 考点 3:解斜三角形. 考点 4:线段的定比分点、平移公式. 考点 5:向量的运用. 【自我检测】 1、 _______________________叫做向量; 2、 ____________

__叫做共线向量(平行向量) ; 3、 ______________叫做相等向量; 4、 ______________叫做单位向量. 5、 向量加法法则是_____,________.减法法则是________. 6、 设 a=(x1,y1) ,b=(x2,y2) ? ? R , a+ b=______,它满足的运算性质有________________. a- b=______,它满足的运算性质有________________. ? a=______,它满足的运算性质有________________. =____=_____,它满足的运算性质有____________. cos< a, b>=____________=__________________. a∥ b ? ____=_________;a⊥ b ? _____=_______. 7、 正弦定理的内容是____________________________. 8、 余弦定理的内容是____________________________. 9、定比分点坐标公式是______________(其中 ? =______). 10、平移公式是 ____________________. 【重点 ? 难点 ? 热点】 问题 1:向量的有关概念与运算 此类题经常出现在选择题与填空题中,在复习中要充分理解平面向量的相关概念,熟 练掌握向量的坐标运算、数量积运算,掌握两向量共线、垂直的充要条件. 例 1:已知 a 是以点 A(3,-1)为起点,且与向量 b = (-3,4)平行的单位向量,则向量 a 的终点坐标是 . 思路分析:与 a 平行的单位向量 e=±
a

|a|

方法一:设向量 a 的终点坐标是(x,y),则 a =(x-3,y+1),则题意可知
12 18 ? ? ?x ? 5 ?x ? 5 ? 4 ( x ? 3 ) ? 3 ( y ? 1) ? 0 ? ?  解得 ? 或? ? 2 2 ( x - 3) ? y +1) ? 1 ( ? ?y ? ? 1 ?y ? ? 9 ? ? 5 5 ? ?

,故填 (

12 5

,-

1 5

)或(

18 5

,-

9 5

)

1

方法二 与向量 b = (-3,4)平行的单位向量是±

1 5

(-3,4),故可得 a=±(-

3 5

,

4 5

),从而

向量 a 的终点坐标是(x,y)= a-(3,-1),便可得结果. 点评:向量的概念较多,且容易混淆,在学习中要分清、理解各概念的实质,注意区 分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念. 例 2:已知| a |=1,| b |=1,a 与 b 的夹角为 60°, x =2a-b,y=3b-a,则 x 与 y 的夹角是 多少? 思路分析:要计算 x 与 y 的夹角 θ,需求出|x|,|y|,x?y 的值.计算时要注意计算的准确 性. 解:由已知|a|=|b|=1,a 与 b 的夹角 α 为 60°,得 a?b=|a||b|cosα= 要计算 x 与 y 的夹角 θ,需求出|x|,|y|,x?y 的值. ∵|x|2=x2=(2a-b)2=4a2-4a?b+b2=4-4? |y|2=y2=(3b-a)2=9b2-6b?a+a2=9-6?
1 2 1 2 1 2

.

+1=3,

+1=7.

x?y=(2a-b)?(3b-a)=6a?b-2a2-3b2+a?b =7a?b-2a2-3b2 =7? 又∵x?y=|x||y|cosθ,即-
21 14
3 2 1 2

-2-3=-

3 2



= 3 ? 7 cosθ,
21 14 21 14

∴cosθ=-

,θ=π-arccos

.即 x 与 y 的夹角是 π-arccos

点评:①本题利用模的性质|a|2=a2,②在计算 x,y 的模时,还可以借助向量加法、减法 的几何意义获得:如图所示,设 AB =b, AC =a, AD =2a,∠BAC=60°.由向量减法的几何 意义, BD = AD - AB =2a-b.由余弦定理易得| BD |= 3 , 得 即|x|= 3 , 同理可得|y|= 7 . 问题 2:平面向量与函数、不等式的综合运用 当平面向量给出的形式中含有未知数时,由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于 该未知数的关系式.在此基础上,可以设计出有关函数、不等式的综合问题.此类题的解题 思路是转化为代数运算,其转化途径主要有两种:①利用向量平行或垂直的充要条件,② 利用向量数量积的公式和性质. 例 3.已知平面向量 a=( 3 ,-1),b=( 1 ,
2
3 2

).

(1) 若存在实数 k 和 t,便得 x=a+(t2-3)b, y=-ka+tb,且 x⊥y,试求函数的关系
2

式 k=f(t); (2) 根据(1)的结论,确定 k=f(t)的单调区间. 思路分析:①欲求函数关系式 k=f(t),只需找到 k 与 t 之间的等量关系,k 与 t 之间的 等量关系怎么得到?②求函数单调区间有哪些方法?(导数法、定义法)导数法是求单调 区间的简捷有效的方法? 解: (1)法一:由题意知 x=(
t
2

?2 3 ?3 2

,

3t

2

?2 3 ?2 2

),

y=(

1 2

t- 3 k,

3 2

t+k),又 x⊥y

故x· y=

t

2

?2 3 ?3 2

× (

1 2

t- 3 k)+
1 4

3t

2

?2 3 ?2 2

× (

3 2

t+k)=0.

整理得:t3-3t-4k=0,即 k=

t3-

3 4

t.

法二:∵a=( 3 ,-1),b=(

1 2

,

3 2

), ∴. a =2, b =1 且 a⊥b
1 4

∵x⊥y,∴x · y=0,即-k a 2+t(t2-3) b 2=0,∴t3-3t-4k=0,即 k= (2) 由(1)知:k=f(t) =
1 4

t3-

3 4

t

t3-

3 4

t ∴kˊ=fˊ(t) =

3 4

t3-

3 4

,

令 kˊ<0 得-1<t<1;令 kˊ>0 得 t<-1 或 t>1. 故 k=f(t)的单调递减区间是(-1, 1 ),单调递增区间是(-∞,-1)和(1,+∞). 点评: 第(1)问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法:一是先利用向量的 坐标运算分别求得两个向量的坐标,再利用向量垂直的充要条件;二是直接利用向量垂直 的充要条件,其过程要用到向量的数量积公式及求模公式,达到同样的求解目的(但运算 过程大大简化,值得注意).第(2)问中求函数的极值运用的是求导的方法,这是新旧知 识交汇点处的综合运用. 演变 3: 已知平面向量 a =( 3 ,-1), b =(

?

?

1 2



3 2

),若存在不为零的实数 k 和

? ? ? ? ? ? ? ? 角α ,使向量 c = a +(sinα -3) b , d =-k a +(sinα ) b ,且 c ⊥ d ,试求实数 k 的取
值范围. 点拨与提示:将例题中的 t 略加改动,旧题新掘,出现了意想不到的效果,很好地考
3

查了向量与三角函数、不等式综合运用能力. 演变 4:已知向量 a ? (1, 2 ), b ? ( ? 2 ,1) ,若正数 k 和 t 使得向量
x ? a ? (t
2

? 1) b与 y ? ? k a ?

1 t

b 垂直,求 k 的最小值.

点拨与提示: (1)利用向量垂直的充要条件找到 k 与 t 之间的等量关系.(2)利用均值不 等式求最值. 问题 3:平面向量与三角函数的综合运用 向量与三角函数结合,题目新颖而又精巧,既符合在知识的“交汇处”构题,又加强 了对双基的考查. 例 4.设函数 f (x)=a · b,其中向量 a=(2cosx , 1), b=(cosx, 3 sin2x), x∈R. (1)若 f(x)=1- 3 且 x∈[-
?
3



?
3

],求 x;
?
2

(2) 若函数 y=2sin2x 的图象按向量 c=(m , n) ( m ﹤ 象,求实数 m、n 的值.

)平移后得到函数 y=f(x)的图

思路分析:本题主要考查平面向量的概念和计算、平移公式以及三角函数的恒等变换 等基本技能, 解: (1)依题设,f(x)=(2cosx,1) ?(cosx, 3 sin2x) =2cos2x+ 3 sin2x=1+2sin(2x+
?
6

?
6

)

由 1+2sin(2x+ ∵-
?
3

)=1- 3 ,得 sin(2x+ , ∴-
?
2

?
6

)=-

3 2

.

≤x≤
?
6

?
3

≤2x+
?
4

?
6



5? 6

,

∴2x+

=-

?
3

, 即 x=-

.

(2)函数 y=2sin2x 的图象按向量 c=(m , n)平移后得到函数 y=2sin2(x-m)+n 的 图象,即函数 y=f(x)的图象. 由(1)得 f (x)= 2 sin 2 ( x ?
?
12 )?1

∵m <

?
2



∴m=-

?
12

,n=1.

点评: ①把函数的图像按向量平移,可以看成是 C 上任一点按向量平移,由这些 点平移后的对应点所组成的图象是 Cˊ,明确了以上点的平移与整体图象平移间的这种关 系,也就找到了此问题的解题途径.②一般地,函数 y=f (x)的图象按向量 a=(h , k)平移后
4

的函数解析式为 y-k=f(x-h) 演变 5:已知 a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ)(0<α<β<π), (1)求证: a+b 与 a-b 互相垂直; (2)若 ka+b 与 a-kb 的模大小相等(k∈R 且 k≠0),求 β-α 问题 4:平面向量与解析几何的综合运用 由于向量既能体现“形”的直观位置特征,又具有“数”的良好运算性质,是数形结 合与转换的桥梁和纽带,因此在向量与解析几何交汇处设计试题,已逐渐成为高考命题的 一个新的亮点.平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问 题的处理,解决此类问题基本思路是将几何问题坐标化、符号化、数量化,从而将推理转 化为运算;或者考虑向量运算的几何意义,利用其几何意义解决有关问题. 例 5:椭圆的中心是原点 O,它的短轴长为 2 2 ,相应于焦点 F(c, 0)(c>0)的准线 l 与 x 轴相交于点 A, OF ? 2 FA . 过点 A 的直线与椭圆相交于 P、Q 两点. (Ⅰ)求椭圆的方程及离心率; (Ⅱ)设 AP ? ? AQ ( ? ? 1) ,过点 P 且平行于准线 l 的直线与椭圆相交于另一点 M,证 明: FM ? ? ? FQ . 解: (Ⅰ) 椭圆方程为
x
2

?

y

2

? 1 ,离心率 e ?

6 3

.

6

2

(Ⅱ)证明:设 P(x1,y1),Q (x2,y2),又 A(3,0) AP ? ( x 1 ? 3 , y 1 ), AQ ? ( x 2 ? 3 , y 2 ) , 由已知得方程组: x 1 ? 3 ? ? ( x 2 ? 3 ), y 1 ? ? y 2 ; 注意λ >1,消去 x1、y1 和 y2 得 x 2 ?
5? ? 1 2?

x1 6

2

?

y1 2

2

? 1;

x2 6

2

?

y2 2

2

? 1.

, 因 F(2 , 0), M(x1,-y1) ,
1? ? 2 ,? y1 ) ? ? ? (

故 FM ? ( x 1 ? 2 , ? y 1 ) ? ( ? ( x 2 ? 3 ) ? 1, ? y 1 ) ? ( 而 FQ ? ( x 2 ? 2 , y 2 ) ? (
? ?1
2? , y 2 ) .所以

? ?1
2?

, y 2 ).

FM ? ? ? FQ .

点评:运用向量共线的充要条件来处理解几中有关平行、共线等问题思路清晰,易于操 作,比用斜率或定比分点公式研究这类问题要简捷的多. 演变 6:已知椭圆方程
x
2

? y

2

? 1 ,过 B(-1,0)的直线 l 交随圆于 C、D 两点,

4

交直线 x=-4 于 E 点,B、E 分 CD 的比分λ 1、λ 2.求证:λ 1+λ 2=0
5

点拨与提示:利用 CB ? ? 1 BD 和 CE ? ? 2 ED ,将λ 1 和λ 2 用 C、D 两点的坐标表示 出来,再相加可得结论. 例 6.设 p>0 是一常数,过点 Q(2p,0)的直线与抛物线 y2 =2px 交于相异两点 A、B,以线段 AB 为直径作圆 H(H 为圆 心) ,试证明抛物线顶点在圆 H 的圆周上;并求圆 H 的面积最 小时直线 AB 的方程. 思路分析:要证点 O 在圆 H 上,只要证 OA⊥OB,可转化
OB 为向量运算 OA · =0,用向量运算的方法证明. (见图 1)

解:由题意,直线 AB 不能是水平线,故可设直线方程为: ky=x-2p 又设 A(xA,yA),B(xB,yB), 则其坐标满足
? ky ? x ? 2 p 消去 x,得 y2-2pky-4p2=0 ? 2 y ? 2 px ?

由此得 ?

? y A ? y B ? 2 pk ? y A y B ? ?4 p
2

xA+xB=4p+k (yA+yB) =(4+2k2)p , xAxB=

(yA yB ) (2 p )
2

2

=4P2

OB 因此 OA · =xAxB+yAyB=0,即 OA⊥OB,故 O 必在圆 H 的圆周上.

又由题意圆心 H(xH , yH)是 AB 的中点,
xH ? xA ? xB 2 ? (2 ? k )p
2


yH ?

yA ? yB 2

? kp

由前已证,OH 应是圆 H 的半径,且 OH = x H ? y H = p k
2 2

4

? 5k

2

?4

从而当 k=0 时,圆 H 的半径最小,亦使圆 H 的面积最小. 此时,直线 AB 的方程为:x=2p. 点评:运用向量的数量积,可以把有关的长度、角度、垂直等几何关系迅速转化为数 量关系,从而“计算”出所要求的结果. 演变 7:给定抛物线 C:y =4x,F 是 C 的焦点,过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点.
6
2

设 l 的斜率为 1,求 OA 与 OB 夹角的大小; 例 7:设 G、H 分别为非等边三角形 ABC 的重心与外心,A(0,2),B(0,-2)且
GM ? ? AB (λ ∈R).(Ⅰ)求点 C(x,y)的轨迹 E 的方程;

(Ⅱ)过点(2,0)作直线 L 与曲线 E 交于点 M、N 两点,设 OP ? OM ? ON ,是否 存在这样的直线 L,使四边形 OMPN 是矩形?若存在,求出直线的方程;若不存在, 试说明理由. 思路分析: (1)通过向量的共线关系得到坐标的等量关系.(2)根据矩形应该具备的 充要条件,得到向量垂直关系,结合韦达定理,求得 k 的值. 解: (1)由已知得 G ( , ∵CH=HA
x
2

???? ??? ? x ) , 又 G H ? ? A B ,∴ H ( , 0 ) 3 3 3 x 2 x 2 2 ∴(x ? ) ? y ? ( ) ? 4 3 3
x y



?

y

2

? 1( x ? ? 2 3 )
2 2 2 2

12

4

(2)设 l 方程为 y=k(x-2),代入曲线 E 得(3k +1)x -12k x+12(k -1)=0 设 N (x1,y1),M (x2,y2),则 x1 +x2=
??? ? ???? ???? ?
12k
2 2

3k ? 1

,x1 x2=

1 2 ( k ? 1)
2

3k ? 1
2

∵OP ? ON ? OM

,∴ 四边形 OMPN 是平行四边形.
???? ???? ?

若四边形 OMPN 是矩形,则 O N ? O M
1 2 ( k ? 1)
2

∴x1 x2+y1 y2=0 ∴

3k ? 1
2

?k (
2

1 2 ( k ? 1)
2

3k ? 1
2

?

24k
2

2

3k ? 1

? 4) ? 0 得 k= ?

3

∴ 直线 l 为:y= y ? ? 3 ( x ? 2 ) 点评:这是一道平面几何、解析几何、向量三者之间巧妙结合的问题.
??? ? ???? ??? ? 满足 O C ? ? O A ? ? O B ,其中 ? , ? ∈R 且 ? + ? =1,则点 C 的轨迹方程为(

演变 8:平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点 A(3, 1),B(-1, 3), 若点 C ).

A.3x+2y-11=0 C.2x-y=0

B.(x-1)2+(y-2)2=5 D.x+2y-5=0

点拨与提示:本题主要考查向量的运算(几何形式或坐标形式)及直线的方程,把向 量联系起来,使问题立意更新,情景更好,内容更丰富.
7

专题小结 1、要充分理解平面向量的相关概念,熟练掌握向量的坐标运算、数量积运算,掌握 两向量共线、垂直的充要条件. 2、向量与函数、不等式的综合问题,解题思路是转化为代数运算,其转化途径主要 有两种:①利用向量平行或垂直的充要条件,②利用向量数量积的公式和性质. 3、平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的 处理,解决此类问题基本思路是将几何问题坐标化、符号化、数量化,从而将推理转化为 运算;或者考虑向量运算的几何意义,利用其几何意义解决有关问题. 【临阵磨枪】 1.已知向量 a ? (1, 2 ), b ? ( ? 2 , ? 4 ), | c |?
5 , 若 (a ? b) ? c ? 5 2 , 则 a与 c的夹角为





A 30° B 60° C 120° D 150° 2.已知点 M1(6,2)和 M2(1,7) ,直线 y=mx-7 与线段 M1M2 的交点分有向线段 M1M2 的比为 3:2,则的值为 ( ) A
? 3 2 ? 6 ?

B

?

2 3

C

1 4

D 4 )

3.已知 a,b 是非零向量且满足(a-2b)⊥a, (b-2a)⊥b,则 a 与 b 的夹角是( A B C
2?

D

5? 6
2 co s ? ,

3 3 ??? ? ???? ???? 4. 已知向量 O B =(2, 0),向量 O C = (2, , 2) 向量 C A = (

???? 2 sin ? ) 则向量 O A ,

与向量 O B 的夹角的范围为 A [0,
? 4

??? ?


5? 12





B [

? 4





C [

5? 12



? 2



D [

? 12



5?

] )

12 ???? ??? ? 5.设坐标原点为 O,抛物线 y2=2x 与过焦点的直线交于 A,B 两点,则 O A ?O B =(

A

3 4

B

?

3 4

C 3

D -3
??? ?

6.O 是平面上一定点,A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足 O P = O A +λ (),
? ? [ 0 , ? ? ) ,则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的(

????

) D 垂心

A 外心

B 内心

C 重心

7.点 P 在平面上作匀速直线运动,速度向量 v ? (4, ? 3) (即点 P 的运动方向与 v 相同, 且每秒移动的距离为 v 个单位) .设开始时点 P 的坐标为(-10,10) ,则5秒后点 P
8

的坐标为( ) A (-2,4) B (-30,25) C (10,-5) D (5,-10) 8.已知向量 a ≠ e ,| e |=1,对任意 t∈R,恒有| a -t e |≥| a - e |,则( A
? ? a ⊥e ? ? ? ? ? ? ?


? ?

B

? ? ? a ⊥( a - e )

C e ⊥( a - e )

?

?

?

D ( a + e )⊥( a - e )

?

?

9. 是△ABC 所在平面上一点, PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA , P 是△ABC 的 P 若 则 (D ) A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 4 4 4 2 2 2 10.△ABC 中,若 a +b +c =2c (a +b ),则∠C 度数是: A 60
0

B 45 或 135

0

0

C 120

0

D 30

0

11.已知向量 a=( co s ? , sin ? ),向量 b=( 3 , ? 1 ),则|2a-b|的最大值是 12.把函数 y=2x2-4x+5 的图像按向量 a 平移,得到 y=2x2 的图像,且 a⊥b,c=(1,-1), b?c=4,则 b= 13 . 已 知 平 面 上 三 点 A 、 B 、 C 满 足 | AB |=3,| BC |=4 , | CA |=5, 则
AB ? BC ? BC ? CA ? CA ? AB 的值等于

.

14.在 ? ABC 中,O 为中线 AM 上一个动点,若 AM=2,则 OA ? ( OB ? OC ) 的最小值是 _____. π π 15.已知向量 a=(sinθ,1),b=(1,cosθ),- <θ< . 2 2 (Ⅰ)若 a⊥b,求 θ; (Ⅱ)求|a+b|的最大值. 16.06 年江西卷)如图,已知△ABC 是边长为 1 的正三角 形,M、N 分别是 边 AB、AC 上的点,线段 MN 经过△ABC 的中心 G, ? 2? 设?MGA=?( ? ? ? )
3 3

A

(1) 试将△AGM、△AGN 的面积(分别记为 S1 与 S2) 表示为?的函数 (2) 求 y=
1 S1
2

?
M B D

N



1 S2
2

的最大值与最小值

C

17.已知定点 F(1,0) ,动点 P 在 y 轴上运动,过点 P 作 PM 交 x 轴于点 M,并延长 MP 至点 N,且 PM ? PF ? 0 , PN ? PM .(1)求动点 N 的 轨迹方程; (2)直线 l 与动点 N 的轨迹交于 A、B 两点,若 OA ? OB ? ? 4 且 4 6 ≤ AB ≤ 4 30 ,
9

求直线 l 的斜率的取值范围.
MN , PM · PN , NM · 成公差 NP 18.已知两点 M(-1,0), N(1 , 0),且点 P 使 MP ·

小于零的等差数列.(Ⅰ)点 P 的轨迹是什么曲线? (Ⅱ)若点 P 坐标为(x0、y0) ,记θ 为 PM 与 P N 的夹角,求 tanθ . 答案与提示: 1.C 提示:设 c ? ( x , y ) ,则 ( a ? b ) ? c ? ( ? 1, ? 2 ) ? ( x , y ) ? ? x ? 2 y ?
? | c |?
?

??? ?

?

?

?

5 2

,又

1 ? ? ? ? 5 ,所以 a ? c ? x ? 2 y ? | a | ? | c | ? cos ? ,得 co s ? ? ? , ? ? 120 ? , 2
6? 3 2 1?
2 2

?1 3 2 ? 3, y ?

2?

3 2

?7 3 2 ? 5 ,代入直线方程可得.

2. D 提示:设交点 M(x,y) x ? ,

1?

3. B 提示:a -2b?a=0 且 b -2a?b=0,相减得|a|=|b|,代入其中一式即可. 4. D 提示:点 C 的轨迹是以(2,2)为圆心, 2 为半径的圆.
????
??? ?

5. B 提示:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) O A ? O B =x1x2+y1y2= , 方程 y=k(x-0.5)代入抛物线方程消去 x 可得 y1y2. 6. B 提示:
AB | AB |

( y1 y 2 ) 4

2

? y 1 y 2 ,将直线

表示 AB 方向上的单位向量,

AC | AC |

表示 AC 方向上的单位向量,

???? ???? AB AC ????? ? ????? 在∠BAC 的平分线上,故 P 点的轨迹过三角形的内心. | AC | | AC |

7.C 提示:设 5 秒后点 P 运动到点 A,则 P A ? P O ? O A ? 5V ? (20, ? 15) , ∴ O A ? (2 0, ? 1 5) ? ( ? 1 0,1 0 ) =(10,-5). 8.C 提示:由| a -t e |≥| a - e |得| a -t e | ≥| a - e | ,展开并整理得 , 得 e(a ? e) ? 0
? ? ? ??? ?

??? ?

????

??? ?

??

?

?

?

?

?

?

2

?

?

2

?? ?? ?? ?? 2 2 t ? 2 a et ? 2 a e ? 1 ? 0,由 t ? R , 得 ? ? ( ? 2 a e ) ? 4 ? 8 a e ? 0 ? ? ? a ? (a ? e) .

, 即

9.D 提示:由 PA ? PB ? PB ? PC 得 PA ? PB ? PB ? PC ? 0 .
10

即 PB ? ( PA ? PC ) ? 0 , 即 PB ? CA ? 0 , 则 PB ? CA ,同理 PA ? BC , PC ? AB 所以 P 为 ? ABC 的垂心. 4 4 4 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 10. 提示: a +b +c =2c (a +b )得: +b +c -2a c -2b c +2a b =2a b ,即(a +b -c ) =2a b B 由 a a +b -c = ?
2 2 2

2 ab,

a

2

?b ?c
2

2

? ?

2 2

? cos C

2 ab

11. 4 12. (3, -1) 13.-25 提示:因 AB⊥BC, AB ? BC ? 0 , BC ? CA ? ? CB ? CA ? ? 5 ? 3 ?
CA ? AB ? ? 16 ,所以原式=0-9-16=-25
3 5 ? ?9 ,

14





2







如 A

图, OA ? ( OB ? OC ) ? 2 ? OA ? OM ? ? 2 OA ? OM
OA ? OM ? ?2 ? ( 2 ) ,当 OA ? OM 取等号.
2

O B M C

即 OA ? ( OB ? OC ) 的最小值为:-2. 15. 解: (Ⅰ)若 a⊥b,则 sinθ+cosθ=0, π π π 由此得 tanθ=-1(- <θ< ),所以 θ=- ; 2 2 4 (Ⅱ)由 a=(sinθ,1),b=(1,cosθ)得 |a+b|= (sinθ+1)2+(1+cosθ)2= 3+2(sinθ+cosθ) = π 3+2 2sin(θ+ ), 4

π π 当 sin(θ+ )=1 时,|a+b|取得最大值,即当 θ= 时,|a+b|最大值为 2+1. 4 4 16. 解:因为 G 是边长为 1 的正三角形 ABC 的中心,
? x ( y ? 2) ? y(4 ? x ) ? 0 ? x ? 2y ? 0


,?MAG=
?
6

所以

AG=

2 3

?

3 2



3 3


3 6 sin ? + (

由正弦定理

GM sin

?
6



GA sin ? - ? - (

?
6

,得 G M =


?
6



11

则 S1=

1 2

GM?GA?sin?=
sin ? 1 2 sin ? - (

sin ? 1 2 sin ? + (

?
6



同理可求得 S2=

?
6


2

(1) y=

1 y1
2



1 y2
2



144
2

sin ?

〔 sin ( ? + 2? 3

?
6

) + sin ( ? -
2

?
6

)〕

=72(3+cot2?)因为 当?=
?
2

?
3

?? ?

,所以当?=

?
3

或?=

2? 3

时,y 取得最大值 ymax=240

时,y 取得最小值 ymin=216

17. 略解 (1)y2=4x (x>0) (2)先证明 l 与 x 轴不垂直,再设 l 的方程为 y=kx+b(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).联立直线与抛物线方程,得 ky - 4y+4b=0,由 OA ? OB ? ? 4 ,得 x 1 x 2 ? y 1 y 2 ? ? 4 . 又
y 1 ? 4 x1 , y 2 ? 4 x 2 , 故 y1 y 2 ? ? 8
1? k k
2 2
2



y1 y 2 ?

4b k

? b ? ?2k .

? AB

2

?

(

16 k
2

? 32 ) ? [ 96 , 480 ],
1 2 1 2

解得直线 l 的斜率的取值范围是 [ ? 1, ?

]?[

,1]

MN , PM · PN , NM · , NP 18.略解(Ⅰ)设点 P(x , y) ,分别计算出 MP ·

由题意,可得点 P 的轨迹方程是

x

2

? y

2

? 3 ( x ? 0)

故点 P 的轨迹是以原点为圆心、 3 为半径的右半圆. (Ⅱ) 由(Ⅰ)知, x 0 ? y 0 ? 3 ( x 0 ? 0 ) ,可得 cosθ =
2 2

PM ? PN PM PN

?

1 4 ? x0
2



又 x0 ? ( 0 , 3 ) ,∴ cos ? ?

1 4 ? x0
2

?(
2

1 2

, 1], 即 ? ? [ 0 ,

?
3

),

于 是

sin θ



1 ? cos ?



1?

1 4? x
2 0



3 ? x0 4? x

2

2 0



y0 4 ? x0
2



? tan ? ?

sin ? cos ?

? y0
12

(答案与点拨、提示,附在后面;原创题给详解,演变题给点拨,普通题给答案;一些 题目给演变角度) 【挑战自我】
???? ? ??? ? G M ? ? A B ( ? ∈R).⑴求点 C 的轨迹方程;

已知点 G 是△ABC 的重心, A(0, -1), 1), x 轴上有一点 M, B(0, 在 满足| M A |=| M C |,
??? ?

???? ?

???? ?

⑵若斜率为 k 的直线 l 与点 C 的轨迹交于不同两点 P,Q,且满足| A P |=| A Q |,试求 k 的取值范围. [分析] 本题依托向量给出等量关系,既考查向量的模、共线等基础知识,又考查动 点的轨迹,直线与椭圆的位置关系.通过向量和解析几何间的联系,陈题新组,考查基础知 识和基本方法.按照求轨迹方程的方法步骤,把向量问题坐标化,几何问题代数化. [解析] ⑴设 C(x, y),则 G(
x y

????

,

).∵ G M ? ? A B ( ? ∈R),∴GM//AB,
???? ?

???? ?

??? ?

又 M 是 x 轴上一点,则 M(
x x 3
x
2

3 3 x 3

???? ?

, 0).又| M A |=| M C |,

∴ ( ) ? (0 ? 1) ?
2 2

(

? x) ? y ,
2 2

3

整理得

? y ? 1( x ? 0 ) ,即为曲线 C 的方程.
2

3

⑵①当 k=0 时,l 和椭圆 C 有不同两交点 P,Q,根据椭圆对称性有| A P |=| A Q |. ②当 k≠0 时,可设 l 的方程为 y=kx+m, 联立方程组 y=kx+m
x
2

??? ?

????

? y ?1
2

3

消去 y,整理行(1+3k2)x2+6kmx+3(m2-1)=0(*) ∵直线 l 和椭圆 C 交于不同两点, ∴△=(6km)2-4(1+3k2)?( m2-1)>0,即 1+3k2-m2>0.

(1)
6km 1 ? 3k m
2 2

设 P(x1, y1),Q(x2, y2),则 x1, x2 是方程(*)的两相异实根,∴x1+x2=- 则 PQ 的中点 N(x0, y0)的坐标是 x0= 即 N(-
3k m
2

x1 ? x 2 2

=-

3k m 1 ? 3k
2

,y0= k x0+m=

1 ? 3k



1 ? 3k 1 ? 3k ???? ??? ? ???? ??? ? 又| A P |=| A Q |,∴ A N ⊥ P Q ,
2

,

m

),

13

m

∴k?kAN=k? 1 ? 3k
?
1 ? 3k 2
2

2

?1

3k m
2

=-1,∴m=

1 ? 3k 2

2

.

1 ? 3k

将 m=

代入(1)式,得 1+3k2-(

1 ? 3k 2

2

)2>0(k≠0) ,

即 k2<1,∴k∈(-1, 0)∪(0, 1). 综合①②得,k 的取值范围是(-1, 1).
对题目的要求:有较大的难度,有特别的解题思路、演变角度,要有一定的梯度. 【答案及点拨】 演变题要有点拨,原创题有详解,一般题给答案 2 演变 1:设夹角为 θ ,则 cosθ >0,( a+λ b) (λ a+b)>0,λ a2+(λ +1)ab+λ b2>0,∴2λ +(λ +1)2 2 cos45° +4λ >0,∴λ <
?e1=cosθi+sinθj 演变 2:①? ?e2=-sinθi+cosθj 2 e1= (i+j) 2 ② 方程为:x12-y12=2 曲线为双曲线. 2 e2= (-i+j) 2
2

?

5 ?3 2

或λ >

5 ?3 2

(λ ≠1).

? ? ?

演变 3:由条件可得:k=

1 4

( sinα -

3 2

)2-

9 16

,而-1≤sinα ≤1,
1 2

∴当 sinα =-1 时,k 取最大值 1; sinα =1 时,k 取最小值- 又∵k≠0 ∴k 的取值范围为 [ ?
1 2 , 0 ) ? (0,1] .

.

演变 4: x ? y ? x ? y ? 0即 [ a ? ( t

2

? 1) b ] ? ( ? k a ?

1 t

b) ? 0

? ?k a

2

?

t

2

?1 t

2

b

?

1 t

a ? b ? k (t

2

? 1) a ? b ? 0

∵ a ? (1, 2 ), b ? ( ? 2 ,1) ,∴| a |= 3 ,| b |= 3
a ? b =-
t ?1
2

2 +
1 t

2 , 代入上式

-3k+3

?t?

1 t

? 2

t

当且仅当 t= ,即 t=1 时,取“=”号,即 k 的最小值是 2.
14

演变 5: (1)证法一:∵a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ) ∴a+b=(cosα+cosβ,sinα+ sinβ), a-b=(cosα-cosβ,sinα- sinβ) ∴(a+b)· (a-b)=(cosα+cosβ,sinα+ sinβ)(cosα-cosβ,sinα- sinβ) ? 2 2 2 2 =cos α-cos β+sin α- sin β=0 ∴(a+b)⊥(a-b) 证法二:∵a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ) ∴|a|=1,|b|=1 2 2 2 2 ∴(a+b)· (a-b)= a -b =|a| -|b| =0 ∴(a+b)⊥(a-b) 证法三:∵a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ)∴|a|=1,|b|=1, 记 OA =a, OB =b,则| OA |=| OB |=1, 又 α≠β,∴O、A、B 三点不共线. 由向量加、减法的几何意义,可知以 OA、OB 为邻边的平行四边形 OACB 是菱形,其 中 OC =a+b, BA =a-b,由菱形对角线互相垂直,知(a+b)⊥(a-b) (2)解:由已知得|ka+b|与|a-kb|, 又∵|ka+b|2=(kcosα+cosβ)2+(ksinα+sinβ)2=k2+1+2kcos(β-α), |ka+b|2=(cosα-kcosβ)2+(sinα-ksinβ)2=k2+1-2kcos(β-α), ∴2kcos(β-α)= -2kcos(β-α) 又∵k≠0 ∴cos(β-α)=0 ? ∵0<α<β<π ∴0<β-α<π, ∴β-α=
2

注:本题是以平面向量的知识为平台,考查了三角函数的有关运算,同时也体现了向 量垂直问题的多种证明方法,常用的方法有三种,一是根据数量积的定义证明,二是利用 数量积的坐标运算来证明,三是利用向量运算的几何意义来证明. 演变 6:设 l 的方程为 y=k(x+1),代入椭圆方程整理得 2 2 2 2 (4k +1)x +8k x+4(k -1)=0. 设 C(x1,y2),D(x2,y2),则 x1+x2=-
8k 4k
2 2

?1

, x1 x 2 ?

4k 4k

2 2

?4 ?1

.

由 CB ? ? 1 BD 得

( ? 1 ? x 1 , ? y ) ? ? 1 ( x 2 ? 1, y 2 )
x1 ? 1 x2 ? 1

所以 ? 1 ? x 1 ? ? 1 ( x 2 ? 1), ? 1 ? ?

.

同理,记 E ( ? 4 , y E ), CE ? ? 2 ED 得 ? 4 ? x 1 ? ? 2 ( x 2 ? 4 ), ? 2 ? ?
x1 ? 4 x2 ? 4
15

? ?1 ? ? 2 ? ?

x1 ? 1 x2 ? 1

?

x1 ? 4 x2 ? 4

? ?

2 x1 x 2 ? 5 ( x1 ? x 2 ) ? 8 ( x 2 ? 1)( x 2 ? 4 )
4k 4k
2 2

其中

2 x1 x 2 ? 5 ( x1 ? x 2 ) ? 8 ? 2 ?

?4 ?1

?5?

8k 4k
2

2

?1

? 8 ? 0,

? ?1 ? ? 2 ? 0 .

演变 7:C 的焦点为 F(1,0),直线 l 的斜率为 1,所以 l 的方程为 y=x-1, 将 y=x-1 代入方程 y =4x,并整理得 x -6x+1=0 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则有 x1+x2=6, x1x2=1, 从而 OA ? OB =x1x2+y1y2=2x1x2-(x1+x2)+1=-3 ︱ OA ︱?︱ OB ︱= x 1 ? y 1 ? x 2 ? y 2 = 41 ,
2 2 2 2
2 2

3 41 cos OA , OB = OA ? OB = ?
OA ? OB

41

所以 OA 与 OB 夹角的大小为π -arcos

3 41 41

.

演变 8: (法一)设 C(x,y),则 OC =(x,y),由 OC =(x,y)= α(3,1)+ β(-1,3)=(3α-β, α+3β) ∴?
? x ? 3? ? ? ? y ? ? ? 3?

, (可从中解出 α、β)又∵α+β=1 消去 α、β 得 x+2y-5=0

(法二) 利用向量的几何运算,考虑定比分点公式的向量形式,结合条件知:A,B,C 三点共线,故点 C 的轨迹方程即为直线 AB 的方程 x+2y-5=0,故本题应选 D.

16


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