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北京市东城区2015-2016学年第一学期期末检测高三数学理


北京市东城区 2015-2016 学年第一学期期末教学统一检测 高三数学(理科) 2016.1

本试卷共 5 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题
要求的一项.

共 40 分)

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目

(1)已知集合 U ? {1, 2,3, 4} ,集合 A ? {1,3, 4} , B ? {2, 4} ,那么集合 (CU A) I B ? (A) {2} (B) {4} (C) {1,3} (D) {2, 4}

(2)已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,那么该三棱锥的体积等于

3

3

3

1

正(主)视图 1 3
俯视图 (A)

侧(左)视图

3 cm3 2

(B) 2 cm3

(C) 3 cm3

(D) 9 cm3

(3)设 i 为虚数单位,如果复数 z 满足 (1 ? 2i) z ? 5i ,那么 z 的虚部为 (A) ?1 (B) 1
2

(C) i
m

(D) ?i

(4)已知 m ? (0,1) ,令 a ? log m 2 , b ? m , c ? 2 ,那么 a, b, c 之间的大小关系为 (A)b ? c ? a (B)b ? a ? c (C) a ? b ? c (D)c ? a ? b

(5)已知直线 l 的倾斜角为 ? ,斜率为 k ,那么“ ? ? (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件

?
3

”是“ k ? 3 ”的

(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

1

?1 ? ? 1, 0 ? x ? 2 (6)已知函数 f ( x) ? ? x ,如果关于 x 的方程 f ( x) ? k 有两个不同的实根, ? ?ln x, x ? 2
那么实数 k 的取值范围是 (A) (1, ??)
2

(B) [ , ??)

3 2

(C) [e 2 , ??)

3

(D) [ln 2, ??)

(7)过抛物线 y ? 2 px (p ? 0) 的焦点 F 的直线交抛物线于 A, B 两点,点 O 是原点,如 果 BF ? 3 , BF ? AF , ?BFO ?

2? ,那么 AF 的值为 3
(C )
3
(D) 6

( A) 1

(B)

3 2

(8)如图所示,正方体 ABCD ? A?B?C ?D ? 的棱长为 1, E , F 分别是棱 AA? , CC ? 的中点, 过直线 E , F 的平面分别与棱 BB? 、 DD? 交于 M , N ,设 BM ? x , x ? (0,1) ,给出 以下四个命题: ① 四边形 MENF 为平行四边形; ② 若四边形 MENF 面积 s ? f ( x) , x ? (0,1) ,则 f ( x) 有最小 值; ③ 若四棱锥 A MENF 的体积 V ? p( x) , x ? (0,1) ,则
E D M B C A' D' N B' F C'

p ( x) 常函数;
④ 若多面体 ABCD ? MENF 的体积 V ? h( x ) , x ? ( ,1) , 则 h( x) 为单调函数. 其中假 命题 为 . ..

1 2

A

( A) ①

(B) ②

(C ) ③

(D)④

2

第二部分(非选择题
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

共 110 分)

0 0 (9) 在 ?ABC 中, a、 b 分别为角 A、 B 的对边,如果 B ? 30 , C ? 105 , a ? 4 ,那

么b ?

.
;如果

(10)在平面向量 a,b 中,已知 a ? (1,3) , b ? (2,y) .如果 a ? b ? 5 ,那么 y =

a + b ? a-b ,那么 y =

.

? x +y ? 10 , ? (11)已知 x, y 满足满足约束条件 ? x ? y ? 2 , ,那么 z ? x 2 ? y 2 的最大值为___. ?x ? 3 ?
(12)如果函数 f ( x) ? x2 sin x ? a 的图象过点 ( π,1) 且 f (t ) ? 2 .那么 a ? ;

f (?t ) ?



(13) 如果平面直角坐标系中的两点 A(a ? 1, a ? 1) ,B ( a , a ) 关于直线 l 对称, 那么直线 l 的 方程为__. (14)数列 {an } 满足: an?1 ? an?1 ? 2an (n ? 1, n ? N ) ,给出下述命题:
*

①若数列 {an } 满足: a2 ? a1 ,则 an ? an?1 (n ? 1, n ? N * ) 成立; ②存在常数 c ,使得 an ? c (n ? N * ) 成立; ③若 p ? q ? m ? n (其中p, q, m, n ? N ) ,则 a p ? aq ? am ? an ;
*

④存在常数 d ,使得 an ? a1 ? (n ? 1)d (n ? N * ) 都成立. 上述命题正确的是____.(写出所有正确结论的序号) 三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. (15) (本小题共 13 分) 设 {an } 是一个公比为 q ( q ? 0, q ? 1) 等比数列, 4a1 ,3a2 , 2a3 成等差数列,且它的前 4 项和 s4 ? 15 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)令 bn ? an ? 2n,(n ? 1, 2,3......) ,求数列 {bn } 的前 n 项和.

3

(16) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin
2

x ? 2 3sin x cos x ? cos2 x ( x ? R) .

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期和在 [0, π ] 上的单调递减区间; (Ⅱ)若 ? 为第四象限角,且 cos ? ?

3 ? 7π ) 的值. ,求 f ( ? 2 12 5

P
(17) (本小题共 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,

E D A B C

PA ? 底面 ABCD , AB ? AP , E 为棱 PD 的中点.
(Ⅰ)证明: AE ? CD ; (Ⅱ)求直线 AE 与平面 PBD 所成角的正弦值;

(Ⅲ)若 F 为 AB 中点,棱 PC 上是否存在一点 M ,使得 FM ? AC ,若存在, 求出

PM 的值,若不存在,说明理由. MC

(18) (本小题共 13 分) 已知椭圆

x2 y2 1 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的焦点是 F1、F2 ,且 F1F2 ? 2 ,离心率为 . 2 a b 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若过椭圆右焦点 F2 的直线 l 交椭圆于 A , B 两点,求 | AF2 |g | F2 B | 的取值范 围.

(19) (本小题共 14 分)

已知函数 f ( x) ?

ex ? a( x ? ln x) . x

(Ⅰ)当 a ? 1 时,试求 f ( x ) 在 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)当 a ? 0 时,试求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)若 f ( x ) 在 (0,1) 内有极值,试求 a 的取值范围.

4

(20) (本小题共 13 分)
* 已知曲线 Cn 的方程为: x ? y ? 1 (n ? N ) . n n

(Ⅰ)分别求出 n ? 1, n ? 2 时,曲线 Cn 所围成的图形的面积; (Ⅱ)若 Sn (n ? N ? ) 表示曲线 Cn 所围成的图形的面积,求证: Sn (n ? N ? ) 关于 n 是递 增的;

(III) 若 方 程 xn ? y n ? z n( n ? 2, n? N), xyz ? 0 , 没有正整 数解, 求 证:曲 线

Cn (n ? 2, n ? N ? ) 上任一点对应的坐标 ( x, y ) , x, y 不能全是有理数.

13 分

5


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