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2.4.2抛物线焦点弦的性质


书本P70

教学目标
1、进一步理解和掌握抛物线的概念, 并用于解决相关问题。 2、进一步理解数形结合、化归与转化 等数学思想与方法,并用于解决问题。 3、培养学生分析、探求、类比和归纳 的能力。 4、培养学生用联系的辨证的观点分析、 判断和解决问题的意识和能力



1、抛物线的定义



2、抛物线的焦点弦

一、复习

⒈焦点弦的定义:

⒉焦半径公式:
若M ( x , y )在焦点为F的抛C: 0 0
2

p 则|MF| = x0 ? 2

y ? 2 px ( p ? 0)上,
y y
M
H2 O O

⒊通径
| H1 H 2 |? 2 p
p x?? 2
H1

F F

x x

总结论 抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 的焦点弦性质:
2

?以下记AB为焦点弦,H1H 2为通径。 ?
1. 若A、B的纵坐标为 y1、y2,则 y1 y2 ? ? p 。
2

p 2. 若A、B的横坐标为 x1、x2,则x1 x2 ? . 4 2 3.若A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 )在抛C: y ? 2 px ( p ? 0) 上,则 y1 y2 ? ? p ? 直线AB过焦点F。
2

2

4.焦点弦长 | AB | ? x A ? xB ? p。 2p 5.焦点弦长 | AB | ? 2 sin ?

(其中? 为L AB的倾角)

6.焦点弦长 | AB | 小=2p。 p 7.S?AOB = . 2sin ? 8.以焦点弦AB为直径的圆与准线L相切. p 1 1 2 9.若x1x 2= ,则 ? ? 。 4 AF BF p 10.?MFN =90 .
0 2 2

二、抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 的焦点弦性质
2

课本P119习题 以下记AB为焦点弦,H1H 2为通径。 8.5的第7题 1. 若H1、H 2的纵坐标为 y1、y2,则 y1 y2 ? ? p 2 2. 若A、B的纵坐标为 y1、y2,则 y1 y2 ?? ? p 2
2 y y ? ? p 1) 若AB ? x轴,则由1.知 1 2

p 设 l AB : y ? k ( x ? ) 2) 若AB不垂直于 x轴,则 2 p ? y ? k( x ? 2 ) y 由? 2 ? y ? 2 px 2p 2 消x,得 : y ? y ? p2 ? 0 F k O

B

? y1 y2 ? ? p

2

x

A

二、抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 的焦点弦性质 下记AB为焦点弦,H1H 2为通径。
2

性质1:

若A、B的纵坐标为 y1、y2,则 y1 y2 ? ? p
2

2

p 1. 若A、B的横坐标为 x1、x2,则x1 x2 ? 4
2

2. 若直线与抛物线 y ? 2 px ( p ? 0)的两个交点 的纵坐标 是否经过焦点F ?分析: ? ? y1、y2,满足 y1 y2 ? ? p ,则该直线
2

2. 若直线与抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0)的两个交点的纵坐标y1、y2, 满足 y1 y2 ? ? p 2,则该直线是否经过焦 点F ?

设交点为A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ) p 1) 若 x1 ? x2,则| y1 | ? | y2 | ? p ? x1 ? x2 ?

?直线AB过焦点F
2) 若 x1 ? x2 , 则k AB
k AF ? y1 p x1 ? 2
? y1

2

2p 2 py1 2 py 1 2 ? ? 2 y1 p ? 2 2 y1 ? y1 y2 y1 ? y2 y1 ? p ? 2p 2

y2 ? y1 ? x2 ? x1

?

y2 ? y1 2p 2 2 y2 y1 ? ? y1 ? y2 2p 2p

y
F

? k AB ? k AF ?直线AB过焦点F

B

O 若A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 )在抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0)上, x A 2 则 y1 y2 ? ? p ? 直线AB过焦点F

3、已知抛物线y2=2px(p>0), 弦AB过焦点F, 准线为l,AM ? l,交y轴于点A1,BN? l,交y 轴于点B1,M、N为垂足 ,A(x1,y1),B(x2,y2). 求证: (1) AB = x1+x2+p (2) y1y2= -p2
p (3)x1x2= 4
2

p 焦半径 | AF | ? x A ? 2 焦点弦长 | AB | ? x A ? xB ? p

y
B

通径 | H1 H 2 | ? 2 p

2p 焦点弦长 | AB | ? 2 sin ?

(其中?为直线AB与

O

F A

x

? x1 ? x2 ? p ?

2 p 消 y,得:x 2 tan 2 ? ? ( p tan 2 ? ? 2 p) x ? tan 2 ? ? 0 4 2

p ? y ? ( x ? ) tan ? 2 由 ? 2 ? y ? 2 px
2p , 2 tan ?

的倾斜角) 对称轴的夹角) p p x?? 当? ? 90? 时, l AB : y ? ( x ? ) tan ? 2
2

x1 x2 ?

p 4

2p 2 p2 2 ? | AB |? 1 ? tan ? ( p ? ) ?4 2 tan ? 4

tan 2 ? ? 1 2p ? 2p ? 2 tan ? sin 2 ?

二、抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的焦点弦性质:
下记AB为焦点弦, H1 H 2为通径
O

y
F A

B

x

性质1

若A、B的纵坐标为 y1、y2,则 y1 y2 ? ? p 2
2

p 1. 若A、B的横坐标为 x1、x2,则x1 x2 ? 4 2 2. 若A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 )在抛物线 y ? 2 px ( p ? 0)上, 2 则 y1 y2 ? ? p ? 直线AB过焦点F

性质2

2p 2) 焦点弦长 | AB | ? 2 (其中? 为直线AB与 sin ? 对称轴的夹角) 3)焦点弦长 | AB | 小=2p。
2

1) 焦点弦长| AB | ? x1 ? x2 ? p

p 4) S?AOB = . 2sin ?
O

y
B F

x
A

⒈过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点作直线交抛物线于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 两点.若 x1 ? x2 ? 6 ,则|AB|= ___________ 8 ⒉过抛物线 y 24 ;一条焦点弦长为16,则弦所在的直线倾斜 为________ ? 2 或 ? . 角为 _________
3 3
2

3 ? 12 x 的焦点作倾斜角为 ? 的弦,则此弦长 4

分:焦点弦长 | AB | ? x1 ? x2 ? p

2p 分:焦点弦长 | AB | ? 2 (其中? 为直线AB与对称轴的夹角) sin ? m 2 ⒊过抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 的对称轴上有一点M (p, 0),

? y ? k ( x ? p) 2p 2 分:由 ? 2 ?y ? y ? 2 p 2 ? 0 ? y1 y2 ? ?2 p 2。 k ? y ? 2 px

作一条直线与抛物线交于 A、B两点,若A点纵坐标为 p ? ,则B点纵坐标为 ________ 4p 2

变1、若条件不变,求证:以焦点弦AB 为直径的圆与准线l相切.

问 题 探 讨

变1、若条件不变,求证:以焦点弦AB 为直径的圆与准线l相切.

问 题 探 讨

变1、若条件不变,求证:以焦点 弦AB为直径的圆与准线l相切

问 题 探 讨

变2、若x1x2=

p2 4

,其它条件不变

问 题 探 讨

1 1 2 求证: AF ? BF ? p 。

变3、若条件不变, (1)求 ?MFN (2)如何用语言表述这个结果?

问 题 探 讨

变3、若条件不变,

(1)求 ?MFN

问 题 探 讨

(2)如何用语言表述这个结果?

函数 图 象 性 质 1 2 3 4 5 6

y2=2px (p>0)

y2=-2py (p>0)

x2=2py (p>0)

x2=-2py (p>0)

|AF| =|AM|=x1+p/2 |AF|=|AM|=-x1+p/2 |AF|=|AM|=y1+p/2 |AB|=x1+x2+p 以焦点弦为直径的 圆与准线相切 |AB|=―x1―x2+p |AB|=y1+y2+p

|AF|=|AM|=-y1+P/2 |AB|=―y1―y2+p

同左 同左 同左

同左 y1y2=p2/4 同左

同左 同左 同左

x1x2=p2/4
1/ |AF| + 1/ |BF| =2/p

y1y2=-p2
以焦点弦在准线上的 射影为直径的圆与焦 点弦相切于焦点F

同左 同左

x1x2=-p2
同左

同左 同左

2 y ? 2 px的一条弦,O坐标原点, 4.若AB是抛物线 则OA ?OB 的充要条件是弦AB过点(2p,0)。

5.过抛物线 焦点的一条直线,与它交于P、Q两点, 经过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M,求证 直线MQ平行于抛物线的对称轴。

(课本P70例5)
变:设抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的焦点为F,经过点F 的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线的准线 上,且BC?? x轴,证明AC经过原点O。 (01高考)

思 考 分 析

变、设抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F ,经过点 F 的直线交抛物线于 A 、 B 两 点,点C在抛物线的准线上,且BC//x轴, 证明直线AC经过原点。 (01高考)

【思考提高】AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的一条弦,且

1 |AF|=1,|BF|= , 求抛物线及直线AB的方程. 3
【解题指南】设出A,B两点的坐标,根据抛物线定义可分别表 示出|AF|和|BF|,进而可求得|AF|+|BF|,求得x1+x2的表达 式,表示出|AF|·|BF|,建立等式求得p,则抛物线方程可得.

3 2p 4 2θ= , 从而利用特殊角的三角函 ? , 再由|AB|= 得 sin 4 sin 2 ? 3
数求出直线AB的斜率,由点斜式方程写出直线AB的方程.

【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2), 则|AF|= x1 ? , |BF|= x 2 ? , 则|AF|+|BF|=x1+x2+p=

p 2

4 所以x1+x2= ? p, 3
因为|AF|≠|BF|,

p 2 4 , 3

所以过焦点 ( p ,0) 的直线斜率存在且不为0,则可设AB的方程

2 p 为 y ? k(x ? ). 2

又因为A,B两点是直线AB与抛物线的交点,则

p ? 2 2p p ? y ? k(x ? ), 2 ? x 2 ? ( 2 ? p)x ? ? 0, ? k 4 ? y 2 ? 2px ? 2 所以x1·x2= p . 4 p p2 1 由|AF|·|BF|= x1 gx 2 ? ? x1 ? x 2 ? ? ? . 2 4 3 2 得 p ? p g( 4 ? p) ? 1 , 2 2 3 3 即 2p ? 1 , 所以 p ? 1 , 3 3 2
抛物线方程为y2=x.

设直线AB的倾斜角为θ,

又根据两点间的距离公式得|AB|2=(y2-y1)2+(x2-x1)2=(tan2θ+
1)(x2-x1)2, 由于直线AB过点 ( ,0), 设直线AB的方程为 y ? tan ?(x ? p ), 与抛物线方程联立得到:

p 2

2 1 tan2θx2-(tan2θ+2)px+ p2tan2θ=0, 4
那么(x2-x1)2=(x2+x1)2-4x1x2 =

tan 2? ? 2 2 p2 ( ? p) ? 4 ? 2 tan ? 4

1 , 4 tan ? 那么|AB|2=(tan2θ+1)(x2-x1)2
=4p2(tan2θ+1)×
2 1 4p =(tan2θ+1)×4p2(tan2θ+1)× 4 ? 4 . tan ? sin ?

2p 2p 4 3 2 ? AB ? ,由 AB ? ? , 得sin ? ? , ? 2 2 sin ? sin ? 3 4 3 sin ? ? ? , ? θ ? 60?或120?, 得k ? tan ? ? ? 3 , 2 1 ? 直线AB的方程:y ? ? 3 (x ? ). 4

本节课,我们主要从代数(方程)的 角度研究抛物线的焦点弦的一些性质 。而对于从几何观点去研究它的性质 ,希望同学们课后落实完成。

小结、抛物线 ? y ? 2 px ( p ? 0) 的焦点弦性质:
2

?以下记AB为焦点弦,H1H 2为通径。 ?
1. 若A、B的纵坐标为 y1、y2,则 y1 y2 ? ? p 。
2

p 2. 若A、B的横坐标为 x1、x2,则x1 x2 ? . 4 2 3.若A( x1 , y1 ),B ( x2 , y2 )在抛C: y ? 2 px ( p ? 0) 上,则 y1 y2 ? ? p ? 直线AB过焦点F。
2

2

4.焦点弦长 | AB | ? x A ? xB ? p。 2p 5.焦点弦长 | AB | ? 2 si n ?

(其中? 为L AB的倾角)

6.焦点弦长 | AB | 小=2p。 p 7.S?AOB = . 2sin ? 8.以焦点弦AB为直径的圆与准线L相切. p 1 1 2 9.若x1x 2= ,则 ? ? 。 4 AF BF p 10.?MFN =90 .
0 2 2

课下: 完成思考题。


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