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高中物理竞赛-万有引力与天体运动


万有引力定律与天体运动

两体问题
仅有两个质点组成的孤立系统,两个质点的质量为m1、m1,相互作用力大小为f, ? 从m1至m2的矢径为 R . ? ? r 1的矢径为 r . 取二者的质心C为参照系(惯性系). 设C到m ? ? m1 ? R ? 有 r? R…………() 1 r m1 ? m 2 ? f m2 对m2,由牛顿第二定律有 ? 2

? ? f C d r m1 f ? m2 ? 2 ……………( ) 2 dt 将(1)代入(2):
? 2 ? mm d R f ? 1 2 ? 2 . m1 ? m2 dt



m1m2 ? ? (称为m1与m2的折合质量, 则有 ) m1 ? m2 ? 2 ? d R f ? ? 2 ………………( ) 3 dt

(3)式表明,若取m1为参照系(一般不是惯性系,在此系中牛顿第二定律不成立) ? ,则在此参照系中m2的运动完全相同于质量为μ 的质点在中心力 f 的作用下按牛顿第二 定律所形成的运动,而无须考虑惯性力的作用.

“卫星怪象”问题
卫星(质量为m)与地球(质量为M) 系统的总能量为

即 于是可知

Mm . 2r 1 2 Mm Mm mv ? (?G ) ? ?G . 2 r 2r E ? ?G 1 2 Mm Mm mv ? G ? ?( ?G ). 2 2r 2r 1 ( EK ) (? E )   EP ) (? 2 1 EK ? ? E ? ? E P . 2 1 ?EK ? ??E ? ? ?EP . 2



对两端的变化量有

解题知识与方法研究
一、对宇宙中复杂的天体受力运动的简化 (1)天体通常相距很远,故可将天体处理为质点. (2)很多时候,某天体的所受其他诸天体引力中仅有一个是主要的: a、可将该两天体作为二体问题处理. b、施力天体由于某些原因(如质量相对很大)在某惯性系中可认为几乎不动,这

时问题很简单(我们通常讨论的就是这种情况).
二、引力问题的基本动力学方程 如图,行星m在太阳M的有心引力作用下运动. 在太阳惯性参照系中,由牛顿运动定律和引力定律 有径向动力学方程
M
太阳

? v
vr

v? r

m

? r

mar ? m(

dvr Mm ? r? 2 ) ? ?G 2 dt r dv?r =r ? ) 等于零. dt

行星的横向加速度 a?r (?

因为引力为有心力,故行星对太阳参考轴角动量 守恒

? v
vr

v? r

rmv sin ? ? rmv?r ? r m? ? 常量
2

?
m

此式变化后即得开普勒第二定律: 1 1 rv sin ? ? r 2? ? 常量 2 2
表明: ?开普勒第二定律是角动量守恒定律的特殊表现. ?开普勒第二定律不仅适用于行星的椭圆运动也将 适用于有心引力作用下的任何行星轨道运动.

M
太阳

? r

又因万有引力为保守力,故“太阳+行星”系统的机 械能守恒
当然,此方程也不限于

1 2 Mm mv ? (?G 2 ) ? 常量 2 r

行星做椭圆轨道运动!

三、天体绕日运动的轨道与能量 根据万有引力定律和其他牛顿力学定律(角动 量守恒、机械能守恒等)可导出在如图的极坐标下
M

? v

的绕日运动的天体的轨道方程:
p L2 2 EL2 r? . (其中,p ? , e ? 1? 2 2 3 ) . 1 ? e cos? GMm 2 G M m

? r ? y

m

r0

m
b

轨道方程为一圆锥曲线方程: (1) E ? 0时,e ? 1,为椭圆, M 位于其中一个
焦点 (即开普勒第一定律);

a

o

c

? r
M

?
x

总能量为:

E??

GMm 2a

y

m
? r
b O

(2)E ? 0时,e ? 1,为双曲线的一支,M 位于
内焦点

总能量为:

GMm E? a

a

M F (c,0)

x

(3)E ? 0时,e ? 1,为抛物线,M 位于焦点. 总能量为:
E ?0

y

m O

M F

x

c e? a

p ? a(1 ? e2 )

例题解答
例1(天体轨道的判定) 如图,太阳系中星体A做半径为R1的圆运动,星体B作抛

物线运动. B在近日点处与太阳的相距为R2=2R1,且两轨道在同一平面上,两星体运动方
向也相同. 设B运动到近日点时,A恰好运动到B与太阳连线上. A、B随即发生某种强烈 的相互作用而迅速合并成一个新的星体. 其间的质量损失可忽略. 试证明新星体绕太阳的 运动轨道为椭圆. 解 计算新星体C的机械能. 设C距日R3,三星速度如图. 在径向: 可认为在A、B靠拢过程中质心未动. 所以C到太阳的距离为
R3 ? mA R1 ? mB R2 mA ? 2mB ? ? R1 m A ? mB mA ? mB


C

R1

在切向: A、B合并过程中动量也守恒, 则有
(mA ? mB )vC ? mAv A ? mB vB



B A vB v C v A
R3 R2

日(M )

研究②式中的vA、vB:
GM 因A作圆运动,故v A ? . R1

B作抛物线运动,机械能为零. 因而有
1 MmB 2 mB vB ? G ? 0. 2 R2

C

R1

所以

vB ?

2GM ? R2 vC ?

2GM GM ? (? v A ) 2 R1 R1

B A vB v C v A

日(M )

将vA、vB代入②得

R2 mA ? 2mB R3 ? ? R1 ① 思考 利用①③,C星体的机械能为 mA ? mB 本题能不能直接判断? 1 M (mA ? mB ) 2 EC ? (mA ? mB )vC ? G 2 RC

2GM R1



1 GM M ( m A ? mB ) ? ( m A ? mB ) ? ?G m A ? 2 mB 2 R1 ? R1 m A ? mB 1 MmA (mA ? mB ) ? ? G? ? 0. 2 (mA ? 2mB ) R1

?EA<0,EB=0,EA+EB=? ?EC与(EA+EB )谁大谁小? ?C的轨道是什么?

因此,新星体C的轨道为椭圆.

例2(利用引力作用下的质点运动求椭圆曲率半径) 行星绕太阳作椭圆运动,已 知轨道半长轴为A,半短轴为B,太阳质量记为MS. 试用物理方法求椭圆各定点处的曲率 半径. 解 行星运动情况如图.
Mm v2 据 F ?G 2 ?m , r ?
v3

? 3
v1

C

2 A
v2

S

1

由顶点1、2、3处的机械能守恒和面积速度相等可得

B 4

M m 1 2 M m 1 2 1 2 M m mv1 ? G S ? mv2 ? G S ? mv3 ? G S 2 A?C 2 A?C 2 A 1 1 1 ( A ? C )v1 ? ( A ? C )v2 ? Av3 sin ? 2 2 2 B 由图可知 sin ? ? , 代入②式得 A 1 1 1 ( A ? C )v1 ? ( A ? C )v2 ? Bv3 2 2 2
由① ③解得
v1 ?

① ②



GM S A ? C GM S A ? C GM S , v2 ? , v3 ? . B A B A A

求顶点1处的曲率半径ρ1:
m v12

?1

? F1 ? G

MSm ( A ? C )2

v1 ?

A ? C GM S B A

v3 ?

3
F3 v1

B2 将前面得到的v1代入, 即得 ?1 ? . A

C

2 A
v2

F1

S

1

求顶点3处的曲率半径ρ3:

B 4

M m M m B m ? F3 sin ? ? G S2 sin ? ? G S2 ? ?3 A A A
A2 将前面得到的v3代入, 即得 ?3 ? . B

2 v3

v3 ?

GM S A

题后小结与思考 ? 椭圆上其他点曲率半径能不能用此方法得到? ?求抛物线任意点的曲率半径、正弦曲线顶点的 曲率半径.

例3(卫星怪象问题) 质量为m的人造卫星在绕地球(质量为Me)的飞行过程中, 由于受到微弱的摩擦阻力f(常量),不能严格按圆周轨道运动,而是缓慢地沿一螺旋 形轨道接近地球.因f 很小,轨道半径变化十分缓慢,每一周均可近似处理为半径为r的

圆周轨道,但r将逐周缩短. 试求在r轨道上旋转一周,r的改变量及卫星动能EK的改变量.
解 卫星的动能、势能、总机械能为

Mm Mm 1 1 EK ? mv 2 , EP ? ?G e , E ? mv 2 ? G e . 2 r 2 r 在运行中万有引力作为向心力 Mm v2 m ? G e2 r r 将此代入EK、E的表达式,可得到 GMm GMm , E?? 2r 2r 卫星旋转一周摩擦力做功为 EK ?
GMm 可知,卫星旋转时总机械能的小增量?E (实为减少)和轨道半径r 的小 2r 改变?r的关系是 M em M m GM e m?r GM e m ?E ? E (r ? ?r ) ? E (r ) ? (?G ? ? ?r. ) ? (?G e ) ? (r ? ?r )r 2r 2 2(r ? ?r ) 2r 由E ? ?

Wf ? ? f (2? r )

由功能关系,当卫星旋转一周时,有 W f ? ?E. 即

? f (2? r ) ?

GM e m ? ?r 2r 2
GMm , 2r GMm E?? . 2r EK ?

所以卫星每旋转一周,r的改变量为
?r ? ? 4? r f (r减小) . GMm
3

动能的改变量为
?EK ? ??E ? ?(?2? rf ) ? 2? rf

例4(星体运动的阻力)一个质量为M、半径为R的星球以速度V通过质量密度为 ?

的非常稀薄的气体, 由于它的引力场,此星球将吸引迎面接近它的粒子,并俘获撞在它 表面上的所有的气体分子. 设相对于速度V,分子的热运动速度可忽略. 分子间的相互作 用不计. 求作用在星体上的阻力.
解 为方便研究问题取星球为参照系.
b
V

气体分子的运动及与星球的碰撞如图所示. 在横截面为 S ? ? b 的圆柱体内的分子 才能与星球相碰.
2

A

v

研究圆截面边缘上的一个分子: 设被俘获前的瞬间(A点处) 的速度为v. 由机械能守恒得

1 2 GM 1 2 v ? ? V 2 R 2
由角动量守恒得
vR ? Vb
2 联立消去,解得b b ? R ? v :

2GMR V2

设气体受到的阻力为f(等于星球所 受阻力),由动量定理知星球在Δt时间内 使气体的动量改变为
b
V

f ?t ? {? (? b ?V ?t )}V
2

A

得到

v

f ? ??V 2b2 ? ??V 2 ( R 2 ?
2GM ? ? R ? (V ? ). R
2 2

2GMR 2 ) 2 V
b ? R2 ? 2GMR V2

例5(飞船着陆问题) 一质量为m=12×103kg的太空飞船在围绕月球的圆轨道上运动 ,其高度h=100km. 为使飞船落到月球表面,喷气发动机在图中P点作一短时间发动. 从喷

口喷出的热气流相对飞船的速度为u=10km/s,月球半径为R=170km,月球表面的落体加 速度g=1.7m/s2. 飞船可用两种不同方式到达月球(如图所示):
(1)向前喷射气流,使飞船到达月球背面的A点 (与P点相对),并相切. (2)向外喷射气流,使飞船得到一指向月球中心 的动量,飞船轨道与月球表面B点相切. 试计算上述两种情况下所需要的燃料量. 求出喷气前、后飞船的 解 喷气后,飞船轨道由圆变成了的椭圆的一部分 速度问题即可解决! (如图). 设飞船喷气前的速度v0,月球质量为M, 则有
2 v0 Mm m? ?G ( R ? h) ( R ? h) 2

A

M o

P
v0 (1)

B M o

P

v0

月球表面的重力加速度为 g ? 代入上式,便得
v0 ?

GM R2

gR 2 ? 1652(m/s) R?h

(2)

(1)设飞船在P点向前方喷气后速度减为v1. 到达 A处速度为vA. 则由角动量守恒和能量守恒得
v A R ? v1 ( R ? h ) v1

1 2 Mm 1 2 Mm mv1 ? G ? mvA ? G 2 R?h 2 R
2 gR 3 ? 1628m / s 联立此两式消去vA解得 v1 ? ( R ? r )(2 R ? h)

A
vA

M o

P
v0 (1)

设喷出的气体质量为Δm1, 对喷气前后的短暂过程, 由动量守恒有 mv0 ? ( m ? ?m1 )v1 ??m1 (v1 ? u ) 解得
?m1 ? 32.4(kg).

B M o

v2 vr v0

v0

P

(2) 因沿圆半径向外喷气使飞船在向心方向获 2 的速度vr, 从而飞船的速度变为v2 ? v0 ? vr2 . 同样有 角动量和能量守恒方程
vB R ? v0 ( R ? h)

(2)

1 Mm 1 2 Mm 2 m(v0 ? vr2 ) ? G ? mvB ? G 2 R?h 2 R

联立此两式消去vB解得 vr ?

h v0 ? 97(m / s). R 设喷出的气体质量为Δm2, 对喷气前后的短暂过程,
( m ? ?m2 )vr ??m2 (?u ? vr ) ? 0

v1

在沿原半径方向上由动量守恒有

A
vA

M o

P
v0 (1)

解得 燃料.

?m2 ? 116.4(kg).

显然, ?m2 ? ?m1. 所以选择第一种方式登月较省

B M o

v2 vr v0

v0

P

题后思考

仔细研究如何计算喷出 的气体相对月球的速度!

(2)

例6 质量为M的宇航站和已对接上的质量为m的飞船沿圆形轨道绕地球运动着,其
轨道半径是地球半径的n=1.25倍. 某瞬间,飞船从宇航站沿运动方向射出后沿椭圆轨道 运动,其最远点到地心的距离为8nR. 问飞船与宇航站的质量比m/M为何值时,飞船绕地 球运行一周后正好与宇航站相遇. 解 发射前后飞船、宇航站的运动情况如图. 记地球质量为ME,发射前共同速度为u. 由
u2 ( M ? m) M E ( M ? m) ?G nR (nR) 2

m
原轨道

M R



u?

GM E . nR

v V

记分离后的瞬间飞船速度为v,宇航站速度为V. 由动量守恒有
( M ? m)u ? MV ? mv

nR

8nR

所求的比值为

m V ?u ? M u ?v



进一步研究分离后飞船和宇航站的运动,求v、V:

研究分离后的飞船: 设远地心点的速度为v′, 由开普勒第二定律 及能量守恒定律有 1 1 (nR)v ? (8nR)v? 2 2 1 2 M m 1 M m mv ? G E ? mv?2 ? G E 2 nR 2 8nR 由此两式解出 v ?
4 GM E 4 ? u 3 nR 3

m
M R
V?
原轨道

v?

v V



r
nR 8nR

研究分离后的宇航站:
设近地心点的速度为V ′,距地心r. 由开普勒 第二定律及能量守恒定律有 1 1 (nR)V ? rV ? 2 2 1 M M 1 M M MV 2 ? G E ? MV ?2 ? G E 2 nR 2 r 由此两式解出 2r GM E 2r V? ? ? ?u nR ? r nR nR ? r



m
研究分离后的相遇以求得r: 设飞船的周期为t,宇航站的周期为T. 由开普勒第三定律有
t2 T2 ? 8nR ? nR 3 nR ? r 3 ( ) ( ) 2 2
原轨道 M R V?

v?

v V



9nR 3 t ( ) ? ( )2 nR ? r T
确定t/T: 因飞船运行一周恰好与宇航站相遇,所以
t ? kT . k ? 1、、、、 . 2 3 4 ??
2 3

r
nR 8nR

代入上式,得
r?

9?k
2

? nR



k 3 宇航站不能与地球相碰(只要近地点不碰,其它点便不会相碰). 故应 r ? R

将④代入,得

9?k
2

2

3

m
? nR ? R
原轨道 M R V?


所以

k 3 2 9?k 3
k
2 3

v?

? 1.25 ? 1

k ? 11.

由上述①②③④式求m/M:

v V
2r ?1 nR ? r 4 1? 3

m V ?u ? ? M u ?v
2

2r ?u ? u nR ? r ? 4 u? u 3

r
nR 8nR

? 3 ? 2(9 ? k 3 ).
2 m 要求 ? 0. 即3 ? 2(9 ? k 3 ) ? 0. M k ? 10. 得

m V ?u ? M u ?v 题后思考



4 ?最后结果为何与u无关? GM E 4 v ? ?若分离后v、V反向,结 ? u ② 3 nR 3 2r 果又如何? 2r GM E V? ? ? ?u ③ m nR ? r nR nR ? r ? 0.048, 0.153. 可见k只能取两个值:k=10,11. 相应有 2 M 9?k 3 ④ r? ? nR 2 k 3

例7 一双星系统,两颗星的质量分别为M和m(设M>m),距离为d,在引力作用 下绕不动的质心作圆周运动. 设这两颗星近似为质点. 在超新星爆炸中,质量为M的星体 损失质量ΔM. 假设爆炸是瞬时的、球对称的,并且对残余体不施加任何作用力(或作用 力抵消),对另一颗星也无直接作用. 试求,在什么条件下,余下的新的双星系统仍被约 束而不相互远离. 解 需计算爆炸后的总机械能. 如图,爆炸前两星绕质心旋转. 旋转半径满足 r1 ? r2 ? d m M r1 ? d , r2 ? d. M ?m M ?m 旋转的角速度 ?满足 V2 v2 Mm M? ? m? ? G 2 . r1 r2 d
由以上诸式得到 V ? m
r1

v
r2

m

M
V

C

G G , v?M . d ( M ? m) d ( M ? m)

爆炸后的瞬间,因球对称爆炸所以(M-ΔM)位置、速度均不变. 因爆炸对星体m也
无作用,故m的位置、速度也不变.

新系统的质心C′还在两星连线上的原处吗? 新系统的质心C′还会静止吗?
M
r2
r1

v m

C

新系统的势能为

( M ? ?M )m ? EP ? ?G d
新系统在新质心参照系中的动能为

V

1 1 ? EK ? ( M ? ?M )(V ? vC ? ) 2 ? m(v ? vC ? ) 2 2 2
由系统动量的质心表达可知新系统质心速度为
vC ? ? mv ? ( M ? ?M )V (mv ? MV ) ? ?MV ? . ( M ? ?M ) ? m ( M ? ?M ) ? m

vC ?

( M ? ?M ) r1?

r2?

v m

C?

V

注意到式中的 (mv ? MV ) ? 0. 所以
vC ? ? ?MV . ( M ? ?M ) ? m

进而得到系统在新质心系中的动能为
1 ?MV ? EK ? ( M ? ?M )(v ? )2 2 ( M ? ?M ) ? m r1 ( M ? ?M )m 1 ?MV 2 ? EP ? ?G C ? m(V ? ) M d 2 ( M ? ?M ) ? m G V ?m , V 新系统仍被约束的条件是 d ( M ? m) ? ? EP ? EK ? 0. G v?M . d ( M ? m) ? ? 将EP、EK的表达式代入,整理得 1 ?M ? ( M ? m). 2 ( M ? ?M ) r1?

v
r2

m

vC ?

r2?

v m

C?

V

另解 用二体问题折合质量法 爆炸前: Mm ?? . 等效的运动如图(a). 两星折合质量 M ?m
v2 Mm μ旋转的速度v 满足 ? ? G 2 d d
得到

v
d

?

M

v?

G ( M ? m) d

(a)

爆炸后:
( M ? ?M )m 两星折合质量 ? ? ? . 等效的运动如图(b). ( M ? ?M ) ? m

v ??
( M ? ?M )

( M ? ?M )m . d 1 新系统的动能 EK ? ? ?v 2 ? 1 ? ( M ? ?M )m ? ( G ( M ? m) ) 2 ? 2 2 ( M ? ?M ) ? m d 1 ( M ? ?M )m G ( M ? m) ? ? ? . 2 ( M ? ?M ) ? m d
新系统的势能 EP ? G ? 代入系统约束的条件 解得
? ? EP ? EK ? 0. 1 ?M ? ( M ? m). 2

d

(b)


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