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吉林省白城市通榆县第一中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理)试题


吉林省通榆县第一中学 2015-2016 学年度上学期高二年级期中考试

数 学 试 卷 (理)
第Ⅰ卷
一.选择题(共 12 题,每题 5 分,共 60 分) 1.若命题 p:? x∈R,2x +1>0,则 p 是(
2 2

) A.? x∈R,2x +1≤0 B.? x∈R,2x +1>0 2

C.? x∈R,2x +1<0 D.? x∈R,2x2+1≤0 2. “a>0”是“|a|>0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条 件
2

?

x2 y 2 3.已知抛物线 y =2px(p>0)与双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 有相同的焦点 F,点 A a b
2

是两曲线的交点,且 AF⊥x 轴,则双曲线的离心率为( A.错误!未找到引用源。
5 ?1 2 2 2 ?1 2

) C. 3 ? 1

B.

2 ?1

D.错误!未找到引用源。

4.已知函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处可导,则 lim
h ?0

f ( x 0 ? h) ? f ( x 0 ? h) 等于 ( h
D.0



A. f / ( x0 )

B.2 f / ( x0 )

C.-2 f / ( x0 )

5.已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆 +y2=1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭 3 圆的另外一个焦点在 BC 边上,则△ABC 的周长是( ) A.2 3 B.6 C.4 3 D.12 2 2 6.过点(2,-2)与双曲线 x -2y =2 有公共渐近线的双曲线方程为( ) A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1 2 4 4 2 4 2 2 4 3 2 7 . f ( x) ? ax ? 3x ? 2 , 若 f ?(?1) ? 4 , 则 a 的 值 ( ) 19 16 13 10 A. B. C. D. 3 3 3 3

x2

x2 y2

x2 y2

y2 x2

y2 x2





x2 y2 8.设双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线 y=x2+1 相切,则该双曲线的 a b
离心率等于( A. 3 ) B.2 C. 5 D. 6

9.已知正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,AA1=2AB,E 为 AA1 的中点,则异面直线 BE 与 CD1 所成角的余弦值为( ) 10 1 3 10 3 A. B. C. D. 10 5 10 5 2 2 10.已知椭圆 x +2y =4,则以(1,1)为中点的弦的长度为( ) 30 3 A.3 2 B.2 3 C. D. 6 3 2 / 11.如下图是导函数 y ? f ( x) 的图象,那么函数 y ? f ( x) 在下面哪个区间是减函 数 A. ( x1 , x3 ) B. ( x2 , x4 ) C. ( x4 , x6 ) D. ( x5 , x6 )

12.如图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1,则 BC1 与平面 BB1D1D 所 成 角的正弦值为( ) 6 2 5 15 10 A. B. C. D. 3 5 5 5

(12 题图 ) (11 题图) 第Ⅱ卷 二.填空题(每题 5 分,共 20 分) 1 13.抛物线焦点在 y 轴上,且被 y ? x ? 1 截得的弦长为 5,则抛物线的标准方程为 2
3 2 14. 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? 3x ? 9 在 x ? ?3 时取得极值,则 a =



15、函数 f ( x) ? x 2 ln x 的单调递减区间为 16. 设 F1 、 F2 是双曲线 x 2 ? y 2 ? 4 的两焦点, Q 是双曲线上任意一点,从 F1 引

?FQF 1 2 平分线的垂线,垂足为 P,则点 P 的轨迹方程是



三.解答题(17 题 10 分,18、19、20、21、22 题每题 12 分) 17. p:对任意实数 x 都有 ax2+ax+1>0 恒成立;q:关于 x 的方程 x2-x+a=0 有 实数根;如果 p ? q 为真命题, p ? q 为假命题,求实数 a 的取值范围. 18.已知椭圆的顶点与双曲线
13 y 2 x2 ? ? 1 的焦点重合,它们的离心率之和为 ,若 5 4 12

椭圆的焦点在 x 轴上,求椭圆的方程.

19.已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c , 当 x ? ?1 时, f ( x) 的极大值为 7; 当 x ? 3 时, (2)函数 f ( x) 的极小值. f ( x) 有极小值.求(1) a, b, c 的值; 20.已知四棱锥 P ? ABCD 的底面为直角梯形, AB // DC , ?DAB ? 90? , PA ? 底面
1 , 2 (Ⅰ)证明:面 PAD ? 面 PCD ;

ABCD ,且 PA ? AD ? DC ?

AB ? 1, M 是 PB 的中点。
(Ⅱ)求二面角 A-MC-B 的余弦值。

3 2 21.已知函数 f ( x) ? ? x ? 3x ? 9 x ? a.

(1)求 f ( x) 的单调递减区间; (2)若 f ( x) 在区间[-2,2]上的最大值为 20,求它在该区间上的最小值 22.已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0),右顶点为 ( 3,0) 。 (1) 求双曲线 C 的方程; (2) 若直线 l : y ? kx ? 2 与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B ,且

OA ? OB ? 2 (其中 O 为原点),求 k 的取值范围。

高二理科试卷答案
题号 答案

1 D
2

2 A

3 B
2

4 B

5 C

6 D ;14.a=5

7 D

8 C
?

9 C
1 2

10 C

11 B

12 D

13. x ? 4 y或x ? ?20y

;15. (0, e ) ; 16. x2 ? y 2 ? 4 .
?a>0 ? ? ?Δ<0

17.解 对任意实数 x 都有 ax2+ax+1>0 恒成立?a=0 或?


?0≤a<4;---2

1 关于 x 的方程 x2-x+a=0 有实数根?1-4a≥0 ?a≤4;-----------4 分 由已知 p 与 q 一真一假-----------------------5 分 1 1 如果 p 真,且 q 假,有 0≤a<4,且 a>4,∴4<a<4;---------7 分 1 如果 q 真,且 p 假,有 a<0 或 a≥4, 且 a≤4,∴a<0.------9 分 ?1 ? 综上,实数 a 的取值范围为(-∞,0)∪?4,4?.-------------10 分 ? ?

18. 解:设所求椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,其离心率为 e ,焦距为 2 c ,双曲线 a 2 b2

y 2 x2 ? ? 1 的焦距为 2 c1 ,离心率为 e1 ,则有: 4 12 c , c12 ? 4 ? 1 2 ? 1 6 c1 =4 --------(2 分)∴ e1 ? 1 ? 2 -------- (4 分) 2 13 3 c 3 ∴ e ? ? 2 ? ,即 ? ① ------------(6 分) a 5 5 5 又 b ? c1 =4 ② --------------(8 分)
a 2 ? b2 ? c 2 ③

--------------(10 分)

由①、 ②、③可得 a2 ? 25 ∴ 所求椭圆方程为
x2 y 2 ? ?1 25 16

----------(12 分)

19.解: (1)由已知得 f / ( x) ? 3x2 ? 2ax ? b ----2 分

? f / (?1) ? 0 ?3 ? 2a ? b ? 0 ?a ? ?3 ? / ? ? -----6 分 ? ? f (3) ? 0 ? ?27 ? 6a ? b ? 0 ? ?b ? ?9 ? f (?1) ? 7 ??1 ? a ? b ? c ? 7 ?c ? 2 ? ? ? (2)由(1) , f /x ------7 分 () ( 3 ?x () 1? ) 3x ? / 当 ?1 ? x ? 3 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? 3 时, f / ( x) ? 0 ----10 分

故 x ? 3 时, f ( x) 取得极小值,极小值为 f (3) ? ?25 ----12 分 20.证:以 A 为坐标原点 AD 长为单位长度,建立空间直角坐标系,则各点坐标为 1 A(0, 0, 0), B(0, 2, 0), C (1,1, 0), D(1, 0, 0), P(0, 0,1), M (0,1, ) . 2

AP ? (0,0,1), DC ? (0,1,0),故AP ? DC ? 0, 所以AP ? DC. 由题设知 AD ? DC ,且 AP 与 AD 是平面 PAD 内的两条相交直线, 由此得 DC ? 面 PAD .又 DC 在面 PCD 上,故面 PAD ⊥面 PCD .---------6 分 ? ? ? 1 (1, 1, 0) (1, - 1, 0) ( - 1, 0, ) (Ⅱ)解:由(1) AC ? , CM ? , CB ? 2 ?? ? ? ? ? n? AC ? 0 设平面 AMC 一个法向量为 n ? ( x, y, z ) 则 ?? ? 可得 n ? (1,?1,2) ; ? ? n CM ? 0
(Ⅰ)证明:因

同理可求得平面 BCM 的一个法向量 m ? (1,1,?2) 所以 cos n , m ?
2 二面角 A-MC-B 的余弦值为 - ----------------12 分 3 (以上题解法多种,请批卷老师酌情给分)

?

? ?

??

nm

? ?

=-

nm

2 3

2 21.解: (1) f ?( x) ? ?3x ? 6x ? 9 令 f ?( x) ? 0, 解得x ? ?1或x ? 3

所以函数 f ( x ) 的单调递减区间为(- ? ,-1)和(3,+ ? )----------5 分 (2)因为 f (?2) ? 8 ? 12 ? 18 ? a ? 2 ? a f (2) ? ?8 ? 12 ? 18 ? a ? 22 ? a 所以 f (2) ? f (?2).因为在(-1,3)上 f ?( x) >0,所以 f ( x ) 在[-1,2]上单调递增, 又由于 f ( x ) 在[-2,-1]上单调递减, 因此 f(2)和 f(-1)分别是 f ( x ) 在区间[-2,2]上的最大值和最小值 于是有 22+a=20,解得 a=-2。故 f ( x) ? ? x ? 3x ? 9 x ? 2
3 2

因此 f(-1)=1+3-9-2=-7,即函数 f ( x ) 在区间[-2,2]上的最小值为-7。

---------

12 分

x2 y 2 .解: (Ⅰ)设双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0). a b 由已知得 a ? 3, c ? 2, 再由a 2 ? b 2 ? 2 2 , 得b 2 ? 1. x2 ? y 2 ? 1. ----------4 分 故双曲线 C 的方程为 3 x2 ? y 2 ? 1得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6 2kx ? 9 ? 0. ---6 分 (Ⅱ)将 y ? kx ? 2代入 3 2 ? ?1 ? 3k ? 0, 由直线 l 与双曲线交于不同的两点得 ? 2 2 2 ? ?? ? (6 2k ) ? 36(1 ? 3k ) ? 36(1 ? k ) ? 0. 1 2 2 即 k ? 且k ? 1. ① 设 A( x A , y A ), B( x B , y B ) ,则 3 ??? ? ??? ? 6 2k ?9 xA ? xB ? , x x ? , 由 OA ? OB ? 2得x A xB ? y A yB ? 2, A B 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 ---------8 分
而 xA xB ? yA yB ? xA xB ? (kxA ? 2)(kxB ? 2) ? (k 2 ?1) xA xB ? 2k ( xA ? xB ) ? 2

?9 6 2k 3k 2 ? 7 ? 2 k ? 2 ? . 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 7 ?3k 2 ? 9 1 ? 2, 即 ? 0, 解此不等式得 ? k 2 ? 3. 于是 ② 2 2 3 3k ? 1 3k ? 1 1 3 3 ? k 2 ? 1. 由①、②得 故 k 的取值范围为 (?1, ? ) ? ( ,1). -------12 分 3 3 3 ? (k 2 ? 1)

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